天津市红桥区2021届高三下学期一模数学试题

合集下载

天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．2．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（） A ．54B ．5C ．5D ．5 【答案】C 【解析】【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，可得102m m -=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 5．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.6．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.7．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可．【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ．【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．9．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log 3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】【分析】首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2314⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可判定大小【详解】因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，2log31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<.故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 10．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得2i=(2)i=3z a b --+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则2i=(z a b --+，所以20a b ⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.11．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =，则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(理)答案

高三数学（理）（2016、03）一、选择题：每小题5分，共40分二、填空题：每小题5分，共30分．三、解答题：共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）已知函数()sincos()cos sin()224224xxx x f x ωωωωππ=+--(R)x ∈的最小正周期为π （Ⅰ）确定ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间,]42ππ[-上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）()sincos()cos sin()224224xxx x f x ωωωωππ=+--22cos sin )sin cos )222222x x x x x xωωωωωω=--x x ωω=sin()4x ωπ=+--------------------------4分因为最小正周期2ωπT ==π,所以ω=2．---------------------------------------------------------7分（Ⅱ）()sin(2)4f x x π=+()f x 在,]48ππ[-上是增函数，在,]82ππ[是减函数，---------------------------9分()42f π-=-，()18f π=，()22f π=，故函数()f x 在区间,]42ππ[-上的最大值为1，最小值为．----------------13分（16）（本小题满分13分）袋中装有4个黑球和3个白球，现在甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，每次一人只取1球，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．（Ⅰ）求甲第一次取球就取到白球的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布和数学期望．解：(Ⅰ)设“甲第一次取到白球”的事件为A ，则P (A )＝P (ξ＝1)．因为事件“ξ＝1”，所以P (A )＝P (ξ＝1)＝37.----------------------------------------------4分(Ⅱ)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5.--------------------------6分P (ξ＝1)＝37； P (ξ＝2)＝4×37×6＝27； P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.-----------------------------------------10分所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：32631()12345277353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------------------13分（17）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列（N n *∈），且11a =，13b =,已知2330a b +=，3214a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+⋅，12n n T c c c =+++L ,（N n *∈），试比较n T 与2n n a b 的大 .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q依题意：2232921502313d q q q d q ⎧+=⇒--=⎨+=⎩-------------------------2分解得：3q =，2d =-----------------------------------------------4分所以21n a n =-，3nn b =.------------------------------------------6分（Ⅱ）(1)23n n n n c a b n =+⋅=⋅，211223432(1)323n n n n T c c c n n -=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅L L ① 231323432(1)323n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②②得：23122(3333)23n n n T n +-=++++-⋅L ，--------------------------8分113(13)133()31322n n n n T n n ++-=⋅-=-⋅+--------------------------------------9分又33(21)3n n n a b n =-1213312()32(21)3(21)32222n n n n n n n T a b n n +--=⋅+--=------------------------10分当1n =时，2n n n T a b = 当2n ≥时，20n n n T a b -<．所以2n n n T a b <．----------------------------------------------------------13分（18）（本小题满分13分）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，AB DC ∥，122DC DD AD AB ===2=．（Ⅰ）求证：⊥DB 平面11BCC B .（Ⅱ）求1BC 与平面1A BD 所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角11A DB C --的正弦值．（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)D ，，，(110)B ，，，(0,2,2)C 1，1(102)A ，，， 1(112)B ，，,(0,2,0)C .------------------------------------------------1分(110)DB =u u u r ，，(1,1,0)BC =-u u u r,1(0,0,2)BB =u u u r ----------------------------2分 110BD BC BD BC BD BC ⋅=-+=⇒⊥⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r1110BD BB BD BB BD BB ⋅=⇒⊥⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r又因为1.B B BC B =I所以，⊥DB 平面11BCC B .---------------4分（Ⅱ）设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．由1DA ⊥u u u u r n ，DB ⊥u u u r n ，1(1,0,2),DA =u u u r (110)DB =u u u r，，得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(221)=-，，n ．………----------.6分又1(1,1,2)BC =-u u u u r设1BC 与平面1A BD 所成的角为θ，则111||66sin |,|369BC cos BC BC θ⋅=<>===⨯u u u u ru u u u r u u u u r n n n ||||, 即1BC 与平面1A BD 所成的角的的正弦值63．………---------------.8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面1A BD 的一个法向量为(221)=-，，n 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量,由1m BC ⊥u u u u r ，m DB ⊥u u u r ，1(1,1,2)BC =-u u u u r ，(110)DB =u u u r，，得11111200.x y z x y -++=⎧⎨+=⎩，取11x =，则(1-11)=，，m ．………--------------10分设m 与n 所成角为θ，则31cos 333θ⋅-===-⋅⨯m n m n ，所以二面角11A DB C --的正弦值为6．------------------------------13分（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率25e =，左顶点A 与右焦点F 的距离2AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，(2,1)P 为定点，当 △MNP 的面积最大时，求l 的方程. 解：（Ⅰ）由e =得：c a --------------------------------------1分由2AF =2a c +=，②----------------------------------------3分由①②得：a =2c =，1b =，---------------------------------------5分椭圆C 的方程为2215x y +=．--------------------------------------------6分（Ⅱ）过右焦点(2,0)F 斜率为k 的直线l ：(2)y k x =-，--------------------7分联立方程组：2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得：2222(15)202050k x k x k +-+-=---------------------------8分设交点1122(,),(,)M x y N x y则21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+------------------------------------------9分MN==---------------------------------------------------10分点(2,1)P 到直线l的距离d =，所以△MNP的面积S ==1t =≥，则5S t t==- 记4()5g t t t=-，单调递增，min ()(1)1g t g ==，所以S，此时，0k =，l 的方程：0y =．---------------------------------------------14分（20）（本小题满分14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?. （Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e，求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()x g x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >．解：（Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e ，11()k f e a e e¢==-=，得2a e =．----------------------------------------------3分(Ⅱ)由11'()(0)ax f x a x x x-=-=> 当0a >时，令'()0f x =解得：1x a=-------------------------5分当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：由表可知：()f x 在1(0,)a 上是单调减函数，在(,)a+∞上是单调增函数所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞------8分（Ⅲ）当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20xe x -->令()ln 2(0)xh x e x x =-->，只需证()0h x >1'()x h x e x=-Q由指数函数及幂函数的性质知：1'()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数又121'(1)10,'()302h e h e =->=-<∴1'(1)'()02h h g <'()h x 在1(,1)2内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点----------10分设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),2t e t t =<< 由'()h x 的单调性知：当),0(t x 时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t e t t?--=--=+-?=又11,2t <<，等号不成立∴()0h x >-------------------------------14分。

2021年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

2021年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)2021年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）一、多项选择题1．集合a={x|x＞0}，b={2，1，1，2}，则（?ra）∩b=（）a．（0，+∞）b．{2，1，1，2}c．{2，1}d．{1，2}2．“φ=“y轴对称”上的“Is”曲线y=sin（x+φ）（）a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件3．如图所示的程序框图，输出s的值是（）a、 30b.10c.15d.214．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面pab的面积是（）a、 b.2c.1d。

5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点f与双曲线的准线与x轴的交点为k，点a在抛物线上且标为（）a．b、三,c．d、四,的右焦点重合，抛物，然后是a点的水平位置6．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{前5项和为（）a．b、二,c．d。

