课表编排问题 数学建模
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开放教育排课问题约束分析与数学建模1 引言(Introduction)随着体制改革的不断深化，高校信息化建设成为提升教育教学水平、提高管理效率、保证教学质量、全面增强学校综合竞争力的关键因素。
“十三五”规划发展期间，同属于国家高等教育序列的开放大学正在逐步进行结构调整和教学模式的转型与优化。
培养目标、专业设置、课程设置等方面的重新定位，教育教学资源的优化配置，为开放教育教学管理提出了更高的要求。
随着教学模式的改革、学生人数的日益扩大、开设专业的不断创新、开设课程的不断增多，教师教室资源的相对减少等因素，严重制约了开放教育的发展。
尤其对于排课工作，传统的手工排课由于上述制约因素无法编制有效地课表，一方面造成人力和物力的极大浪费，工作效率不高，保密性较差，文件数据维护、更新难度大，教学资源没有发到最优化配置。
另一方面，手工编制的课表会因为人为的错误而扰乱正常的教学秩序。
因此，有效解决具有开放教育特征的排课问题[1]，编制科学的课程表是提高开放教育教学管理水平的关键。
2 问题描述(Problem description)实际上排课管理工作可以归结为基于时空组合的教学资源分配问题[2,3]。
排课问题是一个复杂难解的非线性、多约束、模糊多目标优化的问题，且已经被证明是一种NP完全问题[4]。
高校作为一个教学实施的整体，编排课程表需要考虑全校性的、多方面的因素，包括教师、教室、课程、班级、时间等对象，也就是说在满足一系列的约束性条件的前提下，使得学校教学资源能够得到最优化配置。
开放教育是以学生为中心，运用现代通信技术与各种多媒体进行远程教育和面授相结合，并实行学分制的教育类型。
学生对课程的选择、媒体的适用具有一定的自主性。
在学习方式、学习进度、学习地点、学习时间等方面，可由学生根据自身的情况自主决定；学生基本来自在职人群，学生修读完本专业规定的毕业学分，颁发国家承认的本、专科学历证书。
基于这些特征，开放教育的课程均安排在周一至周五的晚上，周末的白天与晚上。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究
排课问题是在排定学期课程表的过程中面临的一个重要问题，通过分析特定的条件，寻找出最优解来解决该问题是解决之道。
排课问题可视为一种约束优化问题，是应用数学模型来解决的一类复杂问题，其运用约束条件，求解一组变量使得整体成本最小，具有很强的实际意义。
排课问题的数学模型可以根据实际情况和应用需求来制定，一般情况下，可以采用贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等多种算法来解决。
贪心算法是一种简单但有效的算法，原则就是每一步取当前最优解。
其优点是算法简单，易于实现，缺点是无法保证全局最优解。
费用流算法是一种有效的排课算法，它采用图论中的费用流模型，追求最大流量决策，可以找出满足资源约束条件的最优解，即满足每一节课最少需要的资源。
回溯算法又称为试探法，按照深度优先搜索，遍历全部节点，枚举所有可能的情况，最终找到可行的解决方案。
动态规划算法是一种优化算法，它的基本思想是，对于每个时期的课程安排，给出最优解，在此基础上，不断更新，最终求出最优解。
排课问题是一个复杂而又实用性很强的问题，受到越来越多人的重视。
数学模型是解决该问题的重要手段，历来受到各大学者的关注。
通过贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等，可以找到满足条件的最优解。
只要模型，算法和数据得到合理的设计与使用，
排课问题的解决方案有可能实现。
总而言之，数学模型是解决排课问题的重要手段。
模型的设计应该以实际情况为准，考虑各种约束条件，寻求出真正能够满足需求的优化解决方案。
只有这样，才能高效、准确地解决排课问题，实现客观有效地排课。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课是指根据学校规定的开课数量以及课程、教师、场地等资源要求，综合考虑这些因素，将所有的课程排列到一张满足学校要求的时间表中的过程。
排课没有完美的解决方案，排课问题是一个复杂的搜索问题，它有着复杂的约束条件，需要进行大量的计算和运算。
基于此，研究者借助数学模型来解决排课问题，以求解最佳的排课结果。
随着计算机技术的发展，“排课问题”的数学模型也发展至今。
排课问题的数学模型可以大致分为三类。
第一类是组合优化模型，例如0-1规划模型、线性规划模型、调度与分配模型等。
这类模型通过优化变量的设置，使解决方案达到最优。
第二类是搜索优化模型，例如多项式搜索模型、模拟退火模型等。
这类模型不仅考虑当前的解决方案，而且还考虑可行解的附加条件，有效地寻找最优解。
第三类是粒子群优化模型，粒子群搜索技术也可以用于排课问题，主要是将粒子群搜索技术应用于排课问题，设计粒子群优化过程，实现最优解的搜索。
在数学模型研究方面，许多学者研究了排课问题的数学模型，他们基于各种类型的模型，研究出了不同的算法来解决排课问题，如回溯法、基因算法、遗传算法等。
通过各种数学模型，可以实现比较有效的排课解决方案。
本文在介绍排课问题的基本要求和约束条件的基础上，介绍了排课问题数学模型的研究，即有关排课的数学模型的研究。
其中，包括组合优化模型、搜索优化模型和粒子群优化模型。
数学模型能够帮助学校更好地安排每学期课程，实现更优化的排课结果。
排课问题虽然是一个复杂的搜索问题，但面对这一复杂的搜索问题，数学模型能够为解决排课问题提供更有效的解决方案。
研究者需要进一步研究具体的算法，并在实际应用中检验如何进一步改进数学模型，以获得更优的排课结果。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课问题是指如何有效地将教室、教师和学生等资源进行有效的安排，使得课程的安排能够满足教学需求，进而提高教学质量，所以排课问题属于一类组合优化问题，它经常用于求解学校中教学计划的安排。
随着计算能力的不断提升和发展，排课问题也在得到广泛的应用，并且其复杂的特征也意味着它的解决非常困难。
在许多排课问题的研究中，数学模型是有效的工具，可以帮助解决排课问题，并提供有效的模型解决思路。
具体而言，数学模型是一种量化方法，将排课问题表达为一个数学模型，使其问题能够明确表达，从而可以帮助解决排课问题。
首先，引入数学模型可以减少排课问题复杂性，并且使求解更加高效。
将排课问题表示为数学模型后，面临的主要问题就是模型的优化，以获得最佳的排课方案。
即以最优的方式将教室、教师和学生等资源安排起来，以满足学校课程的安排需求，从而提高教学质量。
其次，在求解排课问题时，数学模型可以提供改进算法的方法和优化方法。
通过研究优化算法，可以探索如何有效的求解排课问题，并探究应如何使用优化算法解决排课问题。
此外，研究优化问题的方法也可以指导实践，从而可以为求解排课问题提供更加有效的解决方案。
最后，将排课问题表示为数学模型后，可以运用计算机计算，求解排课问题，提供更优质的排课方案。
这是因为，模型可以将排课问题表示为精确的数字形式，可以快速计算出最优的排课方案，提高效率。
总之，排课问题属于一类深度优化问题，在求解排课问题时，数学模型可以提供有效的优化方法。
通过将排课问题表示为数学模型，可以有效的缩小问题的规模，从而求解排课问题，提供最佳的排课方案，满足学校课程的安排需求，有效改善教学质量，从而达到优化教学效果的目的。
数学建模课表安排
文理学院新校区课表安排问题编号：J4004摘要：每学期的开学初，总有许多老师对新校区的课程安排很有意见，本文选取文理学院某系某专业的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对新校区各系各专业的课表进行了重排。
在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表，最后通过lingo软件加以实现。
运用我们建立的数学模型，对文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。
根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。
我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在新区逗留时间、专业课排在早上，计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。
最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给处了一些合理的、可行性的建议。
关键字：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵满意度一． 问题重述每学期的开学初，总有许多老师对对新校区的课程安排进行抱怨，还有许多老师要求调课，教务处对这一问题很是头疼。
