高三数学教案： 数列的综合运用
高三一轮复习北师大版5.5 数列的综合应用
[难点正本
疑点清源]
1．用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列，由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直 线上的若干个离散的点．当d>0时，函数是增函数，对应的 数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的 数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减 数列． 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn (p、q∈R)．当 p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法 解决等差数列问题．
要点梳理
1．等比数列与等差数列比较
不同点 (1)强调从第二项起每一 等差 数列 项与前一项的差； (2)a1 和 d 可以为零； (3)等差中项唯一 (1)强调从第二项起每一 等比 数列 项与前一项的比； (2)a1 与 q 均不为零； (3)等比中项有两个值 相同点 (1)都强调从第二项 起每一项与前一项 的关系； (2)结果都必须是同 一个常数； (3)数列都可由 a1， d 或 a1，q 确定
3 2 45 d 5a1 d 50, 3a1 2 2 2 (a1 3d ) a1 (a1 12d ),
a1 3, 解得 d 2,
∴an=a1+(n-1)d=3+2×(n-1)=2n+1,即an=2n+1.
a2 =2×2n+1=2n+1+1, (2)由已知得,bn=
5.5 数列的综合应用
考 1
点
考纲解读 以数列知识为载体考查数 学建模和运用数列知识解 决实际问题的能力.
运用数列的概念、公式、 性质解决简单的实际问题
数列的综合应用问题既能考查潜能,又具有较强的区分度,创新应用问题选 材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题解答题中,有关数列的试题出现的 频率较高,不仅可与函数、方程、不等式相关联,还可与三角、几何、复数等知 识相结合,题目新颖,难度较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较 高. 在复习中要重视紧扣等差、等比数列的性质和定义,做到合理地分析,灵巧
高三数学数列教案5篇
高三数学数列教案5篇高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题;培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的'应用意识.教学重点： 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课 10，8，6，4，2，; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点) 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： (n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d 即：an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N-时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，则： an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b 成等差数列，那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A-a=b-A，即：a=. 反之，若A=，则2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差数列. 总之，A= a，A，b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b 的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8，5，2的第20项. 分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项答案：这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13的项?如果是，是第几项? 分析：要想判断-401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3，7，11，的'第4项与第10项.(2)求等差数列10，8，6，的第20项. (3)100是不是等差数列2，9，16，的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由. 2.在等差数列{an}中，(1)已知a4=10，a7=19，求a1与d;(2)已知a3=9，a9=3，求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an-an-1=d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用
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新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
高三数学等差等比数列综合运用
1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.
作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前 n 项和分别是 Sn、Tn， a1 1 Sn 2n 若 ，则 等于（ C ） b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项
和 为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题，是数列的概 念、性质在其他知识领域的穿插与 渗透。数列与函数、方程、三角、 不等式等知识相互联系，优化组合， 无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列； ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题 数列计算是本章的中心内容，利用等差数 列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性 质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内 容.
