级数知识点总结教学内容
级数知识点总结归纳考研
级数知识点总结归纳考研一、级数的概念级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。
级数可以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。
二、级数的收敛性1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。
2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。
三、级数的性质1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。
2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且∑(an+bn)=∑an+∑bn。
3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。
4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件收敛的。
四、级数的判定方法1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。
2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。
4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
级数知识点笔记总结
级数知识点笔记总结一、级数的基本概念1.1、级数的定义级数是指一列数相加而得到的一个和，级数一般表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1，a2，a3，...，an表示级数的每一项，n表示级数的项数。
1.2、级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常表示为Sn。
即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an1.3、收敛和发散如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于一个有限的数S，则称级数收敛，记作：S = lim(n→∞)Sn如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于无穷大或者无穷小，则称级数发散。
1.4、级数的收敛性级数的收敛性是指级数是否收敛的性质。
根据级数的收敛性可将级数分为收敛级数和发散级数。
二、级数的性质2.1、级数的加法性如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有：∑(an+bn) = ∑an + ∑bn2.2、级数的倍数性如果级数∑an收敛，则它的任意倍数级数∑kan(k为常数)也收敛，并且有：∑kan = k∑an2.3、级数的比较性如果级数∑an和∑bn满足0 ≤ an ≤ bn，当且仅当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当且仅当级数∑an发散时，级数∑bn也发散。
三、级数的收敛与发散3.1、比较判别法如果级数∑an的绝对值与级数∑bn的绝对值相比有相对简单的结构时，可对级数的收敛与发散作出判断：当∑|an| ≤ ∑bn时，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。
当∑an ≥ ∑|bn|时，若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
3.2、比值判别法若级数∑an的前n+1项与前n项的比值有极限存在，则有：若lim(n→∞)|an+1/an| < 1，则级数∑an收敛；若lim(n→∞)|an+1/an| > 1，则级数∑an发散；若lim(n→∞)|an+1/an| = 1，则比值判别法无法确定级数的收敛性。
级数公式总结知识点
级数公式总结知识点一、级数的概念首先，我们来看一下级数的概念。
级数是由一系列数相加得到的无穷和，通常表示为：\[S = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots \]其中\(a_1, a_2, a_3, \cdots \)分别表示级数的各个项，\(S\)表示级数的和。
级数的和可能是有限的，也可能是无限的。
如果级数的和是有限的，则称该级数收敛；如果级数的和是无限的，则称该级数发散。
在级数中，我们通常会遇到几种特殊的级数形式，它们对于级数的求解和应用有重要的意义。
下面我们将对这些级数形式进行总结。
二、级数公式的类型1. 等差级数等差级数是最简单的级数形式之一，它的一般形式为：\[S = a + (a + d) + (a + 2d) + \cdots + (a + (n-1)d) + \cdots \]其中\(a\)为等差级数的首项，\(d\)为等差级数的公差。
等差级数的和可以通过以下公式来计算：\[S = \frac{n(a + T)}{2}\]其中\(n\)表示等差级数的项数，\(T\)表示等差级数的末项。
2. 等比级数等比级数是另一个常见的级数形式，它的一般形式为：\[S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots \]其中\(a\)为等比级数的首项，\(r\)为等比级数的公比。
等比级数的和可以通过以下公式来计算：\[S = \frac{a}{1-r}\]3. 调和级数调和级数是一个特殊的级数形式，它的一般形式为：\[S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots \]调和级数的和并没有一个简单的表达式，但是调和级数是一个发散级数，即它的和是无穷的。
以上是几种常见的级数形式，它们在数学分析和应用中都有着重要的作用。
级数的认识知识点总结
级数的认识知识点总结一、级数的定义1.1 级数的概念级数是指由一组数相加而成的和，通常用符号∑来表示。
如果给定一个数列{an}，则和S=∑an可以表示为级数的概念。
级数是数学分析中一个非常重要的概念，它允许我们将无穷多个数相加而得到一个和。
1.2 级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常用Sn表示。
级数的部分和可以帮助我们判断级数的收敛性。
1.3 收敛级数和发散级数如果级数的部分和序列{Sn}有一个有限的极限，则称该级数为收敛级数；如果级数的部分和序列{Sn}没有有限的极限，则称该级数为发散级数。
二、级数的收敛性2.1 收敛级数的定义级数∑an收敛的充分必要条件是，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，使得|Sn-S|<ε成立。
其中，S表示级数的和。
2.2 收敛级数的性质（1）收敛级数的和的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和∑(an+bn)也收敛，并且有∑(an+bn)=∑an+∑bn。
（2）收敛级数的定理：如果级数∑an收敛，则其任一子级数也收敛。
2.3 级数的收敛判定级数的收敛性通常通过不同的方法进行判断，常用的方法有：（1）比较判别法：用一个已知级数的性质来推导出所求级数的性质；（2）比值判别法：通过级数的比值来判断级数的收敛性；（3）根值判别法：通过级数的根值来判断级数的收敛性；（4）绝对收敛级数和条件收敛级数。
2.4 发散级数的性质对于发散级数，常见的性质有：（1）级数部分和的性质：如果级数发散，则它的任一子级数也发散。
（2）级数的极限值为正无穷或负无穷。
三、级数的应用级数在数学分析、微积分等领域有着广泛的应用，其常见的应用包括：3.1 泰勒级数泰勒级数是一种数学分析中的级数，它描述了一个函数在某一点附近的性质。
泰勒级数可以帮助我们近似计算复杂函数的值，求解微分方程等问题。
3.2 幂级数幂级数是一种特殊的级数，其中每一项都是x的非负整数次幂。
级数部分提纲
