河南省名校联盟2021-2021学年高三上学期期末联考试卷理科数学答案
2021届河南省中原名校高三上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析
2020届河南省中原名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21x B y y ==+，则AB =（） A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞ 【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞，所以(]1,3A B =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.2．已知20191i z =+，则2z i -=（ ）AB ．C ．2D 【答案】A【解析】首先化简复数z ，再代入模的计算.【详解】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-==.故选：A【点睛】本题考查复数的计算，属于基础计算题型.3．若tan 13θ=，则cos2θ=( ) A ．45- B ．15- C ．15 D ．45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+.分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D.4．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．32【答案】B【解析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值.【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =，故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ）A ．32B ．31C ．30D ．29 【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=. 因为47522a a +=，所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，， 所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数|2|()ln cos x f x x π=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案.【详解】 因为|2()|()ln cos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ； 当2x =时，(2)lnco 4s 20f π=->，故排除C ； 故选B.【点睛】 本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.7．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A ．4πB ．14C ．16πD ．18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形(OEF阴影部分)内”，则()22124P Aππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A．12π-B．8π-C．122π-D．122π-【答案】A【解析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案.【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 9．设实数,x y 满足不等式组00152x y yx yx ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C 【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）.则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大，当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解，则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n =+-()*n N ∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ）A ．922B ．611C ．12D ．511【答案】D【解析】根据公式2n ≥时，1n n n S S a --= ，化简为14n n a a --=，说明数列{}n a 是等差数列，代入等差数列求和，得到1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求和. 【详解】 由2(1)n n S a n n =+-()*n N ∈得2(1)n n S na n n =--.则当2n ≥时， 11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以43n a n =-*()n N ∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+，所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 设故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10T , 101111111151...12223101121111T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10511T =. 故选：D【点睛】本题考查数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项相消法求和，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.11．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．6 【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x fx f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点 即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x fx f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】 本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A．B．C．D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化111MF MN C D +-，当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得2M 的坐标，从而求出12MM ，得解.【详解】由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则111||||||||||11MF MN MD MN MD MC C D +=++--,当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值， 则点1M 的坐标为(， ()111||||||1||11MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+,当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC上时等号成立，此时MF MN -取得最大值，又直线1FC 的方程为2)yx =-，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2M 的坐标为(4,42)， 所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,故选：D . 【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.二、填空题13．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35ymx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是______万元. x 34 5 6 y2.5 3 4 4.5【答案】5.25【解析】首先根据数据求样本中心点(),x y ，代入求m ，当7x =时，求2019年捐赠的现金.【详解】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+， 得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35y x =+，取7x =，得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元. 故答案为：5.25 【点睛】本题考查回归直线方程的求解和应用，属于基础题型. 14．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩()2105,10X N ，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______. 【答案】160【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =，得到1(115)(10.68)0.162P X =-=，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【详解】考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．∴考试的成绩X 关于105X =对称，(95105)0.34P X =， 1(115)(10.68)0.162P X ∴=-=，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=故答案为：160． 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 15．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-， 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos 3PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cosPA PAO AD ∠==AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥. PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且33m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围． 【答案】（1）3A π=（2）L ∈（6，9]【解析】（1）由条件b m n =⋅可得3b acosC =+，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得3tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c ≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．所以3b acosC =， 由正弦定理，可得33sinB sinAcosC sinCsinA =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ， 又由(0,)C π∈，则sin 0C >，整理得3tanA =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos 3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 10. 【解析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值． 【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，20m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =- 同理(1,0,2)n =是平面BCE 的一个法向量，则10cos ,||||525m n m n m n ⋅<>===⨯. ∴二面角A BE C --的余弦值为105-.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690my my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ ，且向量AN 和AQ 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+，112(6,)2y AQ x =-， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴，向量AN 和AQ 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析 【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果.（2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====，()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题. 21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明【解析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I ），知e 04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-． 不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数． ∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a+>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t x y t x =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值． 【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43. 【解析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；（2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，再由1143PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果. 【详解】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=， 即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+， 即()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0απ<<知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0ααα∆=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，， 则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=， ∴4tan 3α=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞（2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于 1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞.（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。
2021届河南省中原名校联盟高三上学期第一次质量考评数学(理)试题(解析版)
【解析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有 ，根据面积公式有 ，再应用余弦定理可得 ，结合目标式有 ，利用基本不等式即可求最小值；
【详解】
由 及正弦定理可得 ，
∴ ，即 ，又 ，
故 ，故 ．
因为 的面积为 ，所以 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为80．
（2）根据所给数据，先求出平均数和方差，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
（1）填写的2×2列联表如下：
初级烟民
非初级烟民
合计
甲单位烟民数（单位：个）
8
4
12
乙单位烟民数（单位：个）
3
7
10
合计
11
11
22
所以 ，
∴没有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别．
（2）由所给数据可知，乙单位调查的烟民吸烟盒数的平均数为：
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先利用台体的体积算出 ， 的体积可以 减去一个长方体和2个三棱柱的体积算出.
【详解】
设“方亭”的高为h，则 ，
，
∴ ．设 ，则 ，即 ，
∴ ，
故选D．
【点晴】
此题考几何体的体积计算，关键是弄清几何体的组成，利用好体积公式.
11．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与C交于 两点（设点A在第一象限），分别过 作准线的垂线，垂足分别为 ，若 为等边三角形， 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 （）
（1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”’，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图，填写下列2×2列联表．并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别：
2021届河南省高三联考数学(理)试题(解析版)
因为 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，排除选项C，D；
又当 时， ，所以排除B.
故选：A.
【点睛】
本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.
7．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间的关系为 (其中 ， 是正的常数).如果在前 消除了20%的污染物，则 后废气中污染物的含量是未处理前的（）
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合 ，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.
3．函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （）
A． B． C． D．
A．40%B．50%C．64%D．81%
【答案】C
【解析】根据 得污染物含量得初始值为 ，根据 得 ，可得 。代入 可得 ，从而可得答案.
【详解】
当 时， ；
当 时， ，即 ，得 ，
所以 ；
当 时， ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数型函数的应用，属于基础题.
8．在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 交 于 .若 ，则 （）
【答案】B
【解析】求出函数的导函数，导函数在 的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.
【详解】
由题意得 ，所以切线斜率 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试题(附解析)