例如:已知
a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,
∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、 预测 1
高中教学数列设计数学教案
高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。
2.掌握常见数列的求和公式。
3.能够应用数列知识解决问题。
二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。
难点：能够灵活运用数列知识解决问题。
三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。
2.学生准备数学笔记本和作业本。
四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。
2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。
3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。
五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。
2.教师布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。
2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。
七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。
苏教版高三数学复习课件5.5 数列的综合应用
6．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一 项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式． 7．数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法．
8．数列作为特殊的函数，在解决实际问题过程中有着广泛的应
用，如人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题．利用等 差数列和等比数列还可以解决一些简单的已知数列的递推关系 求其通项公式等问题．
5．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现 有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新的 车辆数约为现有总车辆数的________(参考数据1.14＝1.46,1.15＝1.61)． 解析：设市内全部出租车辆为b,2003年底更新的车辆为a，则2004年更新的 车辆为a(1＋10%)，2005年更新的车辆为a(1＋10%)2,2006年更新的车辆为 a (1＋10%)3,2007年更新的车辆为a(1＋10%)4，由题意可知： a＋a·(1＋10%) ＋a(1＋10%)2＋a·(1＋10%)3＋a·(1＋10%)4＝b， ∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b⇒a·＝b， ∴ 的16.4%. ≈16.4%.故2003年底更新的车辆数约为现有总车辆数
【例1】 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和， 已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，„，求数 列{bn}的前n项和Tn. 思路点拨：(1)由已知列出方程组求出公比q与首项a1； (2)结合对数的运算，判断数列{bn}是等差数列，再求和．
高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案
高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案例1 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 012.思考题1 已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若b n＝a n·f(a n)，当k＝2时，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝a n lg a n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．思考题2 已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式(2)设a n＝nf(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项的和，求证：S n<34；(3)设b n＝nf n＋f n(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1T n与6的大小．题型三数列与导数、解析几何的综合应用例3 已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.思考题3 已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(x n，f(x n))处的切线与x轴的交点为(x n＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用x n表示x n＋1；(2)若x1＝4，记a n＝lg x n＋2x n－2，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{a n}的通项公式．题型四数列的实际应用例4 为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．思考题4 某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．。
高三数学复习教案：高考数学数列复习教案
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【知识图解】【方法点拨】1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.第1课数列的概念【考点导读】1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】1.已知数列满足，则 = 。
分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2.在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3.设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.4.已知数列的前项和，则其通项 .【范例导析】例1.设数列的通项公式是，则(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项? 分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：(1)由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。
数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用 一、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
1、已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和T 2n .2、已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和S n .二、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1②1n(n+2)=12(1n−1n +2) ③1(2n −1)(2n+1)=12(12n−1−12n +1)④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 3、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；n .4、已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。
5、已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3（1）求数列 a n 通项公式；（2） b n 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列 b na n 的前n 项和T n .6、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和T n *()n ∈N .四、分奇数、偶数求和（课后作业）7、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且(1)证明：23n n a a +=；(2)求n S8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a 1=2,a n +1+a n =2n −1（1） 求数列{}n a 的通项公式（2） 求n S。
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
高中数学单元设计数列教案
高中数学单元设计数列教案
一、教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 能够识别和推断等差数列、等比数列；
3. 能够求解数列的通项公式；
4. 能够利用数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 数列的定义和分类；
2. 等差数列和等比数列的特点；
3. 数列的通项公式的求解方法。
三、教学难点：
1. 数列的通项公式的推导过程；
2. 利用数列解决实际问题的能力。
四、教学内容：
1. 数列的定义和性质；
2. 等差数列和等比数列；
3. 数列的通项公式；
4. 数列在实际问题中的应用。
五、教学过程：
1. 概念引入：通过举例介绍数列的概念和分类；
2. 理论讲解：依次介绍等差数列、等比数列的概念和性质；
3. 示例演练：通过例题演练，让学生掌握数列的求解方法；
4. 拓展应用：结合实际问题，让学生掌握利用数列解决问题的能力；
5. 总结反思：总结本节课的重点和难点，让学生对数列的概念有更深刻的理解。
六、教学手段：
1. 讲义和教材；
2. 幻灯片和黑板；
3. 课堂练习和作业。
七、教学评价：
1. 考试成绩；
2. 课堂表现；
3. 作业质量。
八、教学反馈：
1. 随堂测验；
2. 学生互评；
3. 教师评语。
数列与函数不等式的综合应用
法二：
a3 a4 a1 a2 4,
解之得 d 1
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(2) a1
5 2
7 ∴数列 an 的通项公式为 an a1 (n 1)d n ， 2 1 1 . bn 1 1 7 an n 2 7 7 1 ∵函数 f ( x ) 1 在 (, ) 和 ( , ) 上均是单调递 7 2 2 x 2
次组成数列 an ，则 an3 an .
