任务8.1 认知图

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任务8.1
项目8 图论
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认知图 用矩阵表示图 认知欧拉图与哈密顿图 求最优树
Konigsberg七桥问题 如图，能否从某个桥出发，走过所 有的桥，但每座桥只经过一次？
D
？
？
A
B
D
A
B
C
Байду номын сангаас
C
D3
A
3
B
5
C 3
E，称 vi 邻接到 vj ， vj邻接于 vi .还称 vi 是 ek 的始点，vj 是 ek的终点.
(9)边与边的相邻：若 ek 和 el 至少有一个公共端点，则称 ek 与 el 相邻.
(10)平行边：若在无向图中，关联一对顶点的无向边多于1条，称这 些边为平行边.平行边的条数称为重数.
若在有向图中，关联一对顶点的有向边多于1条，并且有向边的 始点和终点相同，称这些边为平行边.
n
deg(vi ) 2m.
i 1
即，顶点度数之和等于边数之和的两倍．
定理2 在任何无向图中，度数为奇数的结点必定是偶数个.
(15)有向图中的度： 设 D = < V, E > 为有向图，以顶点v 为 始点的边的条数称为 v 的出度，记作 d +(v ).
以顶点 v 为终点的边的条数称为 v 的入度，记作 d- (v ).
（2）支撑子图
若 H 是 G 的子图且V (H) = V(G) ，则称 H 是G的支撑子图（或 生成子图).
（3）诱导子图
设图 H = < V′，E′> 是 图 G=<V ，E >的子图．若对任意结 点 u 和 v，如果 (u，v)∈ E ，有(u，v)∈E′，则 H 由 V′ 唯一 地确定，并称 H 是结点集合 V′ 的点诱导子图，记作 G(V′)；如 果 H无孤立结点，且由 E′ 所唯一确定，则称 H 是边集 E′ 的边 诱导子图，记为G(E′)．
练习：
v4
e2
e6
e3
e5
v1 e1 v2 e4 v3
度数序列、度数、 最大度、最小度
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v1
e1
e3 v2
e2
e5
e6
v3
e4
v4
度数序列、度数、 最大入度、最大出度
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2) 子图
（1）子图 如果 V (H) V(G) 且 E (H)
H 是 G 的子图,记作 H G．
E (G) , 则称
(11)多重图：含平行边的图. (12)简单图：既不含平行边也不含环的图.
(13)完全图 无向完全图：
在含 n 个点无向图中，各点之间都有边相联的无向图叫 作有 n 个点的完全图，用 Kn 表示．
有向完全图：
在有向图中，各点之间都有两条相向的边连接的图， 叫作有向完全图．
容易证明，完全图 Kn 具有
练习2 已知 D = <V, E>，V = {a, b, c, d,e }，E = { <a,a>, <a,b>, <a,b>, <a,d>, <d,c>, <c,d> , <c,b> }. 做出图 D 的图示.
相关概念 (1)有限图： V, E 均为有限集. (2) n 阶图： |V | = n.其中，|V | 指的是结点集合 V 的结点的 个数.
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3)无向图的连通性：若无向图G是平凡图，或G中任意 两顶点都是连通的，则称G是连通图. 否则，称G是非连通图.
4)有向图的连通性：若有向图D略去所有有向边的方向 后所得的无向图是连通图， 则称D是(弱)连通图.
特别地，若D中任意两顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图.
若D中任意两顶点都是相互可达的，则称D是强连通图.
(7)环： 如果 ek = (vi , vj ) （或 ek = < vi , vj > ），且 vi = vj ，则称 ek 为环.
(8)顶点与顶点的相邻或邻接：若 ek 为无向边，即 ek = (vi , vj) E，称 vi 与 vj 相邻；若 ek 为有向边，即 ek = <vi , vj >
双射函数 f: V V ′ ，使得对于任意的(u, v) E ( 或
<u , v> E1 ) ,当且仅当 ( f(u), f(v) ) ( 或 < f(u), f(v)
> E2)，则称 G1 与 G2 同构，记作G
G′.
由定义可得两个图同构的必要条件：顶点数目相同，边数相同， 度数相同的顶点数目相等.
