第五章动态电路的时域分析§59激励为任意波形的响应与卷

§5.9 激励为任意波形的响应与卷积积分

5.9.1 卷积积分

首先，设两个相同函数)(1t f 和)(2t f ，且0

ξξξd f t f t f t f t

)()()()(20121⎰-=* （5-65） 1.交换律

如果令ξτ-=t ，则ξτd d -=，则有

ττξd t f t f t f t t t f ⎰⎰--=-021201)()()()(

τττd f t f t )()(102⎰-=

=)(*)(12t t f f

即 )()()()(1221t f t f t f t f *=* （5-66）

2.分配律

)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* （5-67）

3.结合律

)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** （5-68）

4.卷积的微分

dt t df t f dt t df t f dt t f t f d )()()()()]()([122121*=*=* （5-69） 卷积的积分

ξξξξξξξξd f f d f t f d f f t

t t

⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=*)()()()()()(122121 （5-70）

)()()(*)(2121t f t f d f dt

t df t *=⎰∞-ξξ （5-71） 5.9.2 任意输入的零状态响应

如果电路的激励)(t e 的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（0t ，t ），ξ表示从0t 到t 之间的任意时刻。对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt 的冲激激励波的叠加。首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示)(ξe 。把时间区间(0t ，t )分成相等的几段，每段宽度为△，即∆==-==-=-+ΛΛk k t t t t t t 11201。因此)(ξe 可以用图示中的阶梯曲线来近似表示，即可看成一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单

位脉冲函数，即)(ξ∆p 和)(k t p -∆ξ来表示。因此，可以用上述的矩形脉冲表示)(ξe ，即

+∆-+∆-+∆-=∆∆∆∆)()()()()()()(221100t p t e t p t e t p t e e ξξξξ ∆-++∆--∆-∆)()(...)()(...11n n k k t p t e t p t e ξξ

∆-=∆-=∑)()(10k n k k

t p t e ξ （5-78）

图6-52 )(ξe 的阶梯形近似描述

放电在单位矩形脉冲)(ξ∆p 激励下的零状态响应为)ξ（∆h ，对每一延迟的矩形脉冲

)(k t p -∆ξ,在时刻t 观察到的相应的响应将为）

（k t t h -∆，根据线性电路的齐次定理对∆-∆)()(k k t p t e ξ的响应将是∆-)()(k k t t h t e 。所以按叠加定理，式（5-78）的激励所产生的响应为

∆-=∑-=∆∆∆10)()()(n k k k t t h t e

t r

为了保证)(ξe 的阶梯矩形近似更接近真实)(ξe ，令0t 到t 区间内的脉冲数不断的增加。当∞→t 时，0→∆，每个单位矩形脉冲变成冲激函数，∆h 变成了冲激响应h ，e ∆变成了原来的激励)(t e ，响应)(t r ∆则变成电路对应原激励的零状态响应)(t r ，同时上式的求和也变成了积分， k t 变成了连续变量ξ，∆则变成了ξd 。于是有

ξξd t h t e t r t

t k )()()(0-=⎰

其中0t 为任意激励施加的时刻，t 为待求响应所对应的时刻。特别地，当00=t 时，有 ξξd t h t e t r t

k )()()(0-=⎰ （5-79） 或 ξξξd h t e t r t

⎰-=0)()()( （5-80） 式（5-79）和式（5-80）所示的积分就是卷积的积分。因此只要知道电路的冲激响应，对于任意的激励函数)(t e 的作用，都可根据卷积的积分求电路的零状态响应。