灰色系统理论建模全教程
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基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
10
2.2 灰色生成
将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在 规律。
令x(0)为原原始始数序列列：,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)], 特点：杂乱无章
记生成数为x(1) , x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如果
公理2、解的非唯一性原理。 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际
问题所遵循的基本法则。 公理3、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。 信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。 公理6、灰性不灭原理 “信息不完全”是绝对的。
A
不确定的简单问题
半确定的简单问题
A——简单事物 B——复杂事物 C——确定性事物 D——不确定性事物
4
自组织理论 B
系统科学
非线性科学
C 运筹学
D 灰色理论
数学
概论统计
A
模糊数学
逻辑与直觉思维
5
树高在20米至30米
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
6
灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。 差异即信息，凡信息必有差异。
k为介于［0，1］区间上的灰数
△ij(t)=｜xi(t)-xj(t)｜
19
例.给出下列数列
x0=﹙20，22，40﹚ x1=﹙30，35，55﹚ x2=﹙40，45，43﹚
试求两级最小差与两级最 大差。
解：先求两级最小差 对于i=1时 t=1， ｜x0(1)-x1(1)｜= ｜20-30｜=10 t=2， ｜x0(2)-x1(2)｜= ｜22-35｜=13 t=3， ｜x0(3)-x1(3)｜= ｜40-55｜=15 min ｜x0(k)-x1(k)｜= min（10，13，15）=10 对于i=2时， t=1， ｜x0(1)-x2(1)｜= ｜20-40｜=20 t=2， ｜x0(2)-x2(2)｜= ｜22-45｜=23 t=3， ｜x0(3)-x2(3)｜= ｜40-43｜=3 min ｜x0(k)-x2(k)｜= min（20，23，3）=3 minmin ｜x0(k)-xi(k)｜= min（10，3）=3
2.2 灰色生成
将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在 规律。
令x(0)为原原始始数序列列：,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)], 特点：杂乱无章
记生成数为x(1) , x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如果
公理2、解的非唯一性原理。 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际
问题所遵循的基本法则。 公理3、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。 信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。 公理6、灰性不灭原理 “信息不完全”是绝对的。
A
不确定的简单问题
半确定的简单问题
A——简单事物 B——复杂事物 C——确定性事物 D——不确定性事物
4
自组织理论 B
系统科学
非线性科学
C 运筹学
D 灰色理论
数学
概论统计
A
模糊数学
逻辑与直觉思维
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树高在20米至30米
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
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灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。 差异即信息，凡信息必有差异。
k为介于［0，1］区间上的灰数
△ij(t)=｜xi(t)-xj(t)｜
19
例.给出下列数列