}的7.已知函数y=f（x）的定义域为{x |x∈ R、还有X≠ 满足f（x）+f（x）=0。

当x>0，f（x）=1nxx+1时，函数y=f（x）的近似像为（）a．b．c．d．8.给定函数f（x）=，如果有三个不同的实数a和B，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）a．（2π，2021π）b．（2π，2021π）c．（，）d．（π，2021π）二、填空9．设i为虚数单位，则复数=．10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数概率00.110.1620.330.340.1≥50.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．11．函数f（x）=sin2x2sin2x的最大值为12．已知圆c的圆心为c（1，1），且经过直线x+y=4上的点p，则周长最小的圆c的方程是．13.众所周知△ ABC是边长为1的等边三角形，点D和E分别是边AB和BC的中点，连接de并延伸到点F，使de=2ef，然后是14。

天津市红桥区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

天津市红桥区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误【答案】A 【解析】【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n nn a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,因为n nn a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确;若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 2．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，【答案】D 【解析】【分析】求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，aby c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由16PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223a c =，所以离心率3==ce a．故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B 【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B. 【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率21k ±==±-．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．6．已知集合A ＝{y|y =}，B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D 【解析】【分析】求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】集合A ＝{y|y =}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x|x ﹣2x 2＞0}＝{x|0＜x 12＜}＝（0，12）， ∴A∩B ＝（0，12）， ∴∁R （A∩B ）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）. 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.7．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：a Q ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D项错误．综上，故选D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的3t=，则输出的i=( )A ．9B ．31C ．15D ．63【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =，故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.10．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A 【解析】【分析】【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 12．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【答案】A【解析】【分析】⨯=，再根根据2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%得到就医费用8000010%8000据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%⨯=所以就医费用8000010%8000因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，所以2019年的就医费用12750元，而2019年的就医费用占总收人15%÷%=所以2019年的家庭总收人为127501585000而储畜费用占总收人25%⨯%=所以储畜费用：850002521250故选：A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

红桥区一模高三数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)在x=2处的切线斜率为3，则x=2处的函数值是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角余弦值是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/43. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=1，a4=7，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b5=（）A. 18B. 27C. 54D. 815. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a5=11，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，则b4=（）A. 4B. 8C. 16D. 328. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(x)在x=0处的切线斜率为2，则f(1)的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 69. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a7=21，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. 3x^2 + 6x + 2D. 3x^2 + 6x - 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a5=11，则d=______。

12. 若等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b5=______。

13. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(x)在x=0处的切线斜率为2，则f(1)的值是______。

14. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a7=21，则d=______。

天津市红桥区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

天津市红桥区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.2．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（）A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.3．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56 B ．72C ．88D ．40【答案】B【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可. 【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 4．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易. 5．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.6．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（） A ．±6 B ．6C ．-6D ．132【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.7．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ． 8．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.9．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】D 【解析】【分析】先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q ()cos 221f x x x =++可得1()2cos 2sin 212sin 21226f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确；对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确；对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈，当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误；故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( )A ．2020B ．4038C ．4039D ．4040【答案】D 【解析】【分析】计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案. 【详解】11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，202021134039457403967403940401............n n aa a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，故4040k =. 故选：D . 【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+，则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.12．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝2，那么原△ABC 的面积是( )A3B．2C 3D3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO3△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO3∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×33 A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年天津市部分区高考数学一模及答案

2021年天津市部分区高考数学一模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{0，2}，C ＝{﹣1，0，1}，则（A ∩C ）∪B ＝（）A ．{﹣1，0，1，2}B ．{0，2}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，2}2．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“x 2＜4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ＝0.72021，b ＝20210.7，c ＝log 0.72021，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a4．直线x ﹣y +2＝0与圆（x +1）2+y 2＝2相交于A ，B 两点，则|AB |＝（）A ．21B ．22C ．23D ．65．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（）A ．180B ．240C ．280D ．3206．已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （x ﹣1），则f （2）＝（）A ．﹣6B ．6C ．﹣2D ．27．关于函数f （x ）＝sin （2x +6π）有下述三个结论：①f （x ）的最小正周期是2π；②f （x ）在区间（6π，2π）上单调递减；③将f （x ）图象上所有点向右平行移动12π个单位长度后，得到函数g （x ）＝sin2x 的图象．其中所有正确结论的编号是（）A ．②B ．③C ．②③D ．①②③8．已知抛物线y 2＝16x 的焦点与双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点F 重合，C 的渐近线恰为矩形OAFB 的边OA ，OB 所在直线（O 为坐标原点），则C 的方程是（）A ．141222=-y x B ．1323222=-y x C ．112422=-y x D ．18822=-y x 9．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<++-001|2|213x x x x ，，，若存在实数a ，b ，c ，当a ＜b ＜c 时，满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则af （a ）+bf （b ）+cf （c ）的取值范围是（）A ．（﹣4，0）B ．（﹣3，0）C ．[﹣4，0）D ．[﹣3，0）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数i i -+21＝． 11．（x 2+x2）5的展开式中x 4的系数为． 12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为．14．设a ＞0，b ＞0，且5ab +b 2＝1，则a +b 的最小值为．15．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝3π，且12=⋅AC AD ，则AD = ，若M 是线段AB上的一个动点，则CM DM ⋅的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2b sin A ．（1）求角B 的大小；（2）若角B 为钝角，且b ＝27，a ＝3c ，求c 和sin2C 的值．D A C B17．已知{a n }为等差数列，{b n }为公比大于0的等比数列，且b 1＝1，b 2+b 3＝6，a 3＝3，a 4+2a 6＝b 5．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝（2a n ﹣1）•b n +1，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．18．如图，在多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ，AEFC 是平行四边形，且AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AD ＝AE ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求证：CD ⊥EF ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的余弦值；（3）若点P 在棱CF 上，直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为33，求线段CP 的长．19．已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的短半轴长为1，离心率为23．（1）求C 的方程；（2）设C 的上、下顶点分别为B ，D ，动点P （横坐标不为0）在直线y ＝2上，直线PB 交C 于点M ，记直线DM ，DP 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1•k 2的值．20．已知函数f （x ）＝x 2﹣alnx ，g （x ）＝（a ﹣2）x +b ，（a ，b ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直，求a 的值；（2）讨论f （x ）的单调性；（3）若关于x 的方程f （x ）＝g （x ）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 2＞a ．2021年天津市部分区高考数学一模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 5351+ 11．40 12．0.28，0.3024 13．8 14．54 15．4；]18445[，三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．解：（1）∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝21，由B ∈（0，π），可得B ＝6π，或65π．（2）由（1），若角B 为钝角，可得B ＝65π， ∵b ＝27，a ＝3c ，∴由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，可得28＝3c 2+c 2﹣2×3c ×c ×（﹣23），整理解得c ＝2，可得a ＝23， ∴cos C ＝1421372322428122222=⨯⨯-+=-+ab c b a ，可得sin C ＝147cos 12=-C ，可得sin2C ＝2sin C cos C ＝2×143314213147=⨯． 17．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0），由题设可得：⎩⎨⎧=+++=+413321)3(26)(qb d a d a q q b ，即⎩⎨⎧=+++=+42)33(236q d d q q ，解得：⎩⎨⎧==12d q ， ∴b n ＝2n ﹣1，a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝3+n ﹣3＝n ；（2）由（1）可得：c n ＝（2n ﹣1）•2n ，∴S n ＝1×21+3×22+5×23+…+（2n ﹣1）•2n ，又2S n ＝1×22+3×23+…+（2n ﹣3）•2n +（2n ﹣1）•2n +1，两式相减得：﹣S n ＝2+2（22+23+…+2n ）﹣（2n ﹣1）•2n +1＝2+2×21)21(212---n ﹣（2n ﹣1）•2n +1，整理得：S n ＝（2n ﹣3）•2n +1+6． 18．解：∵AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD 、AE ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，∴AD 、AB 、AE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），E （0，0，2），C （1，1，0），F （1，1，2），（1）证明：∵CD ＝（1，﹣1，0），EF ＝（1，1，0），所以EF CD ⋅＝1﹣1＝0，∴CD ⊥EF ；（2）∵平面ADE 的法向量为m ＝（0，1，0），平面BDE 的一个法向量为（21，1，21），取平面BDE 的法向量n ＝（1，2，1），又因为二面角A ﹣DE ﹣B 为锐角， ∴二面角A ﹣DE ﹣B36612=⋅=；（3）设PC ＝t ，则P （1，1，t ），PB ＝（﹣1，0，﹣t ），由（2）知平面BDE 的法向量n ＝（1，2，1），∴直线PB 与平面BDE336112=⋅++=t t ，解之得t ＝1， ∴CP 长为1．19．解：（1）∵短半轴长为1，离心率为23， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231cb a ac e b ，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的方程为42x +y 2＝1．（2）由题意可知直线PM 的斜率存在且不为0，设直线PM 的方程为y ＝kx +1，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得（1+4k 2）x 2+8kx ＝0，解得x ＝0或x ＝2418k k +-， ∴x M ＝2418k k +-，y M ＝kx M +1＝224141k k +-，联立⎩⎨⎧=+=21y kx y ，解得 x ＝k 1， ∴P （k1，2）， ∴k 1＝k DM ＝kk k k x k x kx x y m m m m m 414142212-=+-=+=+=+， k 2＝k DP ＝k13＝3k ， ∴k 1k 2＝k 41-•3k ＝43-． 20．（1）解：f ′（x ）＝2x ﹣xa ，f ′（1）＝2﹣a ， ∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直，∴2﹣a ＝0，解得a ＝2．（2）解：f ′（x ）＝2x ﹣xa ＝x a x -22，x ＞0，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜22a ，令f ′（x ）＞0，解得x ＞22a ， ∴f （x ）在（0，22a ）上单调递减，在（22a ，+∞）上单调递增．（3）证明：方程f （x ）＝g （x ），即x 2﹣（a ﹣2）x ﹣alnx ＝b 在（1，+∞）上有两个不相等的实数根x 1，x 2，设1＜x 1＜x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧=---=---bx a x a x b x a x a x 22221121ln )2(ln )2(，两式相减得x 12﹣x 22﹣（a ﹣2）（x 1﹣x 2）﹣a （lnx 1﹣lnx 2）＝0， ∴a ＝2121222121ln ln 22x x x x x x x x -+---+，要证x 1+x 2＞a ，只需证x 1+x 2＞2121222121ln ln 22x x x x x x x x -+---+， ∵1＜x 1＜x 2，所以x 1+lnx 1＜x 2+lnx 2，即需证x 12+2x 1﹣x 22﹣2x 2＞（x 1+x 2）（x 1+lnx 1﹣x 2﹣lnx 2），整理得lnx 1﹣lnx 2＜2121)(2x x x x +-，即证ln 21x x ＜1)1(22121+-x x x x ，令t ＝21x x ，t ∈（0，1），令h （t ）＝lnt ﹣1)1(2+-t t ，h ′（t ）＝22)1()1(+-t t t ＞0，∴h （t ）在（0，1）上单调递增，∴h （t ）＜h （1）＝0，∴x 1+x 2＞a ，得证．。

