初中数学 菱形的判定 课件.ppt

求证:四边形AFCE是菱形
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AE∥FC（ ①
）
∴ ∠1＝∠2．（ ② ）
∵ EF平分AC，
∴ AO＝OC．
又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ △AOE≌△COF（ ③ ），
∴ EO＝FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ ）
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）
A
B
D
3.判断对错：
C
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （ ）
（3）对角线垂直的矩形是菱形。
（）
（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ）
（5）有一条对角线平分一组对角的四边形
是菱形。
（）
P116习题20.3 1． 如图，AD是△ABC的一条角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形 证A明E：DF∵是D菱E形∥A. C交AB于点E， DF∥AB交AC于点F
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知 ABCD中，对角线AC、BD互相垂 直，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD 中，OA＝OC
（
①
）．
又∵AC⊥BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形
（
②
）．
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD、BC分别交于点E、F，
∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形
∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC
∴四边形ABCD是菱形
问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？
∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE
∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
3． 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、 BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积． （提示： 利用两数和的平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）
（第 3 题）
∴四边形AEDF是平行四边形且 ∠EDA=∠DAF
∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
（第 1 题）
∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED（等角对等边）
∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边 相等的平行四边形是菱形）
2． 如图，△ABC中，AB＝ AC，点D是BC的中点， DE⊥AC于E，DG⊥AB于 G，EK⊥AB于K， GH⊥AC于H，EK和GH相 交于点F．求证： 四边形 DEFG是菱形．
1． 证明： 四条边都相等的四边形是菱形．见前面
2． 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？ 说说你的理由.
解：是菱形，因
为这个四边形的
对角线相互垂直 平分行。
1、下列说法正确的是（ D ） A、邻角相等的四边形是菱形 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
A
已知：AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
B
D
∵AB=CD,BC=AD
C
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
（有一组邻边相等的平行
四边形是菱形）
拓展
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们 还可以得到判定菱形的方法：
20.3菱形的判定
复习：菱形的特殊性
边： 四边相等 角： 对角线平分一组对角 对角线： 对角线互相垂直平分
菱形的性质有： 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角
A
判定定理1：有一组邻边相等
B
O
D的∵平A行B四CD边形AB是=菱BC形
C
∴四边形ABCD是菱形
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行 证明．
小结：
菱形的证明方法
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形
P116练习
证明：∵ DE⊥AC于E， GH⊥AC于H
（第 2 题）
∴DE∥GH
∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K ∴DG∥EK
∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB＝AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD
∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度
在⊿BGD和⊿CED中，∵ ∠BGD=∠CED， ∠B=∠C，BD=CD
2、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线
AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。
求证：四边形ABCD是菱形。
A
证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5 B
∴AB2=AO2+BO2
O
D
∴△OAB是直角三角形
C
∴AC⊥BD
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形)