根据文理学院院的实际情况，用数学建模的方法解决这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。
让老师满意，就是要让每位老师在一周前往新校区上课的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在新校区逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段；同时为避免下课楼道拥挤，对于上午有四节课的班级，在教室功能允许的情况下，应尽量避免更换教室；让学校满意，就是要节约支出，每周派往新校区的车次尽可能的少。
数学建模请你来排课表
数学建模请你来排课表请你来排课表摘要每学期的开学初，学校都会根据时间、课程、课时要求、教室、班级人数、教师等因素对各学院各专业的课表进行重排。
我们首先对题目的要求进行分析，将题目归类为优化模型问题，主要运用运筹学的知识来建立模型。
确定了分别将教师、课程、教室三个因素优化组合进行讨论，并分配到课表上的不同时间段上最终形成满足要求的课表的解决方案。
首先，我们确定了各优化因素之间的约束关系，然后根据各因素间约束关系的要求不同，编制出各因素间的效用矩阵。
其中我们采用了多重约束条件，将各约束条件分为硬约束（强制要求）和软约束（用偏好系数表示）；其次，我们为课表上的每一个时间段随机分配课程；再次，我们用逐级优化和0-1规划的方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上，按时间+课程+教师+教室的组合，形成了一份尽可能多地满足课程、教师、教室要求的课表。
最终根据题目给的数据，通过MATLAB软件编程进行模型验证，求出了所需课表，且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了偏好系数的变化、教室的种类对排课结果的影响。
文尾我们给出了教师、教室的配置建议。
关键词：排课模型随机分配优化目标矩阵多重约束条件0-1规划目录1 问题重述与分析 (4)1.1问题的重述 (4)1.2问题的分析....................................... (4)2 问题的假设 (4)3 符号说明 (5)4 模型的建立与求解 (5)根据分析，关联关系有课程—上课时间、课程—教室、教师—课程、教师—上课时间、教师—教室一共五个，该模型中存在的联系可由下图给出，其中实线表示“硬约束”，虚线表示“软约束”。
根据关联关系，由此可以得到刻画每个关系的效果指标矩阵，依次建立A1，A2，A3，A4 四个效用矩阵。
其中，为强制约束的有A2、A4，偏好约束有A1、A3，矩阵表示如下图所示。
1A 矩阵：()ij a A 1 刻画i 教师上j 教室的偏好效果指标，其中：10≤≤ij a （当ij a =0时表示i 教师不希望在j 教室上课，ij a =1时表示i 教师希望在j 教室上课，10 ij a 时表示i 教师在j 教室上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏好越大）2A 矩阵：()ij a A 2 刻画i 教师上j 课程时的效果指标，其中：ij a =0，1（当ij a =0时表示i 教师不能上j 课程，ij a =1时表示i 教师能够上j 课程）3A 矩阵：()ij a A 3 刻画i 教师上j 时间段课时的偏好效果指标，其中：10≤≤ij a （当ij a =0时表示i 教师不希望在j 时间段上课，ij a =1时表示i 教师希望在j 时间段上课，10 ij a 时表示i 教师在j 时间段上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏好越大）4A 矩阵：()ij a A 4 刻画i 课程在j 教室上时的效果指标，其中：ij a =0，1（当ij a =0时表示i 课程不能在j 教室上，ij a =1时表示i 课程能够在j 教室上）（2）对时间段S i 进行编号由于每门课程以2节课为单位进行编排，因此可以用i S 表示各段时间，如下图所示：（3）对课程的处理由于有些课程的课时数为奇数，因此对这些课程进行适当的处理及调整，具体做法如下： 当某一课程的课时数为奇数时，取大于它的最小偶数，若该课程的课时数为偶数时则不改变其值。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究随着社会的发展和教育水平的提高，越来越多的学生进入高等学校。
学校要面对各类课程的排课问题，势必要考虑如何尽可能地满足学生的教学需求，而且要保证排课的合理性、灵活性和可行性。
因此，排课问题已经成为现代最重要的教育问题之一。
排课问题是一种典型的优化问题。
实际上，它是在自然科学和社会科学领域中的一类比较复杂的约束条件下的优化设计问题，其目标是在给定的一定条件下实现最佳的排课效果。
因此，研究排课问题的最佳数学模型就显得尤为重要。
首先，要确定排课问题的决策变量，包括课程的内容、教室的容量、上课的时间和日期、以及教师的有效期限等等。
其次，要确定排课问题的目标函数。
排课问题的目标函数可以是最小化总课程时间或最小化总优化成本，也可以是最大化总满意度，还可以是最小化总不满意度。
确定目标函数之后，下一步就是定义求解模型。
求解排课问题的数学模型有很多种，根据不同的排课目标，求解排课问题的数学模型可以分为五类：标量函数优化模型、统一考虑模型、单项满足约束模型、多项满足约束模型和模糊排课模型。
其中，最常用的是标量函数优化模型，即以满足所有限制条件下最优解为约束条件，设计一个目标函数，以最优解使得目标函数最优值最小。
随着计算机技术和软件技术的发展，求解排课问题的优化软件也得到了改进和完善。
使用计算机计算技术和软件，可以有效地求出满足所有限制条件下排课最优解，从而实现高效、准确地求解排课问题。
总的来说，求解排课问题的数学模型是一个复杂的优化设计问题，涉及到许多学科，包括数学、经济学、管理学等，而且它也是当今教育改革中很重要的问题。
所以，要有效地求解排课问题，必须对排课问题的数学模型进行全面的研究，并借助计算机技术和软件，以达到尽可能地满足学生的教学需求，提高课程安排的效率和质量。
综上所述，排课问题的数学模型研究是排课系统的基础，它不仅涉及到诸多学科，而且还可以利用计算机技术和软件达到更好的优化排课效果。
排课问题的数学模型及基于遗传算法的实现
时间表 问题 是一 类多元 受 限 的资源 调度 组合 优化 问题 ． 列 车时 刻表 、 班时刻 表 、 市公 路运 营表 、 航 城 医院病 房 调度 表 等均
与此有关 。
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ｌ１１ 时 间 表 问 题 的 相 关 定 义 ＿． 为 了更好 的描 述 时间表 问题 ， 出以下 时间 表 问题 的相关 给 定义 ： 定 义 １ 时 间 集 （ ｉ ｅＳ ｔ ： 件 发 生 时 间 构 成 的 集 合 ， Ｔｍ ｅ） 事 具 有有 序性 、 一 性 ， 为 ： 唯 记
摘
要 ： 时 间表 问题 的 分析 论述 入手 ， 从 对排课 问题 进行 合理 抽 象并 建 立 了该 问题 的数 学模 型 。在此 基础 上 ． 用遗 利
传 算 法进行 问题 求解 ， 出染 色体 编码 方 案和适 应度 函数 ， 计 并 实现 了排 课 系统 。结 果表 明 算法 具有合 理 性 和可 给 设
第７ 第 １ 期 卷 ｌ
２０ 年 １ ０８ １月
软 件 导 刊
Ｓ ｆｗａｅ Ｇｕｄ ｏ ｔ ｒ ｉｅ
Ｖｏ ＿ ｌ Ｎｏ． １ ７ １ ＮＯ ． ｏ Ｖ ２ ０８
排课 问题 的数 学模型及基 于遗传 算法 的实现
剥、 华 金
（ 门理 工 学院 计 算机 科 学与技 术 系， 建 厦 门 ３ １２ ） 厦 福 ６ ０ ４
作考简介： 孙金华（ ７－ ， 福建三明人， １ ６ ）男， ９ 硕士， Ｊ－学院计算机系高级工程师， 厦门ｚ￣ ＇ 研究方向为软件工程、 ｅ开发技术、 ｗｂ 数据库技术。
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软 件 导 刊
２ｏ ｏ ８年
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课问题一直是困扰学校和教育管理部门的大难题，以往的管理策略和方法无法有效解决问题，研究提出了一种新的方法建立数学模型，对排课问题进行研究和分析，以期获得更好的解决办法。
排课问题的基本问题是如何有序安排课程。
这里的课程包括普通课程和课外活动，这两种课程的形式不同，具有不同的要求和特点，建模者要全面考虑这些要求和特点，在最短的时间内尽可能的有效解决排课问题，使每一门课在有限的时间内得到良好的安排和实施。
在实际应用中，排课问题可以通过数学模型来表达，如数学规划模型等。