一、数项级数1. 级数的定义、性质部分和数列，Cauchy收敛原理，收敛级数的性质(线性性质，必要条件)2. 正项级数收敛的判敛法基本定理(部分和有上界)比较判敛法及极限形式(无穷小的比较)比值、根植判敛法(以等比级数为比较对象)Raabe判敛法(以P-级数为比较对象)、Gauss判敛法(比Raabe更精细的判敛法)其他形式的判敛法(积分判敛法、对数判敛法、Cauchy凝聚法等)3. 任意项级数的判敛法交错级数Leibniz判敛法Abel、Dirichlet判敛法4. 绝对收敛和条件收敛5. 收敛级数的运算有限数相加满足加法的交换律、结合律。
而对于收敛的无穷级数满足加法结合律，并不满足加法交换律。
只有绝对收敛的无穷级数满足加法交换律。
Riemann重排收敛级数的乘法运算( )二、函数项级数1. 函数列一致收敛的定义和性质，极限函数的分析性质函数列一致收敛的充要条件：一致收敛的Cauchy准则，函数间的距离，点列极限极限函数的分析性质(连续性、可微性、可积性)，注意辨析非一致收敛的情况2. 函数项级数的一致收敛点态收敛一致收敛(绝对一致收敛，内闭一致收敛)一致收敛的Cauchy准则，利用部分和构成的函数列的一致收敛性3. 一致收敛的判别法Weierstrass判别法(绝对一致收敛)Abel，Dirichlet判别法(一致收敛)Dini定理(利用和函数的连续性)4. 一致收敛的函数项级数的分析性质5. 幂级数一致收敛性(Abel第一定理，Abel第二定理)分析性质幂级数、数项级数求和函数的幂级数展开三、Fourier级数1. 函数的Fourier级数展开以 2为周期，正弦级数，余弦级数，任意周期函数的展开2.Fourier级数的收敛性与分析性质Bessel不等式，Parseval等式。
级数知识点总结归纳
级数知识点总结归纳引言级数是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对级数的基本概念、性质和常见的级数测试进行总结和归纳。
通过深入的探讨，希望能够帮助读者全面理解级数的知识。
一级标题1：级数的定义与基本性质二级标题1.1：级数的定义1.级数是由一列数相加得到的无穷和，形如a1+a2+a3+...+a n+...的表达式。
二级标题1.2：级数的收敛与发散1.如果级数的部分和数列S n极限存在，则称此级数收敛，数列{S n}的极限值称为级数的和；2.如果级数的部分和数列S n极限不存在或为无穷大，则称此级数发散。
二级标题1.3：级数的性质1.收敛级数的部分和数列是有界的；2.收敛级数的和不受有限或任意个项的去除影响；3.可以对级数的各个项重新排序；4.级数的收敛性与发散性不受固定个数项的改变影响；5.如果级数∑a n收敛，则lim n→∞a n=0。
一级标题2：级数的测试二级标题2.1：正项级数及比较测试三级标题2.1.1：正项级数1.如果级数所有的项都是非负的，称之为正项级数。
三级标题2.1.2：比较测试1.比较测试：如果级数0≤a n≤b n，其中∑b n收敛，则∑a n也收敛；2.极限形式的比较测试：如果级数0≤a n和0≤b n，且lim n→∞a nb n=L，其中0<L<∞，则级数∑b n和∑a n要么同时收敛，要么同时发散。
二级标题2.2：正项级数的求和公式三级标题2.2.1：调和级数1.调和级数：级数1+12+13+...+1n+...；2.调和级数发散。
三级标题2.2.2：p级数1.p级数：级数1+12p +13p+...+1n p+...；2.当p≤1时，p级数发散；3.当p>1时，p级数收敛。
二级标题2.3：比值测试与根值测试三级标题2.3.1：比值测试1.比值测试：如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中0≤L<1，则级数∑a n收敛；2.如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中L>1或为无穷大，则级数∑a n发散。
级数的定义知识点总结
级数的定义知识点总结一、级数的概念级数是由一系列数相加所得到的和，可以写成如下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …其中，a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …是级数的各项，S是级数的和。
级数中的单个数a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …称为级数的项。
二、级数的表示方法级数可以表示为求和形式，也可以表示为极限形式。
根据级数的和可以是有限的也可以是无限的，级数可以分为有限级数和无限级数。
1. 有限级数当级数的和是有限的，即级数的各项之和是一个有限数时，这种级数称为有限级数。
例如，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，这是一个有限级数。
2. 无限级数当级数的和是无限的，即级数的各项之和是一个无穷大时，这种级数称为无限级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2，这是一个无限级数。
级数的表示方法可以用级数求和符号Σ表示，也可以用极限符号lim表示。
有限级数的表示形式为S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，无限级数的表示形式为S = ∑(aₙ)，其中n从1到∞。
三、级数的性质级数具有多种性质，包括收敛性、发散性、级数和的性质以及级数可以进行加减乘除等运算。
1. 收敛性和发散性级数的和可能是有限的，也可能是无限的。
当级数的和是一个有限数时，称该级数收敛；当级数的和是一个无穷大时，称该级数发散。
2. 级数和的性质级数和有许多性质，包括级数和的唯一性、级数和的性质等。
3. 级数之间的运算级数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。
例如，两个级数的和、差、积、商都是级数。
四、级数的收敛性级数的收敛性是级数理论中的重要概念，收敛级数与发散级数在数学上有很大的意义。
1. 收敛级数当级数的各项之和是一个有限数时，称该级数收敛。
在数学上，收敛级数具有很多重要的性质，如级数收敛的条件、收敛级数的性质等。
2. 发散级数当级数的各项之和是一个无穷大时，称该级数发散。
级数知识点公式总结
级数知识点公式总结一、级数的定义1.1 级数的概念级数是指将一系列数相加得出的结果，通常用符号表示为S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an其中ai（i=1,2,3,...）为级数的每一项，∑为级数的求和符号。
1.2 级数的收敛与发散级数的和可能有限也可能无限。
如果级数的和有限，即级数收敛；如果级数的和无限，即级数发散。
收敛和发散是级数的重要性质，在后续的讨论中将会详细介绍。
1.3 级数的部分和级数的部分和是指级数中前n项的和，通常用Sn表示。
级数的部分和是级数收敛与发散的重要依据，在计算级数的和时，通常需要用到级数的部分和。
1.4 级数的常见形式在实际应用中，级数通常有一些常见的形式，如等比级数、调和级数、幂级数等。
不同形式的级数有着不同的性质和求和方法，需要根据具体情况进行分析和求解。
二、级数的常见性质2.1 级数的加法性质级数具有加法性质，即级数的和等于其各项部分和的和。
假设级数∑an收敛，则有S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an对于级数的部分和Sn也有Sn = a1 + a2 + ... + an则有级数的和S等于部分和Sn的极限：S = lim(n→∞)Sn2.2 级数的乘法性质级数也具有乘法性质，即级数的和与乘以一个常数之后的和是相等的。
假设级数∑an收敛，则有kS = k(a1 + a2 + a3 + ...) = k∑an其中k为一个常数。
2.3 级数的收敛性质级数的收敛性质时级数理论中的重要内容，对于级数是否收敛有着一些判断的方法。
其中比较常见的是级数收敛的判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
这些判别法在判断级数的收敛性时具有一定的实用性，需要掌握和运用。
2.4 级数的发散性质级数的发散性质同样是级数理论中的重要内容，对于级数是否发散也有着一些判断的方法。
