高数--二重积分的基础理解教学资料
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的概念与性质教案
二重积分的概念与性质教案教案：二重积分的概念与性质一、教学目标1.理解二重积分的概念和性质；2.掌握计算二重积分的方法。
二、教学内容1.二重积分的概念；2.二重积分的性质；3.计算二重积分的方法。
三、教学步骤Step 1 导入 (5分钟)通过问题引入二重积分的概念：有一个区域D，如何计算这个区域上的一些函数f(x,y)的平均值？Step 2 二重积分的概念 (15分钟)1.定义：二重积分是对二元函数f(x,y)在一个有限闭区域D上的数值进行求和的方法。
2.计算公式：二重积分的计算可以通过将区域D划分成无限多的小矩形，然后求和每个小矩形内函数f(x,y)的取值，最后对所有小矩形的和取极限来进行计算。
3.表示方法：二重积分可以用符号∬来表示，其中D是区域，f(x,y)是被积函数。
Step 3 二重积分的性质 (20分钟)1. 线性性质：∬[af(x, y) + bg(x, y)]dσ = a∬f(x, y)dσ + b∬g(x, y)dσ，其中a、b为常数。
2.积分区域的可加性:如果D可以分割成两个不相交的区域D1和D2,那么∬f(x,y)dσ=∬f(x,y)dσ1+∬f(x,y)dσ23. 积分次序可交换：若f(x, y)在区域D上连续，那么∬f(x,y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx.4.区域的划分不变性：若D1和D2为同一区域D的两个划分方案，则∬f(x,y)dσ1=∬f(x,y)dσ2Step 4 计算二重积分的方法 (30分钟)1. 矩形区域上的二重积分：如果区域D是一个矩形[a, b] × [c,d]，那么∬f(x, y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy。
2.直角坐标变换：对于区域D在直角坐标下很难表示的情况，可以通过使用适当的直角坐标变换来简化计算。
3.极坐标变换：对于具有对称性或旋转性质的区域D，可以使用极坐标变换来简化计算。
大学高数二重积分教学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解二重积分的概念及其与定积分的联系。
2. 掌握二重积分的计算方法，包括直角坐标系和极坐标系下的计算。
3. 能够运用二重积分解决实际问题。
教学重点：1. 二重积分的概念和性质。
2. 二重积分的计算方法。
教学难点：1. 二重积分的实际应用。
2. 在不同坐标系下进行二重积分计算。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
3. 黑板或白板。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习定积分的概念，引出二重积分的概念。
2. 提问：什么是定积分？定积分在几何和物理上有什么应用？二、新课讲解1. 二重积分的定义：- 利用二重积分的定义，讲解在直角坐标系和极坐标系下的二重积分。
- 举例说明如何将二重积分转化为两次定积分。
2. 二重积分的性质：- 讲解二重积分的基本性质，如线性性质、保号性质、可积性等。
- 通过实例说明这些性质的应用。
三、例题讲解1. 直角坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算直角坐标系下的二重积分。
- 讲解计算过程中的注意事项。
2. 极坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算极坐标系下的二重积分。
- 强调极坐标系在计算二重积分时的优势。
四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，重点强调二重积分的定义、性质和计算方法。
二、新课讲解1. 二重积分的实际应用：- 举例说明二重积分在几何、物理和工程中的应用。
- 讲解如何将实际问题转化为二重积分问题。
2. 不同坐标系下的二重积分计算：- 举例说明在不同坐标系下进行二重积分计算的技巧。
三、例题讲解1. 复习直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算例题。
2. 讲解如何根据实际问题选择合适的坐标系进行计算。
四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
五、总结1. 总结二重积分的概念、性质和计算方法。
2. 强调二重积分在实际应用中的重要性。
高数-二重积分的概念与性质
D
D
D
所以又有不等式
| f ( x , y )d | | f ( x , y )| d
D
D
例 1：比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d 的大小,
D
D
其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e ,
•
i
1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：
1 , 2 , , n .