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试卷满分150分，时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}21,0,1,2,2M N x x =-=<，则MN =（ ）A ．{}101-,,B ．{}1-C ．{0}1,D ．{1,0,1,2}-2．设,a b 是空间中两条不同的直线，α是平面，已知a α⊥，则b a ⊥是//b α的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．在等比数列{}n a 中，21a =-，54a =，则8a =（ ）A ．8B ．16C ．-8D ．-164．若()3sin 0,222x x ππ⎛⎫+=∈⎪⎝⎭，则x 的值为（ ）A ．56π或76π B ．6π± C ．56π± D ．23π或43π 5．若实数x ，y 满足约束条件10,20,240,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则32z x y =-的最大值为（ ）A ．113B ．1C ．53D ．1-6．已知向量()2,a m =， ()2,4b =，若a b a b +=-，则实数m =（ ）A ． 1B ．-1C 5D ．57．已知,x y 均为正实数，且满足4x y +=，则22log log (4)x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边 51-.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓ABCD 就是黄金矩形（如下图所示）.则图中AOD ∠的余弦值等于（ ）A 5B 10C 5D 259．已知函数()sin cos f x x x x =+图象上在点(),x y 处的切线的斜率为k ，若()k g x =，则函数()g x 在原点附近的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1，A ､B 分别为圆2O ､圆1O 上的点，若异面直线1O B ，2O A 所成的角为60︒，则AB =（ ） A ． 2 B ．22C ．2或 2 D ．2或2211．已知定义域为R 函数()f x 满足()()17f x f x -=-+，且()f x 在区间[)4,+∞上单调递增，如果124x x <<，且128x x +>，则()()12f x f x +的值（ ） A ．可正可负B ．恒为正C ．可能为0D ．恒为负12. 已知实数,,a b c 满足：2 21,31,log 1a b a b c c ⋅=⋅=⋅=，则（ ） A ． a b c << B ． c b a << C ． b c a <<D ． b a c <<二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面向量()1,2a =，()3,b m =-，若a b ⊥，则m =_______. 14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若13a =，且321,2,3S S S 成等差数列，则n a =______.15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =，则()g x 的解析式()g x =_________，若对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=，则m 的最小值为________．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．c a b <<三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分。
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题(解析版)
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20x x x M =-≤，{}1,0,1,2N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1【答案】D【解析】由集合描述求M 的集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N =．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合交运算求集合，属于简单题. 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算求出z ，得出对应点的坐标后可得象限． 【详解】 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-，所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的综合运算，复数的几何意义，解题方法是由复数运算化复数为代数形式，然后由复数的几何意义得出结论．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得． 【详解】 由题意，605120a a =+，解得5a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等． 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．15B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】第一次运行时，8412S =+=，3i =； 第二次运行时．12315S =+=，2i =； 第三次运行时，15217S =+=，1i =； 第四次运行时，17118S =+=， 此时满足判断条件1i =． 则输出S 的值为18． 故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，从而得出结论．5．圆C ：2240x y y +-=被直线l 210x y --=所截得的弦长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出圆心到直线的距离，圆的半径，利用垂径定理得弦长． 【详解】圆C 的圆心为()0,2C ，半径为2R =，C 到直线l 的距离为202133d ⨯--==，所以所截得的弦长为22222232R d -=-=． 故选：B ． 【点睛】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．6．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ）A ．12B ．16C ．112D ．15【答案】B【解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率． 【详解】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法．7．函数()2421x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由奇偶性排除A ，C ，再求出0x >时函数有最值可排除D ，从而得正确选项． 【详解】由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+，所以()f x 偶函数，可排除A ，C ； 当0x >时，()2422222211112x f x x x x x x==≤=++⋅，即当且仅当1x =时，()max 1f x =，可排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势，图象的特殊点等排除一些选项，最终得出正确选项． 8．将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．22-B ．0C ．22D ．32【答案】A 【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，求出()()412k k ω=+∈Z ，求出解析式，再利用诱导公式即可求解. 【详解】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π242f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥，若1A D 与b 所成角为60°时，则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线,a b 的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小. 【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直，设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =，2·cos ,1?DC v DC v DC v m ∴===, 故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.10．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】A【解析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.11．在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．43C ．13D ．13【答案】D【解析】设3AH x =，求出,,,CA CH BA BH ，由双曲线的定义表示出2a ，2c AH =，再由离心率定义可得离心率．【详解】在ABC 中，0AH BC ⋅=，所以AH 为边BC 上的高，CA CB =．又3tan 4C =，令3AH x =，则|4CH x =，5AC CB x ==，BH x =，所以AB ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中，)21a BA BH x =-=，23c AH x ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为2123c c e a a====． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是设3AH x =，根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率．12．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到0.1）A．609.4g B．447.3g C．398.3g D．357.3g【答案】C【解析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量．【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为102cm，所以半径为52cmOB=．因为母线与底面所成角的正切值为tan2B=10cmPO=．设正方体的棱长为a，2DE a=21021052a-=，解得5a=．所以该模型的体积为(()2331500ππ52105125cm33V=⨯⨯-=-．所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g33⎛⎫-⨯=-≈⎪⎝⎭．故选：C．【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键．二、填空题13．设向量()2,21a m m=-+，()1,3b=-，若a b⊥，则m=_______．【答案】1-【解析】0a b ⋅=可计算出m 值． 【详解】因为a b ⊥，所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=，解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考查数量积的坐标表示，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______．【答案】44-【解析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示： 由26z y x =-，可得32zy x =+，作直线0:3l y x =， 将其沿着可行域的方向平移，由图可知， 当直线32zy x =+过点B 时，z 取得最小值． 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ，所以min 226844z =⨯-⨯=-． 故答案为：44-.【点睛】本题主要考查了根据简单的线性规划求最值，理解目标函数的几何意义最关键，属于基础题15．曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______．【答案】440x y --=【解析】利用切线的斜率求得切点坐标，然后利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >，对函数32y x x =-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020314x x y x ='=+=， 因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0， 则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=． 故答案为：440x y --=． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈，则k 的取值集合是_______．【答案】{}4,5【解析】利用已知n S 求n a 的法，求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知{}n a 是递减数列，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，即可求得k 的取值集合.【详解】当1n =时，11364a a =-，解得116a =；当2n ≥时，364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减，得13n n n a a a -=-，即114n n a a -=， 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列， 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}n a 是递减数列，即各项依次为16，4，1，14，116，164，…，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，得k 的取值集合是{}4,5． 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，利用递推公式求数列通项，考查了等比数列的定义，属于中档题.三、解答题17．某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元． （1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润． 【答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）． 【解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润． 【详解】解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．【点睛】本题考查由频数计算概率，统计的数字特征求实际问题中的平均利润，属于中档题.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且2223b c a S +-=． （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2 【解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案．【详解】解：（1）由2223b c a S +-=，得12cos sin 32bc A bc A =⋅，所以cos A A =，所以tan A =()0,πA ∈， 所以π3A =．（2）由正弦定理，得2sin sin sin b c a R B C A，解得R =由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭ 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．19．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长2的菱形，PAB △和PBC 都是正三角形，且平面PBC ⊥平面PAB ．（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ，得到AC PB ⊥，再证明AC BD ⊥，则可证明AC ⊥平面PBD ，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=，而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离，即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅. 【详解】（1）证明：取PB 的中点O ，连接OA 和OC ．因为PBC 是正三角形，所以CO PB ⊥． 同理OA PB ⊥． 又COOA O =，CO ，AO ⊂平面AOC ，所以PB ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC PB ⊥，因为四边形ABCD 是边长2的菱形，所以AC BD ⊥，又PB BD B ⋂=，PB ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． 因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥． （2）因为//CD AB ，AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离，即3CO =，所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====．【点睛】本题考查空间垂直关系的判定及证明，考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查棱锥体积的求解，难度一般.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222ty y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22tu t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122t u t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u+=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21．已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性. （2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围. 【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-，()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+.令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x=-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤2x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得12x ≤<则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+，所以()115224h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭152ln2204->->，则()()min 24ln2h x h ==-+，()max12h x h ==-+⎝⎭11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u=⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=．【答案】（1）直线l 20y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u=⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=，得220u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=，则直线l 20y a -+=； 曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=，得220u a -=． 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ，2u ，则12u u += 而yu x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =，所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =12k k k +=．【点睛】本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及直线与抛物线的位置关系之交点问题，注意理解参数的意义，属于中档题. 23．已知函数()f x x x a =++． （1）当1a =-时，解不等式()3f x ≥．（2）若对任意的x ∈R ，总存在[]1,1a ∈-，使得不等式()22f x a a k ≥-+成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞．【解析】（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．分0x ≤，01x <≤，1x >三种情况分别求解不等式，可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+．①，即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥． 当0x ≤时，不等式变为13x x -+-≥，解得1x ≤-； 当01x <≤时，不等式变为13x x +-≥，无解； 当1x >时，不等式变为13x x +-≥，解得2x ≥． 綜上，不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞．（2）要使对任意的x ∈R ，不等式()22f x a a k ≥-+成立，只需()2min 2f x a a k ≥-+．①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 所以①可转化为22a a a k ≥-+．②即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，即总存在[]1,1a ∈-，使得()211a a k --+≥成立．而当1a =-时，()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时，max 1a =， 所以当1a =-时，()2max114a a ⎡⎤--+=⎣⎦， 所以4k ≤，故实数k 的取值范围是(],4-∞． 【点睛】本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，属于中档题.。
