单电子原子体系的薛定谔方程及解33页PPT
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薛定谔方程
量子物理
量子力学简介 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h
h ＝ P
xpx h
19-8 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
1 2 有势力场中粒子的总能量为： E p U ( x, t ) 2m
由（1）（2）式解出E和p引入上式的得：
2 2 U i 2 2m x t
这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数。
f (t )
i Et Ce
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 2m E P E ( r ) EE ( r )
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可 以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
dW / dV
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率为：
dW x, y, z, t dV
2
•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)人射强电子流
量子力学简介 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h
h ＝ P
xpx h
19-8 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
1 2 有势力场中粒子的总能量为： E p U ( x, t ) 2m
由（1）（2）式解出E和p引入上式的得：
2 2 U i 2 2m x t
这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数。
f (t )
i Et Ce
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 2m E P E ( r ) EE ( r )
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可 以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
dW / dV
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率为：
dW x, y, z, t dV
2
•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)人射强电子流
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
单电子原子体系的薛定谔方程及解
波尔半径
根据波尔原子模型，电子稳定地绕核运动，其圆周运动的向心力和电子与核 间的库仑引力大小数值相等，
即
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2
电子在稳定轨道上运动的能量E等于电子运动的动能和静电吸引的势能之和
mv 2 e2 e2 E= − =− 2 4πε 0 r 8πε 0 r
根据能量量子化条件，电子轨道运动角动量为
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（2）Θ(θ )方程的解
1 d dΘ m2 − sin θ + 2 Θ = l (l + 1)Θ sin θ dθ dθ sin θ
Θl , m(θ ) = CPl (cos θ )
m
(2l + 1)(l − m ! 2 C= 2(l + m !
2 2 h 2 n x n y n z2 E= ( 2 + 2 + 2) 8m a b c
1 2
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
一、人类对物质构成认识历史
（一）“五行”学说
西周（公元前1046年—公元前771年）
中 文
日 文
日曜日 月曜日 火曜日 水曜日 木曜日 金曜日 土曜日
2
薛定谔方程
∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ 8π 2 µ Ze 2 1 ∂ 2 ∂ϕ 1 1 + 2 E + ϕ = 0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ h 4πε 0 r
卢瑟福, 卢瑟福 英国物理学家 （1）大部分射线可以穿透薄的金属薄，如入无人之境 (Ernest Rutherford, 1871—1937)
量子力学--定态薛定谔方程 ppt课件
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
空间波函数ψ(r)由方程
