北京市2013-2014朝阳区高三数学上学期期中考试

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若A B B = ，则实数m 的值是 A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x +≤B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x +≤C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x +> 3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304.若01m <<， 则 A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于 A ．3 B ．32 C ．1 D ．126.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列结论中错误．．的是 A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ，2λ∈R ），则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07. 若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞ 8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ． 10．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 11．曲线()e x f x =在点0(x ，0())f x 处的切线经过点(1P ，0)，则0x = ．12．已知平面向量a 与b 的夹角为6π，=a 1=b ，则-=a b ；若平行四边形ABCD 满足AB =+ a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13．已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 若2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xa x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a 中，较大的是 ；20a ，25a ，30a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2π())4cos 4f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2A =． （Ⅰ）若5=bc ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若123n n T a a a a =++++ ，求5T 的值和n T 的表达式.已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.如果项数均为n ()2,n n *≥∈N的两个数列{}na ，{}nb 满足),,,2,1(n k k b a k k==-且集合}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”.（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（理工类） 2013.11一、选择题：二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： 2π())4cos 4f x x x =-+ππ1cos 2sin 2cos cos 2sin 4442xx x +=⋅⋅+⋅sin 2cos22cos22x x x =-++sin 2cos22x x =++π)24x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为2 ………6分（Ⅱ）由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)42α+=． 又因为π[0,]2α∈，所以ππ5π2444α≤+≤， 所以ππ244α+=或π3π244α+=．所以0α=或π4α=． ………13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos2A =，0A <<π，所以sin25A =. 所以4sin 2sin cos 225A A A ==. 因为5=bc ， 所以2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 （Ⅱ）因为,552sin=A 所以532sin 21cos 2=-=A A . 因为A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=1=.()2255()16164b c bc b c +=+-≤，所以b c +≤当且仅当b c ==. 所以b c +………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得，15a =-，2d =，则27n a n =-，n *∈N . ………5分（Ⅱ）当4n ≥时， 270n a n =->，当3n ≤时，270n a n =-<. 则5T =12345()13a a a a a -++++=3n ≤时，n T =26n n -；4n ≥时，232618n n T S S n n =-=-+.即226,3,618,4,n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩n *∈N . ………13分 18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有： (1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数的取值范围为80a -≤≤； ………8分（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-， 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域，①当0b =时，()5g x =，不合题意，舍②当0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要51523b b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6b ≥ ③当0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤- 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤- ………14分 19. （本小题满分14分）解:（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x -++=(3)()x x m x--=. （ⅰ）若0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)若3m =,2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.（ⅲ）若03m <<,当0x m <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅳ)若3m >,当03x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x m >时，()0f x '>，()f x 为增函数.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m ,()3,+∞；当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3,(),m +∞. ………6分 （Ⅱ）依题意，若过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，则有1212()()3f x f x x x ->--，当120x x >>时，1212()()3()f x f x x x ->--，即1122()3()3f x x f x x +>+； 当120x x <<时，1212()()3()f x f x x x -<--，即1122()3()3f x x f x x +<+. 设函数()()3g x f x x =+，若对于两个不相等的正数12,x x ，1212()()3f x f x x x ->--恒成立，则函数21()3ln 2g x x mx m x =-+在()0,+∞恒为增函数， 即在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立.解法一：(1)当0m <时，当0x →，()g x '→-∞，说明此时()0g x '≥不恒成立； 或3()111m m mg m m m m m '=-+=---12322011m m m m m +-=+-<--，说明此时()0g x '≥不恒成立； (2)当0m =时，()0g x x '=>在()0,+∞上恒成立； (3)当0m >时，若3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，而当0x >时，3mx x+≥（ 当且仅当x =0m ≥成立，即0≥，解得0<，即012m <≤，显然12m =符合题意.综上所述，012m ≤≤时，过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-. 解法二：在()0,+∞上，3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，等价于3(1)m x x-≥-，在()0,x ∈+∞成立，即3(1)m x x-≤在()0,x ∈+∞成立.（ⅰ）当3x =时，上式显然满足；（ⅱ）当03x <<时，上式等价于23x m x ≥-，设2()3x h x x =-，此时()h x 为减函数，()(),0h x ∈-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当3x >时，上式等价于23x m x ≤-，设2()3x h x x =-，则()h x = 2(3)6(3)93x x x -+-+-9363x x =-++-，当3x >时，()12h x ≥（当且仅当6x =时等号成立）. 则此时12m ≤.在()0,+∞上，当012m ≤≤时，3()0mg x x m x'=-+≥成立. 过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-. 解法三：在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立，等价于2()30h x x mx m =-+≥在),0(+∞∈x 恒成立，则有（1）0≤∆时，即0122≤-m m ，所以 120≤≤m 或（2）0∆>时，需02m<且()3h x m >，即30m ≥显然不成立. 综上所述，120≤≤m . ………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一）………3分 参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（Ⅱ）不存在．理由如下：假设存在 “15项相关数列”}{},{n n b a ，则15,,2,115152211=-=-=-b a b a b a ，相加，得120)()(15211521=+++-+++b b b a a a又由已知465302115211521=+++=+++++++ b b b a a a ，由此 585)(21521=+++a a a ，显然不可能，所以假设不成立。