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题
河南省名校联盟2020—2021学年高三9月质量检测 理科数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩N ＝A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．设11i z i＝－＋（i 为虚数单位），则｜z ｜＝ A ．1 B ．22 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2：a ：3，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a ＝A ．3B ．4C ．5D ．64．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中，含x 4的项的系数是A ．220B ．－220C ．100D ．－1005．已知1sin 264απ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，则cos 3cos 23πααπ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝ A ．72 B ．－72 C ．732 D ．－7326．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为 A ．35 B ．310 C ．25 D ．237．已知()212x x a f x －＝＋（a ∈R ）是奇函数，且实数k 满足f （2k －1）＜13，则k 的取值范围是A ．（－∞，－1）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（0，＋∞）8．将函数()sin 4f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋（ω＞0）的图象向左平移4π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ A ．－2 B ．0 C ．2 D ．3 9．已知圆C ：（x －3）2＋（y －1）2＝1和两点A （－t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是A ．（0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]10．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为102cm ，母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为1 g ／cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14，精确到0．1）A ．609．4 gB ．447．3 gC ．398．3 gD ．357．3 g11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三边互不相等，若a ＝1，B ＝6π，14cos 0b C b＋＋＝，则△ABC 的面积是A ．3B ．3C ．3D ．1 12．已知函数()214313x e x f x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，≤，＝－＋－，＜＜，若函数g （x ）＝f （x ）－k ｜x ＋2｜有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．（0，15）∪（1e ，3e ]B ．（0，15）∪（1e，＋∞） C ．（0，15） D ．（1e ，＋∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】2021高三数学第三次联考理科试题(河南十所名校含答案)
【高三】2021高三数学第三次联考理科试题(河南十所名校含答案)2021年河南省十所名校高三第三次联考试题数学（科学）本试题卷分第ⅰ卷（）和第ⅱ卷（非）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．如果它是一个集合，那么{Ra．{x｜1＜x＜2}b．{x｜1≤x≤2}c、 {x｜1＜x＜≤2} d.{x｜1＜x＜2}2．对任意复数z＝a＋bi（a，b∈r），i为虚数单位，则下列结论中正确的是a、 z－2ab.z？＝z＝2c＝1d。
≥03．双曲线的离心率为a、不列颠哥伦比亚省。
4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为a、 117b.118c.118.5d.119.55．在△ab c中，m是ab边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝a、 1b.2c.3d.46．公差不为0的等差数列{}的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝a、 20b.21c.22d.237．设函数f（x）＝－lnx，则y＝f（x）a、区间（，1），（1，e）中有零点b．在区间（，1），（1，e）内均无零点c、区间（，1）中有一个零点，区间（1，e）中没有零点d．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点8.如果图中显示了几何图形的三个视图，则几何图形的表面积为a．b．2c．（2＋1）πd．（2＋2）π9.假设函数f（x）是R上定义的一个递增函数，函数y=f（x-1）－1的映像可能是10．在△abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，若＝2021，则的值为A.0B.1C.2022D202211．若＝＋＋＋…＋（x∈r），则＋＋＋…＋a、－b.c.－d。
12．四面体abcd中，ad与bc互相垂直，ad＝2bc＝4，且ab＋bd＝ac＋cd＝2，则四面体abcd的体积的最大值是a、 4b.2c.5d。
河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考理科数学试题含参考答案
河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考理科数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x 2−9x −22≤0}，B ={x |x =3n ,n ∈N }，则A B =( ) A ．{}9B ．{}1,3C ．{}3,9D ．{}1,3,92．若()1i i 2z -=-，则z =( ) A ．22i +B ．22i -C ．2iD ．2i -3．已知点()1,2A -，()10B ,，()1,2C -，()4,2D ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为( )A B ．C ． D 4．将函数2()sin 22sin 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，其图象关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为( )A ．4πB ．3πC ．8πD ．6π5．已知()1f x +是定义在R 上且周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()224,10,sin ,01,x x f x x x π⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则()1033f f ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭( )AB ．C ．D 6．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PB CA CB ====，2AB PC ==，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为( )A ．1112B ．2324C ．34D ．567．2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( ) A ．144种B ．336种C ．672种D ．1008种8．下列说法正确的为( )A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取14名学生B ．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13C ．若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()50.86P X <=，则()10.14P X ≤-=D ．设某校男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =，用最小二乘法建立的回归方程为0.882ˆ5yx =-，若该校某男生的身高为170cm ，则可断定其体重为62.5kg9．已知35a b ==( ) A ．2a b ab +=B ．1ab >C ．22log log 0a b +>D ．22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a ( )A ．()221n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为202111．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()102f x f x '+>，且有()112f =，则()122x f x e ->的解集为( ) A ．(),2-∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．()2,+∞12．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．下列说法正确的是( )A ．若2a b km -=，*N k ∈，则()mod a b m ≡B ．()27265mod7≡C ．若()()2mod a m m ≡+，()()3mod b m m ≡+，6m >，则()()5mod ab m m ≡+D ．若()mod a b m ≡，*N n ∈，则()mod n na b m ≡二、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________．14．已知α为第四象限角，且cos α=，则224cos sin πααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-_________． 15．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 且斜率为14的直线交C 的一条渐近线于点A ，且A 在第一象限，若OA OF =（O 为坐标原点），则C 的渐近线方程为________．16．如图所示的四边形ABCDAC ，BD 相交于点O ，将BDA 沿BD 折起到BDA '的位置，使平面A BD '⊥平面BCD ．给出以下5个结论：①A C BD '⊥；②A BC '和A CD '△都是等边三角形；③平面A BC '⊥平面ACD '；④13A BCD V '-=；⑤三棱锥A BCD '-表面的四个三角形中，面积最大的是A BC '和A CD '△．其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2ABC AC S ⋅=△，8+=b c ．(1)求角A 的大小； (2)求a 的最小值．18．如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有1N ，2N ，3N ，4N ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有1S ，2S ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．(1)求北干道的1N ，2N ，3N ，4N 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； (2)若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．19．如图所示的四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个等腰梯形，//AD BC ，且224AD AB BC ===，PO是PAD △的中线，点E 是棱PD 的中点．(1)证明：//CE 平面PAB ．(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD =，PO AO =，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆E 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ． (1)求椭圆E 的方程；(2)当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程．21．已知函数()()1xf x x e x =-+．(1)判断()f x 的单调性；(2)当[)0,x ∈+∞时，()()()21ln 11f x x x ax ≥++--恒成立，求实数a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4t1+t 2,y =1−t 21+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ--= (1)求C 普通方程和l 的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为,A B ，求PAB △面积的最大值． 23．已知函数()22f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)当()0,2x ∈时，()f x x >，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}211A x x =-≤≤，所以{}1,3,9A B =． 故选：D. 2．A 【解析】 【分析】利用复数的除法与加法化简可得结果. 【详解】因为2i 2i 112i iz +-==+，所以22i z =+． 故选：A. 3．B 【解析】 【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解. 【详解】设AB 与CD 的夹角为θ，因为()2,2AB =-，()3,4CD =，所以cosθ= 故选：B 4．C 【解析】 【分析】化简()f x 解析式，通过三角函数图象变换求得()g x 的解析式，根据()g x 的图象关于直线12x π=对称列方程，求得ϕ的表达式，进而求得ϕ的最小值. 【详解】因为()sin 21cos 22121333412f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()22112g x x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 因为函数()g x 的图象关于直线12x π=对称，所以()2212122k k πππϕπ⨯++=+∈Z ，所以()82k k ππϕ=+∈Z ，因为0ϕ>，所以当 0k =时，min 8πϕ=． 故选：C 5．A 【解析】 【分析】利用函数的周期性，结合分段函数解析式求得()103,3f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，由此求得正确答案.【详解】因为()1f x +是周期为2的函数，所以()f x 的周期为2，即x ∀∈R ，()()2f x f x +=．又当[)1,1x ∈-时，()224,10sin ,01x x f x x x π⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，所以()()()33412f f f =-=-=，1010224sin 3333f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()1033f f ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭． 故选：A 6．B 【解析】 【分析】作出异面直线,PD BE 所成的角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】如图，连接CD ，取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，则//EF PD ，BEF ∠为异面直线PD ，BE 所成的角．由题意可知PD CD BE ===EF =BF所以23cos24BEF ∠==．故选：B7．A 【解析】 【分析】先在祝融以外的名称中选取两个，然后结合对立事件来求得正确答案. 【详解】选取的3个名称中含有祝融的共有29C 种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况有33A 种，其中祝融是第3个被分析的情况有22A 种，故祝融不是第3个被分析的情况有()232932C A A 144-=种．故选：A 8．C 【解析】 【分析】对A ，结合分层抽样按比例分配原则可判断错误；对B ，结合超几何分布公式可求解对应概率；对C ，结合正态分布对称性可判断；对D ，线性回归方程只能做出预测. 【详解】对于A ．应从高三年级中抽取3601512⨯=名学生，A 错误； 对于B ．所求概率11822101645C C P C ==，B 错误；对于C ，()510.860.14P X ≥=-=，所以()()150.14P X P X ≤-=≥=，C 正确； 对于D ，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为62.5kg ，D 错误． 故选：C 9．D 【解析】 【分析】结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由35a b ==log a =5log b =1152a b+=+=，整理得2a b ab +=，故A 正确；由112ab=+≥1≥ab ，又a b ，所以1ab >，故B 正确.因为()222log log log a b ab +=，1ab >，所以()222log log log 0a b ab +=>，故C 正确；因为112a b +=，所以112221b a =+-，22221111122221162a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当且仅当1a =时，等号成立，又3log 1a =>，所以22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：D 10．C 【解析】 【分析】将{}n a 的通项公式化简即可判断A ，再利用裂项相消法求出即可判断B ，在利用作差法证明{}n a 是单调递减数列，即可判断C ，由n S 单调递增，即可得到20202021S <，20212021S >，从而判断D ； 【详解】解：21(1)n n n a n n ++===+，故A 错误；因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以1111111122311n S n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为()()1111121121101211212n n a a n n n n n n n n n n +-⎛⎫=+--+-=--=< ⎝-⎪+++++++⎭，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确；因为n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 错误． 故选：C 11．B 【解析】 【分析】构造函数()()2x F x f x e =⋅，利用导数，结合已知条件判断()F x 的单调性，由此化简不等式()122x f x e ->并求得其解集. 【详解】设()()2x F x f x e =⋅，则()()()()()222110 22x x xF x f x e f x e ef x f x ⎡⎤'''=⋅+⋅=+>⎢⎥⎣⎦， 所以函数()F x 在R 上单调递增，又()112f =，所以()()11221112F f e e =⋅=．