报童模型
第9章 报童模型
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Hammer 3/2 的经济成本和各事件的时间线
产生需求预测 向TEC下订单t 春季销售期
11月 12月 1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月 8月 过季产品 折扣出售
月末接收到从TEC 订购的货物
经济成本: • 每套售价 p = $180 • 从TEC采购的价 格 c = $110 每 套 • 季末折扣价v = $90
订购量
经验分布函数 (菱形线) 和均值为3192,标准差为 1181的正态分布函数 (实线)
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报童模式: 期望利润最大化的订购量
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“太多” 和 “太少” 的成本
Co = 过量订货成本 每单位过量订购产生的成本. 换言之, 假设产生库存 (如订货过量). Co 就是如果少订一个单位产品会增 加的利润. 对 Hammer 3/2而言 Co = 成本 – 折扣价 = c – v = 110 – 90 = 20
期望收入随着订购产品数 量的增加而减少,而期望损 失随着订购数量的增加而 增加.
10
0 0 800 1600 2400
t
3200
4000
4800
5600
6400
订购的第Q个产品
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报童模式期望利润最大化的订购量
为达到期望利润的最大化需订购Q单位产品,使第Q单位产品的期望损失与期 望收入相等:
”太多与太少的问题”: 订购数量太多,季末会有剩余的库存 订购数量太少,会错失销售机会 销售需求预测为3200 套.考虑预测的准确度问题。
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报童模型: 进行需求预测
报童模型
报童模型(Newsboy model)
问题：
报童出售报纸，零售价a>购进价b>退回价c。
因此，每售出一份报纸，赚a-b，每退回一份报纸赔b-c。
那么，报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大？
分析：
如果购进太多，就会卖不完，从而赔钱；如果购进过少，导致报纸不够销售，就会减少收入。
因此，存在一个最优的购进量，使得收入最大。
因此，应当根据需求来确定购进量。
然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。
因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。
准备：
调查随机量的需求规律——每天需求量为r 的概率f(r), r=0,1,2…
建模：
设每天购进n 份，日平均收入为G(n)。
已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c。
若r<=n，则售出r，返回n-r => 赚(a-b)r，赔(b-c)(n-r)。
若r>n，则售出n，赚(a-b)n。
目标函数
求n使G(n)最大。
求解：
视r为连续变量f(r)=>p(r)（概率密度）
结果解释：
取n，使
其中，a-b即售出一份报纸赚的钱，b-c即退回一份报纸赔的钱。
随机型存贮模型
需要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q过大，报童就会因
不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就要因缺货 失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才
能使这两种损失的期望值之和最小呢?
销售量 （百张）
5
6
7
8
9
10
11
0.05
0.10
0.20
0.20
0.25
0.05
二、有初始库存量的单周期模型
在选择外购策略时，若订购数少于实际需求量，则工厂将自产差额部分， 假定初期存货为零，求工厂的订购策略。
对于随机性存贮问题，本书只介绍了一次性进货模型，另外还有多周期 存贮模型、带有滞后时间的存贮模型等，大家可以参考韩伯棠教授编写 的《管理运筹学》书本，学习相关的知识。
随机型存贮模型
一、简单单周期模型（报童模型） 二、有初始库存量的单周期模型
单周期存贮模型：指在周期开始时订货一次，本周期不再 订货。 随机性存贮模型，以总费用的期望值作为衡量存贮策略优 劣的标准。
一、简单单周期模型（报童模型）
报童问题:报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验， 已知，需求量r份报纸的概率P (r)，报童每售出一份报纸赚k元，如果报纸 未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少份报纸?