x0=﹙20，22，40﹚ x1=﹙30，35，55﹚ x2=﹙40，45，43﹚
试求两级最小差与两级最 大差。
解：先求两级最小差 对于i=1时 t=1， ｜x0(1)-x1(1)｜= ｜20-30｜=10 t=2， ｜x0(2)-x1(2)｜= ｜22-35｜=13 t=3， ｜x0(3)-x1(3)｜= ｜40-55｜=15 min ｜x0(k)-x1(k)｜= min（10，13，15）=10 对于i=2时， t=1， ｜x0(1)-x2(1)｜= ｜20-40｜=20 t=2， ｜x0(2)-x2(2)｜= ｜22-45｜=23 t=3， ｜x0(3)-x2(3)｜= ｜40-43｜=3 min ｜x0(k)-x2(k)｜= min（20，23，3）=3 minmin ｜x0(k)-xi(k)｜= min（10，3）=3
灰色系统理论-3
⊗1 = αa + (1 − α )b, α ∈ (0,1), ⊗ 2 = β a + (1 − β )b, β ∈ (0,1)
~ ~
~
1 2
而得到的白化值称为等权均值白化。 等权均值白化。 等权均值白化 (a<b,c<d)
当 α = β 时称 ⊗1与⊗2 取数一致 取数一致；当 α ≠ β 时，称为取数不一致 取数不一致。 取数不一致 定义1.1.10：如果用f(x)表示灰数⊗(x)上不同x的数，则称f(x)为 ： 定义 ⊗(x)的白化函数或白化权函数 白化函数或白化权函数。 白化函数或白化权函数
⊗(A(⊗) B(⊗))=(⊗A(⊗)) B(⊗) = A(⊗))(⊗B(⊗) )
15
命题1.3.4 灰矩阵A(⊗)的幂运算 幂运算规则： 命题 幂运算 Ak(⊗) Al(⊗) ＝ Ak+l(⊗)
1.3 灰矩阵
(Ak(⊗))l =Akl(⊗)，其中为k，l为正整数
⊗ ⊗ 注：灰矩阵乘法不满足交换律，所以当A(⊗), B(⊗)∈Gn×n, 一般地， ( A(⊗) B(⊗)) k≠ Ak(⊗)Bk (⊗) 。 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
1.3 灰矩阵
⊗ 22 ⋱ ⊗ nn
的灰矩阵称为对角灰阵 对角灰阵，其中未标出的元素全为零，对角灰阵记 对角灰阵 为diag[⊗11, ⊗22,, ⋯, ⊗nn] 。 ⊗ 命题1.3.6 对角灰阵有以下运算性质 命题 对角灰阵 运算性质： 运算性质
同阶对角灰阵的和、差仍为对角灰阵。 灰数与对角灰阵的数量乘积仍为对角灰阵。 同阶对角灰阵的乘积仍是对角灰阵，且乘法可交换。 对角灰与其转置灰阵相等。
5
定理1.1.1：区间灰数不能相消、相约。 ： 定理 例：设⊗∈[1, 2], 则 ⊗-⊗＝ ＝0， 取数一致； ∈[-1, 1]，取数不一致. ⊗/⊗＝ ＝1， 取数一致； ∈[1/2, 2]，取数不一致.
~ ~
~
1 2
而得到的白化值称为等权均值白化。 等权均值白化。 等权均值白化 (a<b,c<d)
当 α = β 时称 ⊗1与⊗2 取数一致 取数一致；当 α ≠ β 时，称为取数不一致 取数不一致。 取数不一致 定义1.1.10：如果用f(x)表示灰数⊗(x)上不同x的数，则称f(x)为 ： 定义 ⊗(x)的白化函数或白化权函数 白化函数或白化权函数。 白化函数或白化权函数
⊗(A(⊗) B(⊗))=(⊗A(⊗)) B(⊗) = A(⊗))(⊗B(⊗) )
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命题1.3.4 灰矩阵A(⊗)的幂运算 幂运算规则： 命题 幂运算 Ak(⊗) Al(⊗) ＝ Ak+l(⊗)
1.3 灰矩阵
(Ak(⊗))l =Akl(⊗)，其中为k，l为正整数
⊗ ⊗ 注：灰矩阵乘法不满足交换律，所以当A(⊗), B(⊗)∈Gn×n, 一般地， ( A(⊗) B(⊗)) k≠ Ak(⊗)Bk (⊗) 。 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
1.3 灰矩阵
⊗ 22 ⋱ ⊗ nn
的灰矩阵称为对角灰阵 对角灰阵，其中未标出的元素全为零，对角灰阵记 对角灰阵 为diag[⊗11, ⊗22,, ⋯, ⊗nn] 。 ⊗ 命题1.3.6 对角灰阵有以下运算性质 命题 对角灰阵 运算性质： 运算性质
同阶对角灰阵的和、差仍为对角灰阵。 灰数与对角灰阵的数量乘积仍为对角灰阵。 同阶对角灰阵的乘积仍是对角灰阵，且乘法可交换。 对角灰与其转置灰阵相等。
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定理1.1.1：区间灰数不能相消、相约。 ： 定理 例：设⊗∈[1, 2], 则 ⊗-⊗＝ ＝0， 取数一致； ∈[-1, 1]，取数不一致. ⊗/⊗＝ ＝1， 取数一致； ∈[1/2, 2]，取数不一致.
