9.5棱柱、棱锥的概念和性质
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
认识数学中的棱柱与棱锥体积
认识数学中的棱柱与棱锥体积数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
在数学的世界中，有许多有趣的几何概念，其中包括棱柱和棱锥体积。
本文将详细介绍这两个概念，让我们一起来认识数学中的棱柱与棱锥体积。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的直线段组成的几何体。
棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = 底面积 ×高其中，底面积是指底面的面积，高是指连接底面的直线段的长度。
棱柱的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱柱的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点的直线段所围成的区域。
棱柱的体积计算方法可以通过一个简单的例子来理解。
假设有一个底面积为10平方厘米，高为5厘米的三角形棱柱，那么它的体积可以计算如下：V = 10平方厘米 × 5厘米 = 50立方厘米从上述例子可以看出，棱柱的体积与底面积以及高密切相关。
当底面积或高增加时，棱柱的体积也会相应增加。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个点的直线段组成的几何体。
棱锥的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3 ×底面积 ×高其中，底面积指的是底面的面积，高是指连接底面顶点与顶点的直线段的长度。
棱锥的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱锥的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点与顶点的直线段所围成的区域。
为了更好地理解棱锥的体积计算方法，我们可以举一个实际的例子。
假设有一个底面积为8平方厘米，高为6厘米的三角形棱锥，那么它的体积可以计算如下：V = 1/3 × 8平方厘米 × 6厘米 = 16立方厘米从上述例子可以看出，棱锥的体积与底面积以及高的关系也是密切相关的。
当底面积或高增加时，棱锥的体积也会相应增加。
三、棱柱与棱锥体积的比较通过对棱柱和棱锥体积的计算公式进行比较，我们可以发现它们之间存在着明显的差异。
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的形状、大小、相对位置等性质。
在三年级数学学习中，我们开始接触了几何中的一些基本概念，比如点、线、面等。
今天，我们要进一步认识几何，探讨一下棱柱与棱锥这两个重要的几何概念。
一、棱柱的认识及性质1. 棱柱的定义棱柱是一种由两个平行多边形底面围成的立体图形。
棱柱的侧面是由棱连接两个底面的对应顶点所形成的，每条连接两个底面对应顶点的线段被称为棱。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是相似的多边形。
（2）棱柱的侧面是矩形。
（3）棱柱的棱和底面垂直。
（4）棱柱的高是连接两个底面的垂直线段。
二、棱锥的认识及性质1. 棱锥的定义棱锥是一种由一个多边形底面和每个底面顶点到一个点（顶点）的直线段所围成的立体图形。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形。
（2）棱锥的侧面是由棱和顶点连接而成的三角形。
（3）棱锥的高是连接底面重心与顶点的直线段。
三、棱柱与棱锥的区别1. 形状区别棱柱的底面和顶面都是多边形，而棱锥的底面是一个多边形，顶面是一个点。
2. 侧面区别棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
3. 应用区别棱柱的应用场景较多，比如圆柱、立方体等都属于棱柱的特例。
棱锥的应用场景相对较少，比如一些塔楼的形状就类似于棱锥。
四、实例分析案例一：儿童玩具积木儿童玩具积木常使用棱柱形的积木块，因为棱柱的底面具有平稳的性质，利于稳定玩具结构。
案例二：蛋糕结构蛋糕通常采用棱锥形的结构设计，底面是一个圆形或者椭圆形的多边形，顶部是尖锐的顶点，能够很好地装饰和制作成各种形状。
五、总结通过对棱柱与棱锥的认识，我们了解到它们是几何学中的两个重要概念。
棱柱的底面与顶面都是多边形，而棱锥的顶面是一点。
此外，棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
我们可以通过实际生活中的例子来更好地理解和应用这些几何概念，比如儿童玩具积木和蛋糕的结构设计等。
因此，在三年级数学学习中，我们需要进一步掌握棱柱与棱锥的形状特征及其性质，通过实际问题的应用，培养我们的几何思维能力。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
【精品含答案】高考一轮复习9.5棱柱、棱锥的概念和性质基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习9.5 棱柱、棱锥的概念和性质基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，以上四个命题中，真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 正四棱柱的对角线长为9cm ，表面积为2cm 144，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D. 无数3. 正方体的直观图如图所示，则其展开图是（ ）4. 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111D BC A 而截得的，且11CC AA =，已知截得面111D BC A 与底面ABCD 成︒45的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）A.2 B.33 C. 22 D. 425. （思维拓展题）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ）A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上6. （2007·海南·宁夏高考）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h h h 21、、，则=h :h :h 21（ ） A.1:3:3B.2:2:3 C.2:2:3 D. 3:2:3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
1 1 3 1 ¢ \ MN = (0, , ); AB = ( , - ,1) 2 4 2 2
A N
AB ¢? MN = 0-
3 ?0 2
1 1 1 (- ) + ? 1 2 2 4
B
M
Y
C
X
1 1 + = 0 4 4
AB MN .