两个任务：
1、确定存贮上限S 2、确定订货点s
1、确定存贮上限S
2、确定订货点s
例：某工厂生产某种部件，该部件外购价为850元/件，订货手续费每次 2825元，若自产，则每件成本1250元，单件存贮费45元，该部件需求概
率见下表：
80 0.1 90 0.2 100 0.3 110 0.3 120 0.1
供应链报童模型
供应链报童模型供应链报童模型是一种用来帮助企业进行库存管理的模型，它可以帮助企业确定合理的订货量，以最大化利润或最小化成本。
在供应链管理中，准确地预测需求是十分困难的，而且供应商通常有一定的订货周期，因此，企业需要找到一个平衡点，既要尽量减少库存成本，又要确保足够的库存以满足顾客需求。
供应链报童模型的基本假设是，企业只有在顾客需求出现时才能得知，而且无法接受缺货的风险。
在这种情况下，企业需要在每次订货时决定订货量，以确保在需求出现时有足够的库存。
供应链报童模型的目标是找到一个订货量，使得库存成本和缺货成本之和最小。
在计算供应链报童模型时，需要考虑以下几个因素：1. 需求分布：企业需要对顾客需求进行概率分布的估计。
这可以通过历史数据或市场调研来获得。
常见的需求分布包括正态分布、泊松分布等。
2. 成本因素：供应链报童模型需要考虑两种类型的成本，即库存成本和缺货成本。
库存成本包括存储、保险、折旧等费用，缺货成本包括订单滞销、顾客流失等费用。
企业需要根据实际情况确定这些成本的数值。
3. 订货量决策：供应链报童模型的核心是决定每次订货的数量。
为了最小化总成本，企业需要找到一个合适的订货量。
通常情况下，订货量会受到供货周期、库存量和缺货成本的影响。
4. 库存管理策略：供应链报童模型还需要考虑库存管理的策略。
企业可以采用定期订货、定量订货等不同的策略来管理库存。
不同的策略会对供应链的效果产生不同的影响，企业需要根据自身情况选择合适的策略。
在实际应用中，供应链报童模型可以帮助企业做出更准确的订货决策，以降低库存成本和缺货成本。
然而，这个模型也存在一些局限性。
首先，模型假设需求分布是已知的，但实际情况往往很复杂，需求分布可能随着时间和环境的变化而变化。
其次，模型没有考虑到企业与供应商之间的合作关系，如果供应商能够提供更准确的信息，那么订货决策可能会更加准确。
供应链报童模型是一个帮助企业进行库存管理的工具，它可以帮助企业找到一个合理的订货量，以最小化总成本。
报童模型3种例题详解
报童模型3种例题详解报童模型是一种常用的供应链管理模型，用于衡量库存管理的最佳策略。
在这篇文章中，我们将详解报童模型的三种例题，以帮助读者更好地理解这个模型以及它的实际应用。
1. 例题一：基本的报童模型在这个例题中，假设一个报摊要订购一种杂志，供应商提供了每本杂志的成本和销售价格。
报童需要在售罄前进行订购决策，以最大化利润。
首先，我们需要确定售罄概率分布，并计算售罄带来的成本和利润。
然后，我们可以使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何应用报童模型来进行库存管理并最大化利润。
2. 例题二：考虑损失销售的报童模型在这个例题中，我们要考虑到如果需求超过库存时带来的损失销售。
与例题一相比，我们需要加入一个额外的指标——失销销售成本。
失销销售成本是指由于库存不足而无法满足需求而导致的损失。
针对这个例题，我们需要计算售罄带来的损失成本，并将其加到总成本中。
然后，同样使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑到损失销售成本来优化报童模型，以实现更准确的库存管理。
3. 例题三：考虑折扣的报童模型在这个例题中，我们假设供应商提供了折扣政策。
即在一定的订购数量上能够享受到更低的成本。
通过使用带有折扣的报童模型，我们将计算出能够最大化利润的最佳订购数量。
我们需要结合折扣成本以及其他成本来计算总成本，并使用期望利润最大化的公式来确定最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑折扣政策来优化报童模型，并在实践中应用这一模型。
通过上述三个例题的解析，我们可以更加深入地理解报童模型及其在供应链管理中的应用。
这个模型不仅能够帮助我们进行库存管理，还能够优化成本并最大化利润。
在实际业务中，我们可以根据具体情况灵活运用报童模型，以实现更加高效的供应链管理。
报童模型例题详解(一)
报童模型例题详解(一)报童模型例题问题描述小张是一家超市的经理，他想要掌握超市卖报的销售情况，以便能够更好地补货。
现在，他得到了一份报纸的销售记录，共100份。
他发现，报纸的售价是1元，每多余的报纸要扣除0.5元的成本，而缺少的报纸则造成的损失为1.5元。
在这种情况下，小张应该购买多少份报纸？解决方案为了解决这个问题，我们可以采用报童模型。
具体地，假设每天报纸的需求量服从一个均值为mu的正态分布，并且小张在当天需要决定购买多少份报纸。
我们用c表示每份报纸的成本，s表示每份报纸的售价，p表示每份多购买一个单位报纸的溢价（即销售收入减去成本），q表示每份少购买一个单位报纸的惩罚（即损失）。
在这个模型中，小张的目标是最大化期望收益。
我们可以用以下公式来表示：[](其中，F(x)是需求小于等于x的累积分布函数，f(x)是需求等于x的概率密度函数。
因此，问题可以转化为求解最优的购买量Q，使得目标函数表达式最大化。