2 2 [ V ] (r ) E (r ) 2
* n
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m (r) n (r)dr mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
( x, t ) cn n ( x, t ) cneiE t / n ( x)
PPT课件 4
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
两边同除 (r ) f (t )
等式两边是相互无 关的物理量，故应 等于与 t, r 无关 的常数
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2 2 1 d 1 2 i f (t ) V ] ( r ) E [ f ( t ) dt ( r ) 2
III 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
第13-15讲 单电子原子的解1
第13-15讲 单电子原子的薛定谔方程及其解氢原子是结构最简单的原子，因为它核外只有一个电子。
同样，+He ，,2+Li +3Be 等离子，其核外也只有一个电子。
这一类核外只有一个电子的离子，即单电子离子，被称为类氢离子，其核电荷数用Z 表示。
它们的共同特点是不存在电子和电子之间复杂的相互作用，因而在数学上可以做到严格求解其定态薛定谔方程。
（一） 方程的建立 类氢离子有一个原子核（电荷为+Ze ，质量为M ）核一个核外电子（电荷为-e ，质量为m ），原子核核电子之间的距离为r （见图2-1-1）。
由于原子核的质量比电子大的多，即M=1836.1m ，于是我们可以把体系的坐标原点放在原子核上，并把核看不动。
这样氢原子核类氢离子的 量子力学问题就成为求解一个单电子运动的薛定谔方程：ϕϕπεE rZe m =-∇-]42[0222 (2-1-1)其中第一项(222∇-m )是动能符,第二项-(rZe 024πε)是位能函0数，它代表电子和核的静电作用势，Z 是核电荷数，氢原子的Z=1.（2-1-1）式采用的是SI 制单位，位能项中0ε是真空介电常数，其值为8.85419×2121210---∙∙m N C 。
在厘米克秒制静电单位中，040≈πε，于是位能项就简化为)(2r Ze -，这就是在有些参考书的薛定谔方程中不出现04πε的原因。
描述三维空间中一个电子的运动状态需要用三个变量，为了分离方便，通常采用球极坐标的形式来描述电子运动。
将直角坐标变量x,y,z 变换成球极坐标变量r,θ,φ，变换关系是（见图2-1-1）θθcos sin r x =; φθsin sin r y =; θcos r z =2222z y x r ++=; ;cos 222z y x z ++=θ xy =φtan φθθτd drd r dxdydz d sin 2== (2-1-2) 0≤θ ≤π ; 0≤φ ≤2π 在球极坐标下，拉普拉斯算符为22222222sin 1sin sin 11φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 于是球极坐标中单电子原子的薛定谔方程是ψψπεθθθθθE rZe r r r r r r m =-Φ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-]4)sin 1sin sin 11(2[0222222222 (2-1-4)(二)方程的一般解1.方程的分离变量令),()(),,(φθφθψY r R r =,代入薛定谔方程中，并两边同乘以RYm r 222 -，并移项得:Y Y r Ze E mr r R r r R ]sin 1sin sin 1[1]4[2]1[22202222φθθθθπε∂∂+∂∂-=++∂∂∂∂ (2-1-5) 方程左边是r 的函数，右边是φ和θ的函数，要使（2-1-5）成为恒等式，左右边必须等于同一个常数。
单电子原子
z
2. 角动量
e
角动量平方和角动量可能的取值：
角动量的取值是量子化的。
角动量 z 分量可能的取值：
角动量空间是量子化的。
例 求: l = 2 电子角动量的大小及空间取向 ？ L 的大小 z 磁量子数：ml = 0 , ±1 , ±2 L 在 Z 方向的投影
➢ l=1？
四. 电子的几率分布
单位体积中发现电子的几率为：
代表几率随角度的分布； 代表几率随矢径的分布；
因此，在(r, , f ) 附近、dt 内找到电子的几率为：
在全部空间中发现电子是必然的，有 球极坐标系中的体积元为
在全部空间中发现电子是必然的，有
1. 概率随φ，θ角的分布
几率密度的分布绕 Z 轴旋转对称。
2. 角向θ，φ分布概率
在( ~ +d, f ~ f +df )之间的圆锥
§4.1 量子力学对氢原子的描述
一. 氢原子的薛定谔方程
势能函数 定态薛定谔方程：
采用球坐标系：
分离变量：
径向方程 角方程
二. 方程求解
角方程
球谐 函 数
缔合勒襄德多项式
l0 m0 l 1 m0 l 1 m 1 l2 m0 l 2 m 1 l 2 m 2
P00 1
00
1 2
P10 cos
体的立体角内找到电子的几率为： 显然，其由角量子数 l 和磁量子数 m 的值决定。