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
分析： 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
A1 B1 C1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A B
C
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。
2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法； 1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
2
a 2a 2 + b 2
骣 2÷ ÷ ?ç 0, ç ÷ ç ÷ ç 2 桫
D
AC1 D1 C 形
骣 p p÷ ç , ÷ ç ç 桫 4 2÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱与棱锥的性质与判定
棱柱与棱锥的性质与判定棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在形状和性质上有着一些明显的区别。
本文将介绍棱柱和棱锥的特点，并讨论如何对它们进行判定。
一、棱柱的性质与判定棱柱是由两个相等且平行的多边形底面以及连接底面相对顶点的侧面组成的立体图形。
棱柱的性质如下：1.底面特征：棱柱的底面是相同的多边形，可以是三角形、四边形、五边形等等。
底面的形状决定了棱柱的名字，例如三角形底面的棱柱叫做三棱柱，四边形底面的棱柱叫做四棱柱，以此类推。
2.侧面特征：棱柱的侧面是由连接底面相对顶点的边所组成的。
所有的侧面都是平行并且相等的。
3.顶点连接：棱柱的顶面是由连接底面相对顶点的线段所组成的。
顶面和底面平行，并且相等。
对于给定的图形，我们可以通过以下判定条件来判断其是否为棱柱：1.底面：首先，确定图形的底面是否是相同的多边形。
2.侧面：然后，检查图形的侧面是否由连接底面相对顶点的边组成，并且侧面之间是否平行且相等。
3.顶点连接：最后，确认图形的顶面是由连接底面相对顶点的线段组成的，并且顶面和底面平行且相等。
如果以上条件都满足，则可以确定该图形为棱柱。
二、棱锥的性质与判定棱锥是由一个多边形底面以及连接底面顶点到一个顶点的侧面线段组成的立体图形。
棱锥的性质如下：1.底面特征：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等等。
2.侧面特征：棱锥的侧面是由连接底面顶点到顶点的线段组成的。
所有的侧面都会汇聚在顶点处。
3.顶点连接：棱锥的顶点是连接底面顶点到顶点的线段的终点。
对于给定的图形，我们可以通过以下判定条件来判断其是否为棱锥：1.底面：首先，确定图形的底面是否为一个多边形。
2.侧面：然后，检查图形的侧面是否由连接底面顶点到顶点的线段组成。
3.顶点连接：最后，确认图形的顶点是连接底面顶点到顶点的线段的终点。
如果以上条件都满足，则可以确定该图形为棱锥。
总结：通过对棱柱和棱锥的性质与判定进行了分析，我们可以清楚地区分它们。
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
初中数学知识归纳棱柱棱锥和棱台的性质与计算
初中数学知识归纳棱柱棱锥和棱台的性质与计算初中数学知识归纳：棱柱、棱锥和棱台的性质与计算在初中数学中，我们学习了许多图形的性质与计算方法，其中包括了棱柱、棱锥和棱台。
这些几何图形在我们的生活中随处可见，掌握它们的性质与计算方法对我们理解空间几何关系非常重要。
本文将就棱柱、棱锥和棱台的性质与计算进行归纳总结。
一、棱柱的性质与计算方法棱柱是一个具有两个并列相等的多边形底面，并由这些底面上的边和垂直于底面的侧面边组成的一类立体图形。
下面我们来归纳棱柱的性质与计算方法。
1. 底面性质：棱柱的底面是一个多边形，根据底面的形状可以称为正棱柱、长方体等。
正棱柱的底面是一个正多边形，而长方体的底面是一个矩形。
2. 侧面性质：棱柱的侧面是由底面对应边相连而形成的矩形或平行四边形。
这些侧面相互平行且等大，与底面垂直。
3. 高度与体积：棱柱的高度是底面上某个点到另一个底面上对应点的垂直距离。
设棱柱的底面积为S，高度为h，则棱柱的体积V等于底面积乘以高度，即V=S×h。
4. 表面积：棱柱的表面积等于底面积与侧面积之和。
底面积等于底面的面积，侧面积等于所有侧面的面积之和。
二、棱锥的性质与计算方法棱锥是一个具有一个多边形底面和以底面上的点为顶点的若干个三角形侧面组成的立体图形。
下面我们来归纳棱锥的性质与计算方法。
1. 底面性质：棱锥的底面是一个多边形，形状可以是正多边形或其他类型的多边形。
2. 侧面性质：棱锥的侧面是以任意底面顶点为顶点，连接底面顶点与其它底面边上点的三角形。
3. 高度与体积：棱锥的高度是底面上某个点到顶点的垂直距离。
设棱锥的底面积为S，高度为h，则棱锥的体积V等于底面积乘以高度再除以3，即V=(S×h)/3。