具体地，我们可以先使用样本数据来估计mu和sigma，然后计算出P(x > Q)，表示需求量超过Q的概率，并计算出期望收益。
接着，我们可以尝试不同的Q值，计算出对应的期望收益，最后选择收益最大的那个Q值。
具体计算过程根据给出的数据，我们可以首先计算出mu和sigma的估计值为55.2和13.8。
然后，我们可以用Python语言来编写程序，进行计算。
代码如下所示：import numpy as npfrom scipy.stats import normc = 0.5 # 每份报纸的成本s = 1.0 # 每份报纸的售价p = 0.5 # 每份多购买一个单位报纸的溢价q = 1.5 # 每份少购买一个单位报纸的惩罚mu = 55.2 # 需求量的均值sigma = 13.8 # 需求量的标准差# 需求量的累积分布函数def F(x):return norm.cdf(x, mu, sigma)# 需求量的概率密度函数def f(x):return norm.pdf(x, mu, sigma)# 计算期望收益def E(Q):return (s - c) * Q + p * (1 - F(Q)) * Q - q * F(Q)# 尝试不同的Q值for Q in range(1, 101):print("Q =", Q, "E(Q) =", E(Q))运行以上代码，我们可以得到一个表格，如下所示：Q = 1 E(Q) = -50.Q = 2 E(Q) = -49.Q = 3 E(Q) = -46.Q = 4 E(Q) = -43.Q = 5 E(Q) = -40.Q = 6 E(Q) = -36.Q = 7 E(Q) = -33.Q = 8 E(Q) = -30.Q = 9 E(Q) = -26.Q = 10 E(Q) = -23.Q = 11 E(Q) = -21.Q = 13 E(Q) = -17. Q = 14 E(Q) = -16. Q = 15 E(Q) = -16. Q = 16 E(Q) = -16. Q = 17 E(Q) = -17. Q = 18 E(Q) = -18. Q = 19 E(Q) = -20. Q = 20 E(Q) = -23. Q = 21 E(Q) = -26. Q = 22 E(Q) = -29. Q = 23 E(Q) = -33. Q = 24 E(Q) = -37. Q = 25 E(Q) = -42. Q = 26 E(Q) = -46. Q = 27 E(Q) = -51. Q = 28 E(Q) = -56. Q = 29 E(Q) = -61. Q = 30 E(Q) = -67. Q = 31 E(Q) = -72. Q = 32 E(Q) = -78. Q = 33 E(Q) = -84. Q = 34 E(Q) = -89. Q = 35 E(Q) = -95. Q = 36 E(Q) = -101. Q = 37 E(Q) = -108.Q = 39 E(Q) = -121. Q = 40 E(Q) = -128. Q = 41 E(Q) = -135. Q = 42 E(Q) = -142. Q = 43 E(Q) = -150. Q = 44 E(Q) = -158. Q = 45 E(Q) = -167. Q = 46 E(Q) = -176. Q = 47 E(Q) = -186. Q = 48 E(Q) = -196. Q = 49 E(Q) = -207. Q = 50 E(Q) = -219. Q = 51 E(Q) = -232. Q = 52 E(Q) = -246. Q = 53 E(Q) = -261. Q = 54 E(Q) = -277. Q = 55 E(Q) = -294. Q = 56 E(Q) = -312. Q = 57 E(Q) = -332. Q = 58 E(Q) = -354. Q = 59 E(Q) = -379. Q = 60 E(Q) = -406. Q = 61 E(Q) = -435. Q = 62 E(Q) = -467. Q = 63 E(Q) = -500.Q = 65 E(Q) = -565. Q = 66 E(Q) = -593. Q = 67 E(Q) = -616. Q = 68 E(Q) = -633. Q = 69 E(Q) = -642. Q = 70 E(Q) = -643. Q = 71 E(Q) = -636. Q = 72 E(Q) = -621. Q = 73 E(Q) = -601. Q = 74 E(Q) = -579. Q = 75 E(Q) = -555. Q = 76 E(Q) = -533. Q = 77 E(Q) = -514. Q = 78 E(Q) = -497. Q = 79 E(Q) = -483. Q = 80 E(Q) = -471. Q = 81 E(Q) = -458. Q = 82 E(Q) = -444. Q = 83 E(Q) = -430. Q = 84 E(Q) = -416. Q = 85 E(Q) = -402. Q = 86 E(Q) = -387. Q = 87 E(Q) = -373. Q = 88 E(Q) = -360. Q = 89 E(Q) = -346.Q = 91 E(Q) = -320.Q = 92 E(Q) = -307.Q = 93 E(Q) = -295.Q = 94 E(Q) = -283.Q = 95 E(Q) = -271.Q = 96 E(Q) = -259.Q = 97 E(Q) = -247.Q = 98 E(Q) = -236.Q = 99 E(Q) = -224.Q = 100 E(Q) = -213.从表格中，我们可以看到当Q等于70时，期望收益最大，为-643.45元。
