2019届高考数学一轮复习：《函数的单调性与最值》教学案(含解析)

第三节函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y ＝

f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．

二、函数的最值

[小题能否全取]

1．(2018·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1

x

D ．y ＝x|x|

解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )

A ．k>12

B ．k<12

C ．k>－1

2

D ．k<－1

2

解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k<－1

2.

3．(教材习题改编)函数f(x)＝11－－的最大值是( )

A.4

5 B.54 C.3

4

D.43

解析：选D ∵1－x(1－x)＝x 2

－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34

，∴0<

11－－

≤43

. 4．(教材习题改编)f(x)＝x 2

－2x(x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max ＝________. 解析：函数f(x)的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：[1,4] 8

5．已知函数f(x)为R 上的减函数，若m

⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x

______．

解析：由题意知f(m)>f(n)；

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1x >1，即|x|<1，且x≠0. 故－1 (－1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

典题导入

[例1] 证明函数f(x)＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 2，

f(x 1)－f(x 2)＝⎝

⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2

＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1

＝(x 1－x 2)⎝

⎛⎭

⎪⎫

2＋

1x 1x 2 由于x 1

x 1x 2

>0， 因此f(x 1)－f(x 2)<0， 即f(x 1)

故f(x)在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g(x)＝

－2x

x －1

在 (1，＋∞)上的单调性． 解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

x 2－1

＝

1

－x 2

1

－2

－

，

由于1

所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)

典题导入

[例2] (2018·长沙模拟)设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x)

＝⎩⎪⎨

⎪⎧

，

，

k ，

＞k ，

取函数f(x)＝2

－|x|

.当k ＝1

2

时，函数f k (x)的单调递增区间为( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

[自主解答] 由f(x)>12，得－1

2

，得x≤－1或x≥1.

所以f 1

2

(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

2－x

，x≥1，

12，－1＜x ＜1，

2x

，x≤－1.

故f 1

2(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

[答案]

C

若本例中f(x)＝2

－|x|

变为f(x)＝log 2|x|，其他条件不变，则f k (x)的单调增区间为________．

解析：函数f(x)＝log 2|x|，k ＝1

2时，函数f k (x)的图象如图所示，

由图示可得函数

f k (x)的单调递增区间为(0， 2 ]．

答案：(0，

2 ]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

2．函数f(x)＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

解析：选A 由于f(x)＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

－2x ，x≥2，

－x 2

＋2x ，x<2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

典题导入