第六章+单元和插值函数的构造
单元与插值函数的构造
(1 + ξ
)
一维单元插值函数的构造（C0）
b. 二次Lagrange插值(n=3)
l12 (ξ
)
=
(ξ (ξ1
−ξ2 −ξ2
)(ξ − ξ3 ) )(ξ1 − ξ3 )
=
−
1ξ(
2
1
−ξ
)
=
1 2
ξ
1ξ
(
1
+
ξ1ξ
)
l
2 2
(
ξ
)=
(1−ξ
2
)
l32 (ξ
)
=
1ξ(1+ξ
2
)
=
1 2
ξ
3ξ
(
1
+
n
n
∑ ∑ φ =
Ni (ξ )φi =
( ) li =1
3.2.2 Hermite 单元
如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性,
则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值. 此时可
以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数. 对于一维
二节点元, Hermite插值多项式可以表示为
1. 二次单元
二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为
∏ (( )) Ni =
2 j =1
f
(
j
i
)
L1, L2 , L3
f
(i)
j
L1i , L2i , L3i
i A
其中, ( ) f
(i
j
)
L1, L2 , L3
是通过除节点i以外
所有节点的二根直线方程
f
(i
j
)
(
第六章插值法
(6.1)
则称 y ( x )为函数 f ( x ) 的插值多项式, 称
[ a , b ] 为插值区间,
条件(6.1)称为插值条件, x i 称为插值节点。 几何意义如图所示。由插值函数的定义可知求插值多项 式 y ( x )，即是使曲线 y y ( x ) 与曲线 y f ( x ) 在平面上有 n+1个交点 ( x , f ( x ))， i 0,1, 2, , n
解
1. 线性插值
L1 ( x ) x9 49 2 x4 94 3 2 5 ( x 9) 3 5 ( x 4)
7 L1 ( 7 )
2 5
(7 9)
3 5
(7 4)
13 5
2 .6
2. 抛物插值
7 L 2 (7 ) ( 7 9 )( 7 16 ) ( 4 9 )( 4 16 ) 2 ( 7 4 )( 7 16 ) ( 9 4 )( 9 16 ) 3 ( 7 4 )( 7 9 ) (16 4 )( 16 9 ) 4
4
该线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式
1 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2 2
x0 x1
n n
0i j n
( x j xi点是相异的节点,故该系数行列式不等于0。由Cramer 法则，方程组有一组唯一的解 a 0 , a1 , , a n 求出方程组的解就得到了插值多项式，称之为待定系数法。但 当节点数较多时，求解方程组的工作量和产生的误差都比较大。 由插值多项式的唯一性，可以利用更简便实用并可行的方法来 构造插值多项式。 5
第六章内插数字高程模型
第17
数字高程模型
页
1/31/2020
如果数据参考点呈正方形格网分布，则可以 直接使用双线性内插公式：
第18 页
数字高程模型
2.1分块内插（二元样条函数内插）
算法的基本思想
为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹
性力学条件使所确定的n次多项式曲面
与其相邻分块的边界上所有n—1次导数
都连续，这n次多项式就称为样条函数。
Pn(xn,yn,zn)，将其代入方程从而使n阶线性方程组有惟一解将
待插点的坐标代入式中，可得到待定点的高程值。
数字高程模型
第9页
1.2整体内插
整体内插方法 整体函数内插法的优点是易于理解，因为简单地形特征参考 点比较少，选择低次多项式来描述就可以了。但当地貌复杂 时，需要增加参考点的个数。选择高次多项式固然能使数学 面与实际地面有更多的重合点，但由于多项式是自变量幂函 数的和式，参考点的增减或移位都需对多项式的所有参数做 全面调整，从而参考点间会出现难以控制的振荡现象，使函 数极不稳定。
第20
数字高程模型
页
2.1分块内插（二元样条函数内插）
问题的关键是设法求得三次曲面的一阶导数和二阶混合导 数。设R为沿x轴方向的斜率，s是沿y袖方向的斜率，扭矩 为T，则：
第21
数字高程模型
页
2.1分块内插（二元样条函数内插）
可使用不同的方法求得四个角点的R，S，T值．较为简单 的是使用差商来代替导数。使用等权一阶差商中数求任一 网格点A(i，j)的导数的公式可写为：
1.1内插方法的分类
内插是数字高程模型的核心问题，它贯穿在DEM的生产、 质量控制、精度评定和分析应用等各个环节。DEM内插就 是根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程值，在 数学上属于插值问题。任意一种内插方法都是基于原始地 形起伏变化的连续光滑性，或者说邻近的数据点间有很大 相关性才可能由邻近的数据点内插出待定点的高程。
第六章 函数插值
牛顿前差公式
设 x x0 t h ，则 N n ( x ) N n ( x0 t h) n
Rn ( x)
f (n1) ( ) t(t 1)...( t n)hn1 ,
(n 1)!