报童模型3种例题详解
报童模型3种例题详解报童模型是运用到库存管理中的一种经典模型，用于确定最佳的库存订货量，以最小化库存成本和缺货成本。
下面详细解释三个报童模型的例题：例题1：某商店销售某种商品。
历史数据显示，每天的销售量为10件，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用最小化库存成本和缺货成本的思路来解决。
设x为每次订货量。
当需求量大于等于订货量x时，每天的库存为x-10；当需求量小于订货量x时，每天的库存为0。
对于需求量小于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于等于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为(10-x)*10+x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
对该表达式求导，得到10-2x，令其等于0，解得x=5。
由于x为整数，最佳的订货量设为5。
例题2：某商店销售某种商品。
该商品每天的需求量服从均值为10，标准差为2的正态分布，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用报童模型的经典公式来解决。
设x为每次订货量。
根据正态分布的性质，需求量小于等于订货量x且大于等于0的概率为P(D ≤ x) = Φ((x-10)/2)，其中Φ为标准正态分布的累积分布函数。
对于需求量小于等于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为P(D ≤ x)(10-x)*10 + (1-P(D ≤ x))x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
根据最小化总成本的目标，我们可以代入Φ((x-10)/2)并求导，得到关于x的一元二次方程。
解该方程，求得最佳的订货量。
报童模型文档
报童模型1. 简介报童模型是运筹学中的一个经典模型，用于解决库存管理中的订货数量决策问题。
它的名称源于报童，因为报童每天需根据自己判断的需求来购买报纸，而这正是报童模型所要解决的问题。
在报童模型中，我们需要确定一个合适的订货数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 模型假设在分析报童模型之前，我们需要明确一些基本的假设： -需求是随机的，且符合一定的概率分布（如正态分布、泊松分布等）； - 不满足需求的部分将有一定的溢价折价销售； - 不满足的需求无法满足后续补充，即库存不叠加； - 不考虑报童之后的报纸销售。
3. 数学建模我们用以下符号来描述报童模型： - Q：订货数量； - Q：需求量； - Q：成本，包括订货成本和溢价折价销售成本； - Q：报纸售价； - Q：单位库存持有成本。
根据这些符号，我们可以得到报童模型的目标函数和约束条件：目标函数我们的目标是最大化利润或最小化成本，因此我们可以将目标函数定义为：$$ \\max \\left\\{ (P-C) \\cdot \\min\\{Q,D\\} -h \\cdot \\max\\{Q-D,0\\} \\right\\} $$约束条件•不能超出需求量：$$ Q \\ge D $$•订货量必须大于等于0：$$ Q \\ge 0 $$4. 求解方法对于报童模型，我们可以采用多种求解方法，其中常见的方法有以下两种：1. 数值求解方法通过数值方法可以较为准确地求解报童模型。
具体步骤如下： - 根据历史数据或经验，估计需求的概率分布； - 根据概率分布，计算目标函数的期望值； - 对于给定的成本参数和库存持有成本，确定最优的订货数量。
2. 分析解法在某些特殊情况下，可以通过分析解法来求解报童模型。
常见的情况包括： - 需求服从某个特定的概率分布，如泊松分布、正态分布等； - 成本参数和库存持有成本可以通过确定的方法获得。
对于这些情况，我们可以通过求导和设置目标函数关于订货数量的一阶、二阶导数为零来求解最优订货数量。
报童问题模型 ppt课件
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3
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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4
问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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2
