天津市红桥区2021届高三下学期一模数学试题
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天津市红桥区2021届高三下学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ 成立”是“ 成立”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
20．（1） ；（2）单调减区间是 ，单调增区间是 ，极小值为 ，无极大值；（3） .
【分析】
（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程；
（2）分 和 讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值；
（3）问题转化为 对于 恒成立，再分离变量研究函数的最值即可.
【详解】
（1） ，
，则
所以 在点 处的切线方程为
且各答题人答题正确与否之间互不影响，
事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，
，
，
．
故答案为：
14．
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合 可知原式 ，
且
，
当且仅当 时等号成立.
即 最小值为 .
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
6．已知函数 在区间 内单调递增，且 ，若 ， ， ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的左顶点为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 平行，则实数 的值是
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，给出下列四个命题：
（1）当 时，有： ；
当 时，有： ；
当 时，有： ；
综上可知 ， ， ；
（2）由已知得：
时，
化简得：
上式可化为：
故数列 是以 为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知 ∴
当n为偶数时，
令 ，
①
②
则①-②得
所以 .
当n为奇数时，
所以
综上，
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
4．B
【分析】
先求出成绩在[120，130）内的频率，由此能求出从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数.
【详解】
从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析,则从成绩在[120,130)内的学生中抽取的人数为：
800
故选：B
5．B
【详解】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可.
【详解】
（1）取 中点G，连接 .
，
，∴四边形 为平行四边形
∵平面 平面
四边形 为矩形 ，平面 平面
平面
如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
不妨设 ， ，则 ，
3．函数 的图象大致是( )
A． B． C． D．
4．某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照 ， ， ， ， ， ， 分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在 内的学生人数为（）
A．200B．240C．360D．280
5．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
15．
【详解】
因为 ， ，
， ，
当且仅当 即 时 的最小值为 .
考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
16．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）由正弦定理的边角转化得 ，结合三角形内角性质即可求角B.
（2）由两角差、倍角公式展开 ，根据已知条件及（1）的结论即可求值.
（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.
（Ⅱ）由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得
，
由已知 ，设 ，
则 ，
从而直线 与 的斜率之和
.
考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
19．（1） ， ， ；（2）证明见解析；
（3） .
【分析】
（1）分别令 计算即可；
（2） （ ）转化为递推数列即可证明；
（3）分 的奇偶性计算即可.
【详解】
对数函数 在 上为增函数，则 ，
指数函数 为增函数，则 ，即 ，
，因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．A
【分析】
先根据抛物线定义求 ，再代人求 ，最后根据条件列方程，解得结果.
又
又 平面
平面
（2） ，
设平面 的一个法向量为 ，
.
不妨设 ，则 ， ，
.
设向量 与 的夹角为 ，
则
∴平面 与平面 所成二面角的余弦值为
【点睛】
方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18．(1) (2)2
【详解】
（Ⅰ）由题意知 ，综合 ，解得 ，所以，椭圆的方程为 .
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的最大值为1；
③函数 在 上单调递增；
④将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 ．
其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
9．已知函数 ， ，若关于x的方程 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．i是虚数单位，则复数 ___________.
19．已知数列 的前n项和 满足： ， .
（1）求数列 的前3项 ， ， ；
（2）求证：数列 是等比数列：
（3）求数列 的前n项和 .
20．已知函数 ， .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（3）若对于任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】
（1）由正弦定理有： ，而 为 的内角，
∴ ，即 ，由 ，可得 ，
（2） ，
∵ ， ，可得 ，而 ，
∴ ，
（3）由余弦定理知： ，又 ， ， ，
∴ ，可得 .
17．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）取 中点G，连接 ，先证明 平面 ，然后以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，证明 垂直平面 的一个法向量即可；
【分析】
先求出 ，再求交集即可.
【详解】
据题意 ，所以
故选：C
2．B
【详解】
试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件
考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件
3．C
【详解】
函数y＝ ＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝ ，f(x)＝－sinx的图象，由图象可知函数y＝ ＋sinx只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.
9．A
【分析】
设 ，则 是 的图象上下平移得到，作出函数 与 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
设 ，
作出函数 和 的图象如图
当 时， （2） ， （2） ，
要使方程 恰有三个不相等的实数解，
则等价为 与 的图象有三个不同的交点，
则满足 ，
即 得 ，
即 ，
即实数 的取值范围是
即
（2）因为 ，
所以 ，
①当 时，因为 ，所以 ，
函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；当 ， ，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
在区间 上的极小值为 ，无极大值.
综上，
当 时，函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，极小值为 ，无极大值.