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

高三数学（文）（2016、03）一、选择题：每小题5分，共40分二、填空题：每小题5分，共30分．三、解答题：共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）在锐角ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足2sin b A ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =，求cos(2)A B +．解：（Ⅰ）因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0.--------------------------------------2分因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.---------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，--------------------7分整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6.又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.---------------------------------------9分于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，故sin A 13cos214A =-,sin 2A =所以11cos(2)cos2cos sin 2sin 14A B A B A B +=-=---------------------------13分（16）（本小题满分13分）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成,,A B C 三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：第一种钢板面积为21m ，第二种钢板面积为22m ，今分别需要A 规格小钢板15块，B 规格小钢板27块，C 规格小钢板13块．（Ⅰ）设需裁第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，用x y ，列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（Ⅱ）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？解：（Ⅰ）由已知，x ，y 满足的数学关系式为2153271300x y x y xy x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．--------------------4分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．----------------------8分（Ⅱ）设所用钢板的面积为2m z ，则目标函数为2z x y =+．------------------9分把2z x y =+变形为1122y x z =-+，这是斜率为12-，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一族平行直线．当12z 取最小值时，z 的值最小．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线2z x y =+经过可行域上的点M 时，截距12z 最小，即z 最小．-------------------10分解方程组32713x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得点M 的坐标为(67)，．所以min 62720z =+⨯=．-------------------------------------------------------------------------12分答：在满足需求的条件下，裁第一种钢板6张，第二种钢板7张，所用钢板的面积最小．13分（17）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列（N n *∈），且11a =，13b =,已知2330a b +=，3214a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+⋅，12n n T c c c =+++L ,（N n *∈），求证：3(1)2n n n T a b =+. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q依题意：2232921502313d q q q d q ⎧+=⇒--=⎨+=⎩-------------------------2分解得：3q =，2d =-----------------------------------------------4分所以21n a n =-，3nn b =.------------------------------------------6分（Ⅱ）(1)23n n n n c a b n =+⋅=⋅，211223432(1)323n n n n T c c c n n -=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅L L ①231323432(1)323n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②②得：23122(3333)23n n n T n +-=++++-⋅L ，-------------------------------------8分113(13)2133()31322n n n n n T n ++--=⋅-=⋅+-------------------------------------------------------9分因为1333213(1)(21)3()322222n n n n n a b n +-+=-+=+ 所以3(1)2n n n T a b =+．---------------------------------------------------------------------------------13分（18）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且AB BC =．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角F DE B --的大小；（Ⅲ）若6PA =，5DF =，求PC 与平面PAB 所成角的正切值．解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BE ⊥又AB BC =，E 为AC 中点，故AC BE ⊥又AC PA A =I ，所以BE ⊥平面PAC ，BE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面PAC ．-----------------------------------------4分（Ⅱ）由已知得：DE ⊥平面ABC ，所以FEB ∠为二面角F DE B --的平面角，因为E ，F 分别为棱AC ，AB 的中点，AB BC ⊥，故90EFB ∠=o，EF FB =，所以，二面角F DE B --的大小为45o．--------------------------------------8分（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥所以BC ⊥平面PAB ．所以BPC ∠为PC 与平面PAB 所成角，由6PA =，5DF =，得4EF =，8BC AB ==，10PB =，84tan 105BC BPC PB ∠===，所以，PC 与平面PAB 所成角的正切值为45．--------------------------------------13分（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，左顶点A 与右焦点F的距离2AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，(2,1)P 为定点，当 △MNP 的面积最大时，求l 的方程. 解：（Ⅰ）由e =得：c a --------------------------------------1分由2AF =2a c +=，②----------------------------------------3分由①②得：a =2c =，1b =，---------------------------------------5分椭圆C 的方程为2215x y +=．--------------------------------------------6分（Ⅱ）过右焦点(2,0)F 斜率为k 的直线l ：(2)y k x =-，--------------------7分联立方程组：2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得：2222(15)202050k x k x k +-+-=---------------------------8分设交点1122(,),(,)M x y N x y则21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+------------------------------------------9分MN==---------------------------------------------------10分点(2,1)P 到直线l的距离d =，所以△MNP的面积S ==1t =≥，则5S t t==- 记4()5g t t t=-，单调递增，min ()(1)1g t g ==，所以S，此时，0k =，l 的方程：0y =．---------------------------------------------14分（20）（本小题满分14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?. （Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e，求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >．解：（Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e ，11()k f e a e e ¢==-=，得2a e=．----------------------------------------------3分(Ⅱ)由11'()(0)ax f x a x x x-=-=> 当0a >时，令'()0f x =解得：1x a=-------------------------5分当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：由表可知：()f x 在1(0,)a 上是单调减函数，在(,)a+∞上是单调增函数所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞------8分（Ⅲ）当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20xe x -->令()ln 2(0)xh x e x x =-->，只需证()0h x >1'()x h x e x=-Q由指数函数及幂函数的性质知：1'()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数又121'(1)10,'()302h e h e =->=-<∴1'(1)'()02h h g <'()h x 在1(,1)2内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点----------10分设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),2t e t t =<< 由'()h x 的单调性知：当),0(t x ∈时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t et t?--=--=+-?=又11,2t <<，等号不成立∴()0h x >-------------------------------14分。