(2 ~ )，φ是均匀的
3. 电子的径向分布概率
在离核 (r ~ r +dr) 处的球形壳层内发 现电子的几率:
0
r/a0
其由主量子数 n 和角量子数 l 的值决定。
例，氢原子处于基态时，求径向概率分布极大值的原子半径。
第二十七章薛定谔方程ppt课件
粒子在x距离内的动量不确定度为
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
2-1-单电子原子的Schrodinger方程及其解
2 h 1 1 2 ˆ ( ) M (sin ) 2 2 2 sin sin 2
2.1.2 分离变量法求解方程
1 2 1 1 2 8 2 Ze2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 4 0r
l 3
m0 m 1 m 2 m 3
R(r )方程的解
联属拉盖尔方程
1 d 2 dR 8 2 Ze2 l (l 1) (r ) 2 (E ) R0 2 2 r dr dr h 4 0 r r
类氢体系: 是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+,
等，它们的核电荷数为Z，核与电子的吸引位能为：
Li2+, Be3+
电子相对运动的 Hamilton算符为
Ze e V 4 0 r 2 2 h Ze 2 ˆ H 2 8 4 0 r
2
2.1.1
mm e N me mN
方程
R方程
( )方程的解
d 2 2 m 0 2 d
(常系数二阶线性齐次方程)
im 通解： m Ae
根据单值条件(周期性边界条件)，得 m ( ) m (2 )
Ae
im
Ae
im (2 )
Ae
im
e
i 2 m
ei 2 m cos 2 m i sin 2 m 1
x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r2 = x2 + y2 + z2
cos z x2 y 2 z 2
取值范围： 0r 0 0 2 OP长为r OP与z轴夹角为
2.1.2 分离变量法求解方程
1 2 1 1 2 8 2 Ze2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 4 0r
l 3
m0 m 1 m 2 m 3
R(r )方程的解
联属拉盖尔方程
1 d 2 dR 8 2 Ze2 l (l 1) (r ) 2 (E ) R0 2 2 r dr dr h 4 0 r r
类氢体系: 是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+,
等，它们的核电荷数为Z，核与电子的吸引位能为：
Li2+, Be3+
电子相对运动的 Hamilton算符为
Ze e V 4 0 r 2 2 h Ze 2 ˆ H 2 8 4 0 r
2
2.1.1
mm e N me mN
方程
R方程
( )方程的解
d 2 2 m 0 2 d
(常系数二阶线性齐次方程)
im 通解： m Ae
根据单值条件(周期性边界条件)，得 m ( ) m (2 )
Ae
im
Ae
im (2 )
Ae
im
e
i 2 m
ei 2 m cos 2 m i sin 2 m 1
x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r2 = x2 + y2 + z2
cos z x2 y 2 z 2
取值范围： 0r 0 0 2 OP长为r OP与z轴夹角为
单电子原子体系的薛定谔方程及解 33页PPT文档
土、水、气、火
第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（ 三 ） 道 尔 顿 ( D a lto n ) 的 原 子 论
1 8 0 3 年 1 0 月 2 1 日 ， 道 尔 顿 报 告 了 他 的 化 学 原 子 论 。 1 8 0 8 年 ， 道 尔 顿 出 版 了 《 化 学 哲 学 的 新 体 系 》 认 为 构 成 物 质 的 最 小 颗 粒
结 论 原 子 间 的 排 列 并 不 紧 密
（ 2 ） 少 量 粒 子 在 穿 过 金 属 薄 时 ， 方 向 发 生 了 改 变 ， 个 别 粒 子 被 弹 回 来 结论
原子里面一定有带正电的坚硬的核，粒子打正了，就 被弹回来，打偏了就改变方向，没有打着，就穿过去
第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（ 1 ） 偏 转 幅 度 小 、 带 正 电 的 射 线 ， 称 为 射 线
（ 2 ） 偏 转 幅 度 大 、 带 负 电 的 射 线 ， 称 为 射 线
（ 3 ） 不 偏 转 的 射 线 ， 称 为 射 线
粒 子 的 散 射 实 验 发 现
（ 1 ） 大 部 分 射 线 可 以 穿 透 薄 的 金 属 薄 ， 如 入 无 人 之 境 (Erne卢st瑟Ru福th, e英rf国or物d, 理18学71家—1937)
动 ， 既 不 放 出 能 量 也 不 吸 收 能 量 ， 即 电 子 作 圆
周 运 动 的 角 动 量 M 必 须 等 于 h 2 的 整 数 倍 ， 此
为量子化条件
M nh 2
n1,2,3,...
