流体力学 第二章剖析

h
0 t
u
x
z
0
h
t
h
h 0
t
z
h x
hu
h u z 0 x
h dz u 0 0 x
可以得到：
h
t
u
h x
1
h
h 0
dz
u x
0
Chen Haishan NIM NUIST
1
h
h 0
dz
h
h
均匀流体 自由表面附近的流体（浅流体）
进一步有： h u h h u 0 t x x
h 0
t
zxy
h
h t
xy
xy
h u z 0 x
h 0
u
x
z
h x
hu
考虑到u,u / x 与 z 无关，并消掉等式两端公共项xy 可得：
h
t
h
h 0
t
z
h x
hu
h u z 0 x
h dz u 0 0 x
Chen Haishan NIM NUIST
考虑水为不可压缩的，根据连续方程有：
讨论时流向仅取x轴。如流向取任意方向，上式可写为：
h •
hV
0
t
h
V
•
h
h
•V
0
t
这就是用自由表面高度所表示的连续方程。
z
x
h
0
uy
z
x
对上式两项展开，左端项为：
t
h
0
xyz
h
0
t
zxy
z t
h
xy
0
h 0
zxy t
h
h xy t
Chen Haishan NIM NUIST
右端项为：
x
h
0
uyzx
xy
h 0
uz
x
h x
hu
xy
h u z 0 x
h 0
u
x
z
h x
h
u
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d
•V
0
dt
(1) •V 0 流体体积增大 d / dt 0 流体密度减小； (2) •V 0 流体体积减小 d / dt 0 流体密度增大； (3) •V 0 流体体积不变 d / dt 0 流体密度不变。
流体的密度变化是由于流体的辐合辐散所造成的，以上 约束条件能保证了流体的连续介质假设。
拉格郎日(Lagrange) 观点：流体块在运动过程中，尽管其 体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不变的。
xyz m
d m 0 d 0 z
dt
dt
y
x
1 d 1 d 0
dt dt
d
•V
0
dt
1
d
流体体膨胀速度 •V
dt
拉格郎日型连续方程
Chen Haishan NIM NUIST
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第一节 连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连 续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是 在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
Chen Haishan
NIM NUIST 1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程
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第二章 基本方程
流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循 质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理 定律。本章将导出描述流体运动的连续方程、 运动方程和能量方程。
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主要内容： 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
连续方程 作用于流体的力、应力张量 运动方程 能量方程 简单情况下的纳维—斯托克斯方程 的一些准确解
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2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程
拉格郎日型连续方程
d
•V
0
dt
d
V
•
dt t
• V
t
•
V
0
t
欧拉型连续方程
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•
V
0
t
lim •Vd / d •V
0
lim • (V )d / d • (V )
0
(1) • V 0 有流体流出 / t 0 流体局地密度减小； (2) • V 0 有流体流入 / t 0 流体局地密度增大； (3) • V 0 流体无出入 / t 0 流体局地密度不变。
Chen Haishan
NIM NUIST 讨论不可压缩流体的数学表示：（补充）
不同且可以随时间变化。
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在流体中，选取一个以xy
为底的方形柱体，该柱体 是一固定不动的空间区域， 称为控制区--欧拉观点。
x
z O
y
h y
x
流体可以通过控制区的侧面，流出、流入该柱体。
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考虑柱体内流体的质量为：m
dt
均质流体：
0
均质不可压缩流体：
t
0
const
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3、具有自由表面的流体连续方程
自由表面？
通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。
实际物理现象：
空气
交界面
水
当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周流散开时，将使得那里的水面降低。
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：流出质量=h来自0uyz
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
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流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
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自由表面的流体连续方程的导出：
假设流团密度为 x, y, z, t ，考虑流体运动为二维
的，即满足： w 0, / z 0 ，取流向方向为 x 轴。
设流体自由表面高度为 h hx, y, t ，即 h 在各处高低
柱体内的净流入量
即有：
t
h
0
xyz
x
h
0
uy
z
x
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***积分上限 h 为x，y，t的函数，根可变上限的积分规则：
d dt
at
f
bt
x, tdx
at
bt ft x, t dx
f at, tdat
dt
f bt, tdbt
dt
t
h
0
xy
①据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为不可压缩 流体。
•V 0
d 0
dt
表示每一个质点的密度在运动的全过程中不变。但是这个质点 的密度和那个质点的密度可以不同，因此不可压缩流体的密度 并不一定处处都是常数。
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d
V •
dt t
②理解不可压缩流体： d 0