通常可以通过级数的通项公式、部分和的性质等来判断级数的发散性。
2.5 级数的收敛域级数在其收敛域内可以具有比较好的性质和应用，而在其发散域外则有着不同的性质和应用。
高数知识汇总之级数
第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++ 的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑ ，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。
级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。
常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q - 当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。
注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。
级数考点知识点总结
级数考点知识点总结一、级数概念1.1 级数的定义级数是指将一个数列的项相加而得到的无穷和。
数列的项被称为级数的一般项，常用表示级数的符号有∑或者S。
级数中的项可以是有限项或者无限项。
1.2 级数的收敛性级数的收敛性是指级数的和是否存在。
如果级数的和存在，则称该级数是收敛的；如果级数的和不存在，则称该级数是发散的。
二、级数的相关概念2.1 部分和与序列对于级数的部分和就是将级数的前n项相加得到的和，用Sn表示。
部分和序列是指求级数的各项和得到的一个数列。
2.2 余项级数的余项是指级数的和与级数的前n项和的差，用Rn表示。
余项可以帮助我们判断级数的收敛性。
三、级数的收敛定理3.1 正项级数收敛定理对于正项级数Σan来讲，若存在数列{bn}，满足（1）an≤bn；（2）级数Σbn收敛；则级数Σan也收敛。
3.2 比较判别法对于级数Σan与Σbn来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有|an|≤C|bn|；则有（1）若Σbn收敛，则Σan收敛；（2）若Σan发散，则Σbn发散；3.3 极限判别法对于级数Σan来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有lim(n→∞)an/bn=C；其中Σbn是收敛的正项级数；则有（1）若C<∞，则Σan与Σbn同敛散；（2）若C=0且Σbn收敛，则Σan收敛；（3）若C=∞且Σbn发散，则Σan发散。
四、级数的收敛性4.1 正项级数的收敛性若级数的每一项都是非负数，则称该级数是正项级数。
正项级数的收敛性判断常用限制概念和比较判别法。
4.2 绝对收敛级数的收敛性对于级数Σan来讲，若级数Σ|an|是收敛的，则称级数Σan是绝对收敛的。
绝对收敛级数是收敛的。
4.3 条件收敛级数的收敛性对于级数Σan来讲，若级数Σan是收敛的，但级数Σ|an|是发散的，则称级数Σan是条件收敛的。
条件收敛级数是收敛的。
五、级数求和5.1 级数求和的方法常见的级数求和方法有：（1）几何级数求和；（2）等差级数求和；（3）调和级数求和；（4）幂级数求和。
级数知识点总结
级数知识点总结数学中的级数是指“项数无限”的无穷级数，是数学分析中的一个重要概念。
级数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值计算中，大量的数值方法都具有涉及级数的计算步骤。
因此，在掌握级数相关的知识点是数学学习的重要一步。
一、级数的定义级数是指数列的和数列，也就是无穷个数相加所得到的结果。
一般地，设a_1, a_2, a_3, ...是一个数列，称∑a_n为无穷级数，其中∑表示求和。
当级数的通项数列收敛时称之为收敛级数，反之称为发散级数。
二、收敛判别法1.正项级数收敛定理：若数列an≥0,an≥0,且ΣanΣan收敛，则ΣanΣan绝对收敛。
2.比值判别法：对于正项级数∑an∑an，如果存在极限limn→∞(an+1)/an>1limn→∞(an+1)/an>1，那么级数发散；如果存在极限limn→∞(an+1)/an<1limn→∞(an+1)/an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞(an+1)/an=1limn→∞(an+1)/an=1，那么该方法不适用。
3.根值判别法：对于正项级数∑an∑an，若存在极限limn→∞n√an>1limn→∞n√an>1，那么级数发散；若存在极限limn→∞n√an<1limn→∞n√an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞n√an=1limn→∞n√an=1，那么该方法不适用。
4.积分判别法：若f(x)是R中非负连续函数，且单调递减，则当an=f(n)f(n)时，正项级数∑an∑an与积分∫1+∞f(x)dx的敛散性相同。
三、级数的性质1.收敛级数的性质：（1）级数后面的项任何一个加数的变动都不能影响其收敛状态。
（2）收敛级数的和唯一。
（3）若把有限项移位后，收敛级数的和仍不变。
2.发散级数的性质：（1）级数后面的项任何一个加数的变动都不能影响其发散状态。
（2）级数的任何一个有限部分的和都是有限的。
(完整版)级数知识点总结,推荐文档
un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
第1页共2页
积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
级数总结知识点
级数总结知识点一、级数的基本概念级数是由一列数按照一定的次序相加或相乘而得到的结果。
在级数中，每一个数都称为级数的项，而级数中的项的次序可以从1开始，也可以从0开始。
一般来说，级数以Σ表示，其一般形式为：Σ a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，a_n表示级数的第n项。
级数的收敛与发散与其部分和的性质有很大的关系。
当一列数的部分和在n趋向于无穷时，其极限存在且有限，则称该级数收敛。
如果其部分和的极限不存在或者为无穷大，则称该级数发散。
二、级数的收敛性1. 收敛级数的定义级数Σ a_n在部分和S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n当n趋向于无穷时存在极限S，而S是一个有限的数时，则称级数Σ a_n是收敛的，并称S为级数的和。
即：Σ a_n = S2. 收敛级数的性质（1）收敛级数的部分和是有界的对于收敛级数Σ a_n而言，其部分和S_n是有界的。
这是因为在级数收敛的情况下，S_n是收敛数列，故其绝对值必小于某个常数M。
（2）收敛级数的项趋于零对于收敛级数Σ a_n而言，当n趋向于无穷时，级数的每一项a_n都趋于零。
（3）收敛级数的和不受项的次序变换影响对于收敛级数Σ a_n而言，其和不会因为项的次序变换而改变。
3. 收敛级数的判别法（1）比较判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，若对于所有的n都有a_n <= b_n，则有以下结论：若Σ b_n收敛，则Σ a_n也收敛。
若Σ a_n发散，则Σ b_n也发散。
（2）比值判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_(n+1)/a_n| < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
若Σ a_n绝对收敛，则Σ a_n收敛。
（3）根值判别法设级数Σ a_n是一个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_n|^1/n < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
级数知识点总结和例题
n
n
lim
un +1 u 1 或 lim n +1 不易计算或不存在时，不能用此法 (见例 6 评注、例 7(5)、例 9) 。 n u n u n n
