任务8.1 认知图

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2）简单通路与回路
简单通路与回路：若 = v0e1v1e2 … elvl为通路， 且所有的边e1, e2, … , el互不相同，则称 为 简单通路(或迹). 特别地，若 是所有边互 不相同的回路，则称为简单回路(或闭迹).
3）初级通路与回路
初级通路与回路：若 = v0e1v1e2 … elvl为通路， 且所有的顶点v0, v1, … , vl互不相同，则称 为 初级通路(或路径). 若 除v0 = vl外，所有的顶点
因此由握手定理, (1)能构成图的度数序列， 而(2)和(3)不能.
练习3 已知图G 有10条边，4个3度的顶点，其余顶点的度数均小于等 于2，问G至少有多少个顶点？
解 图G边数为10，由握手定理知，G 中各顶点度数之和为20， 4个3度 的顶点共占12度，还剩下8度，
若其余的顶点都是2度，则需要4个顶点来占用8度，所以图G至少 有8个顶点.
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【例】在下图中,
(a)
(b)
(c)
(a)是强连通的；
(b)是单向连通的；
(c)是弱连通的。
由定义知，若图G是强连通的，则必为单向连通，若图G 是单向连通的， 则必为弱连通。反之不然。
定理 一个有向图D是强连通的当且仅当D中存在一条通过每个 顶点至少一次的回路。
练习：
v4
e2
e6
e3
e5
v1 e1 v2 e4 v3
度数序列、度数、 最大度、最小度
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v1
e1
e3 v2
e2
e5
e6
v3
e4
v4
度数序列、度数、 最大入度、最大出度
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2) 子图
（1）子图 如果 V (H) V(G) 且 E (H)
H 是 G 的子图,记作 H G．
E (G) , 则称
（2）支撑子图
若 H 是 G 的子图且V (H) = V(G) ，则称 H 是G的支撑子图（或 生成子图).
（3）诱导子图
设图 H = < V′，E′> 是 图 G=<V ，E >的子图．若对任意结 点 u 和 v，如果 (u，v)∈ E ，有(u，v)∈E′，则 H 由 V′ 唯一 地确定，并称 H 是结点集合 V′ 的点诱导子图，记作 G(V′)；如 果 H无孤立结点，且由 E′ 所唯一确定，则称 H 是边集 E′ 的边 诱导子图，记为G(E′)．
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3)无向图的连通性：若无向图G是平凡图，或G中任意 两顶点都是连通的，则称G是连通图. 否则，称G是非连通图.
4)有向图的连通性：若有向图D略去所有有向边的方向 后所得的无向图是连通图， 则称D是(弱)连通图.
特别地，若D中任意两顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图.
若D中任意两顶点都是相互可达的，则称D是强连通图.
入度和出度之和称为顶点 v 的度，记作 d (v ).
显然
d (v ) = d+(v ) + d- (v ).
定理3 在任何有向图中,所有结点的入度 之和等于所有结点的出度之和,即
d (v) d (v) E ．
vV
vV
证明 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若一个结点
具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以，有向图中各结
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从那时以来,图论不仅在许多领域,如计算机科学、运筹 学、心理学等方面得到了广泛的应用,而且学科本身也获得长 足发展,形成了拟阵理论、超图理论、代数图论、拓扑图论等 新分支.
任务8.1 认知图 8.1.1 无向图及有向图
两G=部<V图分，GE所>是．组由成非，空其E结中点每{集条e合边1,可e2用, 一e3个, 结点,Ve对m表} 示{v，1,记以v作及2 ,边v3集, 合 , vn}
例1中图的图示为
例2 D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>, <v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
是一个有向图，如图 8.4 所示．
练习1 已知无向图G = <V, E>，其中 V = { v1, v2, v3, v4 , v5 }， E ={ (v1, v1), (v1, v2), (v2, v3), (v2, v3), (v2, v5), (v1, v5), (v1, v5), (v4, v5) }. 做出图 G 的图示.
显然互，不初相级同通且路边(回互路不)相一同定，是则简称单通为路初(回级路回)路，(但或简圈单) 通. 路(回 路)不一定是初级通路(回路) .
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练习3 列举下图的各种通路和回路.
v4
e2
e6
e3
e5
v1 e1 v2 e4 v3
v1
e1
e3 v2
e2
e5
e6
v3
e4
v4
如：v3e4v4e5v2e3v2是通路，也是简单通路， v3e4v4e5v2是初级通路，v2e3v2是简单回路，
双射函数 f: V V ′ ，使得对于任意的(u, v) E ( 或
<u , v> E1 ) ,当且仅当 ( f(u), f(v) ) ( 或 < f(u), f(v)
> E2)，则称 G1 与 G2 同构，记作G
G′.
由定义可得两个图同构的必要条件：顶点数目相同，边数相同， 度数相同的顶点数目相等.
(11)多重图：含平行边的图. (12)简单图：既不含平行边也不含环的图.
(13)完全图 无向完全图：
在含 n 个点无向图中，各点之间都有边相联的无向图叫 作有 n 个点的完全图，用 Kn 表示．
有向完全图：
在有向图中，各点之间都有两条相向的边连接的图， 叫作有向完全图．
容易证明，完全图 Kn 具有
点入度之和等于边数，各结点出度之和也等于边数，因此，任何有
向图中，入度之和等于出度之和．
（16）度数序列： 设V = { v1, v2, … , vn }为图G的顶点集， 称 {(d(v1), d(v2), … , d(vn)) }为G的度数序列.
例3 下列哪些能成为图的度数序列？ (1) {2, 2, 2, 3, 3}, (2) {0, 1, 2, 3, 3}, (3) {1, 3, 4, 4, 5}. 解 (1), (2), (3)中度为奇数的顶点个数分别是2, 3, 3，
E，称 vi 邻接到 vj ， vj邻接于 vi .还称 vi 是 ek 的始点，vj 是 ek的终点.
(9)边与边的相邻：若 ek 和 el 至少有一个公共端点，则称 ek 与 el 相邻.
(10)平行边：若在无向图中，关联一对顶点的无向边多于1条，称这 些边为平行边.平行边的条数称为重数.
若在有向图中，关联一对顶点的有向边多于1条，并且有向边的 始点和终点相同，称这些边为平行边.
(3)孤立点：与任何边都不关联的顶点. (4)零图： E = .即图中没有边，只有孤立点. (5)平凡图： E = 且 |V | = 1.即只有一个孤立点构成的图．
(6)顶点与边的关联： 若 ek = (vi , vj) E （或 ek = < vi , vj > E ）， 称 ek 与 vi ( vj )关联.
(7)环： 如果 ek = (vi , vj ) （或 ek = < vi , vj > ），且 vi = vj ，则称 ek 为环.
(8)顶点与顶点的相邻或邻接：若 ek 为无向边，即 ek = (vi , vj) E，称 vi 与 vj 相邻；若 ek 为有向边，即 ek = <vi , vj >
例如，图8.8中，图(b)与(c)均为(a)的子图，(c)为(a)的 支撑子图，(b)为(a)的点诱导子图也是(a)的边诱导子 图．
图8.9中，(a)－(f)都是(1)的子图，其中 (a)－(d)为(a)的支撑子图，(e)为(a) 点诱导子图，(f) 为(a) 边诱导子图．
3）图同构
设 G = < V, E >，G ′ = <V ′, E′ > 是两个图，若存在
如果结点对与次序无关，这种结点对叫作 无序结点对，它所对应的边称为无向边，记作
ei vi1 ,vi2 ,i 1, 2, , m.
如果结点对与次序有关，这种结点对叫作有序结点对，它 所对应的边称为有向边，记作
ei vi1 ,vi2 ,i 1, 2, , m.
无向图：图中的所有边均为无向边．无向图用 G 表示，但有时用 G 泛指图(无向的. 或有向的)．
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若 <a, b> E，. 则在顶点 a 与 b 之间画一条有向边，其箭头从 a 指向 b．
例1 G= < V，E >，其中 ， V {v1, v2 , v3, v4 , v5}， E {(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v5),(v1,v5),(v1,v5),(v5,v5)}.
画法：用小圆圈表示V中顶点，若(a, b) E，则在顶点a与b之间连 线段通。常，图的顶点可用平面上的一个圆点来表示，边可用平面上 的线段来表示（直的或曲的）.这样画出的平面图形称为图的图 示．有时我们为了叙述方便，不区分图与其图形两个概念．具有 n 个结点，m 个边所组成的图称为(n，m) 图．
有向边可在边上加箭头用来表示边的方向， 而无向边则在边上不需加箭头．
例4 判断图8.10中哪些图是同构的．
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图仍然不同构的 情况.一个例子如下图:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
8.1.2 通路、回路、图的连通性
1）通路与回路
通路与回路：给定图G = <V, E>，设G中顶点与边 的交替序列 = v0e1v1e2 … elvl ，若 满足： vi–1和vi是ei的端点(G为有向图时，要求vi–1 和vi分别是ei的始点和终点)，i = 1, 2, … , l， 则 为顶点v0到vl的通路. 中边的数目l 称为 的长度. v0 = vl时，称 为回路.
也是初级回路.
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8.1.3 连通
1)无向图中两顶点的连通：在一个无向图G中， 若从顶点vi 到vj 存在通路，则称vi 与vj 连通. 规定：vi 到自身总是连通的.
2)有向图中两顶点的可达：在一个有向图D中， 若从顶点vi 到vj 存在通路，则称vi 可达vj . 规定：vi 到自身总是可达的.
有向图：图中的所有边均为有向边．有向图只能用 D 表示．
例1 G= < V，E >，其中 ， V {v1, v2 , v3, v4 , v5}， E这便{(定v1义, v出2 一), (个v无2 ,向v3图),．(v3 , v4 ), (v3 , v5 ), (v1, v5 ), (v1, v5 ), (v5 , v5 )}.
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项目8 图论
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Konigsberg七桥问题 如图，能否从某个桥出发，走过所 有的桥，但每座桥只经过一次？
D
？
？
A
B
D
A
B
C
C
D3
A
3
B
5
C 3
n
deg(vi ) 2m.
i 1
即，顶点度数之和等于边数之和的两倍．
定理2 在任何无向图中，度数为奇数的结点必定是偶数个.
(15)有向图中的度： 设 D = < V, E > 为有向图，以顶点v 为 始点的边的条数称为 v 的出度，记作 d +(v ).
以顶点 v 为终点的边的条数称为 v 的入度，记作 d- (v ).
练习2 已知 D = <V, E>，V = {a, b, c, d,e }，E = { <a,a>, <a,b>, <a,b>, <a,d>, <d,c>, <c,d> , <c,b> }. 做出图 D 的图示.
相关概念 (1)有限图： V, E 均为有限集. (2) n 阶图： |V | = n.其中，|V | 指的是结点集合 V 的结点的 个数.
n n 1
条边．
2
(14)无向图结点的度数： 设G = <V, E>为无向图，与顶点 v 关联的边的条数(每个环计算两 次)称为 v 的度，记作d (v)．
最大度： 最小度：
(G) = max { d(v) | v V }． (G) = min { d(v) | v V }．
定理1(握手定理) 设图 G 是具有 n 个结点、m 条边的无向图，其中 结点集合为 V={v1，v2，…，vn}，则