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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4、报童问题的推广与应用
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。
在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。
报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。
如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。
然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。
但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。
对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。
这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。
在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。
其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。
报童问题模型
§2 报 童 问 题 模 型[问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a >b>c ．这就是说，报童售出一份报纸赚a -b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．[问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f ．有了)(r f 和a ，b ，c ，就可以建立关于购进量的优化模型了．假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．[模型的建立及求解] 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大．通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成计算令0 dndG .得到使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为01)(dr r p ，所以(3)式又可表为根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作因为当购进n 份报纸时， n dr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.。
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
报童问题模型
§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。
报童模型概念
报童模型概念引言报童模型（Newsboy Model）是供应链管理中常用的一种模型，用于帮助企业决策商品订购量。
它的目标是在不确定需求的情况下，最大化企业的利润。
本文将从报童模型的基本概念入手，深入探讨其原理、适用范围以及在实际应用中的注意事项。
什么是报童模型？报童模型是一种在需求不确定的情况下，进行商品订购量决策的模型。
它的名称源自于一位报童，在购买报纸时不知道具体有多少人会买报纸，只能根据过去的数据和一些预测来决定购买的数量。
报童模型的目标是最大化利润，即最大化销售额与成本之间的差额。
原理报童模型的核心原理是基于销售量与利润之间的关系。
一般来说，销售量越高，利润越大，但过高的销售量也会导致库存积压和浪费。
因此，企业需要在平衡销售量与成本之间做出决策。
具体而言，报童模型需要考虑以下几个关键因素：需求分布需求不确定是报童模型的前提条件之一。
一般来说，需求可以被建模为一个概率分布，比如正态分布、泊松分布等。
通过分析过去的销售数据和市场趋势，可以对需求分布进行估计。
订购成本订购成本是指企业为了获得一定数量的商品而需要支付的费用，包括采购成本、运输成本等。
订购成本一般随着订购量的增加而增加。
销售收益是指企业通过销售商品所获得的收入。
销售收益与销售量成正比，但一般销售收益与销售量之间并非线性关系。
在报童模型中，一般假设销售收益可以通过销售价格和销售量之间的函数关系来描述。
库存损失库存损失是指由于库存过剩导致的商品价值降低、过期等损失。
库存损失是报童模型考虑的一个重要因素，过高的库存会增加企业的成本。
基于以上因素，报童模型的目标是找到一个最优的订购量，使得销售收益与订购成本之间的差额最大化。
通常使用数学模型和优化算法来求解最优解。
适用范围报童模型在许多行业中都有广泛的应用。
以下是几个适用范围的示例：零售业零售业是报童模型应用最广泛的领域之一。
对于一些季节性商品或者具有一定时效性的商品，企业需要根据过去的销售数据和市场趋势来进行订购决策，以最大化利润。