灰色模型GM1-N及其应用ppt课件
dX
(1) 1
dt
aX
(1) 1
b1
X
(1) 2
b2
X
(1) 3
bN
1
X
(1) N
这个微分方程模型记为 GM（1,N）。
（1）
方程（1）的参数列记为 (a,b1,b2 ,bN1)T ，
再设 YN
，将方程（1）
(
X
( 1
0)
(2),
X
(0) 1
(3),,
X
(0 1
)
(n)) T
按差分法离散，可得到线性方程组，形如
YN Bˆ
按照最小二乘法，有
（2）
ˆ (BT B)1 BT YN
（3）
其中，利用两点滑动平均的思想，最终 可得矩阵
B
1 2
(
X
(1) 1
(1)
X (1) 1
(2))
1 2
(
X
(1) 1
(2)
X (1) 1
(3))
X
(1) 2
(2)
X
(1) N
(2)
X
(1) 2
(3)
X
(1) N
(3)
§3 灰色模型 GM(1,N)及其应用
客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般 都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成 数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系 统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机 性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以 对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方 程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系 数。
来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对
有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做
第六章：灰色系统建模
xˆ(1) (k 1) (x(0) (1) b )eak b ; k 1, 2, , n
a
a
4、还原值
x(0) (k 1) (1) x(1) (k 1) x(1) (k 1) xˆ(1) (k)
定义 6.3.5 称GM（1，1）模型中的参数 a 为发展系数， b 为灰色作用量。
应用灰色系统理论建立ＧＭ(1,1)灰 色动态模型,对西藏红豆杉小枝叶量 与胸径之间的关系进行研究,在此基 础上,对西藏红豆杉小枝叶蕴藏量及 可采量进行估测
☆我国铁路货车需求量预测
要对货车的需求量直接进行 预测是比较困难的,所以选择 对货物的周转量进行预测,然 后根据周转量与货车数的对 应关系预测货车的需求量。 根据铁路货物周转量预测的 特点,结合收集的相关资料,在 对各种预测方法进行分析比 选的基础上,我们选择先用灰 色预测ＧＭ(1,1)进行货物周 转量预测。
其中 z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1); k 2, 3, , n
若 aˆ (a, b)T 为参数列，且
x(0) (2)
z(1) (2) 1
Y
x(
0)
(3)
,
B
z
(1)
(3)
1
x(0)
(n)
时，则称背景取值与导数成分满足平射关系。 定理 6.2.1 微分方程构成的条件有以下三条： 1、信息浓度无限大； 2、背景值是灰数； 3、导数与背景值满足平射关系；
6.3 GM（1，1）模型
定义 6.3.1 称 d (i) (ki ) ax(1) (ki ) b 为灰色微分方程。
《数学建模灰色模型》PPT课件
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
精选ppt
35
灰建模实例： 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 年份
Leq 序号
年份
Leq
1
1986
71.1 5
1990
71.4
2
1987
72.4 6
1991
72.0
精选ppt
6
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
精选ppt
7
Байду номын сангаас
树高在20米至30米
精选ppt
8
表1.1 三种不确定性方法的比较
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统
概率统计
模糊数学
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
灰色朦胧集 康托集
模糊集
信息覆盖
映射
精选ppt
13
二、灰色系统模型
通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描 述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预 测学分支之一。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定 幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机 过程看成灰色过程。
精选ppt
14
灰色模型的优点:
映射
灰序列生成 频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律 认知表达
小样本
大样本
凭借经验
精选ppt
9
基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于19 世纪80年代初创立并发展的理论，20多年来，灰 色系统理论已成功应用到工业、农业、社会、经 济等众多领域，解决了生产、生活和科学研究中 的大量实际问题。
3
确定的复杂问题
半确定的复杂问题
B
不确定的复杂问题
确定的半复杂问题 C
D 不确定的半复杂问题
确定的简单问题
14
例：某地区1998—2004年总收入，工业收入，农业收入