将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体
以 V i 表示以 i 为底的第 i 个小曲顶柱体的体积
y
V V 1 V 2 V n
n
i
Vi
i1
0
x
2：近似计算 V i 和 V 的体积
Vi f ( i , i ) i
D
D
性质3：二重积分的可加性：如果积分区域 D 被
一曲线分成两部分 D1 和 D 2 ，则
f (x, y) d
y
D
D D1 D2
f (x, y) d f (x, y) d
D1
D2
0
x
性质4：如果在区域 D 上总有，f ( x , y ) 1 ,
是 D 的面积，则
1 d d
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，
假定 ( x, y)在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块（ n），
取典型小块，将其近似看作均匀薄片，
每个小块的质量近似为
y
Mi (i ,i ) i
二重积分的概念与性质教案
7.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容：一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体.与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，，n σ∆，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，，n ∆Ω.（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1ni i V ==∆Ω∑．图7.1(2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ∆Ω≈∆∀∈∆.(3)整个曲顶柱体的体积近似值为1(,)ni i i i V f ξησ=≈∆∑.(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则1lim (,),(,)ni i i i i i i V f λξησξησ→==∆∀∈∆∑.2．二重积分的定义设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域12,,,,n σσσ∆∆∆其中,i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径.1max{}(,)i i i i i nλλξησ≤≤=∀∈∆，作乘积(,)(1,2,)i i if i n ξησ∆=，作和式1(,)niiii f ξησ=∆∑，若极限()01lim,niiii f λξησ→=∆∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记作(),Df x y d σ⎰⎰.即(),Df x y d σ=⎰⎰()01lim ,ni ii i f λξησ→=∆∑．其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域.V n3．对二重积分定义的说明：(1)极限()01lim,niiii f λξησ→=∆∑的存在与区域D 的划分及点(,)i i ξη的选取无关。
高数 第六章-重积分-二重积分(第1-2节)
∫∫ 3．积分 3 1 − x 2 − y 2 dxdy 有怎样的符号, 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4. D
4.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
∫∫ (1) I = (x2 + 4 y2 + 9) dσ , 其中=D {(x, y) x2 + y2 ≤ 4} ； D
闭区域;
(4)
∫∫
D
sin x
x
dxdy
,
其中 D 是由 y =
x,
y= x, 2
x = 2 所围成的闭区域；
(2) ∫∫| y − x2 | dxdy, 其中 D 为 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1； D
3
(5) ∫∫ (x2 + y2 − x)dxdy , 其中 D 是由 y = 2 , y = x , y = 2x 所围成 D
π
dx
0
sin x −sin x
f (x, y)dy ;
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ ∫ (4)
1
dy
y f (x, y)dx ;
0
y
2
2y
∫ ∫ (5) dy f (x, y)dx ;
0
y2
3. 将下列积分表示为极坐标形式下的二次积分:
{ } ∫∫ (1) f (x, y)dσ , 其= 中 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 4x ; D
x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
(3)
∫∫D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
,
二重积分的概念与性质教案
二重积分的概念与性质教案一、教学目标1. 理解二重积分的概念，掌握二重积分的几何意义。
2. 掌握二重积分的性质，包括对称性、周期性和线性性质。
3. 学会计算简单的二重积分，并能应用于实际问题。
二、教学重点与难点1. 二重积分的概念与几何意义。
2. 二重积分的性质及其应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解二重积分的概念、性质及计算方法。
2. 利用图形和实例，帮助学生直观地理解二重积分的几何意义。
3. 引导学生通过小组讨论和思考，发现二重积分的性质。
四、教学准备1. 教学PPT。
2. 相关图形和实例。
3. 练习题。
五、教学过程1. 引入：回顾一重积分的概念和性质，引导学生思考二重积分的可能性。
2. 讲解二重积分的概念：通过图形和实例，引导学生理解二重积分的几何意义。
3. 讲解二重积分的性质：（1）对称性：以对称区域为例，说明二重积分在对称区域上的特点。
（2）周期性：以周期函数为例，说明二重积分在周期区域上的特点。
（3）线性性质：结合线性代数知识，讲解二重积分的线性性质。
4. 例题讲解：选取典型的二重积分题目，讲解计算方法和应用。
5. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 引入高维空间中的二重积分：讲解在更高维空间中的二重积分概念和性质，引导学生理解多变量函数的积分。
2. 讲解二重积分的计算方法：（1）极坐标变换：讲解如何利用极坐标变换计算二重积分。
（2）柱坐标变换：讲解如何利用柱坐标变换计算二重积分。
（3）球坐标变换：讲解如何利用球坐标变换计算二重积分。
七、实践与应用1. 利用二重积分解决实际问题：举例讲解如何将实际问题转化为二重积分问题，并求解。
2. 利用二重积分求解物理问题：讲解如何利用二重积分求解物理中的场强、热量等问题。
八、课堂讨论与思考1. 组织学生进行小组讨论：让学生探讨二重积分在实际应用中的局限性和改进方法。
2. 引导学生思考：鼓励学生思考二重积分在多变量函数分析中的应用，以及如何拓展二重积分的性质。
高等数学 上下册9_1 二重积分的概念和性质-PPT课件
应当指出， （1）的极限存在时，二重积分才存在， 这时也称 f ( x, y ) 在 D 上是可积的.与定积分的存在定理 类似， 可以证明： 当被积函数 f ( x, y ) 在区域 D 上连续时， （1）的极限必存在，即在区域 D 上连续的函数是可积 的.当然，这个极限的存在与区域 D 的分割方法以及点 (i ,i ) 的取法无关.