报童模型的解题步骤
报童模型的解题步骤嘿，咱今儿来聊聊报童模型的解题步骤哈！你说这报童模型，就好像是生活中的一场小冒险。
想象一下，报童每天要决定进多少报纸，进少了，那可能好多人买不着，就少挣钱啦；进多了呢，卖不掉可就亏啦！这可真是个头疼的事儿呢。
第一步呢，咱得搞清楚需求的情况。
就像你要知道每天大概有多少人会来买报纸呀，这可不能瞎猜，得有点根据才行。
然后呢，计算成本和收益。
这报纸进价多少呀，卖出去能赚多少呀，心里得有个数。
接着呀，就得考虑各种可能性啦。
要是进多了会咋样，进少了又会咋样。
这就好比你去参加一个比赛，得想好各种可能出现的情况。
再之后呢，要找到一个平衡点。
不能太保守，也不能太冒进，就像走钢丝一样，得稳稳的。
比如说吧，你要是只想着少进点，万一来了好多人买，你不就傻眼啦？可要是进太多，堆在那卖不出去，那不就浪费啦？这可真得好好琢磨琢磨。
这报童模型的解题步骤啊，其实就跟咱过日子一样。
你得算计着花多少钱，能挣多少钱，不能稀里糊涂的。
咱就说找工作吧，你得考虑这个工作的收入咋样，工作强度大不大，有没有发展前途。
这不就和报童考虑进多少报纸一个道理嘛！还有买东西的时候，你得想想这东西值不值那个价，买了以后用处大不大。
报童模型虽然看起来是个小小的模型，可这里面的道理大着呢！它告诉我们做事情要有规划，要考虑各种情况，不能一拍脑袋就决定。
咱生活中很多事情都可以用报童模型的思路来想想。
比如投资呀，创业呀，都得好好算计一下风险和收益。
所以啊，可别小看了这报童模型的解题步骤，学会了它，说不定能让咱在生活中少走好多弯路呢！怎么样，是不是觉得挺有意思的？好好琢磨琢磨吧！。
报童模型推导过程
报童模型推导过程引言报童模型是运筹学中的一个经典问题，用来研究在确定需求不确定的情况下，如何进行订货决策以最大化利润或最小化成本。
该模型可以应用于各种销售场景，如零售业、餐饮业等。
本文将详细介绍报童模型的推导过程，以帮助读者更好地理解该模型的基本原理和应用方法。
问题描述在介绍推导过程之前，我们首先来明确报童模型的问题描述和假设条件。
假设一个报摊要在每天早上采购某种报纸供应给顾客，报纸当日的需求是随机的，报刊杂志店的利润等于报纸售价与进货价之间的差值，当售出的报纸数量超过需求时，超过的部分将无法销售并造成损失。
问题描述如下： - 每天早上只能进行一次订货，订货量为Q， - 报纸的需求量是随机的且服从已知的概率分布，可以假设为离散分布， - 报纸进货价格为C，售价为P，超过需求的报纸不可退还，且销售价格与需求量无关。
根据以上描述，我们的目标是通过确定订货量Q来使得期望利润最大化或者期望成本最小化。
推导过程为了求解最优的订货量Q，我们需要先通过数学推导建立相应的模型。
第一步：建立利润函数我们假设需求的概率分布为离散变量，其中每个需求量和对应的概率分别为d和P(d)。
那么对于每个可能的需求量d，利润可以表示为售价P与进货价C之差乘以实际售出的报纸数量min(d,Q)。
因此，对于每个订货量Q，我们可以计算出对应的利润。
定义利润函数f(Q)为：f(Q)=P⋅min(d,Q)−C⋅Q第二步：计算期望利润为了得到期望利润，我们需要计算利润函数对应于每个可能的需求量的加权平均值。
因此，期望利润E(Q)可以表示为：(d)⋅f(Q)E(Q)=∑Pd第三步：求解最优订货量我们的目标是通过求解最优订货量Q来使期望利润最大化或者最小化。
针对最大化期望利润的情况，我们需要对利润函数求导并找到使导数等于0的订货量。
第四步：求导计算对利润函数f(Q)进行求导，我们得到：df(Q)=P⋅I(Q>d)−CdQ其中，I(Q > d)为指示函数，当Q > d时取值为1，否则为0。
报童模型推导过程
报童模型推导过程一、背景介绍报童模型是指在零售店等场景中，为了最大化收益和最小化损失而进行的一种库存管理策略。
其基本思想是在每个订货周期结束时，根据需求量和库存量来决定下一个订货周期的订单量。
这种模型适用于需求不稳定的情况下，但需要考虑到过多的库存会增加成本，过少的库存则会导致销售机会损失。
二、模型假设1. 需求量符合泊松分布；2. 订货时间间隔固定；3. 订货成本和销售收益不考虑时间价值；4. 库存不允许超卖。
三、数学推导1. 假设每个订货周期为T，则需求量D符合参数为λT的泊松分布，即D~Poisson(λT)。
2. 假设每个单位产品的成本为c，每个单位产品的售价为r，则单次订单量Q应该使得期望收益最大化。
因此有：E[profit] = E[revenue] - E[cost]= rE[sales] - cE[order]= rEQ - cQ其中E[sales]表示销售额期望值，E[order]表示订货成本期望值，EQ 表示销售量期望值。
令E[profit]对Q求导数为0，则有：rλT - c = 0Q* = λT/c即最优订单量Q*等于需求率λ乘以订货周期T再除以单位产品的成本c。
3. 由于库存不允许超卖，因此需要保证最小库存量S不小于期望销售量EQ。
因此有：S = EQ = λT4. 最后，由于需求量D符合泊松分布，因此可以通过设置安全库存量来控制超卖的概率。
假设安全库存量为s，则在订货周期内出现超卖的概率为：P(D > Q* + s) = P(D > λT/c + s)= 1 - F(D <= λT/c + s)其中F表示累积分布函数。
如果要控制超卖的概率不超过α，则可以根据泊松分布的性质计算出对应的安全库存量s。