这种模型能够有效地表示排课问题，并可以被用来求解问题。
例如，在数学规划模型中，可以将排课问题转化为一个最优化问题，然后计算最优解并求解。
此外，使用数学模型研究排课问题，也可以提出有效的管理策略，如安排和调整课程安排，统一选择教室，增加活动安排等。
使用管理策略，能够有效地解决排课问题，提高管理效率，有利于改善学校课程安排。
建立数学模型来研究排课问题，可以极大提高安排课程的效率、质量和准确性，有利于提高教学质量，得到较好的课程安排效果。
然而，建立数学模型来研究排课问题并不是容易的事情，需要对数学知识和计算机技术有一定的了解，实现课程的有效安排也需要一定的经验和技术。
同时，建立数学模型研究排课问题还需要考虑到许多因素，如教师、学生、时间、场地等。
这些因素都影响着排课问题的解决，因此，模型的构建必须考虑到这些因素。
综上所述，建立数学模型来研究排课问题具有重要意义。
数学模型可以用来表达排课问题，并用来求解问题。
同时可以根据模型提出有效的管理策略，帮助学校安排课程，提高管理效率，改善课程安排，从而有利于提高教学质量。
但是，建立模型是一个复杂的过程，需要充分考虑所有因素，才能得到较好的结果。
排课数学模型
学校排课的优化模型摘要排课是学校的一项常规工作,也是学校教育教学管理过程中不可或缺的重要环节。
在学校教务管理工作中，课程的编排是一项十分复杂、棘手的工作。
它不仅关系到学校教学工作的正常运行、教学效果、学生发展及教学资源的整合和科学高效的利用,而且关系到教师的身心健康和教育教学质量。
排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。
本文就此类问题进行讨论，并根据题目要求深入分析后，将该问题归结为优化问题，确定了“将教师、课程、教室三个因素优化组合，并并分配到课表上的不同时间段上，形成最终课表”的解决方案。
首先建立各因素间关联关系，根据各因素间约束关系的不同，将多重约束条件为硬约束（强制要求）和软约束，写出各因素间的目标函数。
其次，为课表上四个时间段随机分配课表，以0-1规划方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上。
最终，形成了一份尽可能多的满足课程、教师、教室的要求的课表。
本文采用0-1规划法、逐级优化法，并考虑多重约束条件，形成了一个良好的排课模型。
并根据题目给出的数据，通过计算机编程，进行模型验证，求出了所需课表。
且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了教室的种类对排课结果的影响，最后给出了教师、教室、课程的配置建议。
一．问题的重述在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。
排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。
经优化的排课，可以在任意一时间段内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。
如何利用有限的师资力量和有限的教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极意义。
某高校现有37个自然班，编号为1..N；教师共有79名，编号为1..M；有教室50间，编号为1..R；有课程数54.课表编排规则：1.同一自然班不在同一时候参加不同教学班的授课；2. 同一教师不能同时参加不同教学班的授课；3. 一个教室不能同时开两门课程；4. 满足课程的教室类型需求；5. 学生人数不能超过教室容量；6. 同一门课程尽量不在同一天开课两次及以上；7. 一个自然班的课程尽量分布均匀到每天；8. 教师上课尽量集中，同时一天尽量不要超过6节，最好4节10. 晚上尽量不排课。
课表的多指标数学模型及解决方法
2004年3月内蒙古大学学报(自然科学版)M ar.2004第35卷第2期A cta Scientiarum N aturalium U niversitatis N ei M ongo l V o l.35N o.2 文章编号:1000-1638(2004)022*******课表的多指标数学模型及解决方法Ξ张春梅1,行 飞1,梁治安2(1.内蒙古大学理工学院,呼和浩特010021;2.上海财经大学应用数学系,上海200433)摘要:课程表问题又称时间表问题(ti m etable p roblem),是一个多指标的优化决策问题,也是组合规划中的典型问题.对已有的时间表问题进行探讨,并研究其数学模型及解决方法.关键词:时间表问题;遗传算法;多指标决策中图分类号:O221.7 文献标识码:A1 排课问题的提出 一所学校为了保证其正常的高水平教学质量,必须制定一套严密、规范的教学计划,并严格执行.课程安排在学校教学计划中又处于核心地位.合理准确的课程表对提高教学水平至关重要.2 排课问题的实质 课程表问题又称时间表问题.课表编排是一个多指标的优化决策问题,是组合规划中的典型问题.课程表的编排就是解决对时间和空间资源争夺而引起的冲突.70年代中期,S.Eveo等人论证了课表问题是N P完全类问题〔1〕,之后很多人尝试采用各种方法对此问题求解.但由于课表问题所涉及的信息较多,并且求课表问题最佳解的时间复杂性是课表规模的指数级,所以对于有一定规模的课表问题,一般采用求较佳解的算法.3 课表的数学模型及约束条件3.1 排课问题的形式化描述在课表编排问题中涉及到班级、教师、时间、课程、教室等五个相互制约的因素.分别用以下集合表示:课程集合 s={s1,s2,…,s n};时间集合 t={t1,t2,…,t n3};班级集合 c={c1,c2,…,c n1};教室集合 r={r1,r2,…,r n4};教师集合 p={p1,p2,…,p n2}时间和教室的笛卡尔积为:N=T×R={(t1,r1),(t1,r2),…(t n3,r n4)},N中的元素称为时间—教室对.课表问题的求解过程就是对任何s i=(i=1,…,n)∈S寻找一个合适的老师P j(j=1,2,…,n2)∈P和合适的时间—教室对(t1,r m)∈N(l=…n3,m=1,…n4),在安排时不能发生冲突,同时尽量满足经验常识.3.2 课表问题的冲突情况:1)同一时间,一个教师同时上一门以上课程;2)同一时间,一个班级同时上一门以上课程;3)同一时间,一个教室同时上一门以上课程;4)选课人数大于当前指定的教室的最大容量.3.3 须满足一些经验常识1)一门课在一周内分散安排,提供可引导性学习环境;2)保留一些特殊的时间,如户外活动;3)一周多学时的同一门课应尽量安排在一个教室(方便教师及学生);4)尽量安排在好的教学时间点(如上Ξ收稿日期:2003201220基金项目:国家自然科学基金资助项目(10261005);内蒙古大学青年科学基金资助项目(ND0204)作者简介:张春梅(1970～),女,内蒙古乌盟人,内蒙古大学理工学院硕士,讲师.041内蒙古大学学报(自然科学版)2004年午比下午好);5)安排到教室中的人数应尽量和教室的大小吻合,一方面资源合理利用,另外教学效果也好,因此一个好的时间表就是一个无冲突且能更多地满足经验常识的安排.4 已有的排课问题的解决方法4.1 基于人工智能原理李明〔2〕给出一个实用的大学课表编排模型,问题模型定义如下:定义1 排课表问题中基本时间表计划问题:设“可安排教学时”集H,“课程”集L( L =n L),“学生”集S( S =n S)组成小组{S i}(i=1,2,…,n l)(S=S1∪S2∪…∪S nl,S i∩S j不一定为空集),“教师”集T,对于每个学生S ij∈S i(教师t∈T),有一个“空闲时间”集A(s ij)ΑH(A(t)ΑH);对于每门课程l∈L,有一个“可安排时间”集A(l)ΑH,并且对于每一三元组(s i,t,l)∈{S i}×T×L,有一个“要求教学时间”数目R(s i,t,l)∈Z+0 (其中Z+0表示非负整数集),求完成所有课程的时间表,即求函数f:({s i}×T×L×H)→{0,1},(其中f(s i,t,l,h)=1表示学生组s i教师t在时间h内上课程l),使得:(1)仅当h∈(∩A(s ij))∩A(t)∩A(l)时,f(s i,t,l,h)=1;(2)对于每个h∈H和s i,t∈T,至多有一个l∈L满足f(s i,t,l,h)=1;(3)对于每个h∈H和s i,lt∈L,至多有一个t∈T满足f(s i,t, l,h)=1;(4)对于每个h∈H和t∈T,l∈L,至多有一个s i满足f(s i,t,l,h)=1;(5)对于每个三元组(s i,t,l)∈{S i}×T×L,恰好有R(s i,t,l)个h∈H满足f(s i,t,l,h)=1定义2 最小时间约束条件集:称定义1中条件(1)～(5)为排课表问题须满足的最小时间约束条件集.定义3 (教室)资源分配问题:设有“教室”集C,每个教室c∈C均满足一定条件A(c),且时间表已经安排好.