f ( x, y )dxdy
D
其中 dxdy 称为直角坐标系中的面积元素 .
根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是曲顶柱 体的变高 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分
V f ( x, y )ds
D
二重积分的几何意义是明显的，当被积函数
f ( x, y ) 0 时， f ( x, y )ds 表示曲顶柱体 的体积；当
D D D
性质 ３
如果将积分区域 D 分为两个区域 D1 和
D2 ,则在 D 上的二重积分等在 D1 和 D2 上二重积分的和,
即
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds .
D D1 D2
这一性质表示二重积分对于积分区域的可加性.
性质 4 如果在区域D 上 , f ( x, y ) 1 ,则二重积分在 数值上等于区域D 面积的值,即
f ( x, y)ds ，即
D
f ( , )s f ( x, y )ds lim
D 0 i 1 i i
n
i
，
(1)
其中 f ( x, y ) 称为被积函数， f ( x, y )ds 称为被积表达 式， ds 称为面积元素， x 和 y 称为积分变量，D 称为积 分区域， f (i ,i )s i 称为积分和式.
高数课件27二重积分
二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球 表面或天体表
面的重力场
质点：质量集 中于一点的物
体
位移：质点在 重力场中的位
置变化
二重积分：计 算质点在重力 场中的位移所 需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场 中单位电荷所具有 的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算 电场中的电势分布 ，分析电场特性
电势的物理意义： 描述电场中电荷所 具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿 过一个平面的磁 力线数量
计算公式：Φ=B·S， 其中B为磁感应强 度，S为平面面积
应用：计算磁场 中的磁通量，了 解磁场分布情况
实例：计算一个圆 形线圈中的磁通量， 了解线圈磁场的分 布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义 极坐标系下的二重积分计算公式 极坐标系下的二重积分计算步骤 极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形 式
计算参数方程的偏 导数
计算参数方程的雅 可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积 计算旋转体的体积 计算曲面的面积 计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个 简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积 的一种方法
高等数学课件D91二重积分概念
实际应用背景：二重积分在物理、工程、经 济等领域有广泛应用，如计算面积、体积、 质量等
添加 标题限制条件：二重积源自的计算需要满足一定的 条件，如函数在积分区域上连续、可积等
添加 标题
积分区域：二重积分的计算需要确定积分区 域，积分区域可以是平面区域、曲面区域等
添加 标题
积分顺序：二重积分的计算需要确定积分顺 序，积分顺序可以是先对x积分，再对y积分， 也可以是先对y积分，再对x积分
添加 标题
积分方法：二重积分的计算可以使用不同的 积分方法，如直接积分法、换元积分法、分 部积分法等
添加 标题
积分技巧：二重积分的计算需要掌握一些积 分技巧，如对称性、周期性、奇偶性等
感谢您的观看
汇报人：
二重积分在几何上的应用
计算曲面的面积
计算曲面的体积
计算曲面的旋转体 体积
计算曲面的旋转体 表面积
二重积分在物理上的应用
计算曲面的面积和体积
计算流体的压力和流量
计算电场的强度和分布
计算热传导和扩散问题
二重积分在经济学上的应用
计算边际成本：二重积分可以用来计算边际成本，从而帮助企业进行成本控制和优化。
注意二重积分的计算精度和误差控制
计算精度：选择合适的积分方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等 误差控制：通过增加积分区间的划分，提高计算精度 数值稳定性：避免在积分过程中出现数值不稳定的情况 计算结果验证：通过与其他方法或已知结果进行比较，验证计算结果的准确性
注意二重积分的实际应用背景和限制条件
添加 标题
极坐标变换法：适用于积 分区域为圆形或扇形的情 况
换元积分法：适用于积分 区域为圆环或椭圆的情况
分部积分法：适用于积分 区域为不规则图形的情况
《二重积分的概念》课件
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
高等数学二重积分详解ppt课件
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
4
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
12
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
高等数学(微积分)课件-87二重积分
二重积分的奇偶性
总结词
二重积分的奇偶性是指，对于可积函数$f(x,y)$，如果将函数中的$x$或$y$替换为其相 反数，则二重积分的结果可能会发生变化。
详细描述
