高二数学定积分的简单应用PPT精品课件
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高二数学人选修课件第一章定积分的简单应用
复合求积公式及其误差分析
复合求积公式
为了提高数值计算的精度，可以采用复合求积公式。复合求积公式是将定积分区间划分为多个小区间 ，然后在每个小区间上应用基本的求积公式（如矩形法、梯形法或辛普森法），最后将所有小区间上 的结果相加得到定积分的近似值。
误差分析
数值计算方法的精度可以通过误差分析来评估。误差分析可以帮助我们了解数值计算方法的可靠性， 并指导我们如何改进计算方法以提高精度。常见的误差分析方法包括绝对误差、相对误差和均方误差 等。
将积分常数代入原函数的表达式，即可得 到总函数的解析式。
由总函数求边际函数方法
确定总函数
总函数描述了某一经济量（如成 本、收益等）与另一经济量的关
系。
求导得边际函数
对总函数进行求导，得到边际函数 的表达式。
分析边际函数
根据边际函数的表达式，可以分析 经济量的瞬时变化率以及变化趋势 。
经济生活中其他定积分应用
曲面图形面积计算示例
圆柱侧面积计算
圆柱的侧面积可以通过其底面周长和高的乘积来计算。在微元法中，可以将圆柱的侧面分割成许多微小的矩形条 或梯形条，每个微小图形的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有微小图形的面积求和得到整个圆柱的侧面 积。
圆锥侧面积计算
圆锥的侧面积可以通过其底面半径、斜高和圆心角的乘积来计算。在微元法中，可以将圆锥的侧面分割成许多微 小的扇形或三角形条，每个微小图形的面积近似等于其半径、弧长和圆心角的乘积的一半，然后将所有微小图形 的面积求和得到整个圆锥的侧面积。
平面图形面积计算示例
矩形面积计算
矩形的面积可以通过其长和宽的乘积来计算。在微元法中，可以将矩形分割成许 多微小的矩形条，每个矩形条的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有矩形 条的面积求和得到整个矩形的面积。
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
[分析] 这是一道综合性较强的题目，条件(1)可利用导 数表示，条件(2)可利用定积分的几何意义表示．
21/28
[解析] ∵f′(x)＝(x3＋ax2＋bx＋c)′＝3x2＋2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0，f(0)＝c＝2.
∴f(x)＝x3＋ax2＋2.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，f′(0)＝0，
S＝∫－1 2(－x2－x＋2)dx
＝－13x3－12x2＋2x|
1 －2
＝92.
13/28
3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形面积S. 解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图， 所求面积为如图中的阴影部分的面积． 解方程组yy2＝＝xx3， 得交点的横坐标 x＝0，x＝1，因此所求图形面积为 S＝∫01 xdx－∫01x3dx＝23x32 |10－14x4 |10＝23－14＝152.
A.12
B．1
C.
3 2
D. 3
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分
3 - 3
cos xdx＝sin x
3 -
3
＝ 23－－ 23＝
3.
答案：D
12/28
2．求y＝－x2与y＝x－2围成图形面积S.
解：如图，由yy＝ ＝－ x－x22， 得围成图形(阴影部分)面积为
18/28
4．求由曲线y＝cos x与x轴在区间0，32π上所围成图形的面 积S＝________．
解析：所求面积S＝ 2 cos xdx－ 2
0
-
2
＝sin x
2
－sin x
2
＝3.
0
2
cos xdx
答案：3
19/28
5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成平面图
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[解析] ∵f′(x)＝(x3＋ax2＋bx＋c)′＝3x2＋2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0，f(0)＝c＝2.
∴f(x)＝x3＋ax2＋2.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，f′(0)＝0，
S＝∫－1 2(－x2－x＋2)dx
＝－13x3－12x2＋2x|
1 －2
＝92.
13/28
3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形面积S. 解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图， 所求面积为如图中的阴影部分的面积． 解方程组yy2＝＝xx3， 得交点的横坐标 x＝0，x＝1，因此所求图形面积为 S＝∫01 xdx－∫01x3dx＝23x32 |10－14x4 |10＝23－14＝152.
A.12
B．1
C.
3 2
D. 3
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分
3 - 3
cos xdx＝sin x
3 -
3
＝ 23－－ 23＝
3.
答案：D
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2．求y＝－x2与y＝x－2围成图形面积S.
解：如图，由yy＝ ＝－ x－x22， 得围成图形(阴影部分)面积为
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4．求由曲线y＝cos x与x轴在区间0，32π上所围成图形的面 积S＝________．
解析：所求面积S＝ 2 cos xdx－ 2
0
-
2
＝sin x
2
－sin x
2
＝3.