36
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互动
例1
提升
已知 an 是公差为 d 的等差数列，它的前
1 an n 项和为 Sn ，且 S4 2S2 4, bn . an (1)求公差 d 的值； 5 (2) 若 a1 , 求数列 bn 中的最大项和最小项 2
21 2
a 则数列 n 的前 n 项和为 n 1
2.
n 1
2
3. 设 M cos x cos x,sin x sin 3 4 3 4
2
x , x R 为 坐 标 平 面 上 一 点 ， 记
f x OM 2, 且 f x 的图像与射线 y 0 x 0 交点的横坐标从小到大依
的值；
* n N (3)若对任意的 ， 都有 bn b8 成立， 求 a1 的
取值范围．
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解：(1)法一：
S4 2S2 4, 4a1 6d 2(2a1 d ) 4, 解之得 d 1 S4 2S2 4,
数列教案(全)
数列教案本章教学约需17课时，具体分配如下：3.1 数列约2课时3.2 等差数列约2课时3.3 等差数列前n项和约2课时3.4 等比数列约2课时3.5 等比数列前n项和约2课时研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时小结与复习约4课时一、内容与要求本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)在推导等差数列前n 项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便 在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握二、本章的特点(一)在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子它用一个涉及求等比数列的前n 项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用例如在讲等差数列前n 项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题： 1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k 项与倒数第k 项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分如3.3 例4：“已知数列的通项公式为n a =pn 十q ，其中p 、q 是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?” 又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路如对于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定 {n a }是不是等差数列，只要看 n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数就行了”话虽不多，但突出了 “从定义出发”这种最基本的证明方法(二)加强了知识的应用除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强(四)注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B组第2题”便是一个典型例子思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件三、教学中应注意的几个问题(一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力(三)适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面1．数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n 个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n ，就可以通过递推公式确定相应的f(n)这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式2．等差数列与一次函数、二次函数的联系从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a n 是关于项数n 的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列 此外，首项为1a 、公差为d 的等差数列前n 项和的公式可以写为： d n n na S n 2)1(1-+= 即当0≠d 时，n S 是n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n 项和的问题如可以根据二次函数的图象了解n S 的增减变化、极值等情况3．等比数列与指数型函数的联系由于首项为1a 、公比为q 的等比数列的通项公式可以写成 qq a S n n --=1)1(1 )1(≠q 它与指数函数y=x a 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征 等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过 (六)在符号使用上与国家标准一致为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N ＝{0， l ，2．3，……}，即自然数从O 开始这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.高一数学第三章数列复习小结基本训练题一、选择题1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为Ａ．0B ．nＣ．n a 1 Ｄ．a 1n 2．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是B ．此数列为等比数列Ｄ．此数列从第二项起是等差数列3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为Ａ．3n －1 B ．3(3n －1)Ｃ．419-n 4n 4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中B ．必有一项为零Ｄ．可以有无数项为零5．如果数列｛n a ｝的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２nn a =3n +1 Ｄ．n a =2·3n6．已知等差数列的第k,n,p 项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为Ａ．n k pn -- B ．k p n p -- Ｃ．p n k n -- Ｄ．pk n k -- 7．数列｛n a ｝，｛n b ｝满足n a n b =1, n a =n 2+3n +2,则｛n b ｝的前10项之和为Ａ．31 B ．125 Ｃ．21 Ｄ．127 二、填空题8．2，x,y,z,18成等比数列，则x = . 9．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .10．