k0
( x0, xn )
t k
k f ( x0 )
牛顿后差公式
将节点顺序倒置：
Nn( x) f ( xn ) f [xn , xn1]( x xn ) ... f [xn , ... , x0]( x xn )...( x x1)
Nn(x)
ai = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加 一项就行了，即有递推式: Nk1( x) Nk ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xk ) f [ x0 ,, xk , xk1 ]
由插值的唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 故其余项也相同，即
也可以将P2 (x)写成：
P2 (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )( x x1)
令x = x0，由插值条件（6.2），有
P2 ( x0 ) y0 a0
令x = x1，由（6.2），有
f ( x1 ) P2 ( x1) y0 a1( x1 x0 )
a1
y1 y0 x1 x0
这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低而在节点上不仅连续还存在连续的低阶导数我们把满足这样条件的插值函数称为样条插值函数它所对应的曲线称为样条曲线其节点称为样点这种插值方法称为样条插值
第六章 函数插值
6.1 代数插值
设已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 x2 xn
第6章 插值法2PPT课件
一、差商及其性质
定义1 给定一个函数表
x0
x1 ... xn
f(x0) f(x1) ... f(xn)
其x 中 i xj,当 ij时
f x i f ( x i), i 0 , 1 ,.n ..,
f[x i] 称 为 f(x ) 关 于 x i的 零 阶 差 商 。
16.07.2020
5
数值计算方法
16.07.2020
6
数值计算方法
例：
i xi f(x i )
0
1
2
3
2
5
4
7
5
7
10
4
f[x0,x2]f[x x 22 ] x f0 [x0]1 4 0 2 55 2
f[x 2,x 3 ]f[x x 3 3 ] x f2 [x 2]4 7 1 4 0 3 6 2
f[x 0 ,x 2 ,x 3 ] f[x 2 ,x x 3 3 ] x f0 [x 0 ,x 2 ] 2 7 5 2 /2 1 0 9
11
数值计算方法
c2f[x 1,x x 2 2 ] x f0 [x 0,x 1]f[x 0,x 1,x 2] c 2 ( x 2 x f 0 ( ) x ( x 2 ) 2 x 1 ) ( x 1 x f 0 ( ) ( x x 1 ) 1 x 2 ) (x 0 x f 1 ( ) ( x x 0 0 ) x 2 )
f (x)关于xi , xj的一阶差商定义为
f [ xi ,x j ]
f [x j ] f [xi ] x j xi
一般的, f(x)关于xi,xi+1,…,xi+k的k 阶差商记做
f[xi,xi+1,…,xi+k ] ，即
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
数值分析第六章插值法PPT学习教案
l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3 (x)
11 x3 45 x 2 1 x 1
4
4
2
为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
Ln (x)
n k 0
yk
n
i0 ik
x xi xk xi
第16页/共81页
例6.5 已知f(x)的观测数据 x 1234
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
第13页/共81页
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值,
7
用抛物插值公式, (x–x1)(x–x2)
(x–x0)(x–x2)
p2(x) =
y0
+
y1
求
(x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1)
(x1–x0)(x1–x2)
+
第4页/共81页
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1, 来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种 程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(6.1)其结
果都是相互恒等的。
1 x0 x02 x0n
1 V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
n
P(x) lk (x) yk k 0
（6.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（6.8）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
多项式插值理论
第六章 多项式插值理论一、区间[a , b ]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法)① 对无限维函数空间的一个元素f (x ) 进行逼近，关于f (x ) 的情况仅知道一部分(1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程)② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: ⎪⎩⎪⎨⎧、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321③ 选择n X 中的元素)()(~x P x f n 或，在一定的约束条件下，使)(~x f 良好的逼近()x f ,即 令)(~x f = n n c c c φφφ+++ 2211关于()x f 在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。