H.D.玻尔(N.H.D.Bohr) 1885~1962, 丹麦人
（2）频率规则
当 电 子 由 一 个 定 态 跃 迁 到 另 一 个 定 态 时 ， 就 会 吸 收 或 发 射 频 率 为 v E h 的 光 子 ， 这 E h v 称 为 两 个 定 态 之 间 的 能 量 差 。
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
量子力学课件-薛定谔方程
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量本征态时，粒子能量是确定的，就是 能量本征值。
（三）求解定态问题的步骤
• 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得：
若V(r)是库伦场势，则方程的解代表库伦场中粒子的态。
若V(r)是谐振子势场，则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。
……
态叠加原理： 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原 理。
•
（2）几率流密度与时间无关
i J n (r , t ) [nn n n ] 2
i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2 n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻 ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
[ h 2 V ] E 2
ˆ E 表达成 H
（1）上述方程的形式特点是： 一个算符作用于一个函数上等于一个常数乘以该函数， 这种形式的等式在《数学物理方法》中，叫本征值方程， 本征值方程中的那个待求函数叫本征函数， 方程右边的那个与本征函数相乘的常数叫本征值。
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2
作
解单原子薛定谔θ方程
解单原子薛定谔θ方程解单原子薛定谔θ方程引言：量子力学是近代物理学的重要分支，它研究微观粒子的运动规律和性质。
在量子力学中，薛定谔方程是解决微观粒子运动问题的基本方程。
单原子分子是量子化学中研究的基本对象之一，解单原子薛定谔θ方程对于理解分子结构、光谱现象等具有重要意义。
一、单原子薛定谔θ方程概述1.1 薛定谔θ方程的基本形式薛定谔θ方程是描述微观粒子运动规律和性质的基本方程。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t=Hψ其中，ψ是波函数，H是哈密顿算符，ħ是普朗克常数。
在单原子分子中，哈密顿算符可以表示为：H=-(ħ^2/2m)▽^2+V(r)其中，m是粒子质量，r是粒子位置坐标，V(r)是势能函数。
1.2 单原子薛定谔θ方程求解方法由于单原子分子只有一个核心和一个电子，在球对称势场中运动，因此可以化简为径向方程。
单原子薛定谔θ方程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为径向部分和角向部分的乘积形式：ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)其中，R(r)是径向波函数，Y(θ,φ)是角向波函数。
将波函数代入薛定谔θ方程中，得到径向方程：-(ħ^2/2m)(1/r^2)∂/∂r(r^2∂R/∂r)+[l(l+1)/r^2+V(r)]R=E(R)其中，l是角量子数，E是能量。
二、单原子薛定谔θ方程的求解步骤2.1 确定势能函数在求解单原子薛定谔θ方程之前，需要确定势能函数V(r)。
对于单原子分子，在球对称势场中运动，因此可以使用库伦势场表示：V(r)=-Ze^2/r其中，Z是核电荷数，e是元电荷。
2.2 确定径向波函数的形式由于单原子分子只有一个核心和一个电子，在球对称势场中运动，因此径向波函数具有以下形式：R(r)=u(r)/r其中u(r)是无量纲的径向波函数。
2.3 将波函数代入径向方程中将波函数代入径向方程中，得到：-(ħ^2/2m)(1/r^2)∂/∂r(r^2∂(u/r)/∂r)+[l(l+1)/r^2-Ze^2/r]u/r=E(u/r)将u(r)表示为有限项的级数形式：u(r)=r^(l+1)Σc_n(r/a)^n其中，a是玻尔半径，c_n是待定系数。
ch3-1单电子原子的定态薛定谔方程解
x
ˆ L i
z
L LL
2
2 1 1 2 2 ˆ L [ (sin ) 2 ] 2 sin sin
Y , )
2 1 1 2 [ (sin ) 2 ]Ylml l (l 1) 2Ylml sin sin
ˆ2Y l (l 1) 2Y L2Y L lml lml lml
ˆ2只是 和的函数 L
2 2 ˆ L R (r ) nl Ylml l (l 1) R (r ) nl Ylml
ˆ2 (r , , ) l (l 1) 2 (r , , ) L nlml nlml
2 ˆ Ylml , nlml 是L 的本征函数
单电子原子的能量本征函数也是 轨道角动量平方算符的本征函数
本征值：L l (l 1)
2
2
角动量：L l (l 1)
l 0,1, 2 n 1
量子态为(n, l , ml )的单电子原子的轨道角动量只依赖与l
l 称为轨道角动量量子数
2
2
z
直角 球坐标系变换： A er Ar e A e A r ix jy kz x ir sin cos jr sin sin kr cos
r
y
er i sin cos j sin sin k cos e i cos cos j sin sin k sin e i sin j cos
主量子数n 1, 2,3
2 me Z En 2 2 2 (4 0 ) h n 对于每一个n, l 0,1, 2 n 1
薛定谔方程与单电子原子的薛定谔方程
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
T2 cos 2 T1 cos 1 0
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