又()122xf x e->等价于()12212x f x e e ⋅>，即()()1F x F >，所以1x >，即所求不等式的解集为()1,+∞． 故选：B 12．D【解析】 【分析】根据定义结合二项式定理逐一分析验证即可得出答案. 【详解】解：若2a b km -=，则2a km b =+或2b km a =+，故()2mod a b m ≡，故A 错误；因为()2799881999992871C 7C 7C 71==+=++++，所以272被7除所得的余数为1，65被7除所得的余数为2，故B 错误；由()()2mod a m m ≡+，得()2N a km k =+∈，由()()3mod b m m ≡+，得()3N b tm t =+∈，所以()()()223326ab km tm ktm k t m =++=+++，ab 被m 除得的余数为6，而5m +被m 除得的余数为5．故C错误；若()mod a b m ≡，则()N a km r k =+∈，()N b tm r t =+∈，()()()()12122C C n n n n n n n n a km r km km r km r r --=+=++++，()()()()12122C C nnn m n n n n b tm r tm tm r tm r r --=+=++++，所以()mod n na b m ≡，故D 正确．故选：D. 13．10,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解. 【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可. 【详解】因为α为第四象限角，且cos α=，所以sin α=．又()()22cos sin cos sin cos sin αααααα-=-+sin cos 4πααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2214cos sin sin cos πααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-+15．815y x =±【解析】 【分析】将直线AF 的方程与双曲线C 的渐近线方程b y x a=联立，求出点A 的坐标，利用OA OF =列等式可求得ba的值，即可得出双曲线C 的渐近线方程. 【详解】联立方程组()14y x c b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得44ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即,44ac bc A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 因为OA OF =，所以()()222222244a c b c c b a b a +=--，化简得815b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为815y x =±． 故答案为：815y x =±． 16．①②④ 【解析】 【分析】由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取A C '的中点E ，连接BE ，DE ，由余弦定理以及面面角的定义证明平面A BC '与平面ACD '不垂直；由体积公式得出13A BCD V '-=；由A BD BCD S S '=△△，A BC A CD S S ''=△△判断⑤.【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以A O BD '⊥，且CO BD ⊥，由线面垂直的判定可知BD ⊥平面A OC '，所以BD A C '⊥，所以1A O CO '==，又平面A BD '⊥平面BCD ，所以AO '⊥平面BCD，所以A C '=A BC '和A CD '△都是等边三角形，②正确；如图，取A C '的中点E ，连接BE ，DE，得BE DE ==2BD =，所以BED ∠就是二面角B A C D '--的平面角，而664cos 0BDE +-∠=≠，所以BDE ∠不是直角．即平面A BC '与平面ACD '不垂直，③错误；因为1133A BCD BCD V S A O '-'=⋅⋅=△，所以④正确；因为1A BD BCD S S '==△△，112A BC A CD S S ''===<△△，所以三棱锥A BCD '-表面的四个三角形中，面积最大的是A BD '和BCD △，不是A BC '和A CD '△，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．故答案为：①②④17．(1)3A π=(2)4【解析】【分析】（11cos 2sin 2A bc A =⨯，对其进行化简、整理，即可求出结果.（2）由余弦定理可得()222a b c bc bc =+--，再结合8+=b c ，并利用基本不等式，即可求出结果.(1)32ABC AB AC S ⋅=△1cos 2sin 2A bc A =⨯，整理得sin A A =，所以tan A =又()0,A π∈，所以3A π=． (2)解：因为2222cos 3a b c bc π=+-，8+=b c ， 所以()222643a b c bc bc bc =+--=-，故22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭，即4a ≥， 当且仅当4b c ==时，等号成立，所以a 的最小值为4．18．(1)6581(2)分布列见解析，()76=E X(3)高峰期选择南干道路线较好，理由见解析【解析】【分析】（1）正难则反，先求出四个路段全通勤的概率，用1减去即可求解；（2）确定0,1,2X =，结合独立事件概率公式写出分布列，即可求解()E X ；（3）设北干道被堵塞路段的个数为Y ，则1~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()E Y ，比较()E X ，()E Y 大小即可求解. (1)记北干道的1N ，2N ，3N ，4N 四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A ，则()41166511138181P A ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭； (2)由题意可知X 的可能取值为0，1，2，()121011236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1212111123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1212233P X ==⨯=． 随机变量X 的分布列为：()11170126236E X =⨯+⨯+⨯=； (3)设北干道被堵塞路段的个数为Y ，则1~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()14433=⨯=E Y ．因为()()E X E Y <，所以高峰期选择南干道路线较好．19．(1)证明见解析；(2)17.【解析】【分析】（1）连接OC 、OE ，证明出平面//OCE 平面PAB ，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）取BC 的中点为M ，连接OM ，证明出PO ⊥平面ABCD ，OM BC ⊥，以O 为坐标原点，OM 、OD 、OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.(1)证明：连接OC 、OE ，因为O 、E 分别是棱AD 、PD 的中点，所以//OE PA ，OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以，//OE 平面PAB ．又//AD BC ，且224AD AB BC ===，所以//AO BC ，且AO BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以//CO AB ，CO ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，则//CO 平面PAB ．又CO OE O ⋂=，所以平面//OCE 平面PAB ．又CE ⊂平面OCE ．所以//CE 平面PAB ．(2)解：因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取BC 的中点为M ，连接OM 、OB ，因为//BC OD 且12BC AD OD ==，故四边形OBCD 为平行四边形，故2OB CD AB BC OC =====，则OBC 为等边三角形，故OM BC ⊥，以O 为坐标原点，OM 、OD 、OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．易知2PO AO ==，OM =所以()0,2,0A -、)1,0B -、)C 、()0,2,0D 、()002P ,,， ()0,2,2AP =，()3,1,0AB=，()CD =-，()0,2,2DP =-． 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =， 则22030m APy z m AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令z =(1,m =-． 设平面PCD 的法向量为()111,,n x y z =，则111130220n CD y n DP y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，得(1,3,n =． 设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ．则1cos cos ,7m n m n m n θ⋅=<>==，即平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为17．20．(1)22143x y +=； (2)1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆E 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，求出四边形ACBD 的面积；②当AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出AB 、CD ，利用四边形的面积公式结合基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值，综合即可得解.(1) 解：已知可得22222121914c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22143x y +=． (2)解：当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，不妨设AB x ⊥轴，因为焦点F 的坐标为()1,0，所以直线AB 的方程为1x =，将1x =代入椭圆方程可得32y =±，则3AB =，4CD =，四边形ACBD 的面积14362S =⨯⨯=；当AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为()0k k ≠，由（1）知()1,0F ，所以直线AB 的方程为()1y k x =-，与椭圆E 的方程22143x y +=联立并消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=． 设()11,A x y 、()22,B x y ，()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>, 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AB x =-()2212134k k +=+．同理可得可得()222211*********k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， 所以四边形ACBD 面积()()()()()()222222222121721112243344334k k S AB CD k k k k ++=⨯=⨯=++++ ()22222272122887274943342k k k +⎛⎫≥=⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当224334k k +=+时，即当1k =±时，等号成立， 因为288649>，故当四边形ACBD 的面积取得最小值时，直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21．(1)()f x 在R 上单调递增，无单调递减区间(2)[)0,∞+【解析】【分析】（1）结合二阶导数来求得()f x 的单调区间.（2）先将恒成立的不等式进行等价变形，通过构造函数法，结合多次求导以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围.(1)因为()()1x f x x e x =-+，所以()1x f x xe '=+．令()1x g x xe =+，则()()1x g x x e '=+．当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增． 故()()1110g x g e≥-=->，即()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，无单调递减区间．(2)()()()21ln 11f x x x ax ≥++--等价于()()()211ln 110x x e x x ax x --+++++≥．令()()()()211ln 11x h x x e x x ax x =--+++++，则()()ln 12x h x xe x ax '=-++． 令()()ln 12x x xe x ax ϕ=-++，则()()1121x x x e a x ϕ'=+-++，显然()x ϕ'在[)0,∞+上单调递增，故()()02x a ϕϕ''≥=．当0a ≥时，()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，()()00x ϕϕ≥=，即()0h x '≥，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，()()00h x h ≥=，符合条件．当0a <时，()020a ϕ'=<，()()2122122112021a a a e a a a a ϕ-'-=-+-+>-+-+=-+，所以()00,2x a ∃∈-，()00x ϕ'=．当[)00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则()()00x ϕϕ<=．即当[)00,x x ∈时，()0h x '≤，则()h x 在[)00,x 上单调递减，则当()00,x x ∈时，()()00h x h <= ，不符合条件．综上所述，实数a 的取值范围是[)0,∞+．【点睛】利用导数求解函数的单调性过程中，如果遇到一阶导数无法求解的情况，可考虑利用二阶导数来进行求解，求解过程中要注意导数符号与单调性间的联系.22．(1)()22114x y y +=≠-，40x y --=(2)8【解析】【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程（注意化简变形过程的等价性：1y ≠），利用极直互化公式将直线的极坐标化为直角坐标方程；（2）根据曲线C 的普通方程，设出其角参数方程2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，02απ≤<），然后利用点到直线的距离公式求得C 上的点P 到l 的距离关于α的三角函数表达式，并利用辅助角公式化简求得最大值，进而可得PAB △面积的最大值.(1) 将2211t y t-=+变形得()2111y t y y -=≠-+，① 将241t x t =+平方得()2222161t x t =+，② 把①代入②化简得()22114x y y +=≠-． 因为直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ--=，且 cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为40x y --=．(2)因为直线l 的直角坐标方程为40x y --=，所以直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为()4,0A ，()0,4B -，故AB =．设曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3π02π,2αα≤<≠）， C 上的点P 到l的距离d ==其中1tan 2ϕ=,π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 当()cos 1αϕ+=-时，max d =此时32παπϕ=-≠,符合题意.故PAB △面积的最大值为182⨯=． 23．(1){}1x x >(2)(]0,2【解析】【分析】 （1）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()2f x >的解集.（2）将()f x x >转化为22ax -<，对a 进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. (1) 当1a =时，()22f x x x =+--，即()4,2,2,22,4, 2.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩当2x -≤时，()42f x =->不成立；当22x -<<时，()22f x x =>，故12x <<；当2x ≥时，()42f x =>恒成立，故2x ≥．综上所述，不等式()2f x >的解集为{}1x x >． (2) 当()0,2x ∈时，22x ax x +-->等价于22ax -<成立．当0a ≤，且()0,2x ∈时，22ax -≥，不合题意；当0a >时，22ax -<的解集为40 x a <<，所以42a≥，故02a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围为(]0,2．。
2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(二)(4月份)
2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷（理科）（二）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2(x2−1)<1}，B={y|y=2x+2−x−12}，则A∪B=()A. (−√3,+∞)B. (32,√3)C. (−√3,−1)∪(1,+∞)D. (−√3,−1)∪[32，√3)2.已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z−的虚部为()A. −65B. 1−7i5C. −75D. −75i3.某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法中正确的个数为()①销售额y与年份序号x呈正相关关系；②销售额y与年份序号x线性相关不显著；③三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．A. 1B. 2C. 3D. 44.若实数x，y满足条件{2x−y+1⩾02x+y−2⩾0x−3⩽0，则z=43x+2y的最小值为()A. 14B. 423C. 419D. 15.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=30°，a=√3，若这个三角形有两解，则b的范围是()A. √3<b⩽2√3B. √3<b<2√3C. b<2√3D. b⩽2√36. 已知P(x,y)是圆(x −1)2+(y −2)2=r 2(r >0)上任意一点，若|x −2y|+|x −2y +7|是定值，则实数r 的取值范围是( )A. 0<r ⩽3√55B. 0<r ⩽4√55C. r ⩾3√55D. r ⩾4√557. 已知A ，B ，P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O ∉l ，若正实数x 、y 满足4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x+y xy的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12(√5−12≈0.618)的矩形称为黄金矩形，把这个比值√5−12称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若与K 间的距离超过1.5m ，C 与F 间的距离小于11m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)A. 30.3mB. 30.1mC. 27mD. 29.2m9. 设F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x −3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左右两支分别交于M ，N 两点若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则双曲线C 的离心率是( ) A. √153B. √53C. 13D. √52 10. 在△ABC 中，已知sinAsinBsin(C −θ)=λsin 2C ，其中tanθ=13(0<θ<π2)，若1tanA +1tanB +2tanC 为定值，则实数λ的值是( )A. √1020B. √55C. √10D. √51011. 