5.用根植审敛法 (1)若 1 ，则
设 lim n un
n
un 收敛；(2)若 1(或 ) ，则 un 发散；
n
思路二：求 s2 n ,而 s2 n +1 =s2 n +u2 n +1 ,则 lim sn s lim s2 n lim s2 n 1 s .(见例 2 解法
n n n
1) 2.用收敛级数的性质判定级数的敛散性 (1)要判定某一级数的敛散性,可根据级数的性质将该级数转化成敛散性已知的级数来讨 论,(见例 2 解法 2,例 4,例 5).需要掌握下面三个最常用级数的敛散性: 等比级数
x
们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [l , l ] 上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在 [0, l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 函数的表达式.
11.2 基本题型及解题思路分析 题型 1 用级数敛散性的定义与性质判定级数的敛散性
例 5 (1991-研)已知级数
(1)n1 an 2 ， a2n1 5 ，则级数 an =__________.
n 1 n 1 n 1
【分析】此题关键是弄清三个级数的一般项之间的关系。 解：因为 an 2a2 n1 (1)
n 1
an ，又 (1) n 1 an ， a2 n 1 均收敛，故由收敛级数的
高等数学级数笔记
高等数学级数笔记级数是数学中一个重要的概念，它常常出现在数学分析、微积分、实分析等课程中。
在高等数学中，我们经常会遇到级数的求和、收敛性和发散性等问题。
一、级数的定义级数是由一列数相加得到的和。
设有数列{a1, a2, a3, ...}，则称S = a1 + a2 + a3 + ... 为级数，其中S称为级数的和。
二、级数的部分和对于级数S = a1 + a2 + a3 + ... ，我们可以求出它的部分和Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中n是一个正整数。
三、级数的收敛性和发散性1. 如果存在一个实数L，使得当n趋向于无穷大时，Sn趋向于L，则称级数S收敛，记作S=L。
实数L称为级数的和。
2. 如果不存在实数L，使得级数S收敛，则称级数S发散。
四、级数的收敛准则在高等数学中，有许多重要的级数收敛准则，如以下几个：1. 正项级数收敛准则：如果级数S = a1 + a2 + a3 + ... 的每一项都是非负数，并且该级数的部分和Sn有界，则级数S收敛。
2. 比值判别法：设级数S = a1 + a2 + a3 + ... ，如果存在正数q，使得当n足够大时，|an+1/an| ≤ q，则级数S收敛。
3. 根值判别法：设级数S = a1 + a2 + a3 + ... ，如果存在正数p，使得当n足够大时，(an)^(1/n) ≤ p，则级数S收敛。
五、级数的求和对于一些特殊的级数，我们可以求出它的和。
常见的级数求和包括等比级数、调和级数等。
求和的方法有多种，如逐项求和、利用级数的性质进行求和等。
以上是关于高等数学级数的一些基本笔记，希望对你有所帮助。
如果你有更具体的问题，可以进一步提问。
级数_基本考点以及解题方法
本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：● 级数的敛散性；● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数；●给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结)2.解题方法归纳：● 级数的敛散性此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法：nn n n )12(1∑∞=+ 比较审敛法的极限形式： ))10(1(32∑∞=-+n n n n∑∞=+1)11ln(n n 分析：比值审敛法： ∑∞=•1!2n nn n n 分析：（2）交错项级数 莱布——尼兹定理：∑∞=+-111)1(n nn（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛： 分析：注意：要学会这三种方法的综合运用！● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型：（1）∑∞=-1)1(n n nn x （2）∑∞=--1)21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x对于（1）有：a. 利用定理2得收敛半径；b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ；b. 利用定理2得t 的收敛半径；c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有：只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间；● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型：（1）展开成x 的幂级数 （1）)4(1)(x x f +=（2）x e x x f 22)(=（2）展开成)(0x x -幂级数● 求幂级数的和函数；大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：附：7个常用的函数展开式① ),(.....!1+∞-∞∈=∑∞=x x n e n nx② ),(.....!121)1(/)!12(1)1(sin 0121121+∞-∞∈+---=∑∑∞=+∞=--x x n x n x n n n n n n ）（③ ),(.....)!2(1)1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x x n x n n n④)1,1( (11)0-∈=-∑∞=x x x n n ⑤)1,1(......)1(11-∈-=+∑∞=x x x n n n ⑥ ]1,1(......11)1(/1)1()1ln(0111-∈+--=+∑∑∞=+∞=-x x n x n x n n n n n n ⑦ ]1,1(......11/1)1ln(101-∈+=-∑∑∞=∞=+x x n x n x n n n n● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！)做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】 对于级数∑∞=1n nu，有以下分析：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ； 若级数∑∞=1n nu发散，则k u n n =∞→lim （k 可以为0）；若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu 的敛散性不确定； 若0lim ≠=∞→k u n n ，则必发散；分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况● 对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”，以上两种分析是基础，另外还需结合——“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很”；（2）与“级数的基本性质3、4”有关的几个问题【3组】① 在两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv中，有以下分析：若一个收敛，一个发散，则有)(1∑∞=±n n nv u发散；若两者都收敛，则)(1∑∞=±n n nv u收敛；若两者都发散，则)(1∑∞=±n n nv u的敛散性不确定；② 对①反过来有：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛；若级数)(1∑∞=±n n nv u收敛若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散；若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必发散；若级数)(1∑∞=±n n nv u发散若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu不确定；③ 对两个级数的乘积分析 a. 