北师大版九年级数学上册《图形的位似》

在下列每个图形中，位似图形的对
应线段AB与A′B′是否平行？BC与
观察--思考
用点光源将△ABC投影到与其平 行的幕墙上得到△A′B′C′
改变点光源O的位置， 你有什么发现？
O
A C
B
A′ C′
B′
观察--思考
用点光源将△ABC投影到与其平行 的幕墙上 得到△A′B′C′
改变点光源O的位置， 你有什么发现？
A C
O B
① △ABC ∽△A′B′C′ ②对应点的连线相交于一点 ③对应边互相平行
y
3.⑴如图，已知A(2,0)，
写出B、C的坐标。
CF ′
⑵将A、B、C的横坐标和
纵组成坐△标A都′B乘′C2，′写所出得A′各、点B′、BE ′
C′的坐标，画出△A′B′C′
C
B
⑶以O为位似中心，
按比例尺2：1，把
△ABC放大为△DEF O A AD′
x
典例分析
1、下列说法错误的是（ ）
A、位似图形一定是相似图形 B、相似图形不一定是位似图形 C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比 D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平 行
得图１；
（２）以点Ｑ为位似中心，按相似比１：２将图形缩小，
得图２。
图１与图２的相似比是（
），面积的比是（
）。
Ｐ 。Ｑ
小结:
1.以前我们学习了平移、对称、旋转变 换，它们的特点是什么？
2. 位似变换的特点是什么？
观察与思考☞
下列图形中，每个图中的
四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分
已知点O和ΔABC
分别在OA、OB、OC的反向延长线上取点A2、
Ｂ2、Ｃ2，使
OA 2
OA

OB 2
OB

OC 2
OC

2 ，画ΔA2Ｂ2Ｃ2．
A2
B
C2
CO
A B2
合作交流
A1
A2
A
．
C
O
B
B1
C1 B
CO A
C2 B2
(1)ΔABC与ΔA1Ｂ1Ｃ1及ΔABC与ΔA2Ｂ2Ｃ2是否 分别相似？为什么？
C
F
O E B
F
O
D
B
将三角形ABC放大一倍。
A' . A
O.
B
C
B’
C’
将黄色五角星缩 小为原来的一半
。
。
。。
。
。
。
。
。
O
。
。
位似图形特征： 1、位似图形一定是相似形，反之 不一定。 2、判断位似图形时要注意首先它 们必须是相似形，其次每一对对应 点所在直线都经过同一点。
---试一试--- 你发现了什么？
典例分析
2、如图，△ABC与 △ABC是位似图形，点O
是位似中心，若 OA 2AA，S△ABC 8 ，则
S△ABC
Ｃ１ ．
Ｃ
Ａ
Ａ１
Ｏ Ｂ Ｂ１
典例分析
3、如图，以O为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍．
C' D'
C D
． O
A
B
Ａ'
B'
典例分析
4、如图在6×6的方格中画出等腰梯形ABCD 的位似图形，位似中心为点A，所画图形与 原等腰梯形ABCD的位似比为2：1．
A′ C′
B′
下面两副图是相似形吗？认真观察 看它们还有什么特征？
B
A C E O
M
D F
N
探索活动
已知点O和ΔABC
(1)画射线OA、OB、OC，分别在OA、OB、OC
上取点A1、Ｂ1 、Ｃ1，使
OA 1

OB 1

OC 1

2
OA OB OC
画ΔA1Ｂ1Ｃ1．
A1
A
C1
．
C
O
B
B1
探索活动
如图，D，E分别AB，AC上的点.
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
A DE
C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么 DE∥BC吗？为什么？
解：（2） DE∥BC.理由是：
∆ADE和 ∆ABC是位似图形， ∆ADE∽ ∆ABC
∠ADE＝∠B
DE∥BC.
∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
因为DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B， ∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D 和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线 BD与CE交于点A，所以∆ΔABC与ΔA1Ｂ1Ｃ1及ΔABC与ΔA2Ｂ2Ｃ2在 位置上还有什么特点？
A1 A
．
C
O
B
B1
C1 B
CO A
A2 C2
B2
1. 在上图中，两个多边形不仅相似，而且 对应顶点的连线交于一点，像这样的两个图形
叫做位似形，这个点叫做位似中 心． (对应边互相平行)
A1
A
．
C
O
B
C1 B
CO A
B1
2.位似形有哪些性质呢?：
A2 C2
B2
(1)两个位似形一定是相似形； (2)对应顶点所在的直线都经过同一点； (3)对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.
---试一试---
请你总结一下：这个问题 有几种解法？
2.如图，已知点O和△ABC
1
以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 2
A
A
D
C
E
第五步：过G点作GD⊥BC于点D．四边形 DEFG即为所求作的正方形DEFG．
典例分析
根据以上作图步骤，回答以下问题：
（1）上述所求作的四边形DEFG是正方形吗？为 什么？
（2）在△ABC中，如果BC=10，高AQ=6，求上
述正方形DEFG的边长．
A
G
F
G1 F1
B D1 E1 D
EC
（１）以点Ｐ为位似中心，按相似比２：１将图形放大，
什么位置关系？ 位置不一样，位似中心就不一样.
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位
似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系？再换一对
对应点试一试.
相等.
位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上,它们到位似中心的 距离之比等于相似比.
如图，D，E分别AB，AC上的点.
A
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 D E
别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形
各对应点的连线有什么特征？
如果两个相似图形的每组对应点 所在的直线都交于一点,那么这样 的两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心, 这时两个相 似图形的相似比又叫做它们的位 似比.
观察下图中的五个图，回答下列问题：
（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有
DC
A
B
典例分析
5、在给定的锐角△ABC中，求作一个正方 形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落 在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上 的正方形D1E1F1G1； 第二步：连结BF1，并延长交AC于点F； 第三步：过F点作FE⊥BC交AB于点E；
第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；