天津市红桥区2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(含解析)

天津市红桥区2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1.设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（）A. {}1|0x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|1x x ≥D.{}|0x x >【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A. 12y x = B. 2xy =C.12log y = xD. 1y x=-【答案】C 【解析】分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.3.已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.a cb >>【答案】D 【解析】【分析】根据与中间值0，1的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】因为1021122ln ln 1,log 5log 10,01e ee π->=<=<<=，所以a c b >>. 故选：D【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题. 4.设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件【答案】B 【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（）A. 800B. 1000C. 1200D. 1600【答案】B 【解析】【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6.已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（） A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=-D. 3x π=【答案】D 【解析】【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=，所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴，故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.7.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为C. 2 【答案】A 【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8.已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为（）A. 2121n -+B. 2121n --C. 221n +D. 221n -【答案】D 【解析】试题分析：因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+，即1141n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以114a +=为首项，公比为4的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，即221nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式是221nn a =-，故选D ．考点：数列的通项公式．9.已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-< D. 1,0a b >->【答案】C 【解析】【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是__．【答案】2 【解析】【分析】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案. 【详解】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数，所以20a -=，解得2a =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题. 11.在82x x的展开式中，x 的系数等于__．【答案】7 【解析】【分析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到本题答案.【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.12.一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．【答案】310【解析】【分析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有1226C C 种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有2126C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有310C 种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率12212626310310C C C C P C +==. 故答案为：310【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 13.曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__．【答案】10x y -+= 【解析】【分析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】因为2(1)x y x e =+，所以()221xy x x e =++'，从而切线的斜率1k =，所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题. 14.已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__．【答案】261+．【解析】【分析】因为1132(2)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】由35x y xy +=，得135y x+=，所以1131616262(2)5(52)1555x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当6x y =，取等号.故答案为：261+ 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力. 15.已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且已知向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，则||c 的最小值是__．【答案】197- 【解析】【分析】求||c 的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，由题，得,||2,||3,,,23cos6033AOB OA OB CA a c CB b c a b π︒∠====-=-⋅=⨯⨯=，又()()0a c b c -⋅-=，所以CA CB ⊥，则点C 在以AB 为直径的圆上，取AB 的中点为M ，则1()2OM OA OB =+，设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c 的最小值是||OE ，因为222111||()2222OM OA OB OA OA OB OB =+=+⋅+==，又AB ===，所以||c 的最小值是1||22OE OM ME OM AB =-=-=. 【点睛】本题主要考查向量综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．【答案】（Ⅰ）b 【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ；（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =，由正弦定理可得，3ab bc =，又3a =，所以1c =，所以根据余弦定理得，229136b +-=，解得，b = （Ⅱ）因为2cos 3B =，所以sin B =， 21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==则111cos(2)sin 2()6292B B B π-+=-+=．【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.17.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n n T S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <．【答案】（Ⅰ）2n n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案；（Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1nS ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列()*n N ∈，12a =，可设公比为q ，0q >，又1322,,3a a a 成等差数列，所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯，解得2q 或12q =-（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈；（Ⅱ）证明：22log log 2n n n b a n ===，1(1)2n S n n =+，12112(1)1nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++，因为11012n <≤+，所以112121n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭即12n T ≤<.【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2|MN ||OQ |的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）1 【解析】【分析】（Ⅰ）由题，得2c e a ==，221123a b +=，解方程组，即可得到本题答案；（Ⅱ）设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =，联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2244||2m MN m +==+，由此即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点1,2⎛ ⎝⎭代入方程得221123a b +=，即22131a a +=，解得24a =，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =，联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22220m y ++-=，设()()1122,,,M x y N x y，则1212222,22y y y y m m +=-=-++，所以2244||2m MN m +==+，所以2222244||2144||2m MN m m OQ m ++==++．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.19.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：21143nk ka =<∑．【答案】（Ⅰ）12n n a ，*n N ∈．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由题，得121211111()(2)44n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）解：由题，得当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n 时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴==，n *∈N ；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44n n n n a ---===，故22221121111n k kn a a a a ==++⋯+∑ 1211111()()()444n -=+++⋯+ 11()4114n-=- 4414()3343n =-<．故得证．【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.20.已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．【答案】（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由11()1x f x x x-'=-=，令()0f x '>，得增区间为()0,1，令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞，所以有极大值(1)0f =，无极小值；（Ⅱ）由11()ax f x a x x -'=-=，分10a e <，1a ≥和11a e<<三种情况，考虑函数()f x 在区间[1,]e 上的值域，即可得到本题答案.【详解】()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1x f x x x-'=-=，当01x <<时，()'0f x >，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减，故当1x =时，函数取得极大值(1)0f =，没有极小值；函数的增区间为()0,1，减区间为(1,)+∞，11()()ax II f x a x x-'=-=，当10a e<时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)()()f f x f e ≤≤即函数的值域为[0,1]a ae +-；当1a ≥时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递减， ()()(1)f e f x f ≤≤即函数的值域为[1,0]a ae +-；当11a e <<时，易得1[1,)x a ∈时，()'0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增，1,x e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 在[1,]e 上单调递减，故当1x a=时，函数取得最大值1()1f lna a a =--+，最小值为(1)0f =，()1f e a ae =+-中最小的， ()i 当111a e e <-时，()(1)f e f ≥，最小值(1)0f =； ()ii 当111a e <<-，()(1)f e f <，最小值()1f e a ae =+-；综上，当10ae<时，函数的值域为[0,1]a ae+-，当111a e e<-时，函数的值域[0,ln1]a a--+，当111a e<<-时，函数的值域为[1,ln1]a ae a a+---+，当1a≥时，函数的值域为[1,0]a ae+-. 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.。