年份 1998 总收入 18 工业收入 10 农业收入 3
1999 20 15 2
2000 22 16 5
2001 40 24 10
2002 44 28 12
（单位：亿元）
2003 2004
48
60
40
50
8
10
15
70
60
50
40
30
累加生成 (1)与x(0)之间满足如生下成关方系式: 累减生成
映射生成
令x(0)为原始序列,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)],
记生成生数成为数x列(1)：, x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如特果点：规律性强
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
总收入 工业收入 农业收入
16
3.1 数据列的表示方式
作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列
常用x0表示。不同时刻数据表示为：
xo=( x0 (1) , x0 (2) , … , x0 (n) )
序号
1
2
3
4
3
确定的复杂问题
半确定的复杂问题
B
不确定的复杂问题
确定的半复杂问题 C
D 不确定的半复杂问题
确定的简单问题
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例：某地区1998—2004年总收入，工业收入，农业收入
年份 1998 总收入 18 工业收入 10 农业收入 3
1999 20 15 2
2000 22 16 5
2001 40 24 10
2002 44 28 12
（单位：亿元）
2003 2004
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累加生成 (1)与x(0)之间满足如生下成关方系式: 累减生成
映射生成
令x(0)为原始序列,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)],
记生成生数成为数x列(1)：, x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如特果点：规律性强
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总收入 工业收入 农业收入
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3.1 数据列的表示方式
作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列
常用x0表示。不同时刻数据表示为：
xo=( x0 (1) , x0 (2) , … , x0 (n) )
序号
1
2
3
4
灰色系统模型详细教程.
灰色系统建模
§1 §2 §3 §4 §5 灰色系统理论概述 灰色GM(1.1)模型 序列光滑度的理论分析 灰色GM(1.1)优化模型分析 灰色模型的应用
§1 灰色系统概述
• 1.1 灰色系统理论的产生及发展动态 • 1.2 灰色系统的研究内容 • 1.3 灰色系统理论在建模中的应用
1.1 灰色系统理论的产生及发展动态
2.1.4 级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法 .对数列端点值的生成,我们无法采用好的灰指数律.级比生成是级比(k)与光 滑比(k)生成的总称.
设序列X
(0)
[ x (1), x (2),
(0) (0)
, x (n)]为原始序列,
(0)
穴的序列, 若用 (1)右邻的级比生成x (0) (1), 用 ( n)的 左邻级比生成x (0) ( n), 则称x (0) (1)和x (0) ( n)为级比生成
2.2 GM(1.1)模型建模机理
灰色系统是对离散序列建立的微分方程, GM (1.1)是 一阶微分方程模型,其形式为:
dx x ( t t ) x ( t ) lim 由导数定义知 : dt t 0 t
收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法 构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也 表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗 糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下 ，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对 象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它 的局限性，只适应于一些特有的模糊系统。 经典控制理论、现代控制理论和模糊控制 理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对 象系统必须是白色系统（信息完全确知的系统 ），而事实上，无论是自然系统还是社会系统 ，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有 生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息
§1 §2 §3 §4 §5 灰色系统理论概述 灰色GM(1.1)模型 序列光滑度的理论分析 灰色GM(1.1)优化模型分析 灰色模型的应用
§1 灰色系统概述
• 1.1 灰色系统理论的产生及发展动态 • 1.2 灰色系统的研究内容 • 1.3 灰色系统理论在建模中的应用
1.1 灰色系统理论的产生及发展动态
2.1.4 级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法 .对数列端点值的生成,我们无法采用好的灰指数律.级比生成是级比(k)与光 滑比(k)生成的总称.
