可积条件

§3 可积条件

教学目的：掌握可积判别准则及可积函数类。

重点难点：重点为可积性判别,难点为可积函数类的证明。 教学方法：讲练结合。 一 可积的必要条件

定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．

证 用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记 ().i

k

i i

x f G ∆=

∑≠ξ

现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得 ().k

k x G

M f ∆+>

ξ 于是有

()()()i

k

i i

k k i

n

i i

x

f x f x

f ∆-

∆≥∆∑∑≠=ξξξ1

M G x x G

M k k

=-∆⋅∆+

由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾． 口 注:有界函数不一定可积。 例1 证明狄利克雷函数 ()⎩⎨

⎧=x x x D ,0,1为无理数

为有理数

在[]10，

上有界但不可积． 证 显然()[].1,0,1∈≤x x D

对于[]10，

的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，

()11

1

=∆=∆∑∑==n

i i

i

n i i

x

x D ξ；当取i ξ全为无理数时，

()01

=∆∑=i

n

i i

x

D ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，

积分和有不同极限，即()x D 在[]10，

上不可积． 口 由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．

二 可积的充要条件

要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．

设{}

n i T i ,,2,1 =∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：

()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M i

i

x i x i ===∆∈∆∈

作和

()(),,1

1

i

n i n

i i

i

i

x m T s x M T S ∆=∆=

∑∑==

分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给

,,,2,1,n i i i =∆∈ξ，显然有

()()().1

∑=≤∆≤

n

i i

i

T S x

f T s ξ

与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．

定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得

()()ε<-T s T S

设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为f

i ω。由于

S(T )－()=

T s ∑=n

i i

1

ω

i χ∆(或记为i T

i x ∆∑ω)，

因此可积准则又可改述如下：

定理3.9'， 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存在相应的某一

分割T ，使得

εω<∆∑i

T

i x

几何意义是：若f 在[]b a ,上可积，则包围曲线=y ()x f 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然． 三 可积函数类

根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)．

定理9．4 若f 为[]b a ,上的连续函数，则f 在[]b a ,上可积．

证 由于f 在闭区间[]b a ,上连续，因此在[]b a ,上一致

连续．这就是说，任给0>ε，存在>δ0，对[]b a ,中任意两点x '`x ''，只要x x ''-'δ<，便有()()a

b x f x f -<

''-'ε

所以只要对[]b a ,所作的分割T 满足δ

小区间i ∆上，就能使f 的振幅满足

()()a

b x f x f m M i i i -<

''-'=-=ε

ωsup

从而导致

εε

χω=∆-≤

∆∑∑T

i

i T

i x

a

b

由定理3.9'，证得f 在[]b a ,上可积．

应该注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用．

定理9．5 若f 是区间[]b a ,上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[]b a ,上可积．， 证 不失一般性，这里只证明f 在[]b a ,上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点b ．

任给0>ε，取δ'，满足()

m M -<

'<20ε

δ，且a b -<'δ，其中M 与m 分别为f 在

[]b a ,上的上确界与下确界(设M m <，否则f

为常量函数，显然可积)．记f 在小区间

[]b b ,δ'-=∆'上的振幅为ω'，则

()()

2

2ε

ε

δω=

-⋅

-<''m M m M

因为f 在[]δ'-b a ,上连续，由定理9．4知f 在[]δ'-b a ,上可积．再由定理9．3，(必