天津市红桥区2022届高三下学期一模数学试题

一、单选题1. 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A ，B ，C ，D ，E 共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A 被抽到的条件下，学生B 也被抽到的概率为（）．A．B．C．D．2. 若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A．B．C．D．3. 在中，角的对边分别是，若，则的最大值为（）A．B．C．D．4. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在披测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频串相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A．B．C．D．5. 正三棱锥的各棱长均为2，D 为的中点，M为的中点，E 为上一点，且，平面交于点Q ，则截面的面积为（）A．B．C．D．6. 已知为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．2B ．1C．D．天津市红桥区2022届高三下学期一模数学试题天津市红桥区2022届高三下学期一模数学试题二、多选题7. 复数的虚部为（）A．B．C．D．8. 已知正数a ，b 满足a +b =3.则的最小值为A．B．C．D．9. 在平面直角坐标系中，已知点，若将点绕原点按顺时针旋转弧度，得到点，记，，则下列结论错误的有（）A．B ．不存在，使得与均为整数C．D ．存在某个区间，使得与的单调性相同10. 正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（）A ．为锐角三角形B ．的面积为C ．的周长为D ．的面积为11.如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（）A ．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B．C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率12.如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（）三、填空题四、解答题A．//平面B ．与不垂直C．存在点、，使得D ．的最小值是13. 已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____．14. 已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是__________.15. 函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数________．16.如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.17.已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18. 在中，角的对边分别为，且（1）求角的值；（2）点在线段上，且，求边长19. 随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查.(1)求这两人健步走状况一致的概率；(2)求“健步超人”人数的分布列与数学期望.20. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且.21. 已知数列满足，且．（1）设，求证是等比数列；（2）求数列的前项和．。

天津市红桥区2024届高三一模数学试题(含解析)

