第六章+单元和插值函数的构造

2 3 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 4 1 2 1 2 3
(6.2.21)
2 l2
(6.2.16)
i 1, 2, ,n
其中 li
n 1
x 的上标(n 一 1)表示 Lagrange 插值多项式的次数， 表示二项式在 j 的范围内(j=1，
2，…，i—l，i+1，…，n)的乘积，n 是单元的结点数， x1 ,x2 , ,xn 是 n 个结点的坐标。 如果，n=2，函数 的插值表示如下
1D 问题的自然坐标如图 6.2.1 (a)所示，为

x l
L1
以自然坐标来表达，则有
l1 , l
L2
l2 l
e
u x N i ui N L1 ,L2
i 1
3
(6.2.5)
由形状函数的性质
224
1 N1 0 0
223
节点线性单元见图 6.2.1(b)，而图 6.2.1(c)和(d)所示为高阶单元。
图 6.2.1 1D 问题自然坐标及杆单元 一、二次杆单元 在具有两个端节点的单元中增加一个内部节点，则得到二次函数的杆单元，如图 6.2.1 (c)所示。 1D 二次杆单元的节点位移共有 3 个自由度(DOF)，其节点位移列阵为
u1
e
u2
u3
T
(6.2.3)
单元的位移函数模式为
u x 1 2 x 3 x 2 N 13 31
e
(6.2.4)
其中
N N1 11 N 2 N 3
x x 1 N1 1 2 1 2 1 l l 2 x x N 2 4 1 4 1 l l x x 1 N 3 1 2 2 l l 2

N x 1 的性质。当然单是这性质还不是完备性要求
i 1 i
n
的全部。因为完备性还要求 C。型单元场函数的一阶导数应包含常数项。 对于具有两个端节点的杆件， 如果在其内部增加若干个节点， 就可以选用高次多项式(high—order polynomial)进行位移函数的插值，得到高阶单元，如图 6.2.1 所示，1D 自然坐标见图 6.2.1(a)，2
(a)直线边(b)曲线边 图 6.1.3 二次单元
图 6.1.4 三次或高次单元
222
本章将首先通过一维单元讨论有限单元法经常使用的 Lagrange 插值函数和 Hermite 插值函数。 在二维单元的讨论中着重阐述构造单元和插值函数的一般方法。在三维单元的讨论中将进一步看到 应用上述方法建立各种单元的可能性。
6．2 一维单元
一维单元可以分为两类。一类是单元的结点参数中只包含场函数 元的结点参数中，除场函数的结点值外，还包含场函数导数
的结点值。另一类单
d 的结点值。这二类单元就是以下将 dx
讨论的 Lagrange 单元和 Hermite 单元。现对它们的一般形式进行讨论。
6．2．1 Lagrange 单元
第六章 单元和插值函数的构造
6．1
引
言
在前章的内容中，我们了解到在一个给定问题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元 和插值函数。 在前四章的讨论中，我们已经了解了广义坐标有限元方法的特点，即首先将场函数表示为多项 式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何的函数， 从而将场函数表示成由它结点值插值形式的表达式。无疑这一过程比较麻烦，且有时会遇到困难。 同时我们在高阶三角形单元的讨论中，也已看到如果利用面积坐标(自然坐标)，可以方便地直接建 立起单元的插值函数，可以避免广义坐标有限元方法的麻烦和困难。本章的目的就是着重系统地讨 论利用适合各自单元形式的自然坐标直接建立不同类型单元插值函数的方法。 一般说来，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点、方程的类型及求解所 希望的精度等因素，而有限元的插值函数则取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素。 例如在图 6.1.1 上，一个二维域利用一系列三角形或四边形单元进行离散，即将总体求解域理 想化为由很多子域(单元)所组成。
图 6.1.1 二维域的有限元离散 (a)三角形单元(b)四边形单元
在一般情况下，总体域也可能是一维或三维的，在图 6.1.2 上分别给出只具有端结点或角结点 的一维、二维和三维单元的几种可能形式。一维单元可以简单地是一直线，二维单元可以是三角形、 矩形或四边形，三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般六面体。具有轴对称几何形状和轴 对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。
221
(a)一维单元 (b)二维单元 (c)轴对称单元 (d)三维单元 图 6.1.2 各种形状只有角结点的单元 从结点参数的类型上区别，它们可以是只包含场函数的结点值，也可能同时包含场函数导数的 结点值。这主要取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决 定。如果泛函中场函数导数的最高阶为 1 次，则单元交界面上只要求函数值保持连续，即要求单元 保持C 0 连续性。在此情况下，通常结点参数只包含场函数的结点值。如果泛函中场函数导数最高阶 为 2 次，则要求场函数的一阶导数在交界面上也保持连续，即要求单元保持C 1 连续性，这时结点参 数中必须同时包含场函数及其一阶导数的结点值。 关于单元插值函数的形式，有限单元法中几乎全部采用不同阶次幂函数的多项式。这是因为它 们具有便于运算和易于满足收敛性要求的优点。如果采用幂函数多项式作为单元的插值函数，对于 只满足C 0 连续性的单元(称C 0 型单元)，单元内的未知场函数的线性变化能够仅用角(或端)结点的参 数表示。 对于它的二次变化， 则必须在角(或端)结点之间的边界上适当配置一个边内结点(如图 6.1.3 所示)。它的三次变化，则必须在每个边界上配置二个边内结点(如图 6.1.4 所示)。配置边内结点的 另一原因是常常要求单元的边界是曲线的，沿边界配置适当的边内结点，从而可能构成二次或更高 次多项式来描述它们。有时为使插值函数保持为一定阶次的完全多项式可能还需要在单元内部配置 结点。然而这些内部结点除非是所考虑的具体情况绝对必需，否则是不希望的，因为这些结点的存 在将增加表达格式和计算上的复杂性。
可以得到(注意： L1 L2 1 )
在节点1 L1 1, L2 0 1 在节点2 L1 L2 2 在节点3 L1 0, L2 1
(6.2.6)
N1 L1 2 L1 L2 L1 2 L1 1
同样可以得到
(6.2.7)