设函数$f(x,y)$在有界闭区域$Omega$上可积，如果对于任意的$(x,y) in Omega$，都有$f(-x,y) = f(x,y)$ 或$f(x,-y) = f(x,y)$，则称$f(x,y)$为偶函数或奇函数。根据奇偶性，我们可以得到$int_{Omega} f(-x,y) dOmega = int_{Omega} f(x,y) dOmega$或$int_{Omega} f(x,-y) dOmega = -int_{Omega} f(x,y) dOmega$。
二重积分的几何意义
二重积分表示的是曲面z=f(x,y)与平面交线所围成的 区域D的体积。
当f(x,y)>0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以f(x,y)的高度。
当f(x,y)<0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以|f(x,y)|的高度。
02
二重积分的计算方法
03
2. 根据变量替换关系，将二重积分转化为新 的变量下的形式。
04
3. 对新的二重积分进行计算，得到结果。
03
二重积分的几何应用
曲面的面积计算
总结词
二重积分在计算曲面的面积时，可以将曲面转Байду номын сангаас 为平面区域，通过计算该区域的面积得到曲面的 面积。
总结词
在计算曲面的面积时，需要先确定曲面的函数表 达式和其在平面上的投影区域，然后利用二重积 分计算投影区域的面积，最后乘以 $sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$ 得到曲面的面积。
二重积分教案
二重积分教案一、教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 掌握计算二重积分的方法；3. 能够运用二重积分解决实际问题。
二、教学重点：1. 二重积分的定义和性质；2. 二重积分的计算方法。
三、教学难点：1. 运用二重积分解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教科书和课件；2. 黑板和粉笔；3. 计算工具。
五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）引入二重积分的概念和意义，通过举例说明二重积分的应用领域，如物理学、经济学等。
步骤二：二重积分的定义和性质（15分钟）1. 介绍二重积分的定义，即将给定区域的函数值乘以微小区域的面积，并对整个区域进行累加；2. 讲解二重积分的性质，如线性性、区域可加性和中值定理等。
步骤三：二重积分的计算方法（40分钟）1. 直角坐标系下的计算方法：a. 利用累加求和的思想，将区域分割成微小矩形，并逐一计算每个矩形的面积和函数值，最后将结果累加；b. 讲解二重积分的计算顺序，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分；c. 求解二重积分时，可通过换序积分法简化计算；d. 引入二重积分的求面积公式，通过对区域边界的积分计算出区域的面积。
2. 极坐标系下的计算方法：a. 介绍极坐标系的转换关系，并讲解如何在极坐标系下计算二重积分；b. 给出极坐标系下的二重积分计算公式。
步骤四：实际问题的求解（30分钟）结合实际问题，如质心、质量、概率等问题，引导学生运用二重积分的计算方法进行求解。
步骤五：课堂练习（20分钟）布置一些练习题，提供学生自主练习和思考时间，并在课堂上共同讨论解题思路和方法。
六、课堂总结与作业布置（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并布置相关的课后作业，要求学生进行二重积分的计算和实际问题的应用练习。
七、教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步理解和掌握二重积分的概念、性质和计算方法，并能够初步运用二重积分解决实际问题。
在教学过程中，通过举例和实际问题的引入，增加了学生的兴趣和参与度。
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高数论文--二重积分的基础理解
高数论文题目：二重积分的基础理解姓名：陈锡
专业班级：电子信息07
学号： 1309090705
指导老师：严国义
1.引言
解析几何是代数与几何的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表达成为可能，从而为微积分搭建了舞台。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
二重积分是一种，不能说是最重要的一种，但是理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围，是高数微积分学习中重要的一部分。
2.二重积分的定义
设是有界闭区域上的有界函数。
将闭区域任意分为小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，并作和
，如果当小闭区域的直径中的最大者趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重职分，记作，
即。
其中：叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元
素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和，
称为二重积分号
3.相关定理及性质
二重积分的存在定理
若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则f(x,y)在D 上的二重积分必存在(即f(x,y)在D 上必可积).
