《点集拓扑学》复习题.docx

《点集拓扑》复习题

一、概念叙述

1、拓扑空间

2、邻域、邻域系

3、集合A的凝聚点

4、闭包

5

基子基6、子空间

7、(有限)积空间8、隔离了集9、连通集

10、连通集11、连通分支12、局部连通空间13、人空间14、%空间15、可分空间

16> Lindeloff空间17、7；空间(/

=

：1,2,3,4)18、正则空间

19、正规空间20、紧致空间21、可数紧空间

22、列紧空间23、序列紧空间24、局部紧空间

二、判断题

1、有限集不可能有聚点( )

2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A = A ()

3、女口果贝= ()

4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。()

5、若是同胚映射，贝lj f(X)= Y ( )

6、离散空间屮任意子集的导集都是空集(

7、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）

8、度量空间必是血空间（）

9、在尺屮，仏叶是开集（）

1 0、映射f：X^Y是连续映射的o若拓扑空间X中序列匕｝收敛于xeX,贝时卜拓空间Y中和应序列｛/&）｝收敛于/⑴（）

1 1、设X为拓扑空间，C为连通分支，Y是X的一个连通子集，则丫u c （）

1 2、％空间必为可分空间（）

1 3、止则且止规空间必为7；空间（）

1 4、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）

1 5、设X是一个拓扑空间，AuX,则点兀是集合A的一个凝聚点o在

A - ｛”中有一个序列收敛于兀（）

1 6、度量空间也是拓扑空间（）

1 7、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）

1 8、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当X屮不存在既开又闭的非

空真子集.（）

19、若拓扑空间中的子集A是连通集，则它的闭包方也是一个连通集。

20、设A、B是拓扑空间X屮的两个连通子集，则A 58也是X的一个连通子集（）

21、如果人、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，贝剧、B必是X 中隔离子集（）

22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性（）

23>正规空间必是Hausdorff空间（）

24、在一个紧致的石空间中，一个集合是紧致子集o它是一个闭集

（）

25、紧空间必是Lindelof空间（）

26、度量空间中紧致集必是有界闭集（）

27、正则空间必是Hausdorff空间（）

28、设X = X”2是空间X］、X?的积空间，A U X\,B U X2分别是X|、X2中闭集（）

29、设A、3是拓扑空间X中两个子集，并且则有d（AcB）= d

（A）cd（B）（）

30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间（）

三、填空

1、设f：X->Y是同胚映射，则/必是一一映射，并且—和—都是

连续的。

2、_______________________________________________ 设丫是拓扑空间(x,s)的子集，卩的拓扑亂称为_____________________ ；拓扑空

间(r,3|r)称为(x,® 的________ o

3、连通空间X中既开又闭的子集只能是—和—o

4、_______________________________ 设X是拓扑空间，若X的每一_______________________________ 覆盖都有一个 ___________ ,

则X是Lindelof空间。

5、___________________________ 止规的—空间或紧致的空间是7；空间。

6、_____________________________X是拓扑空间。若X的每一个开覆盖都有________________________,则X是

可数紧致空间。

7、______________________________________________________ 如果4是离散空间X中一个非空连通子集，则力必是_____________ o

8、

如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是_______ o

9、设X是离散度量空间，X上度量为= 则*中任一点

[0,兀=儿

x的球形邻域B(x,l) = _________ o

10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则A-3是—

B-A是 _______ o

11、设(X,3)是实数集上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是

X中一个不可数集，贝 _______________________________ o 12、如果集合X上的任一拓扑3,拓扑空间(X,3)都是紧致空间,则

X必是 _______________ o

13、在平面空间F中，度量。定义为任意两点

d =(旺,兀2)# = ()1』2),°(")=卜]-开| +卜2 -力|，贝U以原

点O为中心，£>0为半径的球形邻域3(0,可的图形是__ o 14、积空间X = X,xX2的子基元素的一般形式是

或_________ O

15、设y = [0,l)u[2,3)是实数空间/?的一个子空间，则0的子集[0,1)是F的__________ O

16、_____________________________________________________ 在实数空间/?中，取A为整数集，B为有理数集，则丄___________ ,

B = __________ o

17、^X={a9b y c} , X 上拓扑3 = {0,X,仏b}},取子集A = {b}9则

d (A)二________ o

18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖A,必有有限子覆盖人= ___________ O

四、单选题

1、设X={a,b,c},它的一个拓扑是()

(A){0,{d},{d,b},{d,b,c}} (B) {0,{b},{c},{a,b,c}}

(C) {0,{a,b},{a,c},{a,b,c}} (£>) {0,{a}{b},{c},{a,b y c}}

2、设X是拓扑空间，F为所有闭集构成的族，则有（）.

(4)若 A.G F (i = l,2,L)则有A,U A2U L uA fl uL e F

(B)若A, wF (心

1,2,L )

则有A t c A2C L C A n cL G F (C)0,X《F(D)若AwF 贝iJX-AeF

3、设X为拓扑空间，则对PA,BuX ,必有().

(A) 0 = X (B) AczA (C) AUB = AnB (D)灭是闭集

4、设X为拓扑空间，"X,则有（）・