（7.1.1）
作用于小1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
2! 13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
2 2
cos 1 1
12
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
ds (dx) (du) 1 (ux ) dx dx
2
注意到:
故由图7.1得
M'
T'
纵向： T sin T 'sin ' gds ma
ds
'
T
M
gds
x x dx x
m ds 2 u ( x, t ) 其中： a t 2
ds dx
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(7.1.3) (9.1.3)
(7.1.4) (9.1.4)
因此在微小横振动条件下，可得出
，弦中张力不随 故有
(7.1.5)
x
而变， 可记为
另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段 [ x , x x ] 所受外力在时段 [t , t t ] 产生的冲量
对于弦段
[ x , x 张力在 x]
T2 cos 2 T1 cos 1 0
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
（7.1.1）
作用于小1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
2! 13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
2 2
cos 1 1
12
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
ds (dx) (du) 1 (ux ) dx dx
2
注意到:
故由图7.1得
M'
T'
纵向： T sin T 'sin ' gds ma
ds
'
T
M
gds
x x dx x
m ds 2 u ( x, t ) 其中： a t 2
ds dx
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(7.1.3) (9.1.3)
(7.1.4) (9.1.4)
因此在微小横振动条件下，可得出
，弦中张力不随 故有
(7.1.5)
x
而变， 可记为
另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段 [ x , x x ] 所受外力在时段 [t , t t ] 产生的冲量
对于弦段
[ x , x 张力在 x]
2-1 单电子原子的薛定谔方程 ppt
h，…依次代表l=0,1,2,3,4,5,…的状态 ●原子轨道的名称与波函数的角度部分直接相关：
Y0,0
1 s 4
3 Y1,0 pz cos 4
Y1, 1
3 py sin sin 4 3 px sin cos 4
cos m
• 实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数，但便 于作图。 • 复函数解和实函数解是线性组合关系，彼此之间 没有一一对应关系。
m 0 1 -1 2 -2 复函数解
0
1
实函数解
0 1 2
1 2
1 i e 2 1 i 1 e 2
2 1 i 2 e 2
1 2 1 1 2 r 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
2 2
●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 2 1 1 2 8 2 2 E V 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin h
年，J.J.Thomson发
现电子，打开了原子
内部结构的大门，化
学进入现代时期；
1909－1911年间，
Rutherford用α粒
子作穿透金箔的实
验，提出原子结构
的“行星绕太阳” 的模型；
1913，Bohr提出 两点假设：定态规 则和频率规则。 Bohr原子结构模 型解释了氢原子光 谱，但其他原子均 不能解释，需要用 量子力学规律解释。
2
1 i 2 e 2
cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 2
Y0,0
1 s 4
3 Y1,0 pz cos 4
Y1, 1
3 py sin sin 4 3 px sin cos 4
cos m
• 实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数，但便 于作图。 • 复函数解和实函数解是线性组合关系，彼此之间 没有一一对应关系。
m 0 1 -1 2 -2 复函数解
0
1
实函数解
0 1 2
1 2
1 i e 2 1 i 1 e 2
2 1 i 2 e 2
1 2 1 1 2 r 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
2 2
●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 2 1 1 2 8 2 2 E V 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin h
年，J.J.Thomson发
现电子，打开了原子
内部结构的大门，化
学进入现代时期；
1909－1911年间，
Rutherford用α粒
子作穿透金箔的实
验，提出原子结构
的“行星绕太阳” 的模型；
1913，Bohr提出 两点假设：定态规 则和频率规则。 Bohr原子结构模 型解释了氢原子光 谱，但其他原子均 不能解释，需要用 量子力学规律解释。
2
1 i 2 e 2
cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 2
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