有向图：图中的所有边均为有向边．有向图只能用 D 表示．
例1 G= < V，E >，其中 ， V {v1, v2 , v3, v4 , v5}， E这便{(定v1义, v出2 一), (个v无2 ,向v3图),．(v3 , v4 ), (v3 , v5 ), (v1, v5 ), (v1, v5 ), (v5 , v5 )}.
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若 <a, b> E，. 则在顶点 a 与 b 之间画一条有向边，其箭头从 a 指向 b．
例1 G= < V，E >，其中 ， V {v1, v2 , v3, v4 , v5}， E {(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v5),(v1,v5),(v1,v5),(v5,v5)}.
显然互，不初相级同通且路边(回互路不)相一同定，是则简称单通为路初(回级路回)路，(但或简圈单) 通. 路(回 路)不一定是初级通路(回路) .
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练习3 列举下图的各种通路和回路.
v4
e2
e6
e3
e5
v1 e1 v2 e4 v3
v1
e1
e3 v2
e2
e5
e6
v3
e4
v4
如：v3e4v4e5v2e3v2是通路，也是简单通路， v3e4v4e5v2是初级通路，v2e3v2是简单回路，
如果结点对与次序无关，这种结点对叫作 无序结点对，它所对应的边称为无向边，记作
ei vi1 ,vi2 ,i 1, 2, , m.
如果结点对与次序有关，这种结点对叫作有序结点对，它 所对应的边称为有向边，记作
ei vi1 ,vi2 ,i 1, 2, , m.
无向图：图中的所有边均为无向边．无向图用 G 表示，但有时用 G 泛指图(无向的. 或有向的)．
(3)孤立点：与任何边都不关联的顶点. (4)零图： E = .即图中没有边，只有孤立点. (5)平凡图： E = 且 |V | = 1.即只有一个孤立点构成的图．
(6)顶点与边的关联： 若 ek = (vi , vj) E （或 ek = < vi , vj > E ）， 称 ek 与 vi ( vj )关联.
点入度之和等于边数，各结点出度之和也等于边数，因此，任何有
向图中，入度之和等于出度之和．
（16）度数序列： 设V = { v1, v2, … , vn }为图G的顶点集， 称 {(d(v1), d(v2), … , d(vn)) }为G的度数序列.
例3 下列哪些能成为图的度数序列？ (1) {2, 2, 2, 3, 3}, (2) {0, 1, 2, 3, 3}, (3) {1, 3, 4, 4, 5}. 解 (1), (2), (3)中度为奇数的顶点个数分别是2, 3, 3，
例4 判断图8.10中哪些图是同构的．
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图仍然不同构的 情况.一个例子如下图:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
8.1.2 通路、回路、图的连通性
1）通路与回路
通路与回路：给定图G = <V, E>，设G中顶点与边 的交替序列 = v0e1v1e2 … elvl ，若 满足： vi–1和vi是ei的端点(G为有向图时，要求vi–1 和vi分别是ei的始点和终点)，i = 1, 2, … , l， 则 为顶点v0到vl的通路. 中边的数目l 称为 的长度. v0 = vl时，称 为回路.
例如，图8.8中，图(b)与(c)均为(a)的子图，(c)为(a)的 支撑子图，(b)为(a)的点诱导子图也是(a)的边诱导子 图．
图8.9中，(a)－(f)都是(1)的子图，其中 (a)－(d)为(a)的支撑子图，(e)为(a) 点诱导子图，(f) 为(a) 边诱导子图．
3）图同构
设 G = < V, E >，G ′ = <V ′, E′ > 是两个图，若存在
因此由握手定理, (1)能构成图的度数序列， 而(2)和(3)不能.
练习3 已知图G 有10条边，4个3度的顶点，其余顶点的度数均小于等 于2，问G至少有多少个顶点？
解 图G边数为10，由握手定理知，G 中各顶点度数之和为20， 4个3度 的顶点共占12度，还剩下8度，
若其余的顶点都是2度，则需要4个顶点来占用8度，所以图G至少 有8个顶点.
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【例】在下图中,
(a)
(b)
(c)
(a)是强连通的；
(b)是单向连通的；
(c)是弱连通的。
由定义知，若图G是强连通的，则必为单向连通，若图G 是单向连通的， 则必为弱连通。反之不然。
定理 一个有向图D是强连通的当且仅当D中存在一条通过每个 顶点至少一次的回路。
例1中图的图示为
例2 D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>, <v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }