机械动力学 第三章

这种方法即为欧拉法 欧拉法. 欧拉法 若t足够小,欧拉法可以得到良好的结果.实际上,理论 分析表明,当t→0时,欧拉法算出的数值解收敛于精确 解. 对于产生的误差可以通过Taylor(泰勒)级数展开加以分析.
t) 由于t→t+t之间速度 x(的值是变化的, t+t时位移的 精确解应为
x(t + t ) = x(t ) + ∫
第一节 欧拉法及其改进
一,欧拉法 对于式(1-16)描述的单自由系统,为了求解振动响应, 首先计算t秒后的状态,这样逐步计算下去,则有
x (t + t ) = x (t ) + x (t ) t x (t + t ) = x (t ) + (t ) t x = { f (t ) kx c x }/ m x (3 - 1)
若采用前面介绍的"直接解法一",计算式如式(3-19)所示
(t +t) = M + t C + β(t)2 K F(t +t) CX(t) + t X(t) KX(t) +tX(t) + 1 β (t)2 X(t) X 2 2 2 t X(t +t) = X + X(t) + X(t + t) (319 ) 2 (t)2 X(t) +β(t)3 X(t +t) X(t) t X(t +t) = X(t) + X(t) + 1 ! 2! t
(t ) = ( f (t ) kx(t ) cx(t )) / m x (t ) = f (t ) kx(t ) c(t ) / m x x
2 x(t + t ) = x(t ) (t )t (t )(t ) x x 2 x(t + t ) = x(t ) x(t )t (t )(t ) x
m(t + t ) + cx(t + t ) + kx(t + t ) = f (t + t ) (3 11) x
另一种方法是显式解法,包括直接法(代入法, 消去法)和迭代法两种.这里主要介绍直接法. 1.直接解法一 将式(3-8),式(3-9)代入运动微分方程(3-11) 中得 (t ) + (t + t ) x x t m (t + t ) + c x (t ) + x
线性加速度法与欧拉法不同,它属于隐式解法类 型.所谓隐式法是不断求出新的时刻满足微分方程的 近似解.虽然计算工作量较大,但因精度和稳定性都 较好,所以常被采用.式(3-8),式(3-9)是当仿 真运行到t时计算t+t状态的公式. x 这时 x(t + t ), x(t + t ) , (t + t )是未知的,三个未 知数只有两个方程,故应联合运动微分方程式求解. 由于问题的性质不同,联合的运动微分方程也 不同,例如对于 m(t ) + cx(t ) + kx(t ) = f (t ) x 式(3-8),式(3-9)可联合
2
式(3-9)是对变量 x(t ) 应用式(3-6)得出的式子. 3-9 3-6
其次改写式(3-8)
(t )2 (t ) + (t )3 (t + t ) (t ) x x x(t + t ) = x(t ) + tx(t ) + x
2! 3! t
(3 10)
此式大致相当于取到Taylor展开式的三次项.它的物 理意义是假定从时刻t到时间t+t的加速度成直线变化.
此方法称为梯形法 梯形法.为了提高精度,还可考虑其他方法. 梯形法 [t,t+t] Simpson 若在区间[t,t+t]采用辛普生(Simpson)公式,则
x(t ) + 4x(t + t / 2) + x(t + t ) x(t + t ) = x(t ) + t 6
(3 7)
第二节 线性加速度法
引言
在第一章中,我们通过求解振动微分方程通解的方法,精 确计算了振动系统的响应,这种方法比较适合求解单自由 度系统.对于多自由度系统,非周期性激励,非线性振动, 我们采用计算机仿真方法,求解振动微分方程的数值解, 以研究振动系统在特定的条件下的振动特性. 下面介绍的方法,既适用于单自由度系统,又适用于多自 由度系统.对于多自由度系统,各变量均用矩阵表示,M, x x x C,K为方阵, (t ) , (t ),(t ) ,f (t ) 均为列阵.
例3-2 图3-1所示的三自由度弹簧-质量系统.试用线性加 速度直接求解法二,求系统的振动响应.
解:设m1=m2=m3=2kg,c1=c2=c3=c4=1.5Ns/m, k1=k2=k3=k4=50N/m,f1=2.0sin(3.754t),f2=-2.0cos(2.2t), f3=1.0sin(2.8t). 建立运动微分方程 MX + CX + KX = F ,其中
m+ (t / 2)c + (t) / 6 k
2
{
}
(312)
上式右边均为已知量,将上式代回式(3-8),式(3 x 9),可求 x (t + t ), (t + t ) .
对于多自由度系统
MX + CX + KX = F
则
1 2 2 (t + t ) = M + t C + (t ) K F (t + t ) C X (t ) + t X (t ) K X (t ) + tX (t ) + (t ) X (t ) X 2 6 2 3 X (t ) + X (t + t ) X (t + t ) = X (t ) + t 2 2 2 (t ) X (t ) + (t ) X (t + t ) X (t + t ) = X (t ) + tX (t ) + 3 6 2
因为式中出现的矩阵 M + (t 2)C + {(t ) / 6}K 在各阶段都相 同,可在第一次计算中预先求出逆矩阵.
2.直接解法二
x 在直接解法一中,先消去 x(t + t ) ,(t + t ) ,但也可 ) x 以先消去 x(t + t 和 (t + t )求 x(t + t ) .为此,由式(3-8) x 求 (t + t ) ,将其代入式(3-9),求 x(t + t ) ,最后代 入式(3-11)求 x(t + t ) ,即
式(3-15)是由威尔逊提出,并得到广泛的采用.式中出 现的1/t,1/( t )2等项并不是为了减少误差而采用的特 殊方法而引入的,而是原封不动地保留消去过程中所出现 的各项而已.将上式改写为式(3-16)更为自然.
1 t (t)2 K MX(t) + tX(t) + (t)2 X(t)+Ct X(t) + (t)2 X(t) + (t)2 X(t)+ (t)2 F(t + t) X(t + t) = M + C + 2 6 3 3 12 2 6 2 (t) X(t) 6 X(t + t) = 2 X(t + t) X(t) + tX(t) + (316) 3 (t) X(t) + X(t + t) X(t + t) = X(t) + t 2
对式(3-2)作积分变换
t +t
t
x(t )dt
(3 2)
t +t t x(t + t ) = x(t ) + x(t ) + ∫ (t + t τ )(τ )dτ x t 1 !
(3 3)
最后可得到精确解
(t) (t) + (t) x(t) += ∞ (t) x(k) (t) (34) t x(t +t) = x(t) + x(t) + x ∑ k! 1 ! 2! 3 ! k=0
t 6 6 3 m2(t) + x(t) + 2 x(t)+c (t) +2x(t) + x(t)+ f (t +t) x x t t (t) 2 x(t +t) = (314 ) 2 k +3c/ t +6m (t)
对于多自由度系统,则如式(3-15)
1 t 3 6 6 6 (t ) + 3 X (t ) + F(t + t ) x(t + t ) = K + C + M M 2X (t ) + X (t ) + X (t ) + C X (t ) + 2X t t t (t )2 (t )2 2 t 3 (t + t ) = {X (t + t ) X (t )} 2X (t ) X (t ) X (3 15) t 2 6 6 X (t + t ) = {X (t + t ) X (t )} X (t ) 2X (t ) 2 t (t )
2 ( t )2 (t ) + ( t )2 (t + t ) = f (t + t ) + k x (t ) + t x (t ) + x x 3 6
(t + t) = x
(t)2 (t) t f (t + t) cx(t) + (t) kx(t) + tx(t) + x x 2 3
2 3 k
由此可得出以下结论: (1)欧拉法是取Taylor级数展开式的前两项的解法. (2)每前进一时间步长t引起的误差为