第六章-振动信号的处理和分析

傅里叶变换（FT）的重要性质
对称性 若x(t) X ( f ) 则X t x f 若xt为偶函数 则X t x f
证明：
x(t) X ( f )ej2πftdf x(t) X ( f )e j2πftdf
将t与f互换
x( f ) X (t)e j2πftdt F[ X (t)]
第六章 振动信号的处理和分析
（基本理论）
本章内容
• 6-1 信号的分类 • 6-2 傅里叶变换 • 6-3 离散傅里叶变换（DFT） • 6-4 快速傅里叶变换（FFT） • 6-5 选带傅氏分析（ZOOM-FFT） • 6-6 功率谱与功率谱密度分析 • 6-7 线性系统的输入与输出关系 • 6-8 拉普拉斯变换与Z变换
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 时域微分：
F
dx(t) dt
j2πfX
(
f
),
F
dn x(t) dt n
(
j2πf
)n
X
(
f
)
• 证明：
dx t
dt
1
2
d dt
X
f e j 2ftdf
1 2
X
f
d dt
e j 2ft
df
1
2π
j 2πfX
f
e j 2πftdf
xrms
1 T x2 (t)dt T0
正弦信号： xrms=0.707 xp xav=0.637xp
周期信号频谱
信号的某种特征量随信号频率变换的关系，称为信号的频谱，所画出 的图形称为信号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关 系
幅度频谱（幅度谱）： 幅值Ak随频率 变化的图形（单边谱） 幅值|ck|随频率 变化的图形（双边谱） 幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度——谱线
非周期信号频谱
幅度频谱（幅度谱）： X ( f ) 随频率 f 变化的图形
幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度——谱线 相位频谱（相位谱）：
( f ) 随频率 f 变化的图形
X ( f )：频率谱密度函数，或简称为频谱函数 非周期信号频谱为 f 的连续函数
傅里叶变换（FT）的重要性质
设 F[x(t)]=X(f), F[y(t)]=Y(f)
2 T
x(t)dt
2
ak
2 T
T
2 T
x(t)
cos k tdt
2
bk
2 T
T
2 T
x(t)sin ktdt
2
傅里叶级数
x(t) a0 (ak coskt bk sinkt) k 1
• 将上式同频率项合并，可写为：
x(t)
A0 2
k 1
Ak
cos(k t
k )
•
其中： A0 2a0
线性叠加：
F[ax(t) by(t)]
aF[x(t)] bF[ y(t)]
证明：
aX ( f ) bY ( f )
F[ax(t) by(t)]
[ax(t) by(t)]e j2 ftd t
ax(t) e j2 ftd t by(t) e j2 ft d t
aX ( f ) bY ( f )
傅里叶级数的复数表达法
• 欧拉公式：
cos k t
1 2
(e jkt
e jkt )
sin kt
1 2j
(e jkt
e jkt )
• 可将三角级数形式的傅立叶级数转换为如下形式：
ck
1 T
T /2 x(t)e jk0t dt
T /2
x(t)
ck e jk0t
k
k 0, 1, 2,
• 傅里叶级数两种形式的关系：
傅里叶级数
• 周期信号： x(t) x(t nT)
周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时可分解为
如下三角级数—— 称为x(t)的傅里叶级数
x(t) a0 (ak coskt bk sinkt)
k 1
•
基频（第一阶圆频率）：0
2
T
k
k
2
T
k0
a0
1 T
T
一般具有收敛性。总趋势减小
傅里叶积分变换（非周期信号）
非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。 当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小，从而
信号的频谱变为连续频谱。
非周期信号的傅里叶变换
• 根据傅里叶级数复指数形式：
ck
1 T
T /2 x(t)e jk0t dt
T /2
F
t
x(t
)dt
1 j2πf
F[x(t)]
F
t
x(t)dt
1 j2πf
X( f )
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 卷积：
x(t)* y(t) y(t)* x(t) x( ) y(t )d
• 时域卷积：
F[x(t)* y(t)] X ( f )Y ( f )
• 时域卷积定理说明，两个时间函数卷积的傅里叶变换等于 各时间函数的频谱密度函数的乘积。
c0 a0
ck
ak
jbk 2
ck
ck*
ak
jbk 2
周期信号的特征参数
1. 峰值(Peak) ： xp
2. 平均绝对值： xav
xav
1 T
T
| x(t) |dt
0
3.