x x1 x x1 xn x1 l
(6.2.18)
其中 l 代表单元长度，则(6.2.16)式可表示为
li n 1
当 n 2 时， 1 0, 2 1 ，则有
j j 1, j i i j

n
(6.2.19)
l11
对于具有 n 个结点的一维单元，如果它的结点参数中只含有场函数的结点值，则单元内的场函数 可插值表示为
N ii
i 1
n
(6.2.1)
其中插值函数 N i x 具有下列性质
N i x j ij
N x 1
i 1 i
n
(6.2.2)
式内 ij 是 Kronecker dalta。
N 2 4 L1 L2
N 3 L2 2 L2 1
(6.2.8)
在得到单元的位移模式((6.2.4)式或(6.2.5)式)和单元的形状函数矩阵((6.2.7)式～(6.2.8)式) 后，就可以按照有限元方法中通常的推导过程来获得单元的刚度矩阵和刚度方程。 二、三次杆单元 在具有两个端节点的单元中增加两个内部节点，则单元中共有 4 个节点，可以得到三次函数杆 单元，如图 6.2.1 (d)所示。 lD 三次杆单元的节点位移共有 4 个自由度，其节点位移列阵为
li1 x i
i 1
2
(6.2.17)
其中
l11 x
如令 x1 0 ,x2 l ，则 l1 如果引入无量纲坐标
1
x x2 x1 x2
1 l2 x
x x1 x2 x1
x 1 x l ,l21 x x l ，
2 1 1 2
1 l2
1 2 1
(6.2.20)
当 n 3 ，且 x2 x1 x3 2 时， 1 0, 2
1 , 3 1 ，则有 2
l1 2
n 1
x ，即令
225
N i x li n 1 x
j 1, j i

n
x xj xi x j

x x1 x x2 x xi 1 x xi 1 x xn xi x1 xi x2 xi xi 1 xi xi 1 xi xn
226
l3 2
1 2 2 1 2 3 1 3 2
如果无量纲坐标采用另一种形式
2
x xc 2 x x1 xn xn x1 xn x1
(6.2.22)
其中 xc x1 xn 2 是单元中心的坐标，则对于 n=2，有
(6.2.12)
(6.2.13)
(6.2.14)
N3
x x 3 x 1 3 1 l l 2l
(6.2.15)
总结以上，关于插值函数 N i x 的构造，为避免繁琐的推导，可直接采用熟知的 Lagrange 插值多项 式。对于 n 个结点的一维单元， N i x 可采用 n 一 1 次 Lagrange 插值多项式 li
l1
1
Biblioteka Baidu1 1 2
l2
1
1 1 2
(6.2.23)
对于 n=3，且 2 0 ，有
1 2 l1 1 2
u1
e
u2
u3 u4
T
(6.2.9)
单元的位移模式
u x 1 2 x 3 x 2 4 x 3 N
其中
e
(6.2.10)
N N1
N2
N3
N4
(6.2.11)
x 3x x N1 1 3 1 1 l 2l l x 3x x N 2 9 1 1 l 2l l N3 9x x x 1 3 1 2l l l
上述第一个性质是插值函数自身性质所要求。因为在(6．2．1)式的右端用结点 j 的坐标 x j 代 入，左端函数 应取结点 j 的函数值 j ，因此必须具有 N i x j ij 的性质。上述第二个性质是插 值函数完备性要求决定的。因为(6．2．1)式右端各个结点值 i 取相同的常数 c，则左端的场函数 也应等于常数 c，所以插值函数必须具有