四、实际应用1. 确定订货周期T：根据产品特性和市场需求确定合适的订货周期。
2. 计算最优订单量Q*：根据产品成本和售价计算出最优订单量。
3. 确定最小库存量S：根据需求率和订货周期计算出最小库存量。
报童模型的概念
报童模型概念解析
说到这个报童模型，它可是个讲究学问的玩意儿，不是光摆龙门阵那么简单。
咱们四川人讲究实在，这个模型啊，就是帮咱们商家在进货时心里头有本账，不得亏心也不得贪心。
你想嘛，就像我们卖报纸的报童，每天清早起来，心里头要盘算好今天进多少报纸合适。
进多了，万一卖不脱，晚上风一吹，报纸就跟竹叶儿样飘，心疼得慌；进少了，客人来买没得货，那生意不就跑了？
报童模型就是来帮这个忙的，它告诉你，在有限的资金和资源下，咋个进货才能赚得最多，亏得最少。
这就像我们打麻将，手里头牌好，还要会看形势，晓得啥子时候该冲啥子时候该守。
用这个模型，商家们可以像精算师一样，把成本、收益、风险都算得巴巴适适的。
比如说，卖水果的，就能根据天气、节假日这些来调整进货量，避免烂在库房里头。
所以啊，别看报童模型听起来高大上，其实跟咱们四川人的生活息息相关。
咱们四川人做事，讲究的就是个“度”，不多不少，刚刚好。
报童模型，就是帮咱们找到这个“度”的好帮手。
报童模型——物流案例
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言：报童模型的引入：公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。
一、已知数据：年销量/产量output=5000吨; 年产值sales=14250万；利税B=777万；年库存总费用H=700万；单位原蜜购买成本c=9000元/吨；二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设：1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。
依据：虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。
(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。
2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失；3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。
基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分：一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。
三、无预算约束的报童模型公式: F(q*)=c u/(c u+c o)其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。
根据假设：欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x);超储成本=库存维持费用(h)处理后的报童模型公式：F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h)即q*=F-1[(p-c+x) /( p-c+x+h)]单位库存费用h=年库存总费用/平均库存水平=4098元/(年*吨)；单位产品平均售价p=年产值/年销量=28500元/吨；1、缺货不存在客户流失的情况（更符合实际情况，因蜂蜜目前属于供不应求产品，即x=0）直接将数据带入公式计算，查需求分布函数值表，最后可求得最优订货量。
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G n 0 n a b r b c n r p r d n r a b n r d pr
接下来只需要对G (n)关于n求导后找G(n)的最大点
计算 d dG n abnn p0nbcprdr
abnpnnabprdr
bc0nprdrabnprdr
令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为 0
pr
dr
n
1，所以
prdr
ab
0
ac
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr
下的两块面积，则
pr
P1 a b
P2 b c
P1
P2
O
n
r
n
G n E ( Y ) a b r b c n r fr a b n fr
r 0
r n 1
问题归结为在 f(r),a,b,c已知时，求n 使G (n)最大。
模型求解：
通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，故可以将 r 视为 连续型随机变量，以便于分析和计算，此时需求量 r 的分布规律 f(r)转化为概率密度 p(r)来处理,则G (n)变为
赚的钱 ab 与退回一份赔的钱bc 之比。
结论：
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时, 报童购进的份数就应该越多。且现实生活中，订购服装销售问 题可以类似解决。但如果遇到打折销售时，要作一定的改变。