天津市红桥区2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{2,1,0,1,2,3,4}U =--，集合{2,0,1,2}=-A ，{1,0,2,3}B =-，则U A B = ð（）A ．{4}B ．{2,0,1,2,4}-C ．{0,2}D ．{2,1}-2．已知a ，b ∈R ，则“a b >”是“20242024a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设0.5log 0.6a =，0.30.25b -=，0.60.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．b c a >>D ．c a b>>4．已知函数()22e4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A ． B ．C ．D ．5．已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A ．16B ．15C ．56D ．656．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．8πD ．5π7．已知直线y kx =与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP O =，是坐标原点，则以P 为圆心，以p 为半径的圆与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．内含C ．外离D ．外切8．某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小组调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标y 表示第1x -分钟至第x 分钟到校人数，130x ≤≤，x *∈N ，如当9x =时，纵坐标4y =表示在7：08~7：09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是3.627y x =-（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是0.160.82e x y =（图中的虚线表示），则下列结论中错误的是（）x 1591519212427282930y13441121366694101106A ．7：00~7：30内，每分钟的进校人数y 与相应时间x 呈正相关B ．乙同学的回归方程拟合效果更好C ．根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09~7：10这一分钟内的进校人数一定是9人D ．该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校9．将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数π()sin(2)02g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示）．对于1x ∀，2,[]x a b ∈，且12x x ≠，若()()12g x g x =，都有()12g x x +=）A ．π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π()sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()g x 在3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点为12,,,n x x x ，则123185π22212n n x x x x x -+++++=二、填空题10．i 是虚数单位，复数42i1i+=- ．11．已知二项式62x ⎛⎝，则其展开式中含2x 的项的系数为．12．已知双曲线221y x m -=与抛物线28y x =的一个交点为,A F 为抛物线的焦点，若||5AF =，则双曲线的渐近线方程为．13．甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为35，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为，本次比赛甲获胜的概率为 .14．如图，在平行四边形ABCD 中，3ABC π∠=，E 为CD 的中点，P 为线段AE 上一点，且满足23BP mBA BC =+，则m =；若ABCD Y的面积为，则BP 的最小值为．15．设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩，若()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围．三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B的大小；(2)设2a =，3c =，求()sin 2A B -的值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为45︒，,E F 分别是,PC AD 中点．(1)求证：//DE 平面PFB ；(2)求平面PFB 与平面EDB 夹角的正弦值．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足2n n S a r =+，其中R r ∈，且0r ≠．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n nn S b r +=-，若对任意的*N n ∈，都有21211n n i i i i b m b -==<<∑∑，求实数m 的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)，且椭圆C 的离心率为12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线=1x -上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，且P 为线段MN 的中点，再过P 作直线l MN ⊥，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．已知函数()e 1x a f x x -=的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,e .(1)求a 的值及函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()2ln 1e ln 0exx x x x λλλ++---≥在区间()1,+∞上恒成立，求正实数λ的取值范围.参考答案：1．B【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.【详解】因为{1,0,2,3}B =-，所以{2,1,4}U B =-ð，又{2,0,1,2}=-A ，所以{}2,0,1,2,4U A B =- ð，故选：B.2．D 【分析】举出反例，根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当1,2a b ==-时，20242024,a b a b ><，当2,1a b =-=时，20242024,a b a b ><，所以“a b >”是“20242024a b >”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．C 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【详解】因为0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，所以0.50.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<.因为0.6y x =在()0,∞+上单调递增，又0.30.60.60.250.52--==，0.60.650.63-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又5213>>，所以0.60.60.65213⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故1b c >>，所以b c a >>.故选：C.4．A 【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为()0222e e 0440(02)4f -=-=-<-，故C 错误；又因为()()4222222e e e4444(42)(2)(2)x x x f x f x x x x -+--+--+=-=-=-=-+--+-，故函数()f x 的图象关于2x =对称，故B 错误；当x 趋近2时，2e x -趋近1，2(2)x -趋近0，所以()22e4(2)x f x x -=--趋近正无穷，故D 错误.故选：A.5．D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【详解】由换底公式得，11log log 2m a a m ==，11log log 3b m b m ==，所以116log log log log 5ab m m m m ab a b ===+.故选：D.6．B 【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为O '，其外接球的圆心为点O ，则1OO '=，ABO '△为等边三角形，故2AO '=，OA 即为其外接球的半径R ，所以R AO ===所以该正六棱柱的外接球的表面积为24π20π=.故选：B.7．C【分析】根据点到直线的距离求得k ，再联立直线与抛物线方程得点P 坐标及圆方程，再考虑圆心距即可.【详解】=k =结合抛物线的对称性，只需考虑k =联立2,2,y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0,0x y =⎧⎨=⎩或2,3p x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩483p ==，解得6p =，此时点(4,P ，圆P的方程为22(4)(36x y -+-=，因为圆C 和圆P的圆心距6d ==>，所以两圆外离．同理当k =故选：C ．8．C【分析】对于A ，根据散点图判断；对于B ，由图象结合函数的图象特征判断；对于C ，由回归方程得到的只能是估计值判断；对于D ，根据统计表判断.【详解】对于A ，根据散点图知，7：00～7：30内，每分钟的进校人数y 与相应时间x 呈正相关，故A 正确；对于B ，由图知，曲线0.160.82e x y =的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B 正确；对于C ，表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就是实际值，故C 错误；对于D ，全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26～7：30进校的人数超过300，故D 正确，故选：C ．9．C 【分析】由题意可得函数()g x 的图象在区间[],a b 上的对称轴为122x x x +=，再结合()12+=g x x 求出ϕ，即可判断A ；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B ，再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD 即可.【详解】对于A ，由题意可知函数()g x 的图象在区间[],a b 上的对称轴为122x x x +=，则0x =与12x x x =+关于122x x x +=对称，又()12+=g x x ()()120g g x x =+=，所以sin ϕ=π02ϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移π3个单位得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将其横坐标缩短为原来的12得到()πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 正确；对于C ，由3ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π7π10π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在3ππ,2⎡⎤⎢⎣⎦上不单调，故C 错误；对于D ，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有6个零点()123456123456,,,,,t t t t t t t t t t t t <<<<<，则12πt t +=，233πt t +=，345πt t +=，457πt t +=，569πt t +=，故()123456123456π2222422221025π3t t t t t t x x x x x x +++++=+++++-⨯=，所以123185222π12n n x x x x x -+++++= ，故D 正确；故选：C ．【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin +0y A x B ωϕω=+>或()()cos +0y A x B ωϕω=+>的形式；（2）将x ωϕ+看成一个整体；（3）借助正弦函数sin y x =或余弦函数cos y x =的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.10．13i +/31i +【分析】根据复数除法法则计算出答案.【详解】()()()()2242i 1i 42i 46i 2i 26i13i 1i 1i 1i 1i 2++++++====+--+-.故答案为：13i +11．4320【分析】求出展开式得通项，再令x 的指数等于2，即可得解.【详解】62x ⎛ ⎝展开式的通项为()46663166C 223C kk k k k k kk T x x ---+==⋅，令4623k -=，得3k =，所以含2x 的项的系数为333623C 4320⨯=.故答案为：4320.12．y =【分析】设00(,)A x y ，根据条件，利用抛物线的定义得到03x =，进而得到2024y =，代入双曲线方程中，可得3m =，即可求出结果.【详解】因为抛物线28y x =的准线方程为2x =-，设00(,)A x y ，因为||5AF =，所以025x +=，得到03x =，所以208324y =⨯=，又00(,)A x y 在双曲线上，所以2491m-=，得到3m =，故双曲线为2213y x -=，其渐近线方程为y =.故答案为：y =.13． 1225/0.48 81125/0.648【分析】空1：根据独立事件的乘法公式求解本次比赛到第3局才分出胜负的概率；空2：利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲获胜的概率即可.【详解】到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为322312555525⨯+⨯=.若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为3395525⨯=，②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为32323336555555125⨯⨯+⨯⨯=.故甲获胜的概率为9368125125125+=.故答案为：1225，8112514．23【分析】设[],0,1AP k AE k =∈ ，由平面向量线性运算及基本定理可得m，由结合基本不等式可得BP 的最小值.【详解】由题意，设[],0,1AP k AE k =∈，则()112BP BA AP BA k AE BA k DE DA k BA k BC ⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以12123k BA k BC mBA BC ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，所以11223k m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以23m =；所以2233BP BA BC =+ ，由ABCD Y的面积为=，得到4BC BA ⋅= ，=当且仅当2BC BA ==时，等号成立，所以BP的最小值为故答案为：2315．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到()341121111124x x x x x x ++=+-，且1322x <<，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】因为22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩，所以222log (1),12()log (1),23(4),3x x f x x x x x --<<⎧⎪=-≤<⎨⎪->⎩，其图象如图所示，又()f x a =有四个实数根，由图知2122log (1)log (1)x x --=-，得到1212x x x x =+，即12111x x +=，且348x x +=，由2log (1)1x -=，得到3x =或32x =，所以1322x <<，所以()3411122111112124x x x x x x x x ++=+=+-，令112y x x =+-，322x <<，易知112y x x =+-在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3412114x x x x ++的取值范围为109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．(1)3B π=【分析】（1）运用正弦定理求解；（2）运用两角差公式求解.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为sin 0A >，所以πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1sin sin 2B B B =+，即sin B B =，tan B =()0,πB ∈，可得π3B =；（2）在ABC中，由余弦定理得：2222cos 7,b a c ac B b =+-==由sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以及π3B =，可得sin A因为a c <，所以A 是锐角，所以cos A =因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=，所以，()11sin 2sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-综上，π3B =，()sin 2A B -=17．(1)证明见解析【分析】（1）取PB 的中点M ，连接,ME MF ，证明四边形MEDF 为平行四边形，则//DE FM ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据PB 与平面ABCD 所成角求出PD ，利用向量法求解即可.【详解】（1）取PB 的中点M ，连接,ME MF ，因为,E F 分别是,PC AD 中点，所以//ME BC 且12ME BC =，又//DF BC 且12DF BC =，所以//ME DF 且ME DF =，所以四边形MEDF 为平行四边形，所以//DE FM ，又DE ⊄平面PFB ，FM ⊂平面PFB ，所以//DE 平面PFB ；（2）连接,BD BE ，如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠即为PB 与平面ABCD 所成角的平面角，所以45PBD ∠=︒，所以PD BD ==则()()(111,1,0,0,0,0,0,,,0,0,22B D E F P ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝，故()111,,1,0,1,1,0,0,222FP FB DB DE ⎛⎛⎛⎫=-=== ⎪ ⎝⎝⎭⎝ ，设平面PFB 的法向量为(),,n x y z =，则有102102n FP x n FB x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令x =1y z ==，所以()n =，设平面BDE 的法向量为(),,m a b c =，则有0102m DB a b m DE b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令b =，则1a c ==，所以)m =，则cos m 所以平面PFB 与平面EDB=18．(1)12n n a r -=-⋅(2)12m -<<【分析】（1）利用,n n a S的关系式求解即可；（2）由题意有21211max min n i i n i i b m b -==⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，利用分组求和法分别求出21211,i n ni i i b b -==∑∑，再根据数列的单调性分别求出21211max min ,n n i i i i b b -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，即可得解.【详解】（1）由2n n S a r =+，当1n =时，1112a S a r ==+，所以10a r =-≠，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，所以12n n a r -=-⋅；（2）由（1）得()()121212n n n r S r --==--，则()()111(1)(1)(1122)nn n n n n n S b r+++=-=--=+--，故()()()2122112211212211123n n n i n i b b b b ---=⎡⎤-----+⎣⎦=+++=+=--∑ ，()()()22121221212220123nn ni n i b b b b +=⎡⎤------⎣⎦=+++=+=--∑ ，而()2211214133nn n i i b -=--+-+==∑随n的增大而减小，所以1211max4113n i i b -=-+⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，()21212224233n n ni i b +=---⋅-==∑随n的增大而增大，所以121min24223n i i b =⨯-⎛⎫== ⎪⎝⎭∑，因为对任意的*N n ∈，都有21211n ni i i i b m b -==<<∑∑，所以12m -<<.19．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由点(2,0)在椭圆C 上，代入椭圆的方程，再由椭圆C 的离心率为12，求得,a b 的值，即可求解；（2）设0(1,)P y -，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，联立方程组，根据点P 的横坐标求得k ，结合l MM ⊥，得到043l y k =-，得出直线过定点；当直线MN 的斜率不存在时，得到直线l 为x 轴，进而得到结论.【详解】（1）因为点(2,0)在椭圆C 上，可得22401a b+=，解得24a =，又因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，所以2222214c a b a a -==，解得23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意，可设0(1,)P y -，且033(,)22y ∈-，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为01122(1),(,),(,)y y k x M x y N x y -=+，联立方程组022(1)143y y k x x y -=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=，则()222222200000(88)4(34)(48412)48323ky k k y ky k k ky y ∆=+-+++-=--+，所以201228834ky k x x k ++=-+，因为P 为MN 的中点，所以1212x x +=-，即20288234ky k k +-=-+，所以003(0)4MN k k y y ==≠，经检验，此时0∆>，因为l MM ⊥，所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+，即041(34y y x =-+，所以直线l 恒过定点1(,0)4-.②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为=1x -，此时直线l 为x 轴，也过点1(,0)4-.综上所述，直线l 恒过定点1(,0)4-.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20．(1)1a =，单调递增区间为()0,∞+，(),0∞-，无单调递减区间(2)()0,∞+【分析】（1）首先得到()1f ，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出a ，再利用导数求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得ln e 1l 1e n x x x x λλ+-+-≥在区间()1,+∞上恒成立，即()()ln f x f x λ+≥在区间()1,+∞上恒成立，结合（1）中函数的单调性，得到ln x x λ+≥在区间()1,+∞上恒成立，参变分离可得ln x x λ≥-+在区间()1,+∞上恒成立，利用导数说明ln 0x x -+<，即可得解.【详解】（1）因为()e 1x a f x x -=，所以()1e 1f a =-，又()21e e x x ax af x x -+'=，则()11f '=，又函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,e ，所以e 1e112a --=-，解得1a =，所以()e 1x f x x -=，函数的定义域为()(),00,∞-+∞U ，又()21e e x x xf x x-+'=，令()e e 1x x g x x =-+，则()e xg x x '=，所以当0x >时()0g x '>，当0x <时()0g x '<，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00g x g ≥=，所以当0x ≠时e e 10x x x -+>恒成立，即()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在()0,∞+，(),0∞-上单调递增.即()f x 的单调递增区间为()0,∞+，(),0∞-，无单调递减区间.（2）因为不等式()2ln 1e ln 0exx x x x λλλ++---≥在区间()1,+∞上恒成立，因为()1,x ∈+∞，则ln 0x >，即()2ln 1eln x x x x xλλλ+++--≥在区间()1,+∞上恒成立，所以()()e 11ln x x x xλλ+-≥-+在区间()1,+∞上恒成立，又0λ>，所以0x λ+>，所以ln e 1e 1ln ln 1x x x x x x λλ+--≥=-+在区间()1,+∞上恒成立，即()()ln f x f x λ+≥在区间()1,+∞上恒成立，由（1）可知()f x 在()0,∞+上单调递增，所以ln x x λ+≥在区间()1,+∞上恒成立，即ln x x λ≥-+在区间()1,+∞上恒成立，令()ln h x x x =-+，()1,x ∈+∞，则()1110xh x x x-'=-+=<，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()11h x h <=-，即ln 1x x -+<-区间()1,+∞上恒成立，所以0λ>时ln x x λ≥-+在区间()1,+∞上恒成立，即对任意()0,λ∈+∞关于x 的不等式()2ln 1e ln 0exx x x x λλλ++---≥在区间()1,+∞上恒成立.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津市红桥区2021届高三数学第一次模拟考试试题