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .11．一个数列的前n 项和为n S =1—2+3-4+…+(—1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝12．一个数列｛n a ｝，当n 为奇数时，n a =5n +1,当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列前2m 项的和为 .13．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .14．k 为正偶数，p (k )表示等式)214121(21114131211kk k k k +++++=--++-+- 则p (2)表示等式 ,p (4)表示等式 .15、若数列{}n a 的前n 项和n S =322+-n n ，则其通项公式=n a ____.三、解答题16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．17.某城市1996年底人口为20万，大约住房面积为8ｍ2，计划到2000年底人均住房面积达到10ｍ2，如果该市人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，每年该市要平均新建住房面积多少万平方米?(结果以万平方米为单位，保留两位小数)18．7个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积之差为42，首末两项与中间项之和为27，求中间项．19．已知等差数列｛n a ｝的第2项为8，前10项的和为185，从数列｛n a ｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项按原来顺序排成一个新数列｛n b ｝，求数列｛n b ｝的通项公式及前n 项和公式n S ．20．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(，且1a ，2a ，3a ，…，na 组成等差数列(n 为正偶数)，又f (1)=n 2，ｆ（－１）＝ｎ，求数列的通项n a ．数列复习小结基本训练题参考答案1．C 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．B8．±32 9．387 10．4，8，16或16，8，411．1 12．22512-+++m m m 13．108；31 14．)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=-15． ⎩⎨⎧-=344n a n )2()1(≥=n n 16．8，2，—4或—4，2，817．约12．03万m 218．219．62231-+⨯=+n S n n20．12-=n a n课 题：3.1 数列的一般概念（一）教学目的：⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与a n 的关系 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)教学过程：一、复习引入：1．函数的定义．如果A 、B 都是非空擞 集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈2．在学习第二章函数的基础上，今天我们来学习第三章数列的有关知识，首先我们来看一些例子：观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.从而引出数列及有关定义 二、讲解新课：⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列①：n a =n+3(1≤n ≤7)；数列③：n a n n (1011-=≥1）； 数列⑤：n n a )1(-=n ≥1） ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点.在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1，图2所示.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列.三、讲解范例：例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：（1）n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n (2) ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n 例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）;515;414,313;2122222---- （3）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯. 解：（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，∴它的一个通项公式是： 12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是： 1)1(2+-=n n n a n ； （3）序号 2111⨯-↓ 3213 ⨯-↓ 4313⨯-↓ 5414 ⨯-↓ ‖ ‖ ‖ ‖)11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )1(1)1(+-=n n a n n 四、课堂练习：课本P 112练习：1—4.学生板演1，2；教师提问评析3，4.答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50；⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26.⒉⑴a 7=1/343，a 10=1/1000；⑵a 7=63，a 10=120；⑶a 7=1/7，a 10=-1/10；⑷a 7=-125，a 10=-1021.⒊⑴n a =2n ；⑵n a =1/5n ；⑶n a =(-1)n /2n ；⑷n a =(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8，64，n a =2n ；⑵1，36，n a =n 2；⑶-1/3，-1/7，n a =(-1)n/n ； ⑷3，6，a n =n .五、小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、课后作业：课本P 114习题3.1：1，2.答案：⒈ ⑴ n a =3n ；⑵ n a =-2(n-1)；⑶ n a =(n+1)/n ；⑷n a =(-1)n/2n ； ⑸ n a =1/n 2；⑹ n a =(-1)n+1 3n .⒉ ⑴a 10=110，a 31=992，a 48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整数解得n=20. 补充作业：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n-+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,∴n a ＝n ＋2)1(1n-+； (5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，a＝(－1)1 n n(n＋1).∴n七、板书设计（略）八、课后记：课题：3.1 数列的概念（二）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系；3．理解数列的前n项和与n4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课： 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