两个级数收敛 乘： nn1)1(-（收敛） / 211)1(n n -（发散） 除： 41)1(n n-与21)1(n n -（收敛） / n n 1)1(-（发散）b. 两个级数发散乘：n1（收敛） / 211n （发散） 除： n 1与211n （收敛） / n1（发散） c.一个收敛、一个发散乘：n 1与21n（收敛） / 321n 与231n （发散） 除： n 1与31n （收敛） / n 1与21n（发散）综上所述有：两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定；（极限中无穷小的概念要深刻体会！） （3）级数的“绝对值、次方”产生的问题∑∞=1)(n k nu（其中0>k ，k 奇偶不分）收敛；∑∞=1n nu收敛；这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小！ 如：若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u.............（错误）（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
级数知识点和公式总结
级数知识点和公式总结本文将从级数的基本概念开始，逐步深入，介绍级数的收敛与发散、级数的性质、级数的常见公式和定理等知识点，为读者全面而深入地了解级数提供帮助。
一、级数的基本概念1.级数的定义首先我们来了解一下级数的基本概念。
级数是指一列数的和，它是一种由无穷个数相加或相乘得到的数学对象。
一般的级数的表示形式为：\[a_1+a_2+a_3+...+a_n+... \]其中\(a_n\)表示级数的第n个项。
级数的前n项和可以表示为\(S_n=a_1+a_2+...+a_n\)，称为部分和。
级数的和是指当级数的前n项和\(S_n\)当n趋近于无穷大时的极限值。
2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散是级数中一个非常重要的概念。
当级数的部分和\(S_n\)存在有限的极限时，称级数收敛；当级数的部分和\(S_n\)不收敛，称级数发散。
级数的收敛与发散的判定方法有很多种，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
通过这些判定方法，我们可以判断出级数的收敛性。
3.级数的性质级数有许多重要的性质，其中最基本的是加法性质和数乘性质，即如果级数收敛，则其任意两个级数之和也收敛，级数的任意项与一个常数的乘积的级数也收敛，并且等于常数与原级数的乘积。
此外，级数的收敛性也具有一定的传递性。
如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) \) 收敛；如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) \)也收敛，其中c为常数。
二、级数的常见公式和定理级数的研究过程中，有一些常见的公式和定理，它们在级数的计算和性质研究中起着重要的作用。
《级数》学习要点
级数一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念. 2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质.3．了解几何级数和p -级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系.5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间. 6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质.7．知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要条件. 8．会用x+11、x e 、x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数.9．了解以π2为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计算周期函数的傅里叶系数.10．知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件.11．掌握周期函数以及定义在[]π,π-和[]l l ,-上的函数展开成傅里叶级数的方法. 12．会将定义在[]l ,0上的函数展开成正弦级数或余弦级数.重点 正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基本性质，用x+11、x e 、x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以π2为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在[]π,π-和[]l l ,-上的函数展开成傅里叶级数的方法.难点 无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数时，计算该函数的傅里叶系数.（二）内容提要 1. 数项级数⑴ 定义 设给定一个无穷数列ΛΛ,,,,21n u u u ，则ΛΛ++++=∑∞=n n n u u u u 211称为数项级数，简称级数.其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项.该级数的前n 项和∑==+++=nk kn n uu u u S 121Λ称为级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和,并称数列{}n S 为级数∑∞=1n nu的部分和数列.⑵ 级数的收敛、发散与级数和 若级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 的极限存在，即S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数∑∞=1n nu发散.当级数∑∞=1n nu收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数∑∞=1n nu的和，记为S un n=∑∞=1.⑶ 数项级数的性质 ①若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ分别收敛于S 与T ,则级数∑∞=+1)(n n nuυ收敛于T S +，即∑∞=+1)(n n nuυ=∑∞=1n n u +∑∞=1n n υ．②级数∑∞=1n nu和∑∞=1n ncuc (为任一常数，)0≠c 有相同的敛散性，且若∑∞=1n n u 收敛于S ，则∑∞=1n ncu收敛于cS ，即∑∞=1n ncu=∑∞=1n nuc.③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变. ④(级数收敛的必要条件) 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .⑷ 正项级数及其收敛判别法若),2,1(0Λ=≥n u n ，则称级数∑∞=1n nu为正项级数.①比较判别法 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ是两个正项级数，且),2,1(Λ=≤n u n n υ，那么有若级数∑∞=1n nυ收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛； 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nυ也发散.