（3）因为对于任意 ，都有 成立，所以 ，
即问题转化为 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ，进而 ，
所以 在区间 上单调递增，
函数 ，
要使 对于 恒成立，只要 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题.
【详解】
因为抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，选A.
【点睛】
凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．即若 为抛物线 上一点，则由定义易得 .
8．B
【分析】
利用三角恒等变换公式将 整理为 ，根据 的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.
【详解】
试题分析：由于 为等边三角形，故弦长 ，根据直线与圆相交，所得弦长公式为 ，可建立方程， ， ，即 ，解得 .
考点：直线与圆的位置关系，解三角形．
【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式 ，考查等边三角形几何性质.由于 为等边三角形，故弦长 ，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式 .在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.
13．
【分析】
事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，利用 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式求出 ，利用相互独立事件概率乘法公式求出 ，由此相互独立事件概率乘法公式能求出 ．
【详解】
每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分，
队中每人答对的概率均为 ， 队中3人答对的概率分别为 ， ， ，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查分段函数的应用，需要作出分段函数的图像，再利用数形结合的思想．
10．
【分析】
对复数进行分母实数化即可化简.
【详解】
11．
【分析】
利用二项式定理求解即可.
【详解】
的展开式的通项为
令 ，解得
即 项的系数为
故答案为
【点睛】
本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.
12．
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
6．B
【分析】
由偶函数的性质可得出函数 在区间 上为减函数，由对数的性质可得出 由偶函数的性质得出 ，比较出 、 、 的大小关系，再利用函数 在区间 上的单调性可得出 的大小关系.
【详解】
，则函数 为偶函数，
∵函数 在区间 内单调递增，在该函数在区间 上为减函数，
，由换底公式得Fra Baidu bibliotek，由函数的性质可得 ，
【详解】
最小正周期 ，可知①错误；
，即 的最大值为 ，可知②正确；
当 时， ，此时 不单调，可知③错误；
向左平移 个单位，即 ，可知④正确.
故正确命题个数为 个
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为 的形式.
11． 的展开式中， 项的系数为______.
12．已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ________．
13．2021年是中国共产党成立100周年.现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为 ，B队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则 ___________.
17．如图所示，直角梯形 中， ， ， ，四边形EDCF为矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18．如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），
问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
14．已知 ， ，且 ，则 最小值为__________．
15．在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为_____________________.
三、解答题
16．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，求边a的值.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ 成立”是“ 成立”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
20．（1） ；（2）单调减区间是 ，单调增区间是 ，极小值为 ，无极大值；（3） .
【分析】
（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程；
（2）分 和 讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值；
（3）问题转化为 对于 恒成立，再分离变量研究函数的最值即可.
【详解】
（1） ，
，则
所以 在点 处的切线方程为
且各答题人答题正确与否之间互不影响，
事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，
，
，
．
故答案为：
14．
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合 可知原式 ，
且
，
当且仅当 时等号成立.
即 最小值为 .
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
6．已知函数 在区间 内单调递增，且 ，若 ， ， ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的左顶点为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 平行，则实数 的值是
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，给出下列四个命题：
（1）当 时，有： ；
当 时，有： ；
当 时，有： ；
综上可知 ， ， ；
（2）由已知得：
时，
化简得：
上式可化为：
故数列 是以 为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知 ∴
当n为偶数时，
令 ，
①
②
则①-②得
所以 .
当n为奇数时，
所以
综上，
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
4．B
【分析】
先求出成绩在[120，130）内的频率，由此能求出从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数.
【详解】
从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析,则从成绩在[120,130)内的学生中抽取的人数为：
800
故选：B
5．B
【详解】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可.
【详解】
（1）取 中点G，连接 .
，
，∴四边形 为平行四边形
∵平面 平面
四边形 为矩形 ，平面 平面
平面
如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
不妨设 ， ，则 ，
3．函数 的图象大致是( )
A． B． C． D．
4．某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照 ， ， ， ， ， ， 分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在 内的学生人数为（）
A．200B．240C．360D．280
5．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
15．
【详解】
因为 ， ，
， ，
当且仅当 即 时 的最小值为 .
考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
16．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）由正弦定理的边角转化得 ，结合三角形内角性质即可求角B.
（2）由两角差、倍角公式展开 ，根据已知条件及（1）的结论即可求值.
（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.
（Ⅱ）由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得
，
由已知 ，设 ，
则 ，
从而直线 与 的斜率之和
.
考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
19．（1） ， ， ；（2）证明见解析；
（3） .
【分析】
（1）分别令 计算即可；
（2） （ ）转化为递推数列即可证明；
（3）分 的奇偶性计算即可.