要求:在一定的约束条件下为每个h∈H且满足f(s i,t,l,h)=1的所有三元组(s i,t,l)∈{S i}×T×L分配教室C.算法主要思想是通过引入一个规则库(知识库),来有效地处理各种复杂约束条件,并在这个规则库的指导下,搜索满足条件的时间集.由于搜索是在规则库的指导下进行的,所以称这个算法是基于智能的.安排好时间表后,进行教室资源的分配.洪力奋〔3〕等用人工智能的原理及专家系统知识构造出了类似的数学模型及有关编排算法,对排课的死锁问题进行了处理.主要设计了两个推理机,一个推理机是根据课程模式要求,根据既定规则找出合适的时间与教室.第二个推理机解决死锁问题而设置(所谓死锁即规则遍历完,仍存在时间冲突或教室冲突).4.2 利用集合的概念及其相关运算董艳云等人〔4～5〕在分析排课所遵循的基本原则和模糊性原则的基础上,定义了课元之间关于教师的相关关系和关于自然班的相关关系.提出以课元相关运算和候选时空片计算为核心的计算机排课算法,其算法描述如下:令C cou表示排课课元的集合,令T T EA,C CL A,R ROO和S SL I分别表示参与排课的教师、班级、教室和时间片的集合.此外,用C T Y={0,1,2,…}表示课元的课程类型集合,其中类型0的课元为必修课或必选课,对同一自然班,这类课的排课时间不允许与其它课冲突,其它类型的选修课按允许时间冲突的课元子集归类.1)课元的相关关系计算.假定用F T:C COU→T T EA描述课元任课教师集合,用F C:C COU→C CL A描述课元的自然班集合,则课元的相关关系定义如下:定义 课元关于教师的相关关系R T:C COU→C COU为{v} F T(u)∩F T(v)≠ (1)R T(u)=∪v∈C COU 课元关于自然班的相关关系R C:C COU→C COU为{v} F C(u)∩F C(v)≠ (2)R C(u)=∪v∈C COU式(1)和(2)中:u∈C COU,R T(u)的物理意义表示课元u的任课教师所担任的所有课程;R C(u)的物理意义表示课元u的上课班所上的所有课程.2)候选时空片计算.假定用F CT:C COU→C T Y描述课元的课程类型集合,用F CR:C COU→R T Y描述课元可选的教室类型集合,用F CS :C COU →C S I 描述课元所需的最小教室容量,用F R T :R ROO →R T Y 描述教室的类型,用F R S :R COU →R S I 描述教室容量,用F S :C COU →S SL I 表示课元已分配到的时间片集合,用F S R :C COU →S SL I ×R ROO 表示课元已分配到的时空片的集合.由排课的基本原则(1)和(2)可知,课元u ∈C COU 可选用的时间片取决于它的相关课元已分配到的时间片及课程类型,即A S (u )=S SL I -∪v ∈R T (u )F S (v )-∪v ∈R C (u )F S (v ) F CT (u )=0∨F CT (u )≠F CT (v )(3) 由排课的基本原则(3)可知,课元u ∈C COU 可选用的教室A R (u )取决于该课元所要求的教室类型和容量,即 A R (u )=∪r ∈R TRO{r } F R T (r )∈F CR (u )∧F CS c (u )ΦF RS (r )(4) 所以,课元u ∈C COU 可选用的时空片(候选时空片)A R (u )为A S R (u )=∪s ∈A s (u )r ∈A R (u )(s ,r )-∪v ∈C COU F S R (v )(5) 本算法最后通过关系数据库实现.课元数据库T EA CH .DB F ,班级数据库CLA SS .DB F ,教室数据库ROOM .DB F .按照上述排课算法及软件实现方法,已成功地开发出高校计算机排课软件.文献〔5〕提出的算法借鉴了资源管理的思想,使用以集合为元素的矩阵建立了问题的数学模型.时间模型定义如下:排课一般以一个学期作为一个独立的阶段,假定一个学期由Z 周组成(例如Z =18),每周可以使用的授课时间为S 个单位时间(如S =24),则一学期可以使用的总授课时间为N =S ×Z .这里S 和Z 可以作为系统参数.整个有效的时间域可以定义为集合K ={1,2,…,n -1,n },教师、班级和教室被占用的任何时间是K 的一个子集.算法的实现是以集合运算为基础的.该算法是动态、次优的,但时间和空间复杂性几乎和问题规模成正比.4.3 应用专家系统〔6〕文中将传统的数据库和专家系统结合起来,充分发挥各自的长处,达到优势互补的目的.系统将拥有的几方面的知识:教室、班级、课程、教师、时间等详细资料存入数据库中,将排课中的一些限制条件放入规则库中,为了便于规则的推理和编辑,所有的规则采用统一格式:对象 属性 属性值 要求 置信度对象有教师、班级、教室;教师的属性有编号、名称、职称,班级的属性有编号、年级、系别,教室的属性有编号、名称;要求包括时间或教室要求两种;置信度是一个0～1的数,等于1表示此规则是必须满足,大于0.5表示最好满足,等于0表示一定不能,小于0.5表示最好不能这样.专家系统使用排课专家的大量排课知识策略(这里的策略指把求解过程看成对一种与或图的搜索),通过查询数据库和进行规则推理,灵活的编排出符合要求的课表.4.4 分批与或图与匈牙利算法结合从前面课表的形式化描述中可看到,课表问题可看作匹配问题.其数学模型如下:把课表看成是有n 门课,怎样分配到n 个时间2教室对中的问题.需要系数矩阵,其元素c ij >0(i ,j =1,2,…,n ),表示指派第i 门课到第j 个时间2教室对时的期望值,该期望值反映教师、学生和学校根据教育的特点对该时间上某门课的观点;解题时还需引入变量x ij ,其取值只能是1或0,即x ij =1 (当指派第i 门课到第j 时间2教室对时)x ij =0 (当不指派第i 门课到第j 时间2教室对时)问题要求极小化时,数学模型为m in Z =6n i =16n j =1c ij x ij 约束条件为6n i =1x ij =1 (j =1,2,…,n );6n j =1x ij =1 (i =1,2,…,n );x ij =1或0(i ,j =1,2,…,n ) 该问题较好的解法是用匈牙利算法.该算法的主要思想是基于下面的定理:如果系数矩阵[c ij ]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数u i (称为该行的位势),从每一列元素中分别减去(或加上)一个常数v j (称为该列的位势),于是得到新的矩阵[b ij ],其中,第i 行第j 列141第2期张春梅等 课表的多指标数学模型及解决方法241内蒙古大学学报(自然科学版)2004年元素为b ij=c ij-u i-v j,则结果[b ij]的最优解等价于矩阵[c ij]的最优解.甘肃工业大学的魏平等人〔7〕采用分批与或图和分批优化的匈牙利算法相给合的方法实现.如把上课时间、场地、设备和连续上课时间超过两节的具有特殊要求的课程分为一批,采用搜索算法,且优先排课,然后对余下的课采用分批优化匈牙利算法和分批与或图搜索法相结合进行排课,一批中限制条件较多时采用匈牙利算法,其他采用分批与或图算法,从而提高编排效率.4.5 分组优化决策算法和定额匹配算法在课表的编排问题中,课程、时间、教室是三个相互制约的因素,1)课程定义:课程是由开课教学单位按教学任务书的要求指派讲员构成的一个教学班,课程的记录类型由下面字段定义:〈课程〉∷=〈课号〉〈课名〉〈讲员〉〈周学时〉〈人数〉〈班集合〉〈排课要求〉设L={l l-课程},L表示待排的课程任务集合.Πl1,l2∈L,若(l1〈讲员〉)=(l2〈讲员〉)或(〈班集合〉)∩(l2〈班集合〉)≠ ,称课程l1与l2相关,记作l1・l2=1,否则称无关,记作l1・l2=0.相关课程将争夺周课表上的时间.2)时间、时间模式定义 设T={t t—周课表上的时间}表示周课表上的时间集合,且若t={Ρ1,Ρ2,…,Ρn},叫做个数为n的时间组.若t中的时间个数n及Ρi在表上的时间间隔分布符合某种上课的学时机制,则称t为周学时为n的时间模板(或时间模式).下文中用t(l)表示课程的一个时间模板.若l1・l2=1,且t(l1)∩t(k2)≠ ,则称两个相关课程的时间模板冲突,记作t(l1)・t(l2)=1,否则,为不冲突,记作t(l1)・t(l2)=0.不相关课程的时间模板恒为t(l1)・t(l2)=0.3)教室、“时间教室”定义:教室的记录类型由下面字段定义:〈教室〉∷=〈教室名〉〈房间号〉〈人数〉〈功能〉.假定周课表上任何一个时间均有k个教室可供选用.即ΠΡi∈T则时间Ρi上的k个教室为r(Ρi) ={r1(Ρi),r2(Ρi),r3(Ρi),…,r k(Ρi)},用r j(Ρi)表示时间Ρi的第j个教室,通常,排课时总是先确定课程l的时间模板,再选教室,课程l的“时间教室”记为r(t(l)),其意义为:r(t(l))={r j(Ρi) Ρi∈t(l),i=1,2,…,n;n=(l〈周学时〉);r j(Ρi)∈r(Ρi)}其中t(l)为课程的合适的时间模板,并且每个r j(Ρi)均是在时间Ρi满足课程l的人数(区间)要求的某个教室.