②比值判别法 设∑∞=1n n u 是正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim，则当1<ρ时，级数收敛； 当1>ρ时，级数发散； 当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数设),2,1(0Λ=>n u n ，级数∑∞=--11)1(n n n u 称为交错级数.②莱布尼茨判别法 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u ),2,1,0(Λ=>n u n 满足莱布尼茨(Leibniz)条件： ),2,1(1Λ=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u ,则该级数收敛,且其和1u S ≤,其余项n r 的绝对值1+≤n n u r . ⑹ 绝对收敛与条件收敛 如果级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu是绝对收敛的；如果级数∑∞=1n nu收敛而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu是条件收敛的.对于绝对收敛的级数∑∞=1n nu，有如下结论：如果级数∑∞=1n nu是绝对收敛的，则级数∑∞=1n nu也收敛.⑺ 两个重要级数①几何级数 形如ΛΛ+++++=-∞=∑120n n naq aq aq a aq的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论： 当1<q时，几何级数∑∞=0n naq 收敛于q a-1；当1≥q 时，几何级数∑∞=0n n aq 发散.②p -级数 形如∑∞=+++++=11312111n p p p pnnΛΛ 的级数称为p -级数．p -级数的敛散性有如下结论：当1>p 时，p -级数∑∞=11n p n 收敛；当1≤p 时，p -级数∑∞=11n p n发散.特殊地, 1=p 时的p -级数∑∞=11n n称为调和级数, 调和级数是发散的.2．幂级数 ⑴ 函数项级数 如果级数ΛΛ+++)()()(21x f x f x f n的各项都是定义在某个区间I 上的函数，则称该级数为函数项级数，)(x f n 称为通项或一般项.当x 在区间I 中取定某个常数0x 时，该级数是数项级数.如果数项级数)(01x fn n∑∞=收敛，则称0x 为函数项级数)(1x f n n ∑∞=的一个收敛点；如果发散，则称0x 为函数项级数的一个发散点，函数项级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数为该收敛域内的一个数项级数，于是有一个确定的和S .这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数)(x S ，通常称)(x S 为函数项级数和函数，即ΛΛ+++=)()()()(21x f x f x f x S n ，其中x 是收敛域内的任意一个点． ⑵ 幂级数的定义 形如ΛΛ+++++=∑∞=n n n n n x a x a x a a x a 22100的函数项级数称为x 的幂级数，其中),2,1,0(Λ=n a n 称为该幂级数的第n 项系数. ⑶ 幂级数的收敛半径 幂级数的系数满足λ=+∞→n n n a a 1lim，当+∞<<λ0时，称λ1=R 为幂级数的收敛半径；当0=λ时，规定收敛半径为+∞=R ；当+∞=λ时，规定收敛半径0=R .⑷ 幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间如果幂级数的收敛半径为R ，则称区间),(R R -为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.②收敛域把收敛区间的端点R x ±=代入幂级数中，判断数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.⑸ 幂级数的性质 设),min( , ),( , )( , ),( , )(21022110R R R R R x x T x b R R x x S x an n n n nn=-∈=-∈=∑∑∞=∞=,①幂级数的和函数在收敛区间内连续． ②(加法运算） 当∈x ),(R R -时，有∑∑∑∞=∞=∞=±=±=±0)()()(n n n n n nn n nnx T x S x b a x b x a．③(逐项微分运算） 当∈x ),(R R -时，有∑∑∑∞=-∞=∞=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='1100)()(n n n n nn n n n x na x a x a x S ，且收敛半径仍为R .④(逐项积分运算） 当∈x ),(R R -时，有⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞=xxn n n x x a x x S 000d d )(=∑⎰∞=00d n x n n x x a =∑∞=++011n n n x n a ， 且收敛半径仍为R .(6) 泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒公式如果函数)(x f 在开区间),(b a 内具有直至1+n 阶导数,且),(0b a x ∈,则对任意点),(b a x ∈,有)(x f 在0x x =处的n 阶泰勒公式),()(!)()(! 2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=Λ其中)(x R n 称为n 阶泰勒公式的余项，当0x x →时，它是比nx x )(0-高阶的无穷小，故一般可写成)()(0nn x x o x R -=.余项)(x R n 有多种形式，一种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为) ( )(!)1()()(010)1(之间与在x x x x n f x R n n n ξξ++-+= .②泰勒级数ΛΛ+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(! 2)())(()(00)(200000称为)(x f 在0x x =处的泰勒级数. ③麦克劳林级数ΛΛ+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(! 2)0()0()0()(2称为)(x f 的麦克劳林级数.④函数展开成泰勒级数的充要条件设函数)(x f 在0x x =的某个邻域内有任意阶导数，则函数)(x f 的泰勒级数在该邻域内收敛于)(x f 的充要条件是：0)(lim =∞→x R n n （其中)(x R n 是泰勒余项）. 如果)(x f 在0x x =处的泰勒级数收敛于)(x f ,则)(x f 在0x x =处可展开成泰勒级数,即n n n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=， 称其为)(x f 在0x x =处的泰勒展开式，也称为)(x f 关于0x x -的幂级数. 当00=x 时，有nn n x n fx f ∑∞==0)(!)0()( 称为函数)(x f 的麦克劳林展开式. (7) 常用初等函数的麦克劳林展开式①∑∞=+∞<<-∞+++++==02)( ! ! 21!1 n nn xx n x x x x n e ΛΛ ②ΛΛ++-+++-=+-=+∞=+∑! )12()1(! 5! 3! )12(1)1(sin 1205312n x x x x x n x n n n n n)( +∞<<-∞x③ΛΛ+-+++-=-=∑∞=! )2()1(! 4! 21! )2(1)1(cos 24022n x x x x n x n n n n n )( +∞<<-∞x④∑∞=++++-++-+-=+-=+0143211)1(43211)1()1ln( n n n n nn x x x x x x n x ΛΛ )11( ≤<-x⑤ΛΛΛ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα )11( <<-x其中α为任意实常数⑥∑∞=+-+-+-=-=+032)1(1)1(11n n n n n x x x x x x ΛΛ )11(<<-x3. 