④ 良好逼近的判断ε<-f f ~e .g . Tchebycheff 范数，|| f || = |)(|max x f bx a ≤≤ 称为一致逼近。
⑤ 约束条件: （依据对()x f 的了解来确定）i / 插值约束)()(~i i x f x f = 1n i ≤≤ i x ∈ (a , b ) 且i x 互不相同；ii / 插值与光滑性混合约束(1)、 )()(~i i x f x f = 1k i ≤≤ i x ∈(a , b ) 且i x 互不相同(2)、 )()(~i i x f x f '=' 1k i ≤≤ i x ∈(a,b) 且互不相同(3)、 )(~x f 的二阶导数存在iii / 变分约束 （以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）依据|| f -f ~||在n X 中为最小的条件，即确定常数n c c c 21, 使f ~的解由下列形式的极小化问题得到：|| f -0f ~|| = min{|| f -f ~||：f ~n X ∈}Note ：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。
第六章 插值法
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前进
y n (x)
y f (x)
y0 x0 x1 y1 x2 y2 yn x xn
因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x， 要求对应的f (x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以 n(x)近似f (x)。 -
返回
前进
插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的 基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在 进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也 有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计 节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。
n
(5 -1)
( 5 - 2)
使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：
(i 0,1,2,, n)
n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点， [a,b]称为插值区间。
从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是 过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线 y = (x)近似曲线y = f (x) :
a
积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且 使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。
返回
代数插值
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函 数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三 角函数等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 0,12,…,n), 由此确定函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。 另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点 上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
插值函数构造
插值函数构造插值函数是一种数学函数，它可以通过已知的一些数据点来构造出一个函数，使得这个函数在这些数据点上的取值与已知数据点的取值相同。
插值函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，例如在数值计算中，插值函数可以用来近似计算某些函数的值；在图像处理中，插值函数可以用来对图像进行放缩、旋转等操作。
插值函数的构造方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。
下面我们将分别介绍这些方法的原理和应用。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
具体地，P(x)可以表示为：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，它的表达式为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)通过这个公式，我们可以得到一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
这个多项式就是拉格朗日插值函数。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算量小，但是当数据点数量较多时，多项式的次数会很高，导致插值函数的精度下降。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
