6.4-4导数的应用 渐近线

曲线有一条斜渐近线 y 2x 4 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
y
x=1
x
总结
曲线渐近线的求法 垂直渐近线
x x0
lim f ( x)
f (x ) lim k, x x
x
斜渐近线
lim [ f (x ) kx ] b.
或 lim [ f ( x ) ( kx b )] 0 ( k , b 为常数) 那么 y kx b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
即动点沿着直线y=kx方向无限远离原点时， 动点到直线y=kx+b距离趋于0。
渐近线
y M
N P
y kx b
y f ( x)
第六章 微分学基本定理及其应用
6.4 导数在研究函数上的应用
曲线的渐近线
给出下列函数的渐近线
给出下列函数的渐近线1
y
o
x
给出下列函数的渐近线2
y
x
给出下列函数的渐近线3
渐近线
y M
P x
当 MO 时， PM 0
五、曲线的渐近线
定义: 若点 P 沿曲线 C : y f ( x ) 无限远离原点时， 点P 到某直线 L 的距离趋向于零，则称 L为C 的一条 渐近线 .
由此得到斜渐近线的求法:
f ( x) 再求 lim [ f ( x ) kx] b. 先求 lim k, x x x
则y kx b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意: 如 果
f ( x) (1) l i m 不存在 ; x x
f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim [ f ( x ) ax ] 不存在, x x x
曲线有垂直渐近线 x 1.
lim f ( x ) , 无水平渐近线。
x
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x( x 1) 2( x 2)( x 3) 4, lim[ 2 x ] lim x x x 1 x 1
可利用极限求曲线y f ( x ) 的渐近线。
1.垂直渐近线
如果 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0 x x0 x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条垂直渐近线.
这里可以是 或 。但x0不能是或 。
例2 y arctanx, x R
x
y

2
lim arctan x

2
,
y arctan x
lim arctan x . x 2

y

2
有水平渐近线两条:
y , 2
y . 2
3.斜渐近线
如果
x Βιβλιοθήκη Baidux
lim [ f ( x ) ( kx b )] 0
求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。
2.水平渐近线
如果
x
l i m f ( x ) b 或 l i m f ( x ) b (b 为 常 数 )
x
那 么 y b 就 是 y f ( x) 的 一 条 水平渐近线.
即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点 到直线y=b距离趋于0。
b lim( f ( x) kx)
x
5 4
x 5 y 4 4
o
x 1
x
例 23
x 2 2x 1 4. 求曲线 f ( x) 的渐近线。 x
y
o
x
作业
P320 15(1)(3)
x
当 MO 时， PM 0， MN 0
由 lim [ f ( x ) ( kx b)] 0, 得
x
lim [ f ( x ) kx] b.
x
f ( x) 1 又由 lim [ k ] lim [ f ( x ) kx] 0 b 0 x x x x f ( x) 得 lim k. x x
都可以断定x 时 y f ( x) 不存在斜渐近线 .
(3) 水平渐近线可以看作斜渐近线k=0的情况
2( x 2)( x 3) 例3 求 f ( x ) 的渐近线. x 1 解 lim f ( x ) , lim f ( x ) ,
x 1 x 1
即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点 到直线x=x0距离趋于0。
1 例1 y ( x 1)( x 2) ,
y
1 lim , x 1 ( x 1)( x 2)
x
1 lim , x 2 ( x 1)( x 2)
有垂直渐近线两条: x
1, x 2.
水平渐近线
x
lim f ( x) b
思考与练习1
1. 曲线 y 提示: lim
1 e 1 e
x2 x2
的渐近线
lim 1 e
x2
2
1 e
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x

2. 曲线 y 1 e
x 2 的渐近线
y 1
y
1
o
x
( x 3) 3. 求曲线 y 的渐近线。 4(x-1)
2
例22
( x 3)2 lim x 1 4(x-1)
( x 3)2 lim x 1 4(x-1)
y
f ( x) ( x 3) 2 1 k lim lim x x x 4x(x-1) 4