天津市红桥区2021届高三数学第一次模拟考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．球的体积公式 334R V π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 (A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2xy -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-（11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答）（14）若441x y+=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.CD MP已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学参考答案一、选择题每题5分二、填空题每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭，三、解答题16.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ，所以32cos =B . ..........................7分因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。

天津市红桥区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

天津市红桥区2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+【答案】C 【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC ，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：111122222222224422222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 故选C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．2．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（）A ．1B ．1eC ．21eD e对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e =故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+，由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥【答案】A 【解析】【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 5．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,]939UB ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99UD ．(0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴35526262Tωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226kkπωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323kωω-≤≤-，当k=0时，解2839ω≤≤，当k=-1时，01ω<≤，可得29ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939U.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.6．如图，在ABC∆中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PA PC+=u u u r u u u r（）A．1233BA BC+u u u r u u u rB．5799BA BC+u u u r u u u rC．11099BA BC+u u u r u u u rD．2799BA BC+u u u r u u u r【答案】B【解析】【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ+=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，将13BQ BA AQ BA AC=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r 代入化简即可.【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ+=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（） A ．()3,+∞ B．)+∞C．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，)(0)t >，将其代入双曲线可解得．【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=，即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（）A ．32B ．12C ．78 D ．98【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-，因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 9．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --【答案】B 【解析】【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（） A ．5 B．C ．4D ．16【答案】C 【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)2ABC S bc A ===-V ,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 11．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②．由①②可得ω的最大值为1．当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，故11ω=为ω的最大值，故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．12．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B 【解析】【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，设2()23g t t at a =-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考模拟(一)数学试题含答案