如图，在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC ，AB =BC =2，∠ABC =90°，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45°，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当△BMN 的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的正弦值为( )A. 16B. √23C. √336D. √3612. 已知函数f(x)=min{x|x −2a|,x 2−6ax +8a 2+4}(a >1)，其中min(p,q)={p,p ⩽qq,p >q ，若方程f(x)=52恰好有3个不同解x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则x 1+x 2与x 3的大小关系为( )A. 不能确定B. x 1+x 2=x 3C. x 1+x 2<x 3D. x 1+x 2>x 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某运动员每次射击命中的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次射击恰有两次不中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示命中；7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次射击恰有两次不中的概率为______ ．14. 甲、乙、丙三人从A 、B 、C 三种型号的手环中各选一个戴在手上，各人手环的型号互不相同，乙比戴C 手环的人年龄大，丙和戴A 手环的人年龄不同，戴A 手环的人比甲年龄小，则甲、乙丙所戴手环的型号分别为______ ．15. 已知函数f(x)={xlnx −2x(x >0)x 2+1(x ⩽0)，若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y =−32的对称点在直线kx −y −3=0上，则实数k 的取值是______ ．16. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =BC =2，AE =CF =1.将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A′，C′，则A′C′取最小值时，二面角A′−EF −C′的正切值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗).数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗).b 3=5，其前9项和为63． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n=b na n +a nb n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n−2n∈[a,b]，求b−a的最小值．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=4√3，将△ADC沿着AC翻折，使得点D到点P，且PB=2√6．(1)求证：平面APC⊥平面ABC；(2)求直线AB与平面BCP所成角的余弦值．19.如图，直线y=2x−2与抛物线y=x22p(p>0)交于M1，M2两点，直线y=p3与y轴交于点H，且直线y=p3恰好平分∠M1HM2．(1)求抛物线的方程；(2)设A(a,p3)是直线y=p3上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y=p3于点B(b,p3)，则ab是否是定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．20. 已知函数f(x)=xlnx x+1，g(x)=a(x −1)．(1)当x ⩾1时，f(x)⩽g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：ln(2n +1)⩽4×14×12−1+4×24×22−1+⋯⋯+4n4×n 2−1．21. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，立“校内竞赛一校际联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县(区)地(市)、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得一1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；(2)若经过n 轮踢球，用p i 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求p 1，p 2，p 3；②规定p 0=0，且有p i =Ap i+1+Bp i−1，请根据①中p 1，p 2，p 3的值求出A 、B ，并求出数列{p n }的通项公式．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4λ2y =4λ(λ为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=θ0(θ0∈(0,π))，将曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C ． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．23. 已知a >0，b >0，c >0，设函数f(x)=|x −b|+|x +c|+a ，x ∈R ．(1)若b =2，c =a 2，关于x 的不等式f(x)≤4a 有解，求实数a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为1，证明：1a+b +4b+c +9c+a >18．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|0<x 2−1<2}={x|−√3<x <−1或1<x <√3}， 2x +2−x −12=2x +12x−12≥2−12=32， 当且仅当2x =12x ，即x =0时取等号，B ={y|y ≥32}， ∴A ∪B =(−√3,−1)∪(1,+∞)． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了对数函数的单调性及定义域，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z =3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3−1+7i 12+22=25+75i ，则z 的共轭复数z −=25−75i ，虚部为−75， 故选：C ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y 与年份序号x 呈相关关系，即①正确； 因为相关系数0.936>0.75，靠近1，所以销售额y 与年份序号x 线性相关显著，即②错误；三次函数回归曲线的相关系数为0.999，回归直线的相关系数为0.936，因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果比回归直线的拟合效果好，即③正确；把x =10代入三次函数回归曲线，有y =0.168×103+28.141×102−29.027×10+6.889≈2698.719亿元，即④错误， 所以正确的有①③．故选：B ．由散点从左下到右上分布，可判断①； 由相关系数与1的接近程度，可判断②； 由相关系数越大，拟合效果越好，可判断③；把x =10代入三次函数回归曲线，求得y 的值，即可判断④．本题考查相关系数的含义与回归方程，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =32x −y +1=0，解得A(3,7)，令t =3x +2y ，化为y =−32x +t2，由图可知，当直线y =−32x +t2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，t 有最大值为3×3+2×7=23． ∴z =43x+2y 的最小值为423．故选：B ．由约束条件作出可行域，令t =3x +2y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入可得t 的最大值，则z 的最小值可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】B【解析】解：因为三角形有两解， 所以bsinA <a <b ，即12b <√3<b ， 所以√3<b <2√3． 故选：B ．由已知三角形有两解得bsinA <a <b ，代入即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形解个数中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：圆(x −1)2+(y −2)2=r 2(r >0)的圆心(1,2)，半径为r ，由题意可知此圆夹在两直线x −2y =0和x −2y +7=0之间时，|x −2y|+|x −2y +7|是定值，所以√12+22≥r √12+22≥r，∴0<r ≤3√55． 故选：A ．利用点到直线的距离公式，列出不等式组，求解r 的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题．7.【答案】B【解析】解：由4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为P ，A ，B 三点共线，所以x 2+y4=1， 所以2x+y xy=(1x+2y)(x 2+y 4)=12+12+y 4x+x y≥1+2√y 4x⋅x y=1+2×12=2，当且仅当y4x =xy ，即x =1，y =2时取等号， 此时2x+y xy的最小值为2，故选：B ．由已知可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由P ，A ，B 三点共线，所以x2+y4=1，然后利用基本不等式即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的向量的性质以及基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设AB =x ，a ≈0.618，∵矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，∴|BC|=ax ，|CF|=a 2x ，|FG|=a 3x ，|GJ|=a 4x ，|JK|=a 5x ，|KM|=a 6x ，由题意可得{a 6x >1.5a 2x <11，解得26.786<x <28.796．故选：C ．利用题中的条件，可设AB =x ，又由矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，分别表示出|BC|，|CF|，|FG|，|GJ|，|JK|，|KM|，即可解出． 本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即(F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，可得F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即有|F 2M|=|F 2N|，设|NF 2|=m ，由双曲线的定义可得|NF 1|=m +2a ，|MF 1|=m −2a ，则|MN|=4a ，取MN 的中点H ，连接HF 2，可得HF 2⊥MN ， |HF 2|=√m 2−4a 2，在直角三角形HF 1F 2中，tan∠HF 1F 2=|HF 2||HF 1|=√m 2−4a 2m=13，解得m =3√22a ， 由2ccos∠HF 1F 2=|HF 1|=m =3√22a ，即有2c ⋅3√1+9=3√22a ， 可得e =c a=√52． 故选：D ．由向量数量积的性质，推得|F 2M|=|F 2N|，由双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为tanθ=13(0<θ<π2)， 所以sinθ=13cosθ，且sin 2θ+cos 2θ=1， 解得sinθ=√1010，cosθ=3√1010， 因为sinAsinBsin(C −θ)=λsin 2C ， 所以sinAsinB(3√1010sinC −√1010cosC)=λsin 2C ，即1λ(3√1010sinC −√1010cosC)=sin 2CsinAsinB ，1tanA+1tanB+2tanC=cosA sinA+cosB sinB+2cosC sinC=sinBcosA+sinAcosBsinAsinB+2cosC sinC=sinC sinAsinB+2cosC sinC=1sinC (sin 2CsinAsinB+2cosC)， =1sinC [1λ(3√1010sinC−√1010cosC)]+2cosC sinC， 所以1λ√101λ⋅√10⋅cosCsinC +2cosC sinC=k 为定值，即3sinC −cosC +2√10λcosC =√10kλsinC ， 即3sinC −cosC =2√10λ(k2sinC −cosC)恒成立， 所以{3=2√10λ⋅k 2−1=−2√10λ，解得λ=√1020故选：A ．由已知结合同角基本关系可先求出sinθ，cosθ，代入已知式子后，结合同角商的关系及和差角公式进行化简，结合定值条件可求．本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，还考查了逻辑推理与运算的能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，因为M 为AC 的中点，所以BM ⊥AC ．又SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥BM ，所以BM ⊥平面SAC ，所以BM ⊥MN ， 故△BMN 的面积S =12×BM ×MN ．由题意知AC =2√2，所以BM =12AC =√2，所以S =√22MN ，当MN 最小时，△BMN 的面积最小，此时MN ⊥SC ．当MN ⊥SC 时，过S 作SE ⊥SC ，交CA 的延长线于点E ，则SE//MN ， 连接BE ，则∠BSE 为异面直线SB 与MN 所成的角或其补角． 因为SA ⊥平面ABC ，所以∠SBA 为直线SB 与平面ABC 所成的角， 所以∠SBA =45°，所以SA =AB =2，所以SB =2√2，SC =2√3． 又tan∠SCA =SAAC =SESC ，所以SE =√6，所以AE =√2，ME =2√2， 在Rt △EMB 中，由题意知BE =√10， 所以由余弦定理得： cos∠BSE =SB 2+SE 2−BE 22×SB×SE=2×2√2×√6=√36， sin∠BSE =(√36)=√336． 故当△BMN 的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为√336．故选：C ．推导出△ABC 为等腰直角三角形，BM ⊥AC ，SA ⊥BM ，从而BM ⊥平面SAC ，BM ⊥MN ，当MN 最小时，△BMN 的面积最小，此时MN ⊥SC ，过S 作SE ⊥SC ，交CA 的延长线于点E ，则SE//MN ，连接BE ，则∠BSE 为异面直线SB 与MN 所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB 与MN 所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：x|x −2a|={x 2−2ax,x >2a −x 2+2ax,x ≤2a，a >1，当x ≤2a 时，−x 2+2ax −(x 2−6ax +8x 2+4)=−2(x −2a)2−4<0，即−x 2+2ax <x 2−6ax +8a 2+4，当x >2a 时，x 2−2ax −(x 2−6ax +8a 2+4)=4ax −8a 2−4， 若4ax −8a 2−4>0，即x >2a +1a ，则x 2−2ax >x 2−6ax +8a 2+4， 若4ax −8a 2−4≤0，即x ≤2a +1a ，则x 2−2ax ≤x 2−6ax +8a 2+4， 又2a +1a >2a ，∴f(x)={−x 2+2ax,x ≤2ax 2−2ax,2a <x ≤2a +1ax 2−6ax +8a 2+4,x >2a +1a，又f(a)=a 2(极大值)，f(2a)=0(极小值)，f(2a +1a )=2+1a 2(极大值)，f(3a)=4−a 2(极小值)， 要使f(x)=52恰好有3个不同解，结合图象得： ①当{f(a)>52f(3a)>52，即{a 2>524−a 2>52，此时无解；②当{ f(a)<52f(3a)<52f(2a +1a )>52，即{ a 2<524−a 2<522+1a 2>52，解得√62<a <√2， 此时2a <x 1<2a +1a <x 2<3a <x 3，又∵x 2与x 3关于x =3a 对称， ∴x 3−3a =3a −x 2<a <2a <x 1， ∴x 3<4a <x 1+x 2；③当{f(a)>52f(2a +1a)<52，即{a 2>522+1a2<52，解得a >√102， 此时x 1，x 2是方程−x 2+2ax =52的两根， ∴x 1+x 2=2a ，而x 3>3a ，于是x 1+x 2<x 3．故选：A ．先根据题意求得f(x)，再由f(x)=52恰好有3个不同解，结合图象分类讨论得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，解题时需要有清晰的思维及严密的推理，充分锻炼了学生的算术能力及逻辑思维，培养了学生的数学综合素养，属于难题．13.【答案】320【解析】解：经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989其中该运动员三次射击恰有两次不中包含的随机数有3个，分别为： 027 488 730据此估计，该运动员三次射击恰有两次不中的概率为P =320．故答案为：320．经随机模拟产生了20组随机数中表示该运动员三次射击恰有两次不中包含的随机数有3个，由此能求出该运动员三次射击恰有两次不中的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】B、A、C【解析】解：丙和戴A手环的人年龄不同，戴A手环的人比甲年龄小，故戴A手环的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴C手环的人年龄大，故戴C手环的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴C手环的是丙．综上所述，甲、乙、丙所戴手环的型号分别为B、A、C．故答案为：B、A、C．容易分析出戴A手环的人为乙，然后再根据年龄大小可以判断答案．本题考查了简单的合情推理的实际应用，考查了学生分析问题的能力与逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：直线kx−y−3=0关于直线y=−32对称的直线l的方程为kx+y=0，对应的函数为y=−kx，当x=0时，y=0，由f(x)≠0，可得不符合题意；当x≠0时，令−kx=f(x)，可得−k=f(x)x，此时，令g(x)=f(x)x ={lnx−2,x>0x+1x,x<0，当x>0时，g(x)递增，且g(x)∈R；当x<0时，g(x)先递增，后递减，可得g(x)∈(−∞,−2]，结合图像，直线y=−k与y=g(x)的图像有两个交点，等价为−k=−2，即k=2．故答案为：2．求得直线kx−y−3=0关于直线y=−32对称的直线l的方程为kx+y=0，推得x=0不符题意，当x≠0时，令−kx=f(x)，可得−k=f(x)x，通过构造函数，判断单调性和取值范围，可得所求k的值．本题考查分段函数的图像和运用，以及函数方程的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】2√65【解析】解：取BE 中点O ，DF 中点N ，连接OA′、OF ，连接NE 、NC′，过A′作A′M ⊥OF 于M ，过C′作C′H ⊥NE 于H ，建立如图所示的空间直角坐标系，设∠A′OF =α，∠C′NE =β，(α,β∈(0,π))，A′(√22cosα,0，√22sinα)，C′(√22−√22cosβ,√22,√22sinβ)，|A′C′|2=(√22−√22cosβ−√22cosα)2+(√22−0)2+(√22sinβ−√22sinα)2， =12((1−sinβ−cosα)2+1+(sinβ−sinα)2)≥12，当1−sinβ−cosα=0，且sinβ−sinα=0时|A′C′|最小，于是当α=β=π3时，|A′C′|最小， A′(√24,0，√64)，C′(√24,√22,√64)， FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，FA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√24,0，√64)，FC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√24,√22,√64)， 设平面EFA′和平面EFC′的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0FA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√24x +√64z =0，令x =√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,√3,1)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√22u +√22v =0FC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√24u +√22v +√64w =0，令u =√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,√3,−1)， 设二面角A′−EF −C′的大小为θ， 由图知θ为锐角，所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=5√7⋅√7=57，tanθ=2√65．