傅里叶级数⑴ 以π2为周期的函数)(x f 展开成傅里叶级数①设)(x f 是周期为π2的函数，则)(x f 的傅里叶系数的公式为),2,1,0( d cos )(π1ππΛ==⎰-n x nx x f a n ， ),2,1( d sin )(π1ππΛ==⎰-n x nx x f b n ，由)(x f 的傅里叶系数所确定的三角级数∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a 称为)(x f 的傅里叶级数.②当)(x f 是周期为π2的奇函数时，)(x f 的傅里叶级数是正弦级数∑∞=1sin n nnx b，其中系数),3,2,1( d sin )(π2π0Λ==⎰n x nx x f b n . ③当)(x f 是周期为π2的偶函数时，)(x f 的傅里叶级数是余弦级数∑∞=+1cos 2n n nx a a ，其中系数),2,1,0( d cos )(π2πΛ==⎰n x nx x f a n .⑵ 狄利克雷（Dirichlet ）收敛定理设以π2为周期的函数)(x f 在[]ππ,-上满足狄利克雷条件： ①连续或仅有有限个第一类间断点； ②至多只有有限个极值点， 则)(x f 的傅里叶级数收敛，且有①当x 是)(x f 的连续点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ；②当x 是)(x f 的间断点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于这一点左、右极限的算术平均数[])0()0(21++-x f x f . ⑶[]ππ,-或[]π,0上的函数)(x f 展开成傅里叶级数如果函数)(x f 只在区间[]ππ,-上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们可以在[)π,π-或(]π,π-外，补充函数的定义，使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F (按这种方式拓广函数的定义的过程称为周期延拓).再将)(x F 展开成傅里叶级数,并且该傅里叶级数在()π,π-∈x 时,就是函数)(x f 的傅里叶级数,在π±=x 处，傅里叶级数收敛于))0π()0π((21+-+-f f . 类似地，如果)(x f 只在[]π,0上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们在()0,π-内补充)(x f 的定义,得到定义在(]π,π-上的函数)(x F ,使它在)ππ,(-上成为奇函数(偶函数)( 按这种方式拓广函数的定义的过程称为奇延拓(偶延拓)).然后把奇延拓(偶延拓)后的函数)(x F 展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).⑷ 以l 2为周期的函数，且在[]l l ,-上满足狄利克雷收敛定理的条件，得到)(x f 的傅里叶级数展开式为∑∞=++=10)πsin πcos (2)(n n n lx n b l x n a a x f ，当x 是)(x f 的连续点时，上式成立.其中),2,1,0( d cos )(1Λ==⎰-n x l n ππx f l a l l n ，),3,2,1( d πsin )(1Λ==⎰-n x lx n x f l b l l n .二 、主要解题方法1． 判断数项级数的敛散性的方法例1 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(1)∑∞=-2ln )1(n n n ， (2)∑∞=+-11)1(n nna)0(>a ． 解 (1)先判断级数∑∞=-2ln )1(n n n =∑∞=2ln 1n n 的敛散性，显然级数∑∞=2ln 1n n 是正项级数，因为n ln 1>n 1，而级数∑∞=21n n 发散，由比较判别法知级数∑∞=2ln 1n n 发散．又因为级数∑∞=-2ln )1(n n n 是一交错级数，n n ln 1lim ∞→=0且 n ln 1>)1ln(1+n ，由莱布尼茨判别法知，级数∑∞=-2ln )1(n n n 收敛，故此级数条件收敛．(2) 当0<1≤a 时，≠+∞→n n a 11lim 0，由级数收敛的必要条件知级数 ∑∞=+-11)1(n n n a 发散． 当1>a 时,先判断级数 ∑∞=+-11)1(n nn a=∑∞=+111n n a 的敛散性，因为 111lim+∞→++n nn a a=nn n aa a 111lim ++∞→=a 1<1 ，由比值判别法知，级数∑∞=+-11)1(n n n a 绝对收敛． 小结 对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性．当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑用其他方法．2． 幂级数收敛区间或收敛域的方法 例2 求下列幂级数的收敛域(1) n n x n )3(11∑∞= ， (2)∑∞=+0)21(n nx ， (3) ∑∞=-02)!2()1(n n n n x ．解 (1) 因为nn n a a 1lim +∞→=13)1(3lim +∞→+n nn n n =3)1(lim +∞→n n n =31， 所以收敛半径R =3，收敛区间为 （-3，3）．当x =-3时，级数为 ∑∞=-1)1(n n n ，收敛，当x =3时，级数为∑∞=11n n ，显然发散． 故收敛域为 [-3，3)．(2) 因为 nn n a a 1lim +∞→=122lim +∞→n n n =21，所以收敛半径R =2，由 1x +<2得，收敛区间为（-3，1），当3-=x 时，级数为nn )1(0∑∞=-，发散，当x =1时，级数为∑∞=01n ，发散，故级数的收敛域为（-3，1）．(3)幂级数∑∞=-02)!2()1(n n n n x 缺少奇次项，直接用比值判别法有n n n x n n x 222)!22()!2(lim++∞→=)12)(22(lim 2++∞→n n x n =0， 收敛半径R =∞+，收敛域为（∞+∞-,）． 小结 如果幂级数属于∑∞=0n nnx a或∑∞=-00)(n n n x x a 形式，其收敛半径可按公式R 1=nn n a a 1lim +∞→求得．若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得． 3． 求幂级数的和函数的方法例3 利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数 (1)∑∞=-11n n nx， (2)∑∞=-2)1(2n nn n x ．解 （1）由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法， 设 )(x s =∑∞=-11n n nx，⎰x x x s 0d )(=⎰∑∞=-x n n x nx11d =∑∞=1n n x =xx-1 ， 1<x ，于是 )(x s = ]d )([0'⎰xx x s =]1['-x x=2)1(1x - ， 即∑∞=-11n n nx=2)1(1x - ， 1<x . (2) 由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法设 )(x s = ∑∞=-2)1(2n nn n x ，则)(x s '=∑∞=--21)1(2n n n x ，)(x s ''=∑∞=-222n n x =)1(21x - ，)(x s '=⎰''xx x s 0d )(=⎰-xx x 0d )1(21=-21)1ln(x -，)(x s = ⎰'x x x s 0d )(=21[)1ln()1ln(x x x x ---+]，即 ∑∞=-2)1(2n n n n x =21[)1ln()1ln(x x x x ---+]．