4. 表面积：棱锥的表面积等于底面积与侧面积之和。
底面积等于底面的面积，侧面积等于所有侧面的面积之和。
三、棱台的性质与计算方法棱台是一个具有两个底面为多边形的立体图形，两个底面之间的侧面为梯形或其他类型的多边形。
棱柱与棱锥的性质与计算
棱柱与棱锥的性质与计算棱柱和棱锥是几何体中常见的形状，它们有着特定的性质和计算方法。
在本文中，我们将探讨棱柱和棱锥的基本性质以及它们的计算方法。
一、棱柱的性质与计算棱柱是一个底面为多边形的立体，其侧面为由底面上的每个顶点和一个顶点连接而成的三角形。
棱柱的性质和计算方法如下：1.底面：棱柱的底面通常是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等。
底面上的边数决定了棱柱的形状。
2.高度：棱柱的高度是指从底面到顶面的距离，垂直于底面的直线段。
计算棱柱的高度可以使用勾股定理或正弦定理等几何定理。
3.侧面积：棱柱的侧面积指的是所有侧面的总面积。
计算棱柱的侧面积可以根据侧面的形状使用不同的公式进行计算，如三角形的面积公式等。
4.体积：棱柱的体积是指棱柱所包围的空间的大小。
计算棱柱的体积可以使用底面积乘以高度的公式进行计算。
二、棱锥的性质与计算棱锥是一个底面为多边形的立体，其侧面为由底面上的每个顶点和一个顶点连接而成的三角形。
与棱柱相比，棱锥有一些特定的性质和计算方法：1.底面：棱锥的底面通常是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等。
底面上的边数决定了棱锥的形状。
2.高度：棱锥的高度是指从底面到顶点的距离，垂直于底面的直线段。
计算棱锥的高度可以使用勾股定理或正弦定理等几何定理。
3.侧面积：棱锥的侧面积指的是所有侧面的总面积。
计算棱锥的侧面积可以根据侧面的形状使用不同的公式进行计算，如三角形的面积公式等。
4.体积：棱锥的体积是指棱锥所包围的空间的大小。
计算棱锥的体积可以使用底面积乘以高度再除以3的公式进行计算。
总结：棱柱和棱锥是常见的几何体形状，它们具有比较明确的性质和计算方法。
棱柱的底面是一个多边形，棱锥的底面也是一个多边形，底面的边数决定了形状。
棱柱和棱锥的高度可以使用几何定理进行计算，侧面积可以使用侧面形状的面积公式计算，体积可以使用底面积乘以高度的公式计算（对于棱锥还需要除以3）。
通过对这些性质和计算方法的了解，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
学习棱柱与棱锥的性质与应用
学习棱柱与棱锥的性质与应用棱柱和棱锥是几何学中常见的基本立体形状。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将详细探讨棱柱和棱锥的性质及其在现实生活中的应用。
一、棱柱的性质与应用棱柱是一个具有两个相等且平行的底面的立体形状。
以下是棱柱的一些重要性质：1. 底面性质：棱柱的底面通常为多边形，如三角形、矩形、正方形等。
不同的底面形状决定了棱柱的名称，比如三角柱、矩形柱等。
2. 侧面性质：棱柱的侧面由若干个矩形组成，这些矩形的边与底面边相对应，且相互平行。
3. 高度性质：棱柱的高度是指连接底面的两个顶点所形成的直线段，它垂直于底面且等于两底面距离。
4. 体积性质：棱柱的体积可以通过底面面积与高度的乘积计算得出，即 V = 底面面积 ×高度。
棱柱的应用广泛，以下是一些实际应用的例子：1. 建筑工程：棱柱形状的建筑物如立柱、桥墩等在建筑工程中起到稳定结构的作用。
2. 水管和电缆：许多水管和电缆的外形都是棱柱形状，这种形状使得它们更容易安装和布线。
3. 纸筒：纸筒常常被用作包装材料，例如包装礼品、食品、文具等，其形状与棱柱相似。
4. 笔筒：笔筒常见的形状为圆柱，而圆柱也是一种特殊的棱柱，它被用来存放和整理笔、铅笔等文具。
二、棱锥的性质与应用棱锥是一个具有一个底面和一个尖顶的立体形状。
以下是棱锥的一些重要性质：1. 底面性质：棱锥的底面通常为多边形，如三角形、矩形、正方形等。
2. 侧面性质：棱锥的侧面由连接底面的边与顶点的线段组成，这些线段称为棱。
3. 高度性质：棱锥的高度是指连接底面的重心与顶点所形成的直线段，它垂直于底面，并且等于两者之间的距离。
4. 体积性质：棱锥的体积可以通过底面面积与高度之积的三分之一计算得出，即 V = 底面面积 ×高度 × 1/3。
棱锥的应用也相当广泛，以下是一些实际应用的例子：1. 圆锥形建筑物：圆锥形状的建筑物如塔楼、灯塔等在建筑工程中经常被使用。
2. 冰淇淋：冰淇淋的锥形蛋筒通常由棱锥形状的纸制成，给人们更好的使用体验。
立体几何中的棱柱与棱锥的性质
立体几何中的棱柱与棱锥的性质在立体几何中，棱柱与棱锥是两种常见的立体图形。
它们具有一些特定的性质和特征，下面将对这两种几何图形进行详细介绍。
一、棱柱的性质棱柱是由两个平行相等的多边形底面及连接底面上相对顶点的若干条棱构成的立体图形。
在棱柱中，可以明显地看出以下几个性质：1. 底面：棱柱的底面是相等且平行的多边形。