故答案为：2√65． 先确定|A′C′|取最小值时A′与C′的位置坐标，再用向量数量积计算二面角余弦值，进而求解． 本题考查了空间两点间距离最小值问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗)，∴S n+1n+1−S n n=12，∴数列{Snn }是等差数列，首项为1，公差为12，∴S n n=1+12(n −1)，∴S n =n(n+1)2.∴当n ≥2时，S n−1=n(n−1)2，a n =S n −S n−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ，当n =1时也成立．∴a n =n ．∵数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是等差数列，设公差为d ，∵前9项和为63，∴9(b 1+b 9)2=9b 5=63，解得b 5=7，又b 3=5，∴d =b 5−b 32=1，∴b n =b 3+(n −3)d =5+n −3=n +2，∴b n =n +2．因此：a n =n ，b n =n +2． (2)c n =b n a n+a nb n=n+2n+n n+2=2+2(1n−1n+2)，∴数列{c n }的前n 项和为T n =2n +2[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)] =2n +2(1+12−1n+1−1n+2) =3+2n −2(1n+1+1n+2)． ∴T n −2n =3−2(1n+1+1n+2)．设A n =3−2(1n+1+1n+2)，∵A n+1−A n =3−2(1n+2+1n+3)−3+2(1n+1+1n+2)=2(1n+1−1n+3)>0， ∴数列{A n }单调递增， ∴(A n )min =A 1=43． 而A n <3， ∴43≤A n <3．∵对任意正整数n ，都有T n −2n ∈[a,b]， ∴∴a ≤43，b ≥3，∴b −a 的最小值=3−43=53．【解析】(1)由2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗)，变形Sn+1n+1−S n n=12，可得数列{Sn n}是等差数列，利用等差数列的通项公式可得S nn ，S n =n(n+1)2.再利用“当n ≥2时，a n =S n −S n−1，当n =1时也成立”即可得出a n .由于数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗)，可得数列{b n }是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n 选和公式即可得出． (2)c n =b n a n+a n b n=n+2n+n n+2=2+2(1n −1n+2)，利用“裂项求和”可得：数列{c n }的前n 项和为T n =3+2n −2(1n+1+1n+2).设A n =3−2(1n+1+1n+2)，可得数列{A n }单调递增，得出：43≤A n <3.由于对任意正整数n ，都有T n −2n ∈[a,b]，可得a ≤43，b ≥3，即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n 项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】(1)证明：由等腰梯形AB =2CD =2AD =4√3，得∠ABC =60°． 又AB =2BC ，所以AC ⊥BC ，又PC =BC =2√3，PB =2√6，则CB 2+CP 2=PB 2，所以BC ⊥CP ， 又AC ∩CP =C ，所以BC ⊥平面APC ， 所以平面APC ⊥平面ABC ，(2)如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，由四边形AECD 为菱形，且∠DAE =60°，得AC ⊥DE ，记垂足为O ， 由(1)知，平面APC ⊥平面ABC ，又PO ⊥AC ，所以PO ⊥平面ABC ， 同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系．则AC =6，PO =√3，所以A(3,0，0)，B(−3,2√3,0)，C(−3,0，0)，P(0,0,√3)， 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2√3,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2√3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,0)， 设平面CBP 的法向量为n ⃗ 2=(x,y,z)， 所以{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2√3y =03x −2√3y +√3z =0，不妨设z =√3，得{x =−1y =0，所以平面CBP 的一个法向量为n ⃗ 2=(−1,0,√3)， 设直线AB 与平面BCP 所成角为θ，sinθ=|cos〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ ||=|64√3×2|=√34， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1−(√34)2=√134．【解析】(1)只须证明平面APC 内直线BC 垂直于平面APC 即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由{y =2x −2x 2=2py，可得x 2−4px +4p =0， 设M 1(x 1,y 1)，M 2(x 2,y 2)，则△=16p 2−16p >0，x 1+x 2=4p ，x 1x 2=4p ， 直线y =p 3与y 轴交于点H(0,p3)，由直线y =p3恰好平分∠M 1HM 2，可得k M 1H +k M 2H =0， 即为y 1−p 3x 1+y 2−p 3x 2=0，由y 1=2x 1−2，y 2=2x 2−2，可得4−(2+p3)⋅x 1+x 2x 1x 2=0，即为4=2+p3，解得p =6，满足△>0， 所以抛物线的方程为x 2=12y ； (2)由(1)可得x 1+x 2=24，x 1x 2=24， 设M 1(x 1,x 1212)，M 2(x 2,x 2212)，M 3(x 3,x 3212)，且A(a,2)，B(b,2)，由A ，M 2，M 3三点共线可得k M 2M 3=K AM 2， 即为x 2212−x 3212x 2−x 3=x 2212−2x2−a，化为x 2+x 312=x 22−2412(x2−a)，即x 22+x 2x 3−a(x 2+x 3)=x 22−24，即为x 2x 3−a(x 2+x 3)=−24，①同理可得，由B ，M 1，M 3三点共线，可得x 1x 3−b(x 1+x 3)=−24，② ②的两边同乘以x 2，可得x 1x 2x 3−b(x 1x 2+x 2x 3)=−24x 2， 即为24x 3−b(24+x 2x 3)=−24x 2，③将①代入③，可得24(x 2+x 3)=ab(x 2+x 3)，(x 2+x 3≠0)， 所以ab =24为定值．【解析】(1)联立直线y =2x −2与抛物线的方程，运用韦达定理，由题意可得k M 1H +k M 2H =0，由直线的斜率公式，化简可得p ，进而得到抛物线的方程；(2)设M 1(x 1,x 1212)，M 2(x 2,x 2212)，M 3(x 3,x 3212)，求得A ，B 的坐标，由三点共线的条件：斜率相等，化简整理，结合韦达定理，可判断ab 是否为定值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵当x ⩾1时，f(x)⩽g(x)恒成立，∴xlnx x+1≤a(x −1)，∴lnx ≤a(x −1x )，设ℎ(x)=a(x −1x )−lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=a(1+1x 2)−1x ，∵ℎ(1)=0，ℎ(x)≥0对x ≥1恒成立，∴ℎ′(1)≥0，∴a ≥12， 此时ℎ′(x)=ax 2−x+ax 2，令ax 2−x +a =0，又a ≥12，∴△=1−4a 2≤0，∴ax 2−x +a ≥0恒成立， ∴ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=0，∴ℎ(x)≥0， ∴a ≥12；(2)证明：由(1)可知，ln(2n +1)−ln(2n −1)=ln(2n +12n −1)≤12(2n +12n −1−2n −12n +1) =4n 4n 2−1，∴ln(2n +1)=[ln(2n +1)−ln(2n −1)]+[ln(2n −1)−ln(2n −3)]+⋯+(ln3−ln1)+ln1 ≤4n 4n 2−1+4(n −1)4(n −1)2−1+⋯+44⋅12−1+0=4×14×12−1+4×24×22−1+⋯⋯+4n4×n 2−1，∴得证．【解析】(1)f(x)≤g(x)等价于ℎ(x)=a(x −1x )−lnx ≥0，求导判断单调性求解；(2)利用ln(2n +1)−ln(2n −1)≤12(2n+12n−1−2n−12n+1)，累加法即可证明．本题考查了导数中恒成立和数列放缩的内容，难度一般，需要学生擅于观察题目的条件，属于中档题．21.【答案】解：(1)甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立，P(A)=12，P(B)=23，甲的得分X 的可能取值为−1，0，1，P(X =−1)=P(A −B)=P(A −)P(B)=(1−12)×23=13， P(X =0)=P(AB)+P(A −B −)=12×23+(1−12)×(1−23)=12， P(X =1)=P(AB −)=P(A)P(B −)=12(1−23)=16． ∴X 的分布列为：所以E(X)=−1×13+0×12+1×16=−16．(2)①由(1)知p 1=16，p 2=p(X =0)p(X =1)+p(X =1)[p(X =0)+p(X =1)]=12×16+16×(12+16)=736 经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，四是两轮各得1分，1轮得−1分．∴p 3=(16)3+C 32(16)2(12)+C 31(16)(12)2+C 32(16)2(13)=43216．②∵p 0=0，p i =Ap i+1+Bp i−1，∴{p 1=Ap 2+Bp 0p 2=Ap 3+Bp 1，{A =67B =17，解得p i =67p i+1+17p i−1， 可得p i+1−p i =16(p i −p i−1)所以{p n −p n−1}是首项为p 1−p 0=16、公比都是16的等比数列．所以p n =p 0+(p 1−p 0)+(p 2−p 1)+⋯…+(p n −p n−1)=16(1−16n )1−16=15(1−16n )．【解析】(1)X 的可能取值为−1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．(2)①由(1)知p 1=16，p 2=p(X =0)p(X =1)+p(X =1)[p(X =0)+p(X =1)]=736，经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：求解p 3．②通过p 0=0，p i =Ap i+1+Bp i−1推出p i+1−p i =16(p i −p i−1)，{p n −p n−1}是首项为p 1−p 0=16、公比都是16的等比数列．然后求解数列和，得到通项公式．本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查数列的通项公式的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =4λ2y =4λ(λ为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=4x ． 曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C.得到y 2=4(x +2)．根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8=0， (2)直线l 的极坐标方程为θ=θ0(θ0∈(0,π))和曲线C 交于A 和B 点，故{ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8=0θ=θ0，整理得ρ2sin 2θ0−4ρcosθ0−8=0，所以ρ1+ρ2=4cosθ0sin2θ0，ρ1ρ2=−8sin2θ0，故1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=12√1+sin2θ0，由于θ0∈(0,π)，故sin2θ0∈(0,1]，即1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)依题意，|x−2|+|x+a2|+a≤4a有解，而由绝对值三角不等式有|x−2|+|x+a2|≥|(x+2)−(x+a2)|=a2+2，当且仅当(x−2)(x+a2)≤0，即−a2≤x≤2时取等号，∴只需a2+2+a≤4a即可，解得1≤a≤2，∴实数a的取值范围为[1,2]；(2)证明：f(x)=|x−b|+|x+c|+a≥|x−b−x−c|+a=a+b+c=1，当−c≤x≤b时取等号，由柯西不等式有，[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1a+b +4b+c+9c+a)≥(1+2+3)2=36，∴1a+b +4b+c+9c+a≥362=18，取等条件为a=511,b=711,c=−111<0，故1a+b +4b+c+9c+a>18．【解析】(1)依题意，由绝对值三角不等式可知只需a2+2+a≤4a即可，解该不等式即可得出答案；(2)易得a+b+c=1，再由柯西不等式直接证明即可．本题考查绝对值不等式及柯西不等式的运用，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．。
2021届河南省名校联盟高三4月联考(二)数学(理)试题(解析版)
2021届河南省名校联盟高三4月联考（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}22log 11A x x =-<，1222x xB y y -⎧⎫==+-⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．()+∞ B ．3,32C ．()()11,-⋃+∞ D ．()312⎡-⋃⎢⎣【答案】C【分析】解不等式()22log 11x -<，求出x 的范围，即可得到集合A ，求出函数1222x x y -=+-的值域，即可得到集合B ，进而求出集合,A B 的并集即可. 【详解】由()22log 11x -<，可得()222log 1g 2lo x -<，根据对数函数的单调性，可得2012x <-<，解得1x <-或1x <<，所以集合()(1A -=⋃.对于集合B ，令2x t =()0t >，则11113222222x x t t -+-=+-≥=， 所以1322,22x x-⎡⎫+-∈+∞⎪⎢⎣⎭，即集合3,2B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭. 所以()()3,11,AB =--⋃+∞.故选：C.2．已知i 是虚数单位，若3i12iz +=-，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．65-B ．17i5- C ．75-D ．7i 5-【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简z ，求出其共轭复数，得到结果. 【详解】∵()()()()3i 12i 3i 17i 12i 12i 12i 55z +++===+--+， ∴17i 55z =-，即z 的共轭复数z 的虚部为75- 故选：C ．3．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y 看成年份序号x （2012年作为第1年）的函数．运用Excel 软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为（ ）①销售额y 与年份序号x 呈正相关关系； ②销售额y 与年份序号x 线性相关不显著；③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由散点图分布趋势知①正确；由相关系数0.9360.75>知②错误；根据两模型相关系数大小关系可知③正确；将10x =代入三次函数方程即可求得y 的预估值，知④错误．【详解】根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y 与年份序号x 呈正相关关系，①正确；相关系数0.9360.75>，靠近1，销售额y 与年份序号x 线性相关显著，②错误； 根据三次函数回归曲线的相关指数0.9990.936>，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，③正确；由三次函数320.16828.14129.027 6.889y x x x =+-+，当10x =时，2698.719y =亿元，④错误． 故选：B ．4．若实数x ，y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432z x y =+的最小值为（ ）A．1 4B．423C．419D．1【答案】B【分析】画出可行域，令32t x y=+，结合图形求解t的取值范围，从而得t最大时，z 最小，代入计算z的最小值.【详解】画出不等式组21022030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的区域如图，令32t x y=+，结合图形可知直线32t x y=+经过点()3,7A时，t最大，经过点()3,4C-时，t最小，所以123≤≤t，则t最大时，z最小，min44332723z==⨯+⨯．故选：B．5．ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，30A=︒，3a=有两解，则b的范围是（）A．323b<≤B33b<<C．23b<D．23b≤【答案】B【分析】根据sinb A a b<<计算即可得答案.【详解】由题意得：ABC有两解时需要：sinb A a b<<，则sin303b b︒<<，解得323b<<故选：B．【点睛】结论点睛：ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，a，若这个三角形有两解，则满足sinb A a b<<.6．已知(),P x y 是圆()()22212x y r -+-=（0r >）上任意一点，若272x x y y +-+-是定值，则实数r 的取值范围是（ ）A．0r <≤B．0r <≤C．r ≥D．r ≥【答案】A【分析】由题意可知此圆夹在两直线20x y -=和270x y -+=之间时，272x x y y +-+-是定值，得r r ⎧≥⎪⎪≥，解不等式组即可得解.【详解】由题意得)12272-+-=++=x d x y y d ，（1d ，2d 分别表示点(),P x y 到直线20x y -=和270x y -+=的距离）．由题意可知此圆夹在两直线20x y -=和270x y -+=之间时，272x x y y +-+-是定值，所以r r⎧≥⎪⎪≥可得5≤r ，又因为0r >，得05r <≤. 故选：A ．【点睛】一般处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法，通过比较圆心到直线的距离d 与半径r 的大小判断；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．7．已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA y OB →→→=+，则2x yxy+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由题知24x y OP OA OB →→→=+，再结合向量三点共线得124x y +=，再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】∵42OP xOA y OB →→→=+，∴24x y OP OA OB →→→=+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，所以124x y+=，又0x >，0y >， 由基本不等式得2121212244x y x y x yxy x y x y y x⎛⎫+⎛⎫=+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =时取等号． 故选：B ．【点睛】结论点睛：设,OA OB →→是平面内不共线的斜率，若存在实数12,λλ使得12OC OA OB λλ→→→=+，则当12=1λλ+时，,,A B C 三点共线，反之，当,,A B C 三点共线时，12=1λλ+.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．古希腊时期，人们把宽与长之比为512-（510.6182-≈）的矩形称为黄金矩形，把这个比值51-称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.5m ，C 与F 间的距离小于11m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（ ）（参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈）A ．