设序列X
(0)
[ x (1), x (2),
(0) (0)
, x (n)]为原始序列,
(0)
穴的序列, 若用 (1)右邻的级比生成x (0) (1), 用 ( n)的 左邻级比生成x (0) ( n), 则称x (0) (1)和x (0) ( n)为级比生成
2.2 GM(1.1)模型建模机理
灰色系统是对离散序列建立的微分方程, GM (1.1)是 一阶微分方程模型,其形式为:
dx x ( t t ) x ( t ) lim 由导数定义知 : dt t 0 t
收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法 构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也 表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗 糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下 ，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对 象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它 的局限性，只适应于一些特有的模糊系统。 经典控制理论、现代控制理论和模糊控制 理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对 象系统必须是白色系统（信息完全确知的系统 ），而事实上，无论是自然系统还是社会系统 ，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有 生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息
《灰色系统建模》PPT课件
5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：
8．如到r0果劣1 不依0考次.7虑为781各号指1，.标050权号0重， （30号.7认，7为86各号0指，.67标23号6同，等04重号.46要．7），0.六33个3 被 1评.0价00对象0由.7好13
18987529 27875738 39796647 46888436 58669838 68957648
3．确定参考数据列：
4．计算 {x0} {9,， 见下9表, 9, 9, 8, 9, 9}
x0(k) xi (k)
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
1
10123702
2
1
2
xi k , i xi 1
0 ,1,
, n；k
s
（4）采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．
1, 2 ,
, m.
例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转 化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可 进行如下计算：
解之得，即80%转化为7．
1
0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000
2
0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538
灰色系统理论建模全教程精选全文
相对误差检验法
设按GM (1.1)建模法已求出Xˆ (1) ,并将Xˆ (1)做一次累
减转化为Xˆ (0) ,即
Xˆ (0) [ xˆ (0) (1), xˆ (0) (2), , xˆ (0) (n)]
(2 31)
计算残差得
E [e(1), e(2), , e(n)] X (0) Xˆ (0)
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
n k1
n k1
计算后验差比为
C S2 / S1
计算小误差概率为
p P e(k) e 0.6745S1
(2 36)
(2 37)
指标C和p是后验差检验的两个重要指标.指标C越小 越好, C 越小表示S1大而S2越小.S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
小误差概率p 0.95<=p
2级（合格） 0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
3级（勉强） 0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
4级（不合格 0.65<C
P<0.70
于）是,模型的精度级别 Max p的级别,C的级别
关联度检验法
灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状
设按GM (1.1)建模法已求出Xˆ (1) ,并将Xˆ (1)做一次累
减转化为Xˆ (0) ,即
Xˆ (0) [ xˆ (0) (1), xˆ (0) (2), , xˆ (0) (n)]
(2 31)
计算残差得
E [e(1), e(2), , e(n)] X (0) Xˆ (0)
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
n k1
n k1
计算后验差比为
C S2 / S1
计算小误差概率为
p P e(k) e 0.6745S1
(2 36)
(2 37)
指标C和p是后验差检验的两个重要指标.指标C越小 越好, C 越小表示S1大而S2越小.S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
小误差概率p 0.95<=p
2级（合格） 0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
3级（勉强） 0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
4级（不合格 0.65<C