若有界函数f(x,y)在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D 可积.
二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.
性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[(,)(,)]d (,)d (,)d .
D
D
D
f x y
g x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
(,)d (,)d ().
D
D
kf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数
性质3 若D 可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则
1
2
(,)d (,)d (,)d .
D
D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
性质4 若在积分区域D 上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D 的面积，则
d ().
D
S D σ=⎰⎰
性质5 若在D 上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
(,)d (,)d .
D
D
f x y
g x y σσ≤⎰⎰⎰⎰
推论
(,)d (,)d .
D
D
f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰
性质6(估值定理) 若在D 上处处有m≤f(x,y)≤M ，且S(D)为区域D 的面积，则
()(,)d ().
D
mS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使
(,)d (,)().
D
f x y f S D σξη=⎰⎰
4.二重积分的计算方法
直角坐标系中二重积分计算
当被积函数f(x,y)≥0且在D 上连续时,：
若D 为 X - 型区域 1
2()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩
则
21()
()
(,)d d d (,)d b
x D
a
x f x y x y x f x y y
ϕϕ=⎰⎰⎰⎰
若D 为Y –型区域1
2()()
:y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩,
则
21()
()
(,)d d d (,)d d
y D
c
y f x y x y y f x y x
ψψ=⎰⎰⎰⎰
说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –型区域 , 则有:
2211()
()
()
()
(,)d d d (,)d d (,)d b
x d
y D
a
x c
y f x y x y x f x y y y f x y x
ϕψϕψ==⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
利用极坐标系计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆r=常数及射线θ =常数, 分划区域D 为
(1,2,
,)
k k n σ∆=。
则
(,)d (cos ,sin )d d D
D
f x y f r r r r σθθθ
=⎰⎰⎰⎰
特别地
若12()():,r D ϕθϕθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩
则有
21()
()
(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D
f r r r r f r r r r
β
ϕθα
ϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰
若
0():r D ϕθαθβ≤≤⎧⎨
≤≤⎩ 则有
()
(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D
f r r r r f r r r r
βϕθα
θθθθθθ=⎰⎰⎰⎰
若
0():02r D ϕθθπ≤≤⎧⎨
≤≤⎩ 则有
2()
(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D
f r r r r f r r r r
πϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰
⎰
5.二重积分的应用
二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。
几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。
(1) 空间立体的体积V
设空间立体Ω由曲面
1:(,)
z f x y ∑=与
2:(,)
z g x y ∑=所围成， Ω在xoy
面投影为平面区域D ，并且(,)(,)f x y g x y ≥.则
[(,)(,)]d D
V f x y g x y σ
=-⎰⎰或
V dv
Ω
=⎰⎰⎰.
(2)曲面面积S
设光滑曲面∑为:(,)z z x y ∑=，则
xy
D S =⎰⎰，其中
xy
D 为
∑在xoy 面上的投影区域。
同理可得：设光滑曲面∑为:(,)x x y z ∑=，则yz
D S =⎰⎰，
其中
yz
D 为∑在yoz 面上的投影区域。
设光滑曲面∑为:(,)y y x z ∑=，则
xz
D S =，其中
xz
D 为
∑在xoz 面上的投影区域。
(3) 平面薄片的质量
设平面薄片的面密度为(,)x y ρ，物体所占区域为D ，则它的质量为
(,)D
m x y d ρσ
=⎰⎰，其中(,),dm x y d ρσ=称为质量元素。
6.小结
微积分学是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等各个学科分之中，有越来越广泛的应用。
学好二重积分是为整个微积分学的学习亦是重中之重。