30.3mB ．30.1mC ．27mD ．29.2m【答案】C【分析】设AB x =，0.618a ≈，进而根据题意得2CF a x =，6KM a x =，故621.511a x a x ⎧>⎨<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】设AB x =，0.618a ≈，因为矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJK ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形， 所以有BC ax =，2CF a x =，3FG a x =，4GJ a x =，5JK a x =，6KM a x =，由题设得62 1.511a x a x ⎧>⎨<⎩，解得26.78628.796x <<.故选:C ．【点睛】本题与数学问题相结合考查等比数列的应用，考查数学建模能力，是中档题.本题解题的关键在于设AB x =，0.618a ≈，进而建立边长之间的等比数列模型，进而根据题意求解.9．设2F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，直线l ：30x y c -+=（其中c 为双曲线C 的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若()22 0MN F M F N ⋅+=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．B C ．13D 【答案】D【分析】取M 的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到2F H 为线段MN 的中垂线，22MF NF m ==，然后结合双曲线的定义得到2MH NH a ==，进而利用勾股定理求得22222m a c =+，于是根据直线l 的斜率，得到a ,c 的关系，从而求得离心率【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接2HF ，则2222F M F N F H +=．因为()220MN F M F N ⋅+=，所以20MN F H ⋅=，即2MN F H ⊥，则22MF NF =．设22MF NF m ==．因为21122MF MF NF NF a -=-=，所以1221114NF NF MF MF NF MF MN a -+-=-==，则2MH NH a ==，从而1HF m =，故2222244HF c m m a =-=-，解得22222m a c =+．因为直线l 的斜率为13，所以22212221221tan 322HF c a HF F HF a c -∠===+，整理得222219c a a c -=+，即2254a c e =⇒=5， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M 的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到2F H 为线段MN 的中垂线，结合双曲线的定义得到2MH NH a ==是关键，根据直线l 的斜率，得到a ,c 的关系是求得离心率的方向.10．在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A 10B 5C 10D 5【答案】A【分析】()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，化简得21sin sin sin 1010C C C A Bλ⎫=⎪⎭，再由112tan tan tan A B C ++为定值，化简得到3sin cos 10sin cos 2k C C C C λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭恒成立，列出方程组，即可求解.【详解】由1πtan ,(0)32θθ=<<，可得sin θ=cos θ=，因为()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，得2sin sin sin A B C C C λ⎫⋅=⎪⎭，即21sin sin sin C C C A Bλ⎫=⎪⎭，又由112cos cos 2cos tan tan tan sin sin sin A B CA B C A B C++=++sin 2cos sin sin sin C C A B C =+2sin 2cos sin sin sin sin C CA B C C=+112cos 11cos 2cos sin sin sin sin C C C C C k C CC C λλλ⎫=⨯+=-+=⎪⎭（定值），即3sin cos cos sin C C C C λ-+=，即3sin cos sin cos 2k C C C C ⎛⎫-=-⎪⎝⎭恒成立，可得321k λλ⎧=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得6k =，λ=. 故选：A ．【点睛】方法点拨：解答中把112tan tan tan A B C++为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为3sin cos sin cos 2k C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.11．如图，在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥平面ABC ，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45°，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的正弦值为（ ）A ．16B ．23C ．336D ．3 【答案】C【分析】易证BM ⊥平面SAC ，则BM MN ⊥，得到BMN △的面积12S BM MN =⋅，化简为22S MN =，即MN 最小时，BMN △的面积最小，此时MN SC ⊥，过S 作SE SC ⊥，交CA 的延长线于点E ，则//SE MN ，连接BE ，BSE ∠即为异面直线SB与MN 所成的角或其补角．然后求得三边的长度，利用余弦定理求解. 【详解】由题意知ABC 为等腰直角三角形， 因为M 为AC 的中点， 所以BM AC ⊥． 又SA ⊥平面ABC ，所以SA BM ⊥，又SA AC A ⋂=， 所以BM ⊥平面SAC ， 所以BM MN ⊥，故BMN △的面积12S BM MN =⋅， 易知22AC =，所以122BM AC ==，所以2S MN =， 当MN 最小时，BMN △的面积最小，此时MN SC ⊥．当MN SC ⊥时，过S 作SE SC ⊥，交CA 的延长线于点E ，则//SE MN ， 连接BE ，如图．所以BSE ∠即为异面直线SB 与MN 所成的角或其补角． 因为SA ⊥平面ABC ，所以SBA ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，所以45SBA ∠=︒， 所以2SA AB ==，所以SB =SC = 又tan SA SESCA AC SC∠==，所以SE =所以AE =ME =在Rt EMB △中，易知BE =所以222cos 2SB SE BE BSE SB SE +-∠==⋅， 故当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN， 故选：C ．【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角一是几何法：常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．二是向量法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.12．已知函数(){}22min ,6842x ax a f x x x a -+=+-（1a >），其中(),min ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩，若方程()52f x =恰好有3个不同解1x ，2x ，3x （123x x x <<），则12x x +与3x 的大小关系为（ ） A ．不能确定 B ．123x x x +=C ．123x x x +<D ．123x x x +>【答案】A【分析】先求出()22222,212,221684,2x ax x a f x x ax a x a a x ax a x a a ⎧⎪-+≤⎪⎪=-<≤+⎨⎪⎪-++>+⎪⎩，得到()2f a a =（极大值），()20f a =（极小值），21122f a a a⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（极大值），()234f a a =-（极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.【详解】222,222,2x ax x ax x a x ax x a ⎧->-=⎨-+≤⎩，1a >．当2x a ≤时，()()222222684240x ax a x ax x a -+-=----+<+，即2228426x x x a a ax -+-<++，当2x a >时，()22226848424x a x a a a x x a x -++--=--， 若24840ax a -->，则12x a a>+，2228426x x ax ax a -+>+-； 若24840ax a --≤，则12x a a≤+，2228426x x ax ax a -+≤+-， 又122a a a +>，∴()22222,212,221684,2x ax x a f x x ax a x a a x ax a x a a ⎧⎪-+≤⎪⎪=-<≤+⎨⎪⎪-++>+⎪⎩，又()2f a a =（极大值），()20f a =（极小值），21122f a a a⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（极大值），()234f a a =-（极小值）．要使()52f x =恰好有3个不同解，结合图象得： ①当()()52532f a f a ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即2252542a a ⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩时，得225232a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，不存在这样的示数a ．②当() ()525321522f af af aa⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪⎛⎫+>⎪⎪⎝⎭⎩，即222525421522aaa⎧<⎪⎪⎪-<⎨⎪⎪+>⎪⎩时，解得622a<<，此时1231223a x a x a xa<<+<<<，又因为2x与3x关于3x a=对称，∴321332x a a x a a x-=-<<<，∴3124x a x x<<+．③当()521522f af aa⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪+<⎪⎪⎝⎭⎩，即22521522aa⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩时，解得10a>．此时，1x，2x是方程2522x ax-+=的两实根，所以122x x a+=，而33x a>，所以123x x x+<.故选：A．【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数()f x的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数()0f x=得到()()g x h x=分析函数(),()g x h x的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.二、填空题13．已知某运动员每次射击命中的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次射击恰有两次不中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示命中；7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：据此估计，该运动员三次射击恰有两次不中的概率为________． 【答案】0.15【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次射击共有20个事件，恰有两次不中的事件有：027、488、730，共3种， 故该运动员三次射击恰有一次不中的概率为30.1520P ==． 故答案为：0.15.14．甲、乙、丙三人从A 、B 、C 三种型号的手环中各选一个戴在手上，各人手环的型号互不相同，乙比戴C 手环的人年龄大，丙和戴A 手环的人年龄不同，戴A 手环的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴手环的型号分别为________． 【答案】B 、A 、C【分析】先容易确定出戴A 手环的人为乙，然后再根据年龄大小可判断出戴C 手环的是丙，进而可得戴B 手环的是甲.【详解】丙和戴A 手环的人年龄不同，戴A 手环的人比甲年龄小，故戴A 手环的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴C 手环的人年龄大，故戴C 手环的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴C 手环的是丙．综上，甲、乙、丙所戴手环的型号分别为B 、A 、C ． 故答案为：B 、A 、C.15．已知函数()()()2ln 2010x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若()f x 的图象上有且仅有2个不同的点关于直线32y =-的对称点在直线30kx y --=，则实数k 的取值是________． 【答案】2【分析】由题知，先求出直线30kx y --=关于直线32y =-对称的直线l 的方程为0kx y +=，进而将问题转化为y kx =-图象与函数()y f x =的图象有2个交点，进一步讨论将问题转化为()f x k x -=，故令()()f xg x x=，进而转化为直线y k =-与函数()y g x =有2个交点，再结合()()fx g x x=的性质求解即可. 【详解】直线30kx y --=关于直线32y =-对称的直线l 的方程为0kx y +=，对应的函数为y kx =-，其图象与函数()y f x =的图象有2个交点．对于一次函数y kx =-，当0x =时，0y =，由()0f x ≠知不符合题意． 当0x ≠时，令()kx f x -=，可得()f x k x-=，此时，令()()()()ln 2010x x f x g x xx x x ⎧->⎪==⎨+<⎪⎩．当0x >时，()g x 为增函数，()g x ∈R ，当0x <时，()g x 为先增再减函数，()(],2g x ∈-∞-．结合图象，直线yk =-与函数()y g x =有2个交点，因此，实数2k -=-，即2k =． 故答案为：2【点睛】本题考查直线的对称性问题，函数图象的交点个数求参数问题，考查运算求解能力，数形结合思想，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转换为y kx =-图象与函数()y f x =的图象有2个交点问题，进而进一步转化为直线yk =-与函数()y g x =有2个交点求解.16．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正切值是________．【答案】265【分析】取,BE DF 中点,M N ，根据翻折前的垂直关系可证得翻折后BE ⊥平面A MF '，DF ⊥平面C NE '，由面面垂直的判定可得平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ，可知当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，确定11,A C 为,MF EN 中点；根据二面角平面角的定义可作AP EF '⊥于点P ，E C Q F '⊥于点Q ，作//PG C Q '交FC '于点G ，得到A PG '∠为二面角的平面角，由已知的长度关系和解三角形的知识可求得cos A FE '∠，进而得到所求正切值.【详解】分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥，∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '； 同理可得：DF ⊥平面C NE '，又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ，BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ，∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动． 当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''， 故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A AC C ''⋂平面11MFNE A C =，11A C 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N ''≌，11MA NC ∴=，又11//AC ME ，11//MA EC ，∴四边形11MAC E 为平行四边形， ∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，1124MA NC ∴==， 则11A A C C ''==126216-=，6221616A F C E ''∴==+=， 将二面角A EF C ''--单独画出如图．过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1C F CF '==，222122cos 2422A F EF A EA FE A F EF''+-'∴∠==='⋅⨯， 则1cos 4FP A F A FE ''=∠=，117216A P '∴=-= 同理14EQ =，74C Q '=，则1141314FP FQ ==-， 过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接A G '，则GP EF ⊥，∴A PG '∠即为二面角A EF C ''--的平面角，则13FG PG FC QC ==''，∴PG =，13FG =，又A F A C '''==，1C F '=，则A FC ''为等腰直角三角形，∴cos A FC ''∠=，6A G ==='∴，在A PG '中，2227710305144cos 72724A P PG A G A PG A P PG +-''+-'∠===='⋅，tan A PG '∴∠=．. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的二面角问题的求解，解题关键是能够根据翻折后不变的垂直关系确定A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，由此可确定,A C ''的确定位置，进而利用二面角的定义来进行求解.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()12211n n nS n S n n +-+=+（*n ∈N ），数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（*n ∈N ），46b =，其前11项和为88．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有[]2,n T n a b -∈，求b a -的值．【答案】（1）n a n =，2n b n =+；（2）53. 【分析】（1）由条件得1112n n S S n n +-=+，进而得()12n n n S +=，再由11n n n a S S ++=-可得解；（2）由11222n c n n ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭根据分组求和和列项求和得1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，再由作差法判断单调性，求得4233n T n ≤-<，进而可得解.【详解】（1）由()()12211n n nS n S n n +-+=+，得1112n n S S n n +-=+． 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为12的等差数列． 因为()()111111112222n S S n n n n =+-⨯=+-⨯=+，即()12n n n S +=． 于是()()()11121122n n n n n n n a S S n +++++=-=-=+．因为11a=，所以n a n =．又因为2120n n n b b b ++-+=，所以数列{}n b 是等差数列． 由{}n b 的前11项和为88得()4811882b b +=，46b =，得810b =， 所以公差84=14b b d -=． 