0
2
cos xdx
答案：3
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5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成平面图
高中数学第四章定积分定积分的简单应用课件北师大选修
得xy＝＝5－，3， 或xy＝＝02，， 所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3，5)和(2,0)，
设所求图形面积为 S，根据图形可得
2
2
S＝-3 (－x＋2)dx－-3 (x2－4)dx
＝2x－12x2 |2－3－13x3－4x |2－3
＝225－－235＝1265.
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
由xy＝y＝x1，， 得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，， (舍去)，故 B(1,1)；
由yy＝＝x3，， 得xy＝＝33，， 故 C(3,3)，
故所求面积
1
S＝S1＋S2＝ 1 3
3－1xdx＋13
(3－x)dx＝(3x－
ln
x)
|1
1
＋3x－12x2
|31＝4－ln
3.
3
[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图 形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解 方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分 段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区 间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体 的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
不分割型图形面积的求解
[例 1] 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的 面积．
[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定 积分的计算问题．
[精解详析] 由yy＝＝－x2－x＋4，2，
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
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定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
高二数学定积分的简单应用PPT精品课件
定积分的应用习题课
及的方x轴例程所1.围如成图图，形曲的线面y＝积x2为(1x12 ≥，0)求与切切线线ll
y＝2x－1
y
y＝x2
l A
O CB x
例2 设动抛物线y＝ax2＋bx(a＜0， b＞0)与x轴所围成图形的面积为S，若该 抛物线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化 时，求S的最大值.
yl
S max
5 6
O
Ax
y＝ax2＋bx
例3 设地球质量为M，半径为R，引力 常数为G，求把质量为m（单位：kg）的 物体从地球表面升高h（单位：m）所作 的功.
W
GMmh R(R h)
例4 一质点从时刻t＝0（单位：s） 开始，以速度v＝t2－4t＋3（单位：m/s） 作直线运动，当t＝4s时，求质点的位移 和运动的路程.
位移:
4 3
m
路程:4m
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/0
及的方x轴例程所1.围如成图图，形曲的线面y＝积x2为(1x12 ≥，0)求与切切线线ll
y＝2x－1
y
y＝x2
l A
O CB x
例2 设动抛物线y＝ax2＋bx(a＜0， b＞0)与x轴所围成图形的面积为S，若该 抛物线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化 时，求S的最大值.
yl
S max
5 6
O
Ax
y＝ax2＋bx
例3 设地球质量为M，半径为R，引力 常数为G，求把质量为m（单位：kg）的 物体从地球表面升高h（单位：m）所作 的功.
W
GMmh R(R h)
例4 一质点从时刻t＝0（单位：s） 开始，以速度v＝t2－4t＋3（单位：m/s） 作直线运动，当t＝4s时，求质点的位移 和运动的路程.
位移:
4 3
m
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定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
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DA
O
1
y2＝x x
S
1
xdx
1x2 dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
1C B
DA
O
1
x
S 2 3x2 3|1 0
1 3x3|1 0
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y 2x 及x轴所围成图形的面积
思考1：直线y＝x－4与曲线 y 2x 及
x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
2021/02/25
18
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等
于相应定积分的相反数.一般地，设由直
线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S |f(x)|dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
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0
4
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
S 23 2x2 3|8 0
2 144
4 0 3
理论迁移
例1 计算由直线y＝2－x，y
1 3
x
和曲线y x 所围成的平面图形的面积.
y
y＝2－x
B
yx
1
S 13
23
6
O
1
x
－1
A
例2 如图，直线y＝kx将抛物线 y＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数k的值.
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
问题提出
t
p
1 2
5730
1.定积分 b f(x)dx 的含义及其几何意 义分别是什么a
b
f(x) d x
a
n lim in 1bn a f(i)
y y＝f(x)
b
f (x)dx
a
Oa
bx
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，
思考1：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形 是什么？其交点坐标是什么？
y＝x2
y
y2＝x
1
(1,1)
O
1
x
(0,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？
y
y＝x2
y2＝x
1C B DA
O
1
x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.
ห้องสมุดไป่ตู้
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y＝x2
y
1C B
并且 F(x) f(x)，则
b
b
f ( x ) d x F ( x ) d xF ( b )F ( a ) .
a
a
3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积，微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效的方法，二者强强联合， 可以解决平面几何中曲边图形的面积问 题.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积
k
1
1
3
2
y y＝x－x2 y＝kx
1
O
1－k
x
小结作业
1.定积分在几何中的应用，主要用于 求平面曲边图形的面积.解题时，一般先 要画出草图，再根据图形确定被积函数 以及积分的上、下限.
2.定积分只能用于求曲边梯形的面积， 对于非规则曲边梯形，一般要将其分割 或补形为规则曲边梯形，再利用定积分 的和与差求面积.对于分割或补形中的多 边形的面积，可直接利用相关面积公式 求解.
是什么？
y
y＝x－4
4
y 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
8
8
S 2 x d x ( x4 ) d x