P<0.70
于）是,模型的精度级别 Max p的级别,C的级别
关联度检验法
灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状
灰色系统理论建模全教程g课件
对于一些复杂的系统，灰色系统理论可以通过建立简洁的模 型来刻画其主要特征，从而实现对系统的有效分析和控制。
灰色模型的构建步骤
确定建模目标
明确建模的目的和需要解决的问题， 确定模型的输出和输入变量。
建立灰色模型
对建立的灰色模型进行检验，包括残 差分析、后验差检验等，根据检验结 果对模型进行优化和调整。
灰色系统理论建模全教程g课件
$number {01}
目录
• 灰色系统理论概述 • 灰色系统建模方法与步骤 • 灰色预测模型 • 灰色关联分析 • 灰色决策模型 • 案例分析与实战演练
01
灰色系统理论概述
灰色系统的定义与特点
定义
灰色系统是指信息不完全、结构不明 确、关系不清晰的系统。
特点
灰色系统具有不确定性、模糊性、动 态性和复杂性等特点。
数据预处理
对原始数据进行清洗、整理，去除异 常值和噪声，使数据更符合灰色模型 的建模要求。
模型检验与优化
根据具体问题和数据特点，选择合适 的灰色模型进行建模，确定模型的参 数和结构。
灰色模型的适用性分析
适用于少数据、贫信息的情况
灰色模型能够在数据量较少、信息不完全的情况下进行建模和预测，适用于一些难以获取大量数 据的领域。
灰色系统理论的发展与应用
发展历程
灰色系统理论起源于20世纪80年代，经过多年的发展，已形成一套完整的理论体系和方法体系。
应用领域
灰色系统理论广泛应用于经济、管理、工程、环境等多个领域，用于解决实际问题中的不确定性和复杂性。
与其他系统理论的比较
01
与传统系统理论比较：传统系统理论通常要求 系统信息完全、结构明确，而灰色系统理论能 够处理信息不完全、结构不明确的系统问题。
灰色模型的构建步骤
确定建模目标
明确建模的目的和需要解决的问题， 确定模型的输出和输入变量。
建立灰色模型
对建立的灰色模型进行检验，包括残 差分析、后验差检验等，根据检验结 果对模型进行优化和调整。
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$number {01}
目录
• 灰色系统理论概述 • 灰色系统建模方法与步骤 • 灰色预测模型 • 灰色关联分析 • 灰色决策模型 • 案例分析与实战演练
01
灰色系统理论概述
灰色系统的定义与特点
定义
灰色系统是指信息不完全、结构不明 确、关系不清晰的系统。
特点
灰色系统具有不确定性、模糊性、动 态性和复杂性等特点。
数据预处理
对原始数据进行清洗、整理，去除异 常值和噪声，使数据更符合灰色模型 的建模要求。
模型检验与优化
根据具体问题和数据特点，选择合适 的灰色模型进行建模，确定模型的参 数和结构。
灰色模型的适用性分析
适用于少数据、贫信息的情况
灰色模型能够在数据量较少、信息不完全的情况下进行建模和预测，适用于一些难以获取大量数 据的领域。
灰色系统理论的发展与应用
发展历程
灰色系统理论起源于20世纪80年代，经过多年的发展，已形成一套完整的理论体系和方法体系。
应用领域
灰色系统理论广泛应用于经济、管理、工程、环境等多个领域，用于解决实际问题中的不确定性和复杂性。
与其他系统理论的比较
01
与传统系统理论比较：传统系统理论通常要求 系统信息完全、结构明确，而灰色系统理论能 够处理信息不完全、结构不明确的系统问题。
系统建模灰箱方法优秀PPT
2.2 一般最小二乘法原理及算法
ZmHmVm
最小二乘估计虽然不能满
ˆ(H m TH m)1H m TZm 足式 Zm Hm Vm 中的每一个
z
方程，使每个方程都有偏差，但
它使所有方程偏差的平方和达
到最小，兼顾了所有方程的近似
f (t)
程度，使整体误差达到最小，这
对抑制测量误差 v(i)(i 1,, m)
tN
R2
RN 1
RN
Rabt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
v iy i R i或 v i＝ y i a bi t
2.1 利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
N
N
Jmi n vi2 [Ri (abi)t2 ]
(H m TH m ) 1H m TE (V m ) 0
如果由测量噪声及模型误差等引起的误差V 的均值为0，且
V与输入矢量Hm是统计独立，最小二乘的估计值是无偏的。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
(2) 最小二乘估计为有效估计。
E ( ~ ~ T ) ( H m T H m ) 1 H m T R m ( H m T H H m ) 1
Input
t(℃) 20 32 51 73 88 95
Process
Rab tv
a, b
Output
R(Ω) 765 826 873 942 1010 1032
1、问题的提出
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。
Input
Process
Output
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一、灰色系统理论的产生和发展动态
1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文 论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这 一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关 研究迅速发展。
一、灰色系统理论的产生和发展动态