常见的棱柱底面有三角形、四边形、五边形等各种形状。
底面的形状决定了整个棱柱的特征。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部平行于棱柱的轴线，并且相互之间平行。
3. 棱：棱柱的棱是指连接棱柱底面上对应顶点的线段。
共有n条棱，其中n为底面的边数。
4. 高度：棱柱的高度是指两个底面之间的垂直距离。
5. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积与高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。
6. 表面积：棱柱的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点到一个中心点的直线段（称为棱锥的轴）所构成的立体图形。
棱锥具有以下几个主要的性质：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等不同形状。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部汇集于锥的顶点，并与底面上的顶点相交。
3. 棱：棱锥的棱是指连接底面顶点和顶点的线段。
4. 底面角：棱锥的底面角是指底面上相邻两边之间的夹角。
5. 高度：棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，与底面垂直。
6. 体积：棱锥的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3来计算，即V = (底面积 ×高度) / 3。
7. 表面积：棱锥的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
总结：棱柱和棱锥是立体几何中常见的两种图形，它们有着各自独特的性质。
棱柱由两个平行的底面和连接底面的棱构成，而棱锥由一个底面和连接底面顶点到一个中心点的棱构成。
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们都具有特定的几何属性和计算方法。
本文将对棱柱和棱锥的定义、性质和计算方法进行归纳总结。
一、棱柱的定义与性质棱柱是指具有两个平行的底面，并且侧面由若干个连接两个底面相对点的四边形构成的立体图形。
棱柱的侧面都是平行四边形，而底面则可以是任意形状的多边形。
棱柱的性质包括：1. 底面：棱柱有两个相同形状的底面，且底面之间平行。
2. 侧面：棱柱的侧面是若干个平行四边形，且平行四边形两对边相互平行。
3. 高度：棱柱的高度是两个底面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积等于底面面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
二、棱锥的定义与性质棱锥是指具有一个底面和一个顶点，并且侧面由底面上的点与顶点相连而成的三角形构成的立体图形。
棱锥的底面可以是任意形状的多边形，而侧面都是三角形。
棱锥的性质包括：1. 底面：棱锥有一个底面，可以是任意形状的多边形。
2. 顶点：棱锥有一个顶点，位于侧面的同一平面上。
3. 侧面：棱锥的侧面是若干个三角形，每个三角形的一个顶点是棱锥的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是从顶点向底面垂直引出的线段。
5. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3，即V = (底面积×高度) / 3。
6. 表面积：棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
三、棱柱和棱锥的计算方法1. 底面积的计算：棱柱和棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算，比如矩形的底面积等于长乘以宽，三角形的底面积等于底边乘以高再除以2。
2. 侧面积的计算：棱柱和棱锥的侧面积可以根据其侧面的形状来计算，比如平行四边形的侧面积等于底边乘以高，三角形的侧面积等于底边乘以高再除以2。
3. 体积的计算：棱柱的体积等于底面积乘以高度，棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
通过了解棱柱和棱锥的定义、性质以及计算方法，我们可以更好地理解和运用这两个几何图形。
总结棱锥棱柱棱台
总结棱锥棱柱棱台1.介绍棱锥、棱柱和棱台是几何学中的常见立体图形，也是三维空间中具有特定特征和性质的几何体。
本文将对棱锥、棱柱和棱台进行简要的介绍，并总结它们的特征和性质。
2.棱锥棱锥是一种以一个多边形为底面，其余各边都连接到一个共同的点的几何体。
根据底面的形状，棱锥可以分为正棱锥和斜棱锥。
2.1 正棱锥正棱锥的底面是一个正多边形，且棱和顶点都位于正多边形所在的平面上。
正棱锥的侧面都是三角形，且棱相等。