除非时间相连,且该课要求占用同一教室,否则时间教室中的r j(Ρi)与r j+1(Ρi+1)不必相同.l1,l2∈L,若t(l1)与t(l2)有相同的时间,且在这相同时间r(t(l1))与r(t(l2))存在相同的教室,则称课程的“时间教室”选择冲突,记作:r(t(l1))・r(t(l2))=1,否则为不冲突,记为r(t(l1))・r(t(l2))=0.无论l1,l2是否相关,均必须满足r(t(l1))・r(t(l2))=0.4)课程安排、课表定义:Πl∈L,选择l的不冲突时间模板(在课程相关的意义下时间模板不冲突)和分派不冲突“时间教室”,称为构造课程l的一个课表安排,记作l(l),l(l)也是记录类型:l(l)∷=〈l〉〈t(l)〉〈r(t(l))〉课程安排集合用D={l l=l(l),l∈L}表示.l1,l2∈D,l1=l(l1),l2=l(l2),在课程l1、l2相关意义下,保证t(l1)・t(l2)=0,并且还满足r(t(l1))・r(t(l2))=0,则称D为一个合适的排课集合.即D中的课程安排,两两教室必须不冲突;若课程两两相关,D中的课程安排还必须两两时间不冲突.王祜民等人〔8～9〕将课程集合中按优等级逐次分组,每组用优化决策方法排课,这是一种在启发式准则指导下,逐次的、向前的构造性排课过程.通过分组优化决策算法,先难后易逐组编排课表.那些学时多,班数多的大合班课是最难编排的课程,要先将这些课组编排到课表中去,形成称为D e的阶段课表.而定额匹配算法是解决某些特殊课程(组)的自动编排问题.所谓的特殊课,如体育课、按水平分班的外语课等,该种课程的班集合中的班数目大,因而排课难度与大合班课类似,但班级可任意组合在一起,排课时可动态挑选班组合,这使排课有更多的选择机会.4.6 作为满意约束问题处理把排课问题当作满意约束问题,对此已有多种解决方法,如图着色〔10〕,在图着色的示例中计算时间相当长,因为一旦指定的值失败就需做大量的反跟踪,原因是没有办法避开不可行解.4.7 启发式算法用启发式算法〔11〕如禁忌搜索〔12〕、模拟类似于自然界金属的退火过程的模拟退火〔13〕、类似于自然界种群遗传的遗传算法〔14,15〕;在算法的具体实现过程中,所采用的方法有用事先做好的特殊操作去产生一个可行解;也有的在适应度函数中并入惩罚;或采用修复程序过滤不可行基因;也可采取将问题中的一些约束条件消除或弱化的方法重新对问题给出表述等几种.A .co lo rn l 在高中课表的启发式算法中以特定的高中课表为例给出了模拟退火(SA )、禁忌搜索(T S )、遗传算法(GA )三种算法的比较结果〔16〕.他认为T S 是最好的算法,GA 产生的解比SA 好.但是最终用户相对于SA 和T S 更易接收GA .4.8 遗传算法意大利的A .co lo rn i 等人用遗传算法求解高中课表的安排问题〔16〕.文中将每位老师的活动作为基因,这些活动包括上课、休息、写论文等,分别用字符0、1…9、a 、b 、…p 表示.意大利高中每周上课30h ,以时间点为列,所有老师为行组成二维染色体,适应度函数定义为最小化总代价,其中组织代价指临时教学岗位没有安排老师,个人代价指不想休息时休息,教训代价指一周的几天内同一门课集中在一起;姚新的教室安排问题,主要优化的是教室的合理利用〔15〕;另日本的Sigeru .O 采用遗传算法中加入控制约束的方法解决大学课表安排问题〔14〕;用自适应的遗传算法求解大学课表安排问题〔17〕,根据大学课程安排的特点,将课程分为必修课P 、选修课Q 两类.并对两类课分别给出其染色体编码和适应度函数.在P 类课中适应度函数考虑了两点:第一点是要使所安排的课尽可能占用好的时间点,所以我们对一天的四个时段分别给出了期望值:8:00----12:00为12;10:00----12:00为8;2:00----4:00为4;4:00----6:00为1.在这种定义下我们所涉及的20个时间点的期望值如表1所示:表1 时间的期望值Table 1 preferences of ti m eslot时间点T 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 14......T 20期望值128411284112841128 (1) 第二点如果某一门课多于1个时间片(4学时或多于4学时),或一个教师带两门以上的课,都希望能在时间上分散安排,这样从学生接收知识和教师的教学效果上都是很好的.我们用编号相同的两课的时间差来描述这种离散度并给出相应的期望值.如表3所示:表2 课程离散度期望值Table 2 preferences of i n terval degree of courese两课时间差1,192,3,17,184,5,15,166,7,13,148,9,10,11,12期望值0241016 所以定义适应度函数f (g )=6ni =1(g (t (S i ))+h (S i ))(g ),其中g (t (s i ))表示课程所占时间片的期望值,h (s i )表示课程离散度,f 即为所有课程时间期望值与课程离散度之和.在Q 类课中主要考虑的是让教室有效合理地得到利用.因此我们的适应度函数定义为:g (x )=A ×6n i =11l (r (S i ))-Q (S i ) +1(x ) 其中Q (s i )表示课程s i 的选课人数,表示课程s i 所在教室的大小.该式分母中加1是为了避免房间大小与选课人数正好相等的情况出现,从而产生O 分母.杂交概率和变异概率的选取在相当大程度上影响算法的收敛速度和近优解的质量,为加快GA 的搜索效率和有效地防止陷于局部最优解,本文采用自适应的杂交概P c 和变异概率P c =k 1sin (Π2×f m ax -f ′c f m ax -f avg ) f ′c Εf avg k 2 f ′c <f avgPm =k 3sin (Π2×f m ax -f m f m ax -f avg ) f m Εf avg k 4 f m <f avg 其中:0<k 1、k 2、k 3、k 4≤1是群体的最大适应度函数值,f avg 是群体的平均适应度函数值,f ′c 是进341第2期张春梅等 课表的多指标数学模型及解决方法441内蒙古大学学报(自然科学版)2004年行杂交的两个染色体串中适应度函数值较大者,f m是变异串的适应度函数值.由自适应的杂交概率和变异概率的定义可以看出,定义的形式满足:0ΦP cΦ1;0ΦP mΦ1,另外,当f′c=f m ax时,P c=0;f m=f m ax时,Pm=0.这表明当前代的最优个体不经过杂交操作和变异操作而直接进入到下一代.5 结束语 该文给出了排课问题的数学模型及解决方法,其思想和方法对解决类似的优化组合问题也有一定的借鉴作用.参考文献:[1] Garey M R,Johnson D S.Co m p u te and Intractability:A Gu id e to the theory of N P co m p leteness[M].San fran2cisco:W.H,F reem an Co.,1979.[2] 李明.一个基于智能化搜索的排课表演算法及其client server实现[J].现代计算机,1997,59:21～22.[3] 洪力奋.基于人工智能原理的大学课表编排模型[J].合肥工业大学学报(自然科学版),1999,22(4),101～104.[4] 陈洁.学校教务部门排课问题的数学模型及算法[J].管理信息系统,1999,3:53～56.[5] 董艳云,钱晓群,张宇舒.基于课元相关运算的高校排课算法[J].甘肃交通大学学报,1998,33(6):670～673.[6] 周建新,王科俊等.课表编排专家系统[J].计算机应用,2000,20(5):76～78.[7] 魏平,熊伟清.计算机辅助课表编排技术的研究[J].甘肃工业大学学报,1997,23(4):76～81.[8] 王祜民,赵致格.排课表问题中的分组优化决策算法[J].控制与决策,1999,14(2):109～114.[9] 王祜民,赵致格.时间表问题中的定额匹配算法[J].清华大学学报,1998,38(6):8～11.[10] W erra D de.A n Introducti on to T i m etabling[J].E u r.J.Op nl.R cs.S oc,1985,48(11):1178～1190.[11] W righ t M.Schoo l T i m etabling using H euristic Search[J].J.Op nl.R cs.S oc,1996,47(3):347～357.[12] H ertz A.F inding a feasible course schedule using tabu search[J].D iscrete A pp lied M athe 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ciences and T echnology,N ei M ong ol U n iversity,H ohhot010021,P R C;2.D ep a rt m en t of A pp lied M a the m a tics,S hang ha i F inance and E cono m ics U n iversity,S hang ha i200433,P R C) Abstract:T i m etab le p rob lem is a m u lti2target op ti m ized decisi on p rob lem and typ ical p rob lem in adm in istrati on and p lann ing.Som e ex isting m athem atical m odels and so lu ti on s of the ti m etab le p rob lem are discu ssed.Key words:ti m etab le p rob lem;genetic algo rithm s;m u lti2target decisi on。
