9.5棱柱、棱锥的概念和性质

高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积与底面积之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是
（ C）
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
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都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体一定是正四棱柱
题型一 棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它
为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5
个命题中：
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补；
③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.
其中真命题为
（写出所有真命题的序号）.
思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 ①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； ②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
证明 （1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C. 在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1. 证明如下：
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
∴PB=2 5，sin∠CPB= 10 , 5
即PB与平面PAC所成角的正弦值为 10. 5
（3）解 由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC
平面
PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，
所以AF⊥平面PBC.
则AF的长即为点A到平面PBC的距离.
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2 2 ，PC=2 3 ，
C.5
D.6
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以
该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为
（B）
A. 2
B. 2
C. 3
D.2
6
3
3
3
解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个
正四棱锥的高为 2 ，所以 V 2 1 1 2 2 .
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. 答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结 论.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
知能迁移3 如图，四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°， PA=AD=DC=2，AB=4.
（1）求证：BC⊥PC； （2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值； （3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，
2
3 23
5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 3 ，则一条侧
棱到与它相对的面之间的距离为
（ D）
A.1
B. 2
C. 3
D. 6
解析 由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3, h
若设底面三角形的边长为a，则有 3 a2 2 3, 所 4
以a=2 2 ，故侧棱到相对面的距离为 3 a 6. 2
知能迁移2 如图所示，四棱锥P— ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD， E为侧棱PD的中点.
（1）求证：PB∥平面EAC； （2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点， ∴OE∥PB，且OE 平面EAC，PB 平 面EAC，∴PB∥平面EAC. （2）方法一 ∵ABCD是矩形， ∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD，
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
（C）
A.2 3
B. 14
解 （1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC， 且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC. 又BD⊥AC，∴BD⊥PC， 即PC与BD所成的角为90°. （2）∵PA⊥底面AC， ∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底 面AC所成的角. ∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC= 2 a， 得 tan PCA 2 .
§9.5 棱柱、棱锥的概念和性质
基础知识 自主学习
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义
定义
棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱
棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面
互相平行的面
多边形
侧面
其余各面
侧棱
两个侧面的公共边
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. 又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN.
设MN∩AC=Q，连结PQ，
则平面PAC∩平面PMN=PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，
则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离，
作AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，PA=a, AQ 3 AC 3 2 a,
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直 【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1, AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点 E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理.
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= ；1
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2.
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ； ②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等 腰三角形 ； ④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.
∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 . 取AB的中点E，连结CE，由题意 可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.
又BE 1 AB 2, 2
所以CE 1 AB. 2
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC. 又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC 平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC. （2）解 由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC， PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角. 又CB=2 2 ，PB2=PA2+AB2=20，
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点, ∴EF∥AB1. ∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等.