2.2 斜棱锥斜棱锥的底面是一个普通多边形或者不规则多边形，且棱和顶点不在同一个平面上。
斜棱锥的侧面可以是三角形、四边形或更多边形，棱的长度可以不相等。
3.棱柱棱柱是一种以一个多边形为底面，其余各边都垂直于底面的几何体。
根据底面的形状，棱柱可以分为正棱柱和斜棱柱。
3.1 正棱柱正棱柱的底面是一个正多边形，且底面和顶面平行。
正棱柱的侧面都是矩形，且棱相等。
3.2 斜棱柱斜棱柱的底面是一个普通多边形或不规则多边形，底面和顶面不平行。
斜棱柱的侧面可以是矩形、平行四边形或更多边形，棱的长度可以不相等。
4.棱台棱台是一种由两个平行多边形和连接两个多边形相邻顶点的侧面组成的几何体。
棱台的顶面和底面平行，且侧面是由两个相同或不同的多边形所组成。
根据底面的形状和侧面的形状以及多边形之间的关系，棱台可以分为正棱台、斜棱台、直棱台和斜直棱台等多种类型。
4.1 正棱台正棱台的顶面和底面是相同的正多边形，侧面是由直线与多边形形成的三角形，且棱相等。
4.2 斜棱台斜棱台的顶面和底面是不相等的普通多边形，侧面可以是三角形、四边形或更多边形，棱的长度可以不相等。
4.3 直棱台直棱台的侧面都是矩形，其余性质与斜棱台相似。
4.4 斜直棱台斜直棱台的侧面可以是矩形、平行四边形或更多边形，棱的长度可以不相等。
5. 总结棱锥、棱柱和棱台是几何学中的重要概念和几何体。
通过对它们的分类和特征的总结，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
了解这些特征和性质对于解决与这些几何体相关的问题和计算体积、表面积等都有很大的帮助。
小学数学知识归纳棱柱与棱锥的认识与性质
小学数学知识归纳棱柱与棱锥的认识与性质数学作为一门基础学科，对学生的综合素质有着重要的影响。
在小学阶段，数学的教学内容相对简单，但仍然需要深入浅出地向学生介绍各种几何图形及其性质。
本文将重点介绍小学数学中的两种几何图形——棱柱和棱锥的认识与性质。
一、棱柱的认识与性质1. 棱柱的定义棱柱是一种具有两个底面，并且侧面由多个矩形所构成的立体图形。
两个底面平行，并且通过侧面的平行边相互连接。
如下图所示：（图1：棱柱示意图）2. 棱柱的特点棱柱的特点有：（1）棱柱有两个底面，底面形状可以是任意多边形；（2）棱柱的侧面由多个矩形构成，且各矩形的边长相等；（3）棱柱的高等于两个底面之间的距离；（4）棱柱的底面积等于底边的周长乘以高。
3. 棱柱的例子棱柱在生活中有着广泛的应用，下面是一些常见的棱柱例子：（1）蜡烛：蜡烛的外形就是一个棱柱，顶端和底部都是圆形的底面，侧面是一个长方形；（2）笔筒：笔筒的外形也是一个棱柱，底面为一个圆形，侧面是一个长方形；（3）柱形水杯：柱形水杯也是一个棱柱，底面为一个圆形，侧面是一个长方形。
二、棱锥的认识与性质1. 棱锥的定义棱锥是一种具有一个底面，并且侧面由多个三角形所构成的立体图形。
底面为任意多边形，而顶点则位于底面之上。
如下图所示：（图2：棱锥示意图）2. 棱锥的特点棱锥的特点有：（1）棱锥有一个底面，底面形状可以是任意多边形；（2）棱锥的侧面由多个三角形构成，且各三角形的边长相等；（3）棱锥的高等于底面到顶点的距离；（4）棱锥的底面积等于底边的周长乘以高的一半。
3. 棱锥的例子棱锥在生活中也有着广泛的应用，下面是一些常见的棱锥例子：（1）冰淇淋：冰淇淋的外形就像一个棱锥，底面是一个圆形，侧面是一个或多个三角形；（2）山顶：山顶的形状往往呈现出一个棱锥的形状；（3）糖果：一些糖果的外形也是棱锥状的，底面为多边形，侧面是一个或多个三角形。
三、棱柱与棱锥的比较1. 相同之处棱柱和棱锥都属于立体图形，都有底面和侧面。
棱锥和棱柱的认识
棱锥和棱柱的认识棱柱和棱锥是几何学里的常见多面体。
它们的形状和性质有何不同，是每个有兴趣的学生都需要了解的知识之一。
本文将讨论棱柱和棱锥的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和认识它们。
一、棱柱的定义和性质1. 定义棱柱是一个由一个矩形（底）和以该矩形的边为母线的等高梯形（侧）组成的多面体。
棱柱的底可以是任何形状，但矩形较为常见。
2. 性质（1）棱柱的侧面是由若干个平行四边形组成的，且对面两个平行四边形相等。
（2）棱柱的底面是一个矩形，它的对角线相等。
（3）棱柱的所有顶点以及边界上的点都在一个平面上。
（4）棱柱的表面积等于2倍的底面积加上侧面积。
（5）棱柱的体积等于底面积乘以高。
二、棱锥的定义和性质1. 定义棱锥是一个由一个多边形底和以该多边形的边为母线的三角形（侧）所组成的多面体。
2. 性质（1）棱锥的底面是一个多边形，它的对角线相等。
（2）棱锥的侧面是由一个三角形或多边形和若干个三角形组成的。
（3）棱锥的顶点在一个点上。
（4）棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。
（5）棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱和棱锥在建筑和数学等领域都有广泛的应用。