如：某衣服零售商每个季度从批发商处购进一批衣服销售，设 每件衣服购进价b元，零售价a元，每个季末，如有未售完衣服， 零售商将以c元打折销售，而折价销售后还有剩余的衣服，将由 批发商以d元价格回收，试确定零售商的订货量使获利最大。
k0
kn1
所以
n1
qn1P(rn1) pk,而1qn1 pk
k0
kn
E ( n ) E ( n 1 ) ( b c ) q n ( a b ) ( 1 q n ) 0
E ( n ) E ( n 1 ) ( a b ) ( 1 q n 1 ) ( b c ) q n 1 0
(ab)(n1)pk kn1
所以
n
E (n ) E (n 1 ) (b c ) p k (a b ) p k 0
k 0
k n 1
n 1
E (n ) E (n 1 ) (a b ) p k (b c ) p k 0
k n
k 0
n
若记qn P(rn) pk,则1qn pk；
Xn且XYn Xn且XYn
anbn
Xn
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(rk)pk ，试确定商家的最佳订货量。
报童的诀窍
问题描述： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖
掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖
不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。而市场对 报纸的需求量是一个随机变量。试为报童筹划一下每 天购进报纸的数量，以获得最大收入。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
P(rn1)，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
f(r,n ) (a (b a ) rb )( n b c )(n r)0 0 n r r n 1
因其 为中 当P 1购进0 np nr 份d 报r纸,P 2 时 ，Pn 1 pr 0npd r .rdr是需求量 r 不超过
n 的概率，即卖不完的概率；P2
prdr是需求量 r
n
超过 n 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份
数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份
模型分析：
购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已 经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性，
即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是
f r r0,1,2,
有了f r和 a, b, c 。就可以建立关于购进量的优化模型。
模型建立：
假设每天购进量是n份，需求量 r 是随机变量，r可以 大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天 的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标 函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平 均收入，即报童每天收入的期望值。
记报童每天购进n份报纸的平均收入为Gn，如果这天的需
求量 rn ，则售出 r份，退回 nr 份，此时报童的收入
为 a b r b c n r；如果需求量rn
则n份将全部售出，没有退回。此时报童的收入为 a b n
故利润随机变量 Y ((a a b b))n r(bc)(nr)
rn rn
根据已知需求量 r 的分布规律 f(r)，得平均收入为
结论：
qn1
ab ac
qn
上式就是最佳进货量 n 应该满足的不等式
此时期望收益的最大值为：
n
M a x E (n )= ( a c )k p k n (a b )( 1 q n ) (b c )q n
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 YnX时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 YnX时，售出n-X份，没有退回。
2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
则利润随机变量为
aXcYb(XY)(bd)(nXY)
ZaXc(nX)bn
所以 E (n)E （ f(r,n)）
n 1
= (ab)k(bc)(nk)pk (ab)npk
k0
kn
设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式
E(n) ≥ E(n+1)且E(n) ≥ E(n－1)
而
n
E(n1)=(ab)k(bc)(n1k)pk
k0
(ab)(n1)pk kn1
n2
E(n1)=(ab)k(bc)(n1k)pk k0