数学建模：课程安排优化问题
2012年数学建模竞赛参赛队员题目 A题：课程安排优化问题关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵摘要每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。
在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。
运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。
根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。
我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。
最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。
一、问题重述我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。
阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。
我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。
按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。
同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。
每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。
课程表的空间模型及排课算法分析
课程表的空间模型及排课算法分析摘要本文在课程表问题分析的根底上，建立了课程表的空间数学模型，并据此模型推出排课算法，建立了排课系统的E-R图，描述了采用软件实现排课的计算过程。
关键字排课算法数学模型E-R图随着计算机的普及，如何利用软件系统来进行课程编排，是各个高校面临的问题。
目前已经有一些比较成熟的排课软件，其大局部作为教务管理系统的一个子系统存在，其排课算法和数据采集效率及排课效率都各不相同，各有特点。
高校课程表排课设计因素多和结构复杂被归结为NP(NndeterinistiPly-ninalplexity)问题。
本文在文献[2]提出的课程表的矢量空间的概念根底上，进一步完善设计及算法，并实现一个更具体可行的排课过程。
课程表的问题，是解决教师、课程、班级、教室、时间的组合问题，这个问题的数学描述是给定一组学生S(S1，S2，……Si)，一组课程(1，2，……j)，一组教师T(T1，T2，……Tk)，一组教室R(R1，R2，……R)，一个时间序列N(N1，N2，……Nn)，问题的求解目的是找出这些序列的每个元素之间的一一对应关系，其中这些元素的组合要满足一定的对应关系。
诸如：①S-之间的对应关系；②T-之间的对应关系；③R-之间的对应关系；④T-N之间的对应关系；⑤S-N之间的对应关系；这些对应关系是主要考虑的限制条件，还有一些次要的限制条件。
这是一个复杂的NP问题，它的求解是一个完整类的求解问题。
在文献[2]中使用代数的矢量空间的概念，将S，，T，N，R中每个组中的每一个元素的组合用5维空间的点来表示，合并S和为一个维度，合并N和R为一个纬度，可得3维空间点阵。
本文引入教学任务概念，如图1所示，本文进一步将空间点阵细化，明确具体开课点在空间上的交点来源及含义。
在T，，S对应的平面上的点定义为教学任务1〔1，S1，1，T1〕，，S坐标上对应的点是班级排课序列，空间点P1，P2即为求的开课的时间和地点。
排课建模
排课问题的数学建模摘要为了解决日益繁琐的排课问题，针对本校情况，我们将在本文对排课问题进行分析和讨论（课程分类，课室条件，老师要求等），利用排课软件，设计程序，建立各种模型来进行排课。
背景由于受教育人口的增加，教育制度的改革完善，科学领域的日益广泛，人们将面对越来越多排课问题。
据了解，很多学校机构还是用人工排课，人工操作不仅工作量大而且容易出错。
因此，利用计算机建立排课模型，模拟排课是非常有必要的。
问题提出随着现代教学的改革及各项教育工程的实施，新的教育体制对课表的编排提出了更高的要求。
但现实生活中，排课问题屡屡皆是，小学如此，中学如此，大学更是如此，不仅科目多样，而且教室、老师多变，这使得排课问题往往是很令人费解的。
经过分析，排课问题就是多资源组合问题，问题的求解就是找出各个元素之间的对应关系。
进而将各个元素之间的联系进一步确定，转化成一个可以量度其大小的值，从而确定优先级。
下面我们将通过分析得出数学模型来模拟排课。
关键词课程分类优先考虑分2个课表软件排课程序排课分元素排课数据收集与分类首先确定排课的对象，这里我们以本校为对象，考虑到学校课程规模过于庞大，为简化问题，这里把对象缩小为信息工程的应用电子技术方向专业的课程。
经过我们的收集和分类，课程总共可分为1公共基础理论课，2专业基础理论课，3实验实习实训课，4专业基础理论课，5专业理论课，6设计课这六类课程。
然后我们把地点，也就是教室分为1（400人），2（200人），3（100人），4（50人），5体育馆，6实验室这六个场地。
接着是老师，由于对老师的情况并不十分了解，而且老师的特性分化不明显，这里简单地把老师分为1男教师和2女教师。
数据性质和意义公共基础理论课：该课程数目多，课时长，而且需要的教室多为大教室，但是课程类型表现明显，所以排这类课规模大但容易排。
专业基础理论课：科目多，一般为两个班同时授课，容易排。
专业理论课：课程不难安排，最大问题是老师的分配。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课问题是一个普遍存在于学校、企业等机构安排日程安排方面的常见问题，它将给安排者带来极大的挑战。
近年来，随着数学模型及相关算法的发展，由于其引入了可衡量指标，测量和优化效率，排课问题得到了深入研究，根据相关技术来求解优化问题。
首先，排课问题是极为复杂的，因为它需要在当前条件下对多个变量进行排查，并在时间和空间上进行规划。
确定一个问题的变量非常复杂，它可能包括但不限于：课时、上课时间、老师数量、考试时间、课程安排等。
因此，利用数学模型建立统一的表达式来表示排课问题是非常必要的。
其次，对于排课问题，必须明确影响它的优化准则，即求解排课问题所需满足的条件。
这些条件可以分为硬约束和软约束。
硬约束指的是必须满足的条件，而软约束则是可以调整的条件。
例如，硬约束包括课时、老师数量、考试时间等，而软约束则包括上课时间等可调整的因素。
此外，排课问题还涉及各种算法。
在实际求解中，根据约束条件，需要设计合适的算法求解优化问题，这些算法可以大致分为两类。
一类是基于优化的算法，例如蚁群算法、遗传算法等，另一类是基于搜索的算法，其中最常用的是分支定界算法。
这些算法在排课问题中都可以得到应用，它们都可以设计出更优解，以满足相关约束条件，从而更好地解决排课问题。
最后，排课问题也可以利用智能算法来求解优化问题。
智能技术可以帮助求解排课问题，并可以提供一种有效的数据可视化方式，这有助于解决排课问题的复杂性。
例如，计算机视觉技术可以自动分析排课问题中出现的各种场景，帮助安排者实现效率最大化。
综上所述，排课问题在现代社会中是一个普遍存在的问题，而且解决这一问题需要考虑多变量和约束条件，这一过程非常复杂。
为了更好地解决排课问题，可以采用数学模型的方式来表达排课问题，并利用优化算法和智能技术来求解。
只有采用系统的数学模型和科学的搜索算法来研究排课问题，才能在有限的资源条件下安排较为合理的排课方案，从而满足相关需求。
课表编排问题 数学建模