高中数学41数列教案
高中数学41数列教案
教学内容：数列
教学对象：高中生
教学目标：
1. 理解数列的概念，并能够区分等差数列和等比数列；
2. 能够利用递推公式求解数列的任意项；
3. 能够利用数列的性质解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：数列的概念和性质，利用递推公式求解数列的任意项。
难点：利用数列的性质解决实际问题。
教学方法：讲解结合练习和实例分析。
教具准备：
1. PowerPoint课件；
2. 数列相关的习题和问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 利用实例引入数列的概念，让学生了解数列的基本特点。
二、讲解数列的概念和性质（15分钟）
1. 介绍数列的定义和表示方法；
2. 讲解等差数列和等比数列的区别和特点；
3. 分析数列的常见性质。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 带领学生做一些数列相关的习题，加深对数列的理解；
2. 解决一些实际问题，让学生应用数列的性质和递推公式进行计算。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 总结数列的相关知识和应用技巧；
2. 提出拓展问题，激发学生的思考和探究能力。
五、作业布置（5分钟）
布置相关习题和问题，巩固学生对数列的理解和应用能力。
教学反思：
通过此次数列教学，学生对数列的基本概念和性质有了更深入的了解，能够灵活运用递推公式解决数列问题。
希望在今后的教学中，能够进一步激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习积极性和自主探究能力。
高中数学数列教案文件
高中数学数列教案文件
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数列的概念、性质及常见数列的求和公式。
2. 能力目标：掌握数列的概念和性质，能够运用数列的知识解决实际问题。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 教学重点：数列的概念、性质和常见数列的求和公式。
2. 教学难点：能够灵活运用数列的知识解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过提出一个实际问题引入数列的概念，让学生了解数列的定义和常见的数列类型。
2. 讲解：介绍数列的概念和性质，如等差数列、等比数列等，并讲解常见数列的求和公式。
3. 练习：布置练习题让学生通过练习加深对数列的理解和运用。
4. 拓展：引导学生运用数列的知识解决实际问题，拓展学生的思维广度。
5. 总结：总结数列的知识点，强化学生对数列的掌握和应用能力。
四、课堂作业：
1. 完成练习题，加深对数列的理解和掌握。
2. 找出身边的例子，分析是否符合数列的概念。
3. 思考如何运用数列的知识解决实际问题。
五、教学反馈：
及时对学生的作业进行批改和评价，引导学生对数列的理解和应用进行反思和总结，及时
纠正和加强学生的掌握程度。
高三数学数列的综合应用知识精讲
高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。
2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。
3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。
要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。
【解题方法指导】例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。
解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。
解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列 首项为1，公比为q=3，由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. （2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项。
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专 题 训 练第十讲: 数列的综合运用学校 学号 班级 姓名知能目标1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.综合脉络1. 揭示数列本质数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整 数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值.等差数列与函数的关系 公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且 常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列.通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1n n 1n ⎩⎨⎧≥-==-2. 分析高考趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解:例1. 已知2)1(f =, 21)n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.例2. 已知数列1a }a {1n =中，且,)1(a a k1k 2k 2-+=- ,3a a kk 21k 2+=+其中Λ,3,2,1k =(1) 求53a ,a ; (2) 求}a {n 的通项公式.例3. 在公差不为零的等差数列}a {n 及等比数列}b {n 中, 已知a 1＝1, 且a 1＝b 1, a 2＝b 2, a 8＝b 3.(1)求数列}a {n 的公差d 和}b {n 的公比q ;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n, 都有b b log a n a n +=成立, 若存在, 求 出a 、b 的值, 若不存在, 说明理由.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 数列}a {n 的通项公式为1n n 1a n ++=, 若}a {n 前n 项和为24, 则n 为 ( )A. 25B. 576C. 624D. 6252. 