2. 在建筑中，棱柱和棱锥的形状被用于制作大多数建筑物的立面和结构。
3. 在数学中，学生们学习如何计算棱柱和棱锥的表面积和体积，以及掌握各种几何公式。
4. 棱柱和棱锥也被广泛应用于各种工程和物理学中的计算和建模。
结论：通过对本文的阅读，读者可以更好地理解和认识棱柱和棱锥的定义、性质和应用。
它们的形状和性质有一些差异，但都是几何学中重要的多面体。
希望本文可以帮助读者更好地掌握这一知识点。
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性棱柱和棱锥是几何学中常见的立体形体，它们具有各自独特的特性和性质。
本文将介绍棱柱和棱锥的定义、特征，以及它们在实际生活中的应用。
一、棱柱的定义及特性棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面的立体形体。
在棱柱中，底面的边与顶面的对应边垂直，并且所有相连的顶点通过垂线连接。
棱柱的侧面由这些垂线与底面边组成，形成了一系列平行四边形或矩形。
棱柱的特性如下：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，可以是三边形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱柱的类型。
2. 侧面：棱柱的侧面由底面的边和顶面的对应边连接而成。
侧面的形状是平行四边形或矩形，并且对应边相等。
3. 高度：棱柱的高度是指底面与顶面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积乘以高度来计算。
5. 表面积：棱柱的表面积由底面的面积、顶面的面积和侧面的面积之和组成。
棱柱在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑物中的柱子、筒形容器等都属于棱柱的范畴。
二、棱锥的定义及特性棱锥是一种具有一个多边形底面和一个顶点的立体形体。
与棱柱类似，棱锥的底面的边也与顶面的对应边垂直。
棱锥的侧面由底面边与顶点相连而成，形成了一系列三角形。
棱锥的特性如下：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱锥的类型。
2. 侧面：棱锥的侧面由底面的边和顶点连接而成。
侧面的形状是一系列的三角形。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接侧面的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是指底面与顶点之间的垂直距离。
5. 体积：棱锥的体积可以通过底面的面积乘以高度再除以3来计算。
6. 表面积：棱锥的表面积由底面的面积、侧面的面积之和组成。
棱锥也广泛应用于现实生活中，例如圆锥形的麦克风、冰淇淋的锥形外形等都是棱锥的例子。
总结：本文介绍了棱柱和棱锥的定义、特性以及在实际生活中的应用。
棱柱具有两个平行且相等的底面，侧面由垂线连接形成平行四边形或矩形；棱锥具有一个底面和一个顶点，侧面由底面边与顶点相连形成三角形。
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C.5
D.6
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以
该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为
（B）
A. 2
B. 2
C. 3
D.2
6
3
3
3
解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个
正四棱锥的高为 2 ，所以 V 2 1 1 2 2 .
知能迁移3 如图，四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°， PA=AD=DC=2，AB=4.
（1）求证：BC⊥PC； （2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值； （3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. 答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结 论.
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
（C）
A.2 3
B. 14
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
2
3 23
5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 3 ，则一条侧
棱到与它相对的面之间的距离为
（ D）
A.1
B. 2
C. 3
D. 6
解析 由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3, h
若设底面三角形的边长为a，则有 3 a2 2 3, 所 4
以a=2 2 ，故侧棱到相对面的距离为 3 a 6. 2
2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN.
设MN∩AC=Q，连结PQ，
则平面PAC∩平面PMN=PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，
则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离，
作AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，PA=a, AQ 3 AC 3 2 a,
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.
其中真命题为
（写出所有真命题的序号）.
思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 ①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； ②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
知能迁移2 如图所示，四棱锥P— ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD， E为侧棱PD的中点.
（1）求证：PB∥平面EAC； （2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点， ∴OE∥PB，且OE 平面EAC，PB 平 面EAC，∴PB∥平面EAC. （2）方法一 ∵ABCD是矩形， ∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD，
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点, ∴EF∥AB1. ∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
题型一 棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它
为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5
个命题中：
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补；
③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
证明 （1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C. 在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1. 证明如下：
互相平行的面
多边形
侧面
其余各面
侧棱
两Байду номын сангаас侧面的公共边
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= ；1
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2.
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ； ②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等 腰三角形 ； ④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.
§9.5 棱柱、棱锥的概念和性质
基础知识 自主学习
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义
定义
棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱
棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面
高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积与底面积之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是
（ C）
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体一定是正四棱柱
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. 又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.