具体地，P(x)可以表示为：P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[xi]表示xi对应的函数值，f[xi,xj]表示xi和xj对应的函数值的差商，f[xi,xj,xk]表示xi、xj和xk对应的函数值的三阶差商，以此类推。
理性有限元插值函数的构造
、
引言
ｖ
其 中 ｕ代表弹性体 内某一点在ｘ 方向的位移分量 ； 代 表 弹性 体 内某一 点在Ｙ 向的位 移分量 ； 为侧 向 方
对 于空间应力 问题 ， 在不 考虑体力 的情况下 ， 用位 移表示 的平衡微分方程为 ：
＋ １ ） ２＝ （一 ｕ Ｏ
０
理 性有 限元 较 一 般有 限 元 的不 同 之处 在 于它 的 “ 理性 ” 。它舍弃 了有 限元 的等参技术 ， 采用 弹性力学方 程组的线性无关解对单元进 行插值 。这就大 大提高 了 解 的稳 定性及精度 ，其收敛 性也 已得 到证 明。［ 『 ｊ ｊ ２ １ ， 然而 在文献 中，对于理性有 限元 插值函数 的构造 至今没有 给 出一个 比较通用 的方法 。因此 ， 本文针对 这个 问题 ，
【 专题研讨 】
理性有 限元插值 函数 的构造
王 华 丽
（ 保定学 院 ， 河北
保定
０ １０ ） ７ ０ ０
摘要 ： 根据钟 万勰 院士提 出的理性有限元的基本思想， 对弹性力学平面 问题及空 间应 力问题 的插值 函数进行 数 学推导 ， 利用线性 无关组求 出了插值 函数的一般表达式 。 关键字 ： 理性有限元 ； 插值 函数 ； 线性无 关组 ； 弹性力学
为：
其 中ｅ ＋ ＝
０
ｕ
ｏ 警 ＝—ｖ０ Ｘ ０ 熹 熹＋ ０ ｏ熹 ｚ ｘ ｚ ＋
＋
＝ 、 ＾
ｙ
代表弹性体 内某一点在Ｘ 向的位移分量 ； 方
ｖ
代表弹性体 内某一点在Ｙ 向的位移分量 ； 方 代表 弹性体 内某一点在ｚ 向的位移分量． 方
＝
０
图８
－
１ ０ ８－
母单元 插值 坐标 函数
母单元插值坐标函数
在数学和计算机图形学中，“母单元“（Master
element）指的是用于表示插值函数的基本几何形状。
插值函数是一种用于近似曲线、曲面或体积的数学函数，母单元是其中的一部分，用于构建整个插值函数。
“插值“（Interpolation）是一种通过已知数据点之间的计算来估算未知数据点的方法。
插值在图像处理、计算机图形学、数值分析等领域有着广泛的应用。
“坐标“（Coordinates）是描述空间中点位置的数值系统。
在二维平面中，通常使用笛卡尔坐标系，其中的点通过水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）的数值组合来表示。
在三维空间中，通常使用三维笛卡尔坐标系，其中的点通过x、y和z轴的数值组合来表示。
“函数“（Function）是一种数学对象，它将一个输入值映射到一个输出值。
在插值中，函数通常用于描述已知数据点之间的关系，并通过计算来估算未知数据点。
综合起来，当我们谈论“母单元插值坐标函数“时，它可能指的是在插值过程中使用的基本几何形状（母单元），该形状用于构建插值函数，并且该函数通过坐标来描述已知数据点之间的关系以及估算未知数据点的方法。
这些概念在数学、计算机图形学、科学计算等领域中经常被使用。
第6章+单元和插值函数的构造
第六章单元和插值函数的构造6．1 引言在前章的内容中，我们了解到在一个给定问题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。
在前四章的讨论中，我们已经了解了广义坐标有限元方法的特点，即首先将场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何的函数，从而将场函数表示成由它结点值插值形式的表达式。
无疑这一过程比较麻烦，且有时会遇到困难。
同时我们在高阶三角形单元的讨论中，也已看到如果利用面积坐标(自然坐标)，可以方便地直接建立起单元的插值函数，可以避免广义坐标有限元方法的麻烦和困难。
本章的目的就是着重系统地讨论利用适合各自单元形式的自然坐标直接建立不同类型单元插值函数的方法。
一般说来，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点、方程的类型及求解所希望的精度等因素，而有限元的插值函数则取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素。
例如在图6.1.1上，一个二维域利用一系列三角形或四边形单元进行离散，即将总体求解域理想化为由很多子域(单元)所组成。
图6.1.1二维域的有限元离散 (a)三角形单元(b)四边形单元在一般情况下，总体域也可能是一维或三维的，在图6.1.2上分别给出只具有端结点或角结点的一维、二维和三维单元的几种可能形式。
一维单元可以简单地是一直线，二维单元可以是三角形、矩形或四边形，三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般六面体。
具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。
222223(a)一维单元 (b)二维单元 (c)轴对称单元 (d)三维单元图6.1.2各种形状只有角结点的单元从结点参数的类型上区别，它们可以是只包含场函数的结点值，也可能同时包含场函数导数的结点值。
这主要取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决定。
如果泛函中场函数导数的最高阶为1次，则单元交界面上只要求函数值保持连续，即要求单元保持C 。
第六章 单元和形函数的构造 ppt课件
6.5 wilson 单元
1 四结点单元不是二 次多项式
1
xy
1次(3)
x 2 xy y 2
x 3 x2y xy2 y 3
2次(6) 3次(10)
4次(15) x 4 x3y x2y2 xy3 y 4
5次(21)
x5
y5
2 四结点L等参元有很大不足，无法反映弯曲。
以矩形单元为例， N i x
与x无关，
单元类型
单元类型
ue Neδe
