高考数学考点31数列求和必刷题理

考点31 数列求和
1．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。

帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为（）
A．B．C．D．
【答案】C
2．对于函数，部分与的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则
（）
A．7554 B．7549 C．7546 D．7539
【答案】A
3．已知是等差数列，，，，。

（1）求数列的通项公式；
（2）若单调递增，且的前项和，求的最小值。

【答案】（1）见解析；（2）11
【解析】（1）设公差为，，
，
因为，得，
解得或，
当时，,，
当时，,，
（2）若单调递增, 则，,
，
由不等式解得（且），
所以的最小值为11.
4．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和.
【答案】（1），即.
（2）
5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝(λ＋1)S n＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足a n b n＝log4a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<. 【答案】（1）；（2）证明见解析。

所以－，又n∈N*，
所以.
6．已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).
(1)证明：数列为等差数列;
(2)求T n=S1+S2+…+S n.
【答案】（1）见解析；（2）
7．已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；
若对，，求数列的前2n项的和．
【答案】（1）；（2）.
8．各项均为正数的数列满足：，是其前项的和，且.数列满足，.
（Ⅰ）求及通项；
（Ⅱ）若数列的前和为，求.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】（Ⅰ）在中，令得；令得；令得；
当时，
故①②得，
即数列是等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
记，则
两式相减得，
，又也符合，
，即
,
.
9．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且．
Ⅰ求；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
【答案】（1）（2）
10．在中，角，，的对边分别是，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列，求的前项和. 【答案】(1)(2)
11．已知等差数列{a n}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和．
【答案】(1)a n＝2n－1(2)T n＝
【解析】
(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．
由已知得解得
所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)b n＝，
所以. 12．已知数列的前项和为，向量满足条件
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）.
(2).
13．记为等差数列的前n项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
14．各项均为正数的数列的首项，前项和为，且. (Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】(Ⅰ)因为，①所以当时，，②得：，即，
因为的各项均为正数，所以，且，所以．
15．数列中，为前项和，且
（1）求证：是等差数列
（2）若是的前项和，求【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：
两式相减，，
数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
2、数列求和的裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1），当时，；
（2），当时，；
（3）
（4）
（5）
（6）
16．已知数列的前项和.
(1)求；
(2)求.
【答案】（1）；（2）
17．已知数列的前项和满足：,(为常数,）.
(1)求的通项公式；
(2)设,若数列为等比数列,求的值；
(3)在满足条件(2)的情形下,,若数列的前项和为,且对任意的
满足,求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) （3）.
18．正项等差数列满足，且成等比数列，的前n项和为．（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列公差为，由已知得：，
化简得：，解得：或（舍），
所以．
（2）因为，
所以，所以
＝
＝．
19．S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，
(Ⅰ)求{a n}的通项公式：
(Ⅱ)设，求数列}的前n项和
【答案】（I）（II）
20．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
．
21．等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为（），且，.
（1）求与；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），;（2）.
22．已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立．
（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）
23．数列的前项和为，已知，. （Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】（1）证明：∵，
∴，
24．已知数列满足,是其前项和，若，（其中），则的最小值是_________________.
【答案】
【解析】根据题意，由已知得：，
把以上各式相加得：，
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即：，，
则
即的最小值是，
故答案为：．
25．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则___________．
【答案】
灿若寒星。