工程电磁场第二章静电场小结

2. 静电场的基本方程
(1)静电场的基本方程的积分形式
D dS DdV dV qk
S
(散度定理)
V
V
k
高斯（通量）定理。 自由电荷的代数和。
E dl ( E ) ds 0
l
（斯托克斯定理）
s
静电场的环路定律 静电场是保守场
基本方程表明：静电场是有（通量）源无（无涡旋源）旋场。
qk R 2 ek k 1 k
N
V/m
线电荷分布 E(r )
R 1 (r ' )ds' eR 面电荷分布 E(r ) 2 s' 4 R
4 l
(r ' )dl '
2
v'
dq r r' 的区别？
场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。 电位参考点的选择原则
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
电荷分布在无穷远区域时，选择有限远处为参考点。
4. 静电场问题的求解
D 0 E P 0 E e0 E 0 (1 e ) E r 0 E E
在各向同性、线性、均匀介质中,
, r 为常数。
称为辅助方程，媒质性能方程，它反映了所研究的静电场所处的 客观环境 静电场的所有性质均可以从这三个方程导出 静电场基本方程的积分形式适用于全空间（全部场域） 高斯定理可用于一类具有对称性静电场场量的求解
电荷分布在导体表面，且
E
。
(2)
静电场中电介质的性质
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部(非均匀极化)和表面产生极化电荷(束缚电荷)； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
极化电荷体密度
p P
极化电荷面密度
p P en
(2)静电场的基本方程的微分形式
D
E 0
自由电荷的体密度 ，在无自由体电荷的场域右端为零 ； 可检验场域每点D 的 通量源分布。 无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。无旋必然有 位。可检验场域每点E 的涡旋源分布。
D 0 E P 0 E e0 E 0 (1 e ) E r 0 E E
电力线与等位线（面）的性质： E线不能相交; E线起始于正电荷，终止于负电荷; E线愈密处，场强愈大; E线与等位线（面）正交； 静电场中的导体和电介质 (1) 静电场中导体的性质

导体内电场强度E为零，静电平衡（静态平衡）； 导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面；
3. E与 的关系 E和 是研究静电场的两个两个重要场量
E [ E 在直角坐标系中： ex ey ez ] x y z
任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向
( p) E dl
p
p0
1 该式与 (r ) 4
（1） 已知场源电荷分布求场量
1) 直接求解：分割，求和取极限 q 点电荷
线电荷 面电荷 体电荷
dq dl (c / m)
dq dS (c / m2 ) dq dS (c / m3 )

k 1
'
n个点电荷
1 E(r) 4
1
N
r rk ' 1 2 r rk ' 4 r rk ' qk
极化电荷的总和为零

V'
PdV ' P en dS' 0
S'
在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度
p 0。
有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度为自由电荷和 极化电荷共同产生的。
电介质的性质集中体现在介电常数ε上。 ε是定量描 述媒质特性的参数
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称
为各向异性；

线性：媒质的参数不随电场的值而变化；
均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
如果在电介质中 P 与 E 成正比关系，则称这种电介质为线性的，否则称为非线 性的。如果在电介质中 P 和 E 的关系处处相同，则称这种电介质为均匀的，否 则称为非均匀的。如果在电介质中 P 和 E 的关系不随电场强度的方向变化而改 变，且 P 和 E 同向，则称这种电介质是各向同性的，否则称为各向异性的。
辅助方程，媒质性能方程，它反映了所研究的静电场所处的客观环境 从这三个方程可以导出静电场的电位 的（基本方程）—泊松方程 或拉普拉斯方程。
静电场基本方程的微分形式只适用于连续介质的内部（同一种介质的内部）
(3)不同媒质分界面(上的衔接)条件
场量在两种不同媒质的分界面上必须满足的关系称为分界面上的衔接条件。 又称为分界面条件或分界面上的边界条件。为避免与场域的边界条件混淆， 本教材称为分界面条件。
（A）一般形式： D2 n D1n 自由面电荷的面密度，如果分界面上不存 在自由面电荷右端为零。
E2t E1t E2t E1t
等价与
分界面两侧 E 的切向分量连续。
en E2 E1 0
D2 n E2 t 0
（B）当分界面为导体(1)与电介质(2)的交界面时，分界面上的衔接条件为：
折射定律
（D）用电位函数 表示分界面上的衔接条件
1 2
在介质分界面上电位是连续的。
1 2 1 2 介质分界面上无自由面电荷时右端为零。 n n
② 导体（1）与理想介质（2）分界面，用电位
表示的衔接条件
1 2
2 2 n
（4）静电场的重要定理：唯一性定理
D2 n D1n E1t E2 t
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表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直， 电场仅有法向分量； （2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度。
（C）在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
tan 1 1 tan 2 2
① 一般形式