魅力数模美丽力建力建学院第六届数学建模竞赛自信坚强团结创新论文题目课表编排0-1规划模型参赛编号 2008tj0804 监制：力建学院团委数学建模协会（2010年11月）力建学院第六届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了第六届建工数学建模竟赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛编号为：2008tj0804参赛队员(签名) ：队员1：叶庆队员2：靳小龙队员3：胡传鹏课表编排问题第一部分摘要：本文根据制定课表时需考虑的问题,建立了冲突最少的0-1规划模型；求解得课表，并根据所得结果对教师聘用,教室的配置,来做出合理的建议。
考虑目标函数时，分析课表编排要符合的条件为：课程要求、教师课程编排尽量分散、同课程编排尽量分散、教师超出工作量尽量少。
则我们目标函数冲突最少分解为：各门课程各自不符合程度总和最少、各教师各自课程编排分散程度总和最大、各门课程编排分散程度总和最大、各教师超出工作量程度总和最少。
考虑约束条件时，分析附录中的相关数据,得到课程编排的影响因素有,时间,教室,课程等，则可以根据此来约束目标函数。
根据以上考虑因素建立系统递阶图,使目标更清晰。
建立空间向量，已知数据与空间向量一一对应。
根据课程要求与实际编排差距最少原理，建立目标函数。
加上课表编的约束条件,进行优化,用Matlab求解课表.再根据求解得课表与相关系数指标为教师聘用,教室的配置,来做出合理建议.关键词：课表编排系统递阶图空间向量第二部分一、问题重述某高校现有课程40门，编号为C01～C40；教师共有25名，编号为T01～T25；教室18间，编号为R01～R18。
排课表问题
一．问题重述每学期的开学初，总有许多老师对课程安排进行抱怨，还有许多老师要求调课，教务处对这一问题很是头疼。
假设你是一名刚刚毕业的大学生，被分配到了教务处，领导安排你负责排出课表，请你们根据实际情况，用数学建模的方法解决这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。
让老师满意，就是要让每位老师在一周内前往上课的乘车次数内尽可能少，同时还要使每位老师在逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一专业同一门课程，至少应间隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段；让学校满意，就是要节约支出，每周车次尽可能的少。
请你们从实际情况出发(自己收集相关数据)，用数学建模的方法解决以下问题：1)建立排课表的数学模型，并研制出排课表的软件包；2)利用你的模型及软件对本学期校区的课表进行重排，并与现有的课表进行比较；3)给出评价指标评价你的模型，特别要指出你的模型的优点与不足之处；4)对学校教务处排课表问题给出你的建议。
二．基本假设1、课程对于教室的要求都一样，不存在特定课程对应特定教室的现象;2、老师与工作人员的满意度与到校区的次数有关，与课程安排的教室位置无关;3、教室足够多,不存在教室不够用的情况；4、周一至周五每天上四节课；5、对于任一专业，某门课程一周内的授课时间数（节数）是固定的，即不考虑单双周情况；6、教室足够大，相同专业在一起上课，共用一个课表；7、每辆校车最多乘坐50人；8、校车每天开四次，即每次上完课都有校车发车；9、校车在规定时间到达乘车点后，所有人员应在该点上车的乘客均上车,校车为满员状态，不考虑校车单独去接个别人员的情况。
三.符号约定四．问题分析1、让老师满意让老师满意，就是要让每位老师在一周内前往上课的乘车次数内尽可能少，同时还要使每位老师在教学时间尽可能的集中，比如安排尽量少出现同一天同一位老师上1-2节，7-8节。
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魅力数模美丽力建力建学院第六届数学建模竞赛自信坚强团结创新论文题目课表编排0-1规划模型参赛编号 2008tj0804 监制：力建学院团委数学建模协会（2010年11月）力建学院第六届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了第六届建工数学建模竟赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛编号为：2008tj0804参赛队员(签名) ：队员1：叶庆队员2：靳小龙队员3：胡传鹏课表编排问题第一部分摘要：本文根据制定课表时需考虑的问题,建立了冲突最少的0-1规划模型；求解得课表，并根据所得结果对教师聘用,教室的配置,来做出合理的建议。
考虑目标函数时，分析课表编排要符合的条件为：课程要求、教师课程编排尽量分散、同课程编排尽量分散、教师超出工作量尽量少。
则我们目标函数冲突最少分解为：各门课程各自不符合程度总和最少、各教师各自课程编排分散程度总和最大、各门课程编排分散程度总和最大、各教师超出工作量程度总和最少。
考虑约束条件时，分析附录中的相关数据,得到课程编排的影响因素有,时间,教室,课程等，则可以根据此来约束目标函数。
根据以上考虑因素建立系统递阶图,使目标更清晰。
建立空间向量，已知数据与空间向量一一对应。
根据课程要求与实际编排差距最少原理，建立目标函数。
加上课表编的约束条件,进行优化,用Matlab求解课表.再根据求解得课表与相关系数指标为教师聘用,教室的配置,来做出合理建议.关键词：课表编排系统递阶图空间向量第二部分一、问题重述某高校现有课程40门，编号为C01～C40；教师共有25名，编号为T01～T25；教室18间，编号为R01～R18。
具体属性及要求见表1，表2，表3：课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。
你所要解决的问题：请你结合实际情况给出较为合理的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。
对教师聘用，教室配置给出合理化建议。
二、问题的分析问题分析为先建立合理的课表编排方案，再从课表编排方案中分析对教师聘用，教室配置给出合理化建议。
针对问题一：1、该问题要求给出合理的课表编排方案，分析如下：（1）、总体上尽量使每门课程符合要求，即求各门课程各自不符合程度总和最低；（2）、总体上使同一老师的课程尽量分散，即求其总各教师各自课程编排分散程度总和最大；（3）、总体上使每门课程的编排尽量分散，即求各门课程编排分散程度总和表达式最大；（4）、总体上使同一老师相对超出的工作量尽量少，各教师超出工作量程度总和最少。
2、针对编排方案约束条件如下： （1）、同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程； （2）、在任一教室上课的人数不能超过最大座位数； （3）、同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程； （4）、在安排课程与老师授课类别要符合课程类别，不要造成混乱；利用层次分析法，求出表示不同程度的权重表达式，把以上各点要达到的目标整合成为单目标的总目标0-1规划问题。
针对问题二：1、根据教师聘用则要求分析出哪一类课程需要的教师越少，则越要聘用教那一类课程的教师。
各类教师少的程度可用各类教师补课程度系数l BB （各类教师周最大课时数之和与各教师实际课时数之和的比值）来作分析参考，系数l BB 越大则该类教师越少，应尽量聘用能胜任该类课程的教师。
2、针对教室配置给出合理化则要求分析出：（1）对各类教室配置座位数量应为多少才合理；（2）各教室类别（机房，多媒体教室，通教室）数量的应为多少才合理； 则可以从应配置座位系数l CC （数量与实际座位数量之差，再比上实际座位数量）和配置类别系数l DD （课程要求与实际类别数量之差，再比上实际类别数量）分析可得：座位系数l CC 越大，则对各类教室配置座位数量需求越大，则越要配置多一点座位，反之越小；配置类别系数l DD 越大，则各教室类别（机房，多媒体教室，通教室）数量需求越大，则越要配置多一点该类别教室，反之则越小。
三、模型假设1、假设机房、多媒体教室和普通教室三者的重要性系数之比为3︰2︰1； （机房可以当作多媒体教室用，而多媒体教室也可以当普通教室用）2、假设课程类别、课时数、座位数、教师类别、时间段的重要性之比为1a ︰2a ︰3a ︰4a ︰5a ；3、假设每位教师都不会生病请假而能正常上课；4、假设每个教室的设备都能正常运作，桌凳等不会损坏，学生不会去旁听而导致桌椅不够使用；5、要求的最佳课表是唯一的；6、假设在星期一到星期五内没有节假日、法定假期，课程能按时上课。