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》， 同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创 刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统 论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。 国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500 多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农 业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学 领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的 大量实际问题，取得了显著成果。
三、灰色系统的应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。
灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统 的一个新型的理论工具。
四、灰色系统理论建模的主要任务
第一节：关联分析
区分白色系统于灰色系统的重要标志是系统 内各元素之间是否具有确定的关系
运动学中物体运动的速度，加速度与其所受 到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确 的定量来阐明，因此。物体的运动便是一个 白色系统。
二、灰色系统的基本概念
作为实际系统，灰色系统在世界中是大量存在的，绝对的 白色或黑色系统是很少的，尤其在社会经济领域，如粮食 作物的生产等。
三、灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过20多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
Step 2. 将各个数量按照其对参照数列的意义初始化 Step 3. 将初始化后的数列代入(8-1)和(8-2)，即先求 出关联系数，然后在关联系数的基础上求出关联度。
应用举例
Step 4. 对关联度依据大小排序，给出分析结果。
应用举例
例：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进 行综合评价
1．评价指标包括：专业素质、外语水平、 教学工作量、科研成果、论文、著作与出 勤．
2．对原始数据经处理后得到以下数值， 见下表
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
18987529
27875738
39796647
46888436
58669838
68957648
3．确定参考数据列：
{x0} {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}
4．计算 x0(k) xi(k) ， 见下表
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
1
1
0
1
2
3
7
0
2
2
1
2
4
1
6
1
3
0
2
0
3
2
5
2
4
3
1
1
1
4
6
3
5
1
3
3
0
0
6
1
6
1
0
4
2
2
5
1
5．求最值
nm
min min i1 k 1
x0 (k)
xi (k)
min(0,1, 0,1, 0, 0)
0
nm
max max i1 k 1
灰色系统理论与应用
项目
三种不确定性系统研究方法的比较分析
(灰色系统理论、概率统计、模糊数学)白色系统
灰色系统
概率统计
模糊数学
研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
基础集合 灰色朦胧集
康托集
模糊集
方法依据
信息覆盖
映射
映射
途径手段 灰序列算子
频率统计
截集
数据要求
任意分布
典型分布
隶属度可知
侧重点
概率统计研究的是“随机不确定”现象着重于考察“随
机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结 果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计、模糊数学所难以解决
的“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖， 通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少 数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。比如说到2050 年，中国 要将总 人口控制在15 亿到16 亿之间，这“15 亿到16 亿之”是一个 灰概念，其外延是很清楚的，但如果要进一步问到底是15 亿 到16 亿之间的哪个具体数值， 则不清楚。
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
二、灰色系统的基本概念
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
二、灰色系统的基本概念
x0 (k) xi (k)
max(7,6,5,6,6,5)
7
6． ＝0.5 取计算，得
1(1)
0 0.5 7 1 0.5 7
内涵
内涵
外延
（不明确）
目标
现实规律 历史统计规律 认知表达
特色
小样本
大样本
凭经验
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对
象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。比如“年轻 人”就是一个模糊概念。因为每一个人都十分清楚“年 轻人”的内涵。但是要让你划定一个确切的范围，在这 个范围之内的是年轻人，范围之外的都不是年轻人，则 很难办到。因为年轻人这个概念外延不明确。对于这类 内涵明确、外延不明确的“认知不确定”问题，模糊数 学主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。灰色系统与 模糊数学的区别主要在于对系统内涵与外延的处理态度 不同，研究对象内涵与外延的性质不同。“灰色”概念 着重研究外延明确、内涵不明确的对象; “模糊”概念则 是研究内涵明确而外延不明确的对象。