设数列}a {n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 63. 设)N n (n 213n 12n 11n 1)n (f *∈+++++++=Λ, 那么)n (f )1n (f -+等于 ( ) A. 1n 21+ B. 2n 21+C. 2n 211n 21+++D. 2n 211n 21+-+4. 若数列}a {n 前8项的值各异, 且n 8n a a =+对任意*∈N n 都成立, 则下列数列中可取遍}a {n 前8项值的数列为 ( ) A. }a {1k 3+ B. }a {1k 2+ C. }a {1k 4+ D. }a {1k 6+5. 已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的 ( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似 地满足)12,,2,1n )(5n n 21(90nS 2n Λ=--=. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5 万件的月份是 ( ) A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月二. 填空题7. 数列)21(1++)421(+++++Λ)221(1n -+++Λ前n 项和为______ ____.8. 设}a {n 是首项为1的正项数列, 且0a a na a )1n (n 1n 2n 21n =+-+++),3,2,1n (Λ=, 则它的 通项公式是=n a ____ _____ .9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个 数列的公比 , 项数为 .10. 在各项均为正数的等比数列}a {n 中, 若,9a a 65=则1032313a log a log a log +++Λ= .三. 解答题11. 数列}a {n 的前n 项和为n S , 且1a 1=, ,S 31a n 1n =+,,3,2,1n Λ=求 (1) 2a ,3a ,4a 的值及数列}a {n 的通项公式; (2) n 242a a a +++Λ的值.12. 有穷数列}a {n 的前n 项和S n ＝2n 2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的平均值是79. (1)求数列}a {n 的通项; (2)求数列}a {n 的项数及抽取的项数.13. 已知等比数列}a {n 共有m 项)3m (≥, 且各项均为正数, 1a 1=, 1a ＋2a ＋7a 3=. (1) 求数列}a {n 的通项n a ;(2) 若数列}b {n 是等差数列, 且11a b =, m m a b =, 判断数列}a {n 前m 项的和m S 与数列}21b {n -的前m 项和m T 的大小并加以证明.数列的综合运用解答(一) 典型例题例1. 解：,21)1n (2)n (f ,21)n (f )1n (f 2)1(f ⨯-+=+=+=故.52)101(f = 例2. 解：(1) 0)1(a a 12=-+=, ,33a a 23=+=,4)1(a a 234=-+=,133a a 245=+=所以, .13a ,3a 53==(2) ,3)1(a 3a a k k 1k 2k k 21k 2+-+=+=-+ 所以,)1(3a a kk 1k 21k 2-+=--+同理,)1(3a a 1k k 3k 21k 2----+=-……,).1(3a a 13-+=-所以+--+)a a (1k 21k 2++---Λ)a a (3k 21k 2=-)a a (13)],1()1()1[()333(1k k 1k k -++-+-++++--ΛΛ由此得],1)1[(21)13(23a a kk 11k 2--+-=-+ 于是.1)1(2123a k 1k 1k 2--+=++ 1)1(2123)1(1)1(2123)1(a a k k k1k k k 1k 2k 2=-+=-+--+=-+=--}a {n 的通项公式为:当n 为奇数时, ;121)1(23a 21n 21n n -⨯-+=-+ 当n 为偶数时, .121)1(23a 2n2n n -⨯-+= 例3. 解：(1) ⎩⎨⎧==⇒=+=+==0d 1q q b d 7a ,q b d a .1a b 2111111 或⎩⎨⎧==5d 6q .∴≠∴≠ .1q .0d Θ取⎩⎨⎧==5d 6q . (2) .6b ,4n 5a 1n n n -=-=假设存在, 则有b 6log )1n (4n 5b 6log 4n 5a 1n a +-=-⇒+=--.1b 6a 46log b 56log 6log b 6log n 4n 55a a a a ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=⇒-+=-⇒∴存在⎩⎨⎧==1b 6a 5, 使b b log a n a n +=成立.(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题 7. 2n 2S 1n n --=+; 8. ;n19. 2 , 8 ; 10. 10 .三. 解答题11. 解: (1) 由,S 31a ,1a n 1n 1==+,,3,2,1n ΛΛ =得 ,31a 31S 31a 112===,94)a a (31S 31a 2123=+==,2716)a a a (31S 31a 32134=++==由)2n (a 31)S S (31a a n 1n n n 1n ≥=-=--+, 得),2n (a 34a n 1n ≥=+又31a 2=, 所以),2n ()34(31a 2n n ≥=-∴ 数列}a {n 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2n (,)34(31)1n (,1a 2n n ;(2)由(1)可知n 242a ,,a ,a Λ是首项为31, 公比为2)34(项数为n 的等比数列, ∴].1)34[(73)34(1)34(131a a a n 22n 2n242-=--⋅=+++Λ12. (1) .3S a ,1a 4a S S a 11n 1n n n ==-=⇒-=-.1n 4a n -=∴(2) 设抽去是第k 项则有:791n a a a a a n1k 1k 21=-+++++++-ΛΛ,79n 79a a a a a n 1k 1k 21-=++++++∴+-ΛΛ移项得: 79na a 79a a a n1k 1k 21=++++++++-ΛΛ,所以抽去的是79, .20k 791k 479a k =⇒=-⇒=13. 解: (1) 设等比数列}a {n 的公比为q, 则,7q q 12=++ ∴2q =或3q -=, ∵}a {n 的各项均为正数, ∴2q =. 所以n a 1n 2-=.(2) 由n a 1n 2-=得12S mm -=. 数列}b {n 是等差数列, ,1a b 11==1m m m 2a b -==,而=m T )21b ()21b ()21b ()21b (n 321-++-+-+-Λ ,2m m 222m m 22122m )b b b b (2m 1m 1m n 321---⋅==-+=-++++=Λ∵.12)4m ()12(2m S T 2m m 2m m m +⋅-=--⋅=--- ∴当3m =时, 3333S T ,1S T <∴-=- . ∴当4m ≥时, m m S T >.。