2021年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题（共45分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+3.柱体的体积公式V Sh =．其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{|13,}A x x x Z =-≤<∈，{3,0,2,3}B =-，则()UA B =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 2．已知x R ∈，则“2x <”是“21x>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数24||1x y x -=+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．已知0.80.31212,log ,423a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<5．2020年是脱贫攻坚战决胜之年凝心聚力打赢脫贫攻坚战，确保全面建成小康社会某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行规定：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则进入复赛的人数为（）A ．125B ．250C ．375D ．4006．若所有棱长都是3的直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（） A ．12π B ．18π C ．21π D ．39π 7．设函数()sin()1,0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线12x π=对称，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．要得到sin21y x =+的图象，只需将()f x 图象向右平移3π个单位 8．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线平行，且l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||6AB =，则E 的离心率为（）．A ．2 BCD9．已知定义在R 上的函数2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数()()k x f x ax =+恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A ．1,{0}(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．11,{0}(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．111,{0},e e⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷非选择题（共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中的相应横线上）10．i 是虚数单位，则823ii+-为________.11．在533x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，则1x 的系数为________．12．已知直线:1l y kx =-与圆22:430C x y x +-+=相切，则正实数k 的值为___________．13．一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X ．（Ⅰ）若取球过程是无放回的，则事件“2X =”的概率为__________；（Ⅱ）若取球过程是有放回的，则()E X =________．14．已知lg(2)lg lg x y x y +=+，则22xy x y y++的最小值为_______．15．在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，60ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，4AB EB =，3BC =，AE =M 为边CD 上的动点，则AM EM ⋅的最小值为________．三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．（本题满分14分）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,90ABC BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，8PA AC ==，4AB =．（Ⅰ）求证：//MN 平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C EM B --的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE所成角的余弦值为21，求线段AH 的长． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F，离心率e =，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 19．（本小题满分15分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足212,(1)nn n n n n c a c a b -==-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．（Ⅲ）求11(1)(6k 5)k nkk k k b a a =+-+∑．20．（本小题满分16分）已知()sin ,()ln nxf x xg x x me ==+，（n 为正整数，m R ∈）（Ⅰ）若()y g x =在1x =处的切线垂直于直线12y x =，求实数m 的值；（Ⅱ）当1n =时，设函数2()12()h x x f x =--，(0,)x π∈，证明：()h x 仅有1个零点．（Ⅲ）当2n =时，证明：()()()12x f x g x x m e '+<+-． 2021年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分45分二、填空题：每小题5分，共30分．（两空中对一个得3分，对两个得5分）10 11．240 12．43 13．35；2 14．4+ 15．154三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-即222a b c ab +-= 2分 ∴1cos 2C =， 3分又∵(0,)C π∈ 4分 ∴3C π=5分（Ⅱ）∵3a b =∴由正弦定理得sin 3sin A B = 6分 ∵23A B π+=∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 8分∴tan 5B =9分∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin B B == 10分∴11sin 22sin cos 14B B B B === 13分 ∴1cos(2)cos2cos sin 2sin 7B C B C B C +=-=- 14分 17．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）如图所示建立空间直角坐标系．则(0,0,0)(4,0,0),(0,8,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,0,2)(2,4,0)(0,0,8)A B C D E M N P 1分证明：(0,4,0),(4,0,4)DE DB ==-．设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40440y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)n = 2分又(2,4,2)MN =-， 3分可得0MN n ⋅=．因为MN ⊄平面BDE ， 4服所以//MN 平面BDE 5分（Ⅱ）解：易知1(1,0,0)n =为平面BEM 的一个法向量． 6分设2(,,)n x y z =为平面EMN 的法向量，则220n EM n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因为(0,4,2)EM =--，(4,0,2)MB =-，所以420420y z x z --=⎧⎨-=⎩．不妨设2z =，可得2(1,1,2)n =- 8分因此有1212126cos ,n n n n n n ⋅<>==， 9分于是1230sin ,n n <>=．所以，二面角C EM N --的正弦值为610分（Ⅲ）依题意，设(08)AH h h =≤≤， 11分则(0,0,)H h ，进而可得(2,4,)NH h=--，(4,4,4)BE =- 由已知，得|||cos ,|||||NH BE NH BE NH BE ⋅〈〉===， 13分整理得2521160h h -+=， 14分解得165h =，或1h =．所以，线段AH的长为165或1 15分18．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）因为椭圆长轴长为4，所以24,2a a==1分所以ca=，2分又222a b c=+，解得1c b==，3分所以椭圆C的方程为2214xy+=；4分（Ⅱ）法一：设MN的方程为x my=-5分联立方程组2214x myxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22410m y+--=6分1212214y y y ym-+=⋅=+12||MN y y=-=()22414mm+=+9分原点到直线x my=-d=点P到直线MN的距离为2d=10分21||224MNPS MN dm=⋅=+11分,1t t=≥12分MNPS=2t t=≤+ 14分当t =2此时，直线l的方程为0x -+=或0x ++=． 15分法二：①当k 不存在时，||1,PMNMN d S=== 5分②当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =+，与椭圆方程2214x y +=联立，可得()2222411240k x x k +++-=， 6分显然0∆>，21212212441k x x x x k -+==+， 7分 ∴||MN =()224114k k +==+ 9分∴d =10分2|41PMNk Sk =+24k=+， 11分令1)t t => 12分∴上式=分∴上式2t t=≤+ 14分当且仅当t =2k =±时，取到最值．（其他方法求最值酌情给分）综上，当k =时，PMNS 取得最大值2．此时，直线l的方程为0x -+=或0x ++= 15分 19．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，113,1a b == 及2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩ 1分解得2,2,d q =⎧⎨=⎩2分所以132(1)21,2n n n a n n b -=+-=+=． 4分（Ⅱ）()()21321242n n n T c c c c c c -=+++++++()()1121122(1)n n n n a a a a b a b a b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 5分设{}n a 前项n 和为A2(321)22n nA n n ++==+ 7分设{}1(1)(21)(2)2nnn n a b n ⎧⎫-=+-⎨⎬⎩⎭前项n 和为B12111113(2)5(2)(21)(2)(21)(2)2222n n B n n -=⨯⨯-+⨯⨯-+⋯⋯+⨯-⨯-+⨯+⨯- 231111123(2)5(2)(21)(2)(21)(2)2222n n B n n +-=⨯⨯-+⨯⨯-+⋯⋯⨯-⨯-+⨯+⨯-231133(2)(2)(2)(21)(2)2n n B n +=-+-+-⋯⋯+--⨯+⨯-114(2)133(21)(2)122n n B n ++--=-+-⨯+⨯-+1565(2)918n n B +-+=-⨯- 10分综上可知2125652(2)918n n n T A B n n ++=+=+--⨯- 11分（Ⅲ）11(1)(65)(1)(65)2(21)(23)n n n n n n n b n a a n n -+-+-+=++ 12分 11(1)2(1)2(21)(23)n n n nn n -+--=-++ 13分令11122448(1)2(1)2355779(21)(23)n n n n n P n n -+⎛⎫-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14分11(1)23(23)n nn P n +-=--+ 15分20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）1()x g x me x'=+ 1分 3(1)12,g me m e'=+=-=- 2分（Ⅱ）要证()h x 仅有1个零点，即证()0h x =仅有1个实根即证2()12sin 0h x x x =--=，(0,)x π∈仅有1个实根 3分()22cos 2(cos )h x x x x x '=-=- 4分①当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,()h x h x '>在区间,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 5分又23024h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，2()10h ππ=->，所以()h x 在区间,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有一个零点． 6分 ②当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()()22cos x h x x x ϕ'==-． ()22sin 0x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．又(0)20ϕ=-<，02πϕπ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=．所以，当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0,()h x h x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ>，即()0,()h x h x '>单调递增；又(0)10h =-<，23024h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭．所以()h x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点． 8分综上所述，函数()h x 在(0,)x π∈内只有一个零点． 9分（Ⅲ）当2n =时，()2sin cos sin 2f x x x x '== 要证()()()12x f x g x x m e '+<+- 只需证：sin 2ln 10(1)2xx x xe ++-< 10分令()sin 22H x x x =-()2cos222(cos21)0H x x x '=-=-≤所以()H x 在(0,)+∞单调递减所以()(0)0H x H <=所以sin22x x < 11分要证（1），只需证sin22x x < 12分法一：令()ln 1x F x x x xe =++-()11()1(1)1x x x F x x e xe x x +'=+-+=- 13分令()1x q x xe =-()(1)0x q x x e '=-+< 14分()q x 在(0,)+∞单调递减(0)10q =>，(1)10q e =-<0(0,)x ∃∈+∞，使()00q x =，即001x x e = 15分当()00,x x ∈，()0F x '>，()F x 单调递增当()0,x x ∈+∞，()0F x '<，()F x 单调递减 ()00000()ln 10x F x F x x x x e ≤=++-=，所以原命题得证 16分法二：令()1x x e x ϕ=--()1x x e ϕ'=-∴()x ϕ在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 ∴()(0)0x ϕϕ≥=∴1x e x ≥+， 13分∵ln x x R +∈∴ln ln 1x x e x x +≥++ 14分 ∴ln 1x xe x x ≥++，即证ln 10x x x xe ++-≤∴原命题得证 16分。

天津市红桥区2021届高三下学期一模数学试题

天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(理)答案

2021年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

天津市红桥区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

红桥区一模高三数学试卷

天津市红桥区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

2021年天津市部分区高考数学一模及答案

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

天津市红桥区2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(含解析)

天津市红桥区2022届高三下学期一模数学试题

天津市红桥区2024届高三一模数学试题(含解析)

天津市红桥区2021届高三数学第一次模拟考试试题

天津市红桥区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考模拟(一)数学试题 含答案

天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考模拟(一)数学试题含答案