所以()4412n b b n n =+-⨯=+． （2）由（1）知2112222n n n n n b a n nc a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭， 1211111111122132435112n n T c c c n n n n n ⎛⎫=+++=+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭1111122132221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．所以1123212n T n n n ⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭． 设1123212n n A T n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭，因为1111132322312n n A A n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--+⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()114201313n n n n ⎛⎫=-=> ⎪++++⎝⎭，所以{}n A 单调递增，故()1min 43n A A ==．因为1132312n A n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭，所以433n A ≤<．因为对任意正整数n ，[]2,n T n a b -∈，所以43a ≤，3b ≥， 即a 的最大值为43，b 的最小值为3，所以()min 45333b a =-=-．【点睛】本题解题的关键有二个：一个是利用11n n n a S S ++=-求通项公式；另一个是会用作差法判断数列的单调性求得数列的取值范围.18．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2243AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且26PB =．（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；（2）求直线AB 与平面BCP 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）134. 【分析】（1）先证明BC ⊥平面APC ，再利用面面垂直的判定定理证明平面APC ⊥平面ABC ；（2）先证明OA ，OE ，OP 两两垂直，建立以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】（1）证明：由等腰梯形2243AB CD AD ===60ABC ∠=︒． 又2AB BC =，所以AC BC ⊥．又23PC BC ==，6PB =222CB CP PB +=，所以BC CP ⊥． 又AC CP C ⋂=，所以BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC ． （2）如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，由四边形AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒，得AC DE ⊥，记垂足为O ， 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ，又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ． 同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系．则6AC =，3PO =，所以()3,0,0A ，()3,23,0B -，()3,0,0C -，(3P ， 所以(3,23,3BP =-，()6,23,0AB =-，()0,23,0BC =-，设平面CBP 的法向量为()2,,n x y z =，所以2200BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303330x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨设3z =10x y =-⎧⎨=⎩ 所以平面CBP 的一个法向量为(23n =-． 设直线AB 与平面BCP 所成角为θ，63sin cos ,4432AB n AB n AB nθ====⨯⨯，∴22313cos 1sin 144θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭即直线AB 与平面BCP 所成角的余弦值为134． 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是基本几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．19．如图，直线22y x =-与抛物线()202x y p p =>交于1M ，2M 两点，直线3py =与y 轴交于点H ，且直线3py =恰好平分12M HM ∠．（1）求抛物线的方程； （2）设,3p A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线3py =上一点，直线2AM 交抛物线于另一点3M ，直线13M M 交直线3p y =于点,3p B b ⎛⎫⎪⎝⎭，则ab 是否是定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）212x y =；（2）是，24ab =.【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理形式，根据120M H M H k k +=，代入韦达定理的结论可构造方程求得p ，由此得到抛物线方程；（2）分别由23,,A M M 和31,,B M M 三点共线得到与123,,x x x 有关的方程，整理可以得到()()232324x x ab x x +=+，消去变量得到24ab =，由此得到结论.【详解】（1）由2222y x x py=-⎧⎨=⎩整理得：2440x px p -+=，设()111,M x y ，()222,M x y ，则21212161644p p x x p x x p ⎧∆=-⎪+=⎨⎪=⎩，直线3py =平分12M HM ∠，120M H M H k k ∴+=， 1212330p py y x x --∴+=，即12124242033x x p p x x +⎛⎫⎛⎫-+⋅=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：6p ，满足0∆>，∴抛物线方程为：212x y =．（2）由（1）知抛物线方程为212x y =，且12122424x x x x +=⎧⎨=⎩，2111,12x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,12x M x ⎛⎫⎪⎝⎭，设2333,12x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2A a ，(),2B b ，由23,,A M M 三点共线得：232M M AM k k =，2223221212x x x x a-+∴=-，即()2222323224x x x a x x x +-+=-，整理得：()232324x x a x x -+=-…①由31,,B M M 三点共线可得：()131324x x b x x -+=-…② ②式两边同乘2x 得：()1231223224x x x b x x x x x -+=-， 即()3232242424x b x x x -+=-…③由①得：()232324x x a x x =+-，代入③得：()()232324x x ab x x +=+，24ab ∴=，即ab 是定值24．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系； ④化简所得等量关系，消元可得定值. 20．已知函数()ln 1x xf x x =+，()()1g x a x =-． （1）当1≥x 时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：()2224142ln 24411421411n nn ⨯⨯++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯≤-+．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）取()()()h x f x g x =-，将问题转化为当1≥x 时，()0h x ≤恒成立；当12a ≥时，利用导数可说明()h x 在[)1,+∞上单调递减，由此确定()()10h x h ≤=，知()()f x g x ≤恒成立；当0a ≤或102a <<时，知()h x 存在自1x =开始的单调递增区间，知存在()0h x >的情况，不合题意，由此得到结论； （2）将不等式转化为2214ln2141n n n n +≤--，由（1）的结论知当12a =时，()21ln 12x x x ≤-，令21121n x n +=>-，代入整理可得2214ln 2141n nn n +≤--，则不等式得证.【详解】（1）设()()()()ln 11x xh x f x g x a x x =-=--+，则当1≥x 时，()0h x ≤恒成立，()()()()()()222ln 11ln 121ln 11x x x x ax a x a x h x a x x ++--+-+-+'=-=++ 令()()()2121ln 1m x ax a x a x x =-+-+-+≥，则()()()()221211211212ax a x x ax m x ax a x x x-+-++-'=-+-+==-； ①当12a ≥时，()0m x '≥在[)1,+∞上恒成立，()m x ∴在[)1,+∞上单调递减， ()()1121ln1240m x m a a a a ∴≤=-+-+-+=-≤，()0h x '∴≤在[)1,+∞上恒成立，()h x ∴在[)1,+∞上单调递减， ()()10h x h ∴≤=，即()()f x g x ≤在[)1,+∞上恒成立，满足题意；②当102a <<时，令()0m x '=，解得：12x a=， ∴当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()111ln12m x m ∴≥=++=，即()0h x '>在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()h x ∴在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()10h x h ∴≥=， 即当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x g x ≥，不合题意；③若0a ≤，则()0m x '>，()m x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()12m x m ∴≥=，即()0h x '>在[)1,+∞上恒成立，()h x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()10h x h ∴≥=，即()()f x g x ≥，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）证明：()3521521ln ln ln ln 3ln 211321321n n n n n ++⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+ ⎪--⎝⎭， ∴要证原不等式成立，只需证2214ln2141n nn n +≤--； 由（1）知：当12a =时，若1≥x ，则()()f x g x ≤（当且仅当1x =时取等号），即()21ln 12x x x ≤-恒成立， 取21121n x n +=>-，则22121121ln 12121221n n n n n n ⎡⎤+++⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即()2212118ln 2121221n n nn n n ++≤⨯---， ()()()222142144ln212121214121n n n n nn n n n n n +-∴≤⋅==-+-+--，则原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够根据对数运算将不等式进行转化，进而利用（1）中已得结论整理得到所证的不等式.21．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；（2）若经过n 轮踢球，用i p 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，请根据①中1p ，2p ，3p 的值求出A 、B ，并求出数列{}n p 的通项公式． 【答案】（1）16-；（2）①116p =，2736p =，343216p =；②6177A B ==，，11156n nP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）X 的可能取值为1-，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列与期望； （2）①116p =，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出2p ．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．由此能求出3p ．②推导出11i i i p Ap Bp +-=+，将012317430,,,636216p p p p ====，代入得，116177i i i p p p +-=+，推导出1{}n n p p --是首项与公比都是16的等比数列，由此能求出结果．【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立． 由题意()12P A =，()23P B =，甲的得分X 的可能取值为1-，0，1． ()()()()12112331P AB P A P B P X =-⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()1212111232203P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+=+=．()()()()12112136P X P AB P A P B ==⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=⨯，∴X 的分布列为：()1013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．（2）①由（1）116p =，()()()()()()201101p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=1111172662636⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭． 经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．∴32222123333111111143C C C 6626263216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ②∵规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，∴1202316717A p Ap Bp p Ap Bp B ⎧⎧=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪⎩⎩代入得：116177i i i p p p +-=+，∴()1116i i i i p p p p +--=-，∴数列{}1n n p p --是等比数列， 公比为16q =，首项为1016p p -=，∴116nn n p p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴()()()11121011111166656n n n n n n n n P p p p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到116177i i i p p p +-=+后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x y λλ⎧=⎨=⎩（λ为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=（()00,πθ∈），将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11OA OB+的取值范围．【答案】（1）22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）111,22OA OB ⎛+∈ ⎝⎦. 【分析】（1）由参数方程互化得曲线1C 的方程24y x =，再根据平移得曲线C 的普通方程为()242y x =+，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可得答案;（2）方法一：直接将直线l 与曲线C 的极坐标方程联立得012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，进而利用121111OA OB ρρ+=+=()00,πθ∈计算求解即可；方法二：设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数，ϕ为直线的倾斜角），进而利用直线参数方程几何意义求解.【详解】解：（1）244x y λλ⎧=⎨=⎩，消参数λ得24y x =．依题意得曲线C 的普通方程为()242y x =+．令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=．（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得22sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-， ∵120p ρ<，∴1ρ，2p 异号．∴1212121111OA OB ρρρρρρ-+=+==20sin θ==∵()00,πθ∈，∴(]0sin 0,1θ∈，1112OA OB ⎛+∈ ⎝⎦． 法二：设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数，ϕ为直线的倾斜角），代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，∵120t t <，∴1t ，2t 异号． ∴1212121111t t OA OB t t t t -+=+==2sin ϕ==∵()0,πϕ∈，∴(]sin 0,1ϕ∈，∴11122OA OB ⎛+∈ ⎝⎦． 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交相关距离问题，方法是： （1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程； （2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ； （3）利用参数方程的几何意义代入计算.23．已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ． （1）若2b =，2c a =，关于x 的不等式()4f x a ≤有解，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++>+++． 【答案】（1）[]1,2a ∈；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求出最小值，解不等式，求出a 的范围； （2）利用绝对值的三角不等式求出最小值，得到1a b c ++=，利用柯西不等式证明14918a b b c c a++>+++. 【详解】（1）解：()()222222x a x x ax a-++≥--+=+，当且仅当22a x -≤≤时，等号成立，∴若()4f x a ≤有解，则()n 2mi 423f a a x a ≤⇒+≤，2323a a a -≤+≤，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈．（2）证明：由()||x b x c x b x c b c -++≥--+=+，当且仅当()()0x b x c -+≤时取等号，所以()f x x b x c a b c a =-+++≥++．由0a >，0b >，0c >，()min 1f x =，所以1a b c ++=，所以1222a b b c c a+++++=． 令149222a b b c c a a b b c c a T +++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭=，222149a b b c c a ++=+++++， 222222a b b c c a +++++=++， 根据柯西不等式，则218T ≥=． 当且仅当123a b b c c a ==+++，即0b =，13a =，23c =取等号， ∵0a >，0b >，0c >时等号取不到，故218T >+=．【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x 的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；（2）利用绝对值三角不等式，可以减少绝对值的个数，求最大值或最小值.（3）证明不等式，通常可以从基本不等式、柯西不等式、绝对值的三角不等式等方面考虑.。