建立模型的流程图如下：四、符号及变量说明符号 符号说明r c jtcj c rj R第几个教室的序号 第几个课程的序号第几个时间段的序号，每门课程以2节课为单位进行编排，把一个星期分为二十个时间段，j =1 (20)第几个教师的序号课程空间向量，即第c 个课程在第j 个时间段下课程安排教室空间向量，即在第r 个教室第j 个时间段下的教室符号符号说明tj Tcj w rj wtj wc lc xc n c m c hr n r mt lt xtz thtj htj Hc vt v ' cv '' t v ''' VVl BB l CCl DD X S教师空间向量，即第t 个教师第j 个时间段下的教师 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假） 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假） 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假）第c 个课程的类别 第c 个课程的学时数第c 个课程的对教室座位最大要求数； 第c 个课程的对教室要求的类别；第c 个课程的时间要求； 第r 个教室的最大座位数； 第r 个教室的教室类别； 第t 个教师能胜任课程的类别； 第t 个教师的周最大学时；第t 个教师增加的课时数 第t 教师的时间段： 第t 个教师在第j 个时间段上课c 个课程的不符合程度 第t 个教师课程编排分散程度； 第c 门课程编排分散程度 第t 个教师超出工作量程度总不满意程度各类教师补课程度系数配置座位系数 配置类别系数 一组数的集合X 的平方差五、模型的建立与求解5.1 课程的系统系统递阶层次结构的建立针对课程各因素之间的关系，建立如下系统的递阶图：5.2 五维空间向量的确立用层次分析法的原理和表1，表2，表3中的数据构建五维空间向量集c =（c l ，c x ，c n ，c m ，c h ） ， r R=（0，0，r n ，r m ，0） ， t T=（t l ，t x ，0，0，t h ），则把个数据与向量一一对应起来。
其中规定如下：○1 l 的值为1，2，3，4，5，6，7，8 分别对应课程类别为1，2，3，4，5，6，7，8；○2 x 的值1，2，3 分别对应周课时数为1或2，3或4，5或6； ○3 n 的值分别对应其座位数； ○4 m 是值为2，1，0分别对应数据中机房，多媒体教室，普通教室； ○5 h 的值为1，0，0或1 分别对应，其数据中的上午，下午。
则得出实际的课程向量cj c ，实际的教师向量rj R 和实际的教室向量tj T 的对应关系式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=的余数整除的余数整除22),0,0,,()0,,,0,0(),,,,(tj tj cj cj tj tj tj tj tj tj rj rj rj rj cj cj cj cj cj cj cj H h H h h z x l T w m n R w h m n x l c w5.3 求第c 个课程不符合程度c v 表达式实际课程向量cj c 与要求课程向量c c 差距越大，则c v 越大；根据层次分析法原理来求出对应的权重为该不符合程度c v 的值。
()()()cc rj c c rj c c rj ctj t c h h h a m m m a n n n a x xc z x a v ----+=5432)(……………….①5.4求单教师课程编排分散程度t v '根据“课程编排分散程度越大，则对应的时间段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以该时间段的值的平方差为该单教师课程编排分散程度t v '的值20....1,)(=='j S v tj rj H w t ………………………………………………………………………………..②5.5求单课程编排分散程度c v ''同理根据“课程编排分散程度越大，则对应的时间段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以该时间段的值的平方差为该单课程编排分散程度cv ''的值20...1,)(==''j S v cj cj H w c……………………………………………………………………………… ③5.6 求单教师超出工作量程度t v ''：以该教师超出的学时数表中对应该教师最大学时数为单教师超出工作量程度t v ''的值tt tz v x '''=………………………………………………………………………………………….. ④5.7求目标函数总不满意程度VV：7、根据假设3（课表总不满意程度与各门课程各自不符合程度总和成正比，与各教师各自课程编排分散程度总和成反比，与各门课程编排分散程度总和成反比，与各教师超出工作量程度总和成反比），用⨯⨯各门课程各自不符合程度总和各教师各自课程编排分散程度总和各门课程编排分散程度总和各教师超出工作量程度总和为总不满意程度VV的值∑∑∑∑===='''''''=401251251401c t t ct t c c v v v vVV …………………………………………………………………….⑤5.8课程表编排约束原则5.8.1同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程；20...1,1401==∑=j Wc cj5.8.2在任一教室上课的人数不能超过最大座位数；20...1,=≤j m m r cj5.8.3同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程；20...1,1401==∑=j Wc tj5.8.4在安排课程与老师配对时要符合课程类别，不能乱； 40....1,20...1,===c j lc l cj5.9 非线性规划模型最终确定（整合上述公式）∑∑∑∑===='''''''=401251251401min c t tc t t c c v v v vVV 目标函数()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧======≤==='''==''=='----+===++=∑∑∑===40....1,20...1,20...1,120...1,20...1,120...1,20....1,)(22),0,0,,()0,,,0,0(),,,,(.401401251)()(5432c j lc l j W j m m j W x z v j S v j Sv h h h a m m m a n n n a x xc z x a v H h H h h z x l T w m n R w h m n x l c w st cj c tj rcjc cj t j ti t H w c H w tc c rj c c rj c c rj c tj tc tjtj cj cj tj tj tj tj tj tj rj rj rj rj cj cj cj cj cj cj cj cj cj tj rj 的余数整除的余数整除5.10补课程度系数l BBl BB =各类教师周最大课时数之和与各教师实际课时数之和的比值 5.11配置座位系数l CCl CC =课程要求数量与实际座位数量之差，再比上实际座位数量 5.12配置系数l DDl DD =课程要求与实际类别数量之差，再比上实际类别数量 （二）模型的求解假使课程类别、课时数、座位数、教室类别、时间段的重要性之比54321::::a a a a a =9：7：7：6：4，代入上式，再利用Matlab 对上述非线性规划问题进行，具体程序代码见附录1 求解得到个决策变量cj w rj w tj w ，对应如下表（其中的序号为课程类号）：表2.双周课表因为总体的超出约为0.4,所以大概需46个学时.若教师的周均最大的课时数为6,则需要在聘请8位教师.则由上的比例可算出,课程类别1,2,3,4,5,6,7,8,分别需在请1,1,1,0,2,1,1,1.位教师,聘请后,每类课程所需的教师的课时基本满足.(三)模型的优化①重排原理我们看到对于许多问题，在进行搜索试探时选取集合si的顺序是任意的．这就提示我们：在其他条件相当的前提下，让元素个数最少的si优先将更为有效．从图1所示的同一问题的2棵不同的状态空间树，可以体会这种策略的潜力．在图1(a)中，若从第1层消去1个结点，则从所有应当考虑的3元组中一次消去l2个3元组．对于图1(b)，若同样是从第1层消去1个结点，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组．前者的效果明显比后者好．②动态约束函数在大多数的回溯算法中，约束条件是随着搜索过程的深入而逐渐加强的．我们希望将约束条件的变化也加以考虑，以此提高算法的效率．图1 同一问题的2个不同状态空间树六、模型的检验把附录中编号为COI到C40四十门课程，编号为T01到T25的二十五名教师，编号为R01到R18的十八间教室代入模块五所建立的模型中，得到结果如上述表1、2、3所示，基本符合题目中教师聘用、教室配置合理、学生上课课程安排合理等要求。