形函数特点：
1．形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零，即 1 ki
Ni(xk,yk)0 ki 2．在单元内任一点三个形函数之和等于1。即
Ni 0
3．能保证用形函数定义的未知量(如场函数)在相邻单元之间
的连续性。
4．应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移函数满足 常应变条件。
Pe t
eT
N f dt
eT
N f ds
e
s
三、单元刚度矩阵 K e e 不是要的最终变量。
Ke Keuuu
K KeueaeeP Puee
eK e 1P eK eua e
K u e u K u e K 1 K e u a e P u e K u e K 1 P e
n
6.4 阶谱单元 N i i i1
n
Ni ( )i i 1
线性单元
N ˆ1()1N ˆ2()2
x1
1 1
x2
2 1
N ˆ11 2,N ˆ21 2
二次单元
N 1 ()1 N 2 ()2 N 3 ()3
x1
x3
x2
(1)
N1 2
N3 12
第6章(形函数)
公式号 6.1 图6-1第六章 单元形函数的讨论在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。
在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。
然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。
6.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。
根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。
单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。
结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。
是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。
在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。
对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。
结点参数只包含场函数的结点值。
而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。
与此相对应，形函数可分为Lagrange 型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite 型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。
另外，有限元形函数[N ]是坐标x 、y 、z 的函数，而结点位移不是x 、y 、z 的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数[N ]作用，而在动力学中位移对时间t 微分时，只对结点位移向量作用。
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N ii
i 1
n
(6.2.1)
其中插值函数 N i x 具有下列性质
N i x j ij
N x 1
i 1 i
n
(6.2.2)
式内 ij 是 Kronecker dalta。
2 1 1 2
1 l2
1 2 1
(6.2.20)
当 n 3 ，且 x2 x1 x3 2 时， 1 0, 2
1 , 3 1 ，则有 2
l1 2
可以得到(注意： L1 L2 1 )
在节点1 L1 1, L2 0 1 在节点2 L1 L2 2 在节点3 L1 0, L2 1
(6.2.6)
N1 L1 2 L1 L2 L1 2 L1 1
同样可以得到
(6.2.7)
N x 1 的性质。当然单是这性质还不是完备性要求
i 1 i
n
的全部。因为完备性还要求 C。型单元场函数的一阶导数应包含常数项。 对于具有两个端节点的杆件， 如果在其内部增加若干个节点， 就可以选用高次多项式(high—order polynomial)进行位移函数的插值，得到高阶单元，如图 6.2.1 所示，1D 自然坐标见图 6.2.1(a)，2
(6.2.12)
(6.2.13)
(6.2.14)
N3
x x 3 x 1 3 1 l l 2l
(6.2.15)
总结以上，关于插值函数 N i x 的构造，为避免繁琐的推导，可直接采用熟知的 Lagrange 插值多项 式。对于 n 个结点的一维单元， N i x 可采用 n 一 1 次 Lagrange 插值多项式 li
u1
e
u2
u3 u4
T
(6.2.9)
单元的位移模式
u x 1 2 x 3 x 2 4 x 3 N
其中
e
(6.2.10)
N N1
N2
N3
N4
(6.2.11)
x 3x x N1 1 3 1 1 l 2l l x 3x x N 2 9 1 1 l 2l l N3 9x x x 1 3 1 2l l l
u1
e
u2
u3
T
(6.2.3)
单元的位移函数模式为
u x 1 2 x 3 x 2 N 13 31
e
(6.2.4)
其中
N N1 11 N 2 N 3
x x 1 N1 1 2 1 2 1 l l 2 x x N 2 4 1 4 1 l l x x 1 N 3 1 2 2 l l 2
2 3 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 4 1 2 1 2 3
(6.2.21)
2 l2
6．2 一维单元
一维单元可以分为两类。一类是单元的结点参数中只包含场函数 元的结点参数中，除场函数的结点值外，还包含场函数导数
的结点值。另一类单
d 的结点值。这二类单元就是以下将 dx
讨论的 Lagrange 单元和 Hermite 单元。现对它们的一般形式进行讨论。