小结 掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数．4． 把函数展开成幂级数的方法例4 把下列函数展开为（0x x -）的幂级数 (1) )(x f =11+x ，0x =-4 ； (2) )(x f = 223xx x --，00=x ． 解 (1) 利用等比级数求和公式11+x =341-+x =)341(31+--x ， 因为 x -11=∑∞=0n nx （-1<x <1），所以3411+-x =∑∞=+0)34(n nx ， 这里 -1<34+x <1 ，得 -7<x <-1 ，于是 11+x =-∑∞=++013)4(n nn x （-7<x <-1 ）． (2)223x x x --=x -1122x -+=x -11112x -+ =（1+x +2x L +nx +L ）-[-2x +(2)2x +L +(nx )2-+L ]=23x +243x +389x +41615x +L （-1<x <1）． 由 x -11的收敛区间为 （-1，1）可知211x +的幂级数收敛区间为（-2，2），223x x x --的麦克劳林级数的收敛区间取（-1，1）与（-2，2）中较小的一个，即（-1，1）．小结 把函数)(x f 展开为（0x x -）的幂级数的方法有二： (1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大，)()(x fn 的一般表达式不易求出，并且讨论余项)(x R n 当∞→n 时是否趋于0也困难．为了避免这些缺点，常用间接展开法．(2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把)(x f 展开成幂级数．5．傅里叶级数的展开法例5 设)(x f 是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式为)(x f =⎩⎨⎧<≤<≤-,π0,0,0π,x x x 将)(x f 展开成傅里叶级数． 解 ()f x 满足收敛定理条件，()f x 的图形如图所示因此 0a =π1⎰-ππd )(x x f =π1⎰-0πd x x =-2π， n a =π1⎰-ππd cos )(x nx x f =π1⎰-0πd cos x nx x=π1(n nx x sin +2cos n nx )0π- =⎪⎩⎪⎨⎧==,...6,4,2,0,...5,3,1,π22n n nn b =π1⎰-ππd sin )(x nx x f =π⎰-0πd sin x nx x = π1(n nx x cos -+2sin nnx)0π-=21)1(nn +- ． 又)(x f 在除)12(+=k x π外处处连续，故)(x f 的傅里叶级数展开式为)(x f =-4π+(π2cos sin x x +)-21sin 2x +(π322cos3x +31sin3x )-41sin 4x +(π522cos5x +1sin 5)5x -L (∞<<∞-x 且≠x (12+k ) π)， 当 )12(+=k x π时，级数收敛于-2π．小结 把)(x f （满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数．因 此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的函数的傅里叶系数，这样可以简化运算． 三、学法建议1．本章的重点是数项级数的敛散性概念及其判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的 概念及求法，用x+11，xe , x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，掌握周期函数以定义在[-π，π]和[,l l -]上的函数展开成傅里叶级数的方法．2．学好本章内容首先要会判断级数的敛散性，为了做到这一点，必须把判别定理及级数性质记熟，并分清级数的类别，对不同的级数采用不同的判别法，如正项级数用比较、比值判别法，交错级数用莱布尼茨判别法等．3．为了能较快地把函数展开成幂级数，首先要记熟x+11，xe ,x sin 与)1ln(x +等函数展开公式，并且会分析所给函数的特点，利用代数运算或三角恒等变形将所给函数进行整理，以利于用公式展开．4．要掌握傅里叶级数展开，必须记熟求傅里叶系数的公式，这样才能用起来得心应手．。
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第十二章 无穷级数
一、 常数项级数 1、 常数项级数：
1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑
∞
=n n n u u u u u 3211
部分和：n n
k k
n
u u u u u
S ++++==
∑=Λ3211
正项级数：∑∞
=1
n n u ，0≥n u
级数收敛：若S
S n n =∞
→lim 存在，则称级数
∑∞
=1
n
n u 收敛，否则称级数
∑∞
=1
n
n u 发散 2)
性质：
➢ 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ➢ 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数
∑∞=1
n n a ，
∑∞
=1
n
n b 收敛，则
∑∞
=±1
)(n
n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
➢ 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数
∑∞
=1
n
n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ➢ 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
➢
注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
∑∞
=1
n
n u ，0≥n u ）S
S n n =∞
→lim 前n 项和存在极限则收敛；
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔
{}n
S 有界；
➢ 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛；若∑∞
=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散.
➢ 比较法的极限形式：
)0( l lim
+∞<≤=∞→l v u
n
n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞
n
u 发散. ➢
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∑∞
=-1
)1(n
n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞
→n
n u ，则级数∑∞
=-1
)1(n n n u 收敛。
条件收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛，而
∑
∞
=1
n n u 发散；绝对收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛。
∑∞
=1
n n u 绝对收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛。
其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数：
∑∞
=0
n
n n x a ） 1、
2、
和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项
积分.( R
不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=
∑∞
=
⇔0)(!)1()(lim )(lim 10)
1(=-+=++∞→∞→n n n n n x x n f x R ξ。