【详解】
对数函数 在 上为增函数，则 ，
指数函数 为增函数，则 ，即 ，
，因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．A
【分析】
先根据抛物线定义求 ，再代人求 ，最后根据条件列方程，解得结果.
又
又 平面
平面
（2） ，
设平面 的一个法向量为 ，
.
不妨设 ，则 ， ，
.
设向量 与 的夹角为 ，
则
∴平面 与平面 所成二面角的余弦值为
【点睛】
方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18．(1) (2)2
【详解】
（Ⅰ）由题意知 ，综合 ，解得 ，所以，椭圆的方程为 .
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的最大值为1；
③函数 在 上单调递增；
④将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 ．
其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
9．已知函数 ， ，若关于x的方程 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．i是虚数单位，则复数 ___________.
19．已知数列 的前n项和 满足： ， .
（1）求数列 的前3项 ， ， ；
（2）求证：数列 是等比数列：
（3）求数列 的前n项和 .
20．已知函数 ， .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（3）若对于任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】
（1）由正弦定理有： ，而 为 的内角，
∴ ，即 ，由 ，可得 ，
（2） ，
∵ ， ，可得 ，而 ，
∴ ，
（3）由余弦定理知： ，又 ， ， ，
∴ ，可得 .
17．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）取 中点G，连接 ，先证明 平面 ，然后以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，证明 垂直平面 的一个法向量即可；
【分析】
先求出 ，再求交集即可.
【详解】
据题意 ，所以
故选：C
2．B
【详解】
试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件
考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件
3．C
【详解】
函数y＝ ＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝ ，f(x)＝－sinx的图象，由图象可知函数y＝ ＋sinx只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.
9．A
【分析】
设 ，则 是 的图象上下平移得到，作出函数 与 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
设 ，
作出函数 和 的图象如图
当 时， （2） ， （2） ，
要使方程 恰有三个不相等的实数解，
则等价为 与 的图象有三个不同的交点，
则满足 ，
即 得 ，
即 ，
即实数 的取值范围是
即
（2）因为 ，
所以 ，
①当 时，因为 ，所以 ，
函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；当 ， ，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
在区间 上的极小值为 ，无极大值.
综上，
当 时，函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，极小值为 ，无极大值.
（3）因为对于任意 ，都有 成立，所以 ，
即问题转化为 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ，进而 ，
所以 在区间 上单调递增，
函数 ，
要使 对于 恒成立，只要 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题.
【详解】
因为抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，选A.
【点睛】
凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．即若 为抛物线 上一点，则由定义易得 .
8．B
【分析】
利用三角恒等变换公式将 整理为 ，根据 的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.
【详解】
试题分析：由于 为等边三角形，故弦长 ，根据直线与圆相交，所得弦长公式为 ，可建立方程， ， ，即 ，解得 .
考点：直线与圆的位置关系，解三角形．
【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式 ，考查等边三角形几何性质.由于 为等边三角形，故弦长 ，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式 .在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.
13．
【分析】
事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，利用 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式求出 ，利用相互独立事件概率乘法公式求出 ，由此相互独立事件概率乘法公式能求出 ．
【详解】
每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分，
队中每人答对的概率均为 ， 队中3人答对的概率分别为 ， ， ，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查分段函数的应用，需要作出分段函数的图像，再利用数形结合的思想．
10．
【分析】
对复数进行分母实数化即可化简.
【详解】
11．
【分析】
利用二项式定理求解即可.
【详解】
的展开式的通项为
令 ，解得
即 项的系数为
故答案为
【点睛】
本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.
12．
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
6．B
【分析】
由偶函数的性质可得出函数 在区间 上为减函数，由对数的性质可得出 由偶函数的性质得出 ，比较出 、 、 的大小关系，再利用函数 在区间 上的单调性可得出 的大小关系.
【详解】
，则函数 为偶函数，
∵函数 在区间 内单调递增，在该函数在区间 上为减函数，
，由换底公式得Fra Baidu bibliotek，由函数的性质可得 ，
【详解】
最小正周期 ，可知①错误；
，即 的最大值为 ，可知②正确；
当 时， ，此时 不单调，可知③错误；
向左平移 个单位，即 ，可知④正确.
故正确命题个数为 个
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为 的形式.
11． 的展开式中， 项的系数为______.
12．已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ________．
13．2021年是中国共产党成立100周年.现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为 ，B队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则 ___________.
17．如图所示，直角梯形 中， ， ， ，四边形EDCF为矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18．如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），
问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
14．已知 ， ，且 ，则 最小值为__________．
15．在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为_____________________.
三、解答题
16．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，求边a的值.