6．2．1 Lagrange 单元
(6.2.16)
i 1, 2, ,n
其中 li
n 1
x 的上标(n 一 1)表示 Lagrange 插值多项式的次数， 表示二项式在 j 的范围内(j=1，
2，…，i—l，i+1，…，n)的乘积，n 是单元的结点数， x1 ,x2 , ,xn 是 n 个结点的坐标。 如果，n=2，函数 的插值表示如下
(a)直线边(b)曲线边 图 6.1.3 二次单元
图 6.1.4 三次或高次单元
222
本章将首先通过一维单元讨论有限单元法经常使用的 Lagrange 插值函数和 Hermite 插值函数。 在二维单元的讨论中着重阐述构造单元和插值函数的一般方法。在三维单元的讨论中将进一步看到 应用上述方法建立各种单元的可能性。
上述第一个性质是插值函数自身性质所要求。因为在(6．2．1)式的右端用结点 j 的坐标 x j 代 入，左端函数 应取结点 j 的函数值 j ，因此必须具有 N i x j ij 的性质。上述第二个性质是插 值函数完备性要求决定的。因为(6．2．1)式右端各个结点值 i 取相同的常数 c，则左端的场函数 也应等于常数 c，所以插值函数必须具有
li1 x i
i 1
2
(6.2.17)
其中
l11 x
如令 x1 0 ,x2 l ，则 l1 如果引入无量纲坐标
1
x x2 x1 x2
1 l2 x
x x1 x2 x1
x 1 x l ,l
N i x li n 1 x
j 1, j i
n
x xj xi x j
x x1 x x2 x xi 1 x xi 1 x xn xi x1 xi x2 xi xi 1 xi xi 1 xi xn
221
(a)一维单元 (b)二维单元 (c)轴对称单元 (d)三维单元 图 6.1.2 各种形状只有角结点的单元 从结点参数的类型上区别，它们可以是只包含场函数的结点值，也可能同时包含场函数导数的 结点值。这主要取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决 定。如果泛函中场函数导数的最高阶为 1 次，则单元交界面上只要求函数值保持连续，即要求单元 保持C 0 连续性。在此情况下，通常结点参数只包含场函数的结点值。如果泛函中场函数导数最高阶 为 2 次，则要求场函数的一阶导数在交界面上也保持连续，即要求单元保持C 1 连续性，这时结点参 数中必须同时包含场函数及其一阶导数的结点值。 关于单元插值函数的形式，有限单元法中几乎全部采用不同阶次幂函数的多项式。这是因为它 们具有便于运算和易于满足收敛性要求的优点。如果采用幂函数多项式作为单元的插值函数，对于 只满足C 0 连续性的单元(称C 0 型单元)，单元内的未知场函数的线性变化能够仅用角(或端)结点的参 数表示。 对于它的二次变化， 则必须在角(或端)结点之间的边界上适当配置一个边内结点(如图 6.1.3 所示)。它的三次变化，则必须在每个边界上配置二个边内结点(如图 6.1.4 所示)。配置边内结点的 另一原因是常常要求单元的边界是曲线的，沿边界配置适当的边内结点，从而可能构成二次或更高 次多项式来描述它们。有时为使插值函数保持为一定阶次的完全多项式可能还需要在单元内部配置 结点。然而这些内部结点除非是所考虑的具体情况绝对必需，否则是不希望的，因为这些结点的存 在将增加表达格式和计算上的复杂性。
1D 问题的自然坐标如图 6.2.1 (a)所示，为
x l
L1
以自然坐标来表达，则有
l1 , l
L2
l2 l
e
u x N i ui N L1 ,L2
i 1
3
(6.2.5)
由形状函数的性质
224
1 N1 0 0
l1
1
1 1 2
l2
1
1 1 2
(6.2.23)
对于 n=3，且 2 0 ，有
1 2 l1 1 2
x x1 x x1 xn x1 l
(6.2.18)
其中 l 代表单元长度，则(6.2.16)式可表示为
li n 1
当 n 2 时， 1 0, 2 1 ，则有
j j 1, j i i j
n
(6.2.19)
l11
226
l3 2
1 2 2 1 2 3 1 3 2
如果无量纲坐标采用另一种形式
2
x xc 2 x x1 xn xn x1 xn x1
(6.2.22)
其中 xc x1 xn 2 是单元中心的坐标，则对于 n=2，有
N 2 4 L1 L2
N 3 L2 2 L2 1
(6.2.8)
在得到单元的位移模式((6.2.4)式或(6.2.5)式)和单元的形状函数矩阵((6.2.7)式～(6.2.8)式) 后，就可以按照有限元方法中通常的推导过程来获得单元的刚度矩阵和刚度方程。 二、三次杆单元 在具有两个端节点的单元中增加两个内部节点，则单元中共有 4 个节点，可以得到三次函数杆 单元，如图 6.2.1 (d)所示。 lD 三次杆单元的节点位移共有 4 个自由度，其节点位移列阵为
第六章 单元和插值函数的构造
6．1
引
言
在前章的内容中，我们了解到在一个给定问题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元 和插值函数。 在前四章的讨论中，我们已经了解了广义坐标有限元方法的特点，即首先将场函数表示为多项 式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何的函数， 从而将场函数表示成由它结点值插值形式的表达式。无疑这一过程比较麻烦，且有时会遇到困难。 同时我们在高阶三角形单元的讨论中，也已看到如果利用面积坐标(自然坐标)，可以方便地直接建 立起单元的插值函数，可以避免广义坐标有限元方法的麻烦和困难。本章的目的就是着重系统地讨 论利用适合各自单元形式的自然坐标直接建立不同类型单元插值函数的方法。 一般说来，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点、方程的类型及求解所 希望的精度等因素，而有限元的插值函数则取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素。 例如在图 6.1.1 上，一个二维域利用一系列三角形或四边形单元进行离散，即将总体求解域理 想化为由很多子域(单元)所组成。