均值(Mean)：
x
x
1 T
T
x(t)dt
0
4. 均方值： x2 1 T x2 (t)dt T0
5. 均方根值(RMS, Root Mean Square)： xrms
傅里叶变换（FT）的重要性质
f t
F
E
E
o t
2
2
2π o 2π
（2）k>1 时域压缩，频域扩展k倍。
f 2t
1 F
E
2 2
E
2
o
t
44
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，
频带展宽，各分量的幅度下降k倍。
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 时移： F[x(t t0 )] X ( f )e j2πft0
2
n
2
n 0, 1, 2,
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
周期信号频谱举例2
n n
Fn T Sa(
2
) Sa( TT
)
n 0, 1, 2,
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ画图。
1 Fn
4
2
0
2
4
ω
周期信号频谱特点
周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 1 的整数倍
相位频谱（相位谱）： 相位k随频率变化的图形
周期信号频谱举例1
举例：周期信号
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
2 3
1 4
sin
3
t
6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
• 非稳态信号：任何统计特性都随时间变化的信号。 • 连续性非稳态信号 • 瞬态信号
傅里叶变换
• 傅里叶变换（Fourier Transform）是一种线性的积分 变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提 出，所以以其名字来命名以示纪念。
• 傅里叶变换是一种能够将信号从时域到频域、从频域 到时域来回变换的传统方法，也是信号处理的一种主 要方法。
Ak
ak2 bk2
k
arctan
bk ak
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中， A0/2为直流分量； A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(21t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Akcos(kt+k)称为n次谐波。
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 证明：
F[x(t)* y(t)]
[
x( ) y(t )d ]e j2πftdt
x( )[ y(t )e j2πftdt]d
x(
)
y(t
)e
j2 πf
(t
)d(t
)e
j2πf
d
x( )e j2πf d y(t )e j2πf (t )d(t )
确定性信号 随机信号 连续信号 瞬态信号
周期性信号 拟周期性信号
• 稳态信号：统计特性不随时间而变化的信号，可以是 确定性的，也可以是随机性的。
• 稳态确定性信号：完全由具有离散频率成分的正弦信 号组成的信号。
对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。
• 稳态随机信号：平均特性不随时间变化的随机信号。 对于任意稳定的时刻，只能确知其统计特性（平均值 、方差）。
• 证明：
F[x(t t0)]
x(t
t0
)e
j2 πft dt
• 令 t ，t0 则 t t0 , d d，t 代入上式得
F[x(t t0 )] F[x( )]
x( )e j2πf ( t0 )d
=e j2πft0 x( )e j2πf d
=e j2πft0 X f
k
= 1 x( )e j2πf /k d
k
=
1 k
X
f k
傅里叶变换（FT）的重要性质
f t
E
F
E
o t
2
2
2π o 2π
(1) 0<k<1 时域扩展，频带压缩。
f t 2
2E 2F 2
E
o
t
π π
o
脉冲持续时间增加k倍，变化慢了，信号在频域的频
带压缩k倍。高频分量减少，幅度上升k倍。
1. 振动信号的测量
➢ 振动信号传感器 • 位移传感器 • 速度传感器 • 加速度传感器 • 电涡流传感器 • 光纤传感器 ➢ 机械振动的运动量和动特性参数的常用测量方法 • 频率的测量 • 相位差的测量 • 衰减系数及相对阻尼系数的测量
2. 振动信号的处理和分析
信号类型
ห้องสมุดไป่ตู้
信号的分类
稳态信号 非稳态信号
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 频移：
F x(t)ej2πf0t X ( f f0 )
• 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅
度谱不变，而相位谱产生附加相移 2 ft0
• 频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 f0 单位，在时域就对应于其时间信号 ej2πf0t 乘以 x(t)
dt
交换微、积分次序
j 2fx t e j 2ftdt
dX f
df
j 2f x t
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 积分：
F
t
x(t
)dt
1 j2πf
X( f )
• 证明：根据时域微分性质
F
dx(t) dt
j2πfF
x(t
)
F x(t)
1 j2πf
F
dx(t) dt
dxt
dt
j 2fX f
交换微、积分运算次序
傅里叶变换（FT）的重要性质
• 频域微分：
F ( j2πf )x(t) d X ( f ),
df
F
( j2πf
)n x(t)
dn df n
X(f
)
• 证明：
dX f
df
d df
x t e j 2ftdt
xt
d df
e j 2ft
n
3
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
周期信号频谱举例2
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期 矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频 谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e jntd t
1 T
2
e
jnt
dt
2
f(t) 1
0
22
1 T
e jnt
jn
2
2
2 T
sin( n )
2
n
T
sin n
信号重构过程（频域→时域）
• 令 2πf
ck
1
2
x(t )e
jt dt
d
1
2
x(t)e j2
ft
dt
d(2
f
)
x(t
)e
j2
ft
dt
df
• 正变换：
X ( f ) F[x(t)] x(t)ej2πftdt
• 逆变换：
x(t) F 1[X ( f )] X ( f )ej2πftdf
x(t)
ck e jk0t
k
k 0, 1, 2,
• 考虑到T→∞，ω→无穷小，记为dω；kω→ ω（由离散量变为连续
量），而
1 d T 2 2
同时，∑ →∫
d
ck 2
x(t)e jtdt
1
2
x(t
)e
jt
dt
d
X
()d
X () 1 x(t)ejtdt
2
x(t) X ()ejtd
2 4 3 4 3 6 2
显然1是该信号的直流分量。
1 2
cos
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos 3
2 3
的周期T2
=
6
周期信号频谱举例1
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
An
A0 1
2
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
X(ω)称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 x(t)称为X(ω)的傅里叶逆变换或原函数。
傅里叶变换对
可记为：
xt X
正变换(FT)：
X () F[x(t)] 1 x(t)ejtdt
2
分解过程（时域→频域）
逆变换(IFT)：
x(t) F 1[X ()] X ()ejtd
傅里叶变换（FT）的重要性质
•
尺度改变：
F[x(kt)]
1 k
X
f k
,
F
1 k
x
t k
X
(kf
)
• 证明： F[x(kt)] x(kt)ej2πftdt
• 令 kt，则 d k d，t 代入上式得
F[x(kt)] F[x( )] x( )e j2πf /k 1 d