结构力学——力法

超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P


0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33


X X X
1 2 3


§5.1.2 超静定次数的确定
1、定义
超静定次数：超静定结构中多余约束的个数。 多余约束力：多余约束中产生的约束力。
2、超静定次数的确定：采用解除多余约束的方
法。 从原超静定结构中去掉多余约束，代之以多余
约束力，直到原结构变成为几何不变、无多余约束 的静定结构，被解除的多余约束的个数即为超静定 次数。
2）静力特征: 仅用静力平衡条件无法确定反力或 内力。
3）求解特征：同时满足静力平衡条件和位移协调 条件的超静定结构的解是唯一的、确定的。
★ 以上三个特征就是超静定结构区别于静定结构 的基本特征。总的来说，有多余约束 、外力／内力 超静定是超静定结构的本质特征。
3. 超静定结构的类型
1）超静定梁 2）超静定刚架 3）超静定桁架 4）超静定拱 5）超静定组合结构 6）超静定排架
荷载和多余约束力的共同作用下，解除多余约束处
的位移应与原结构中相应的位移相等。
这样，基本系与原结构不仅受力状态相同，而且变
形状态也相同。于是，可用静定的基本系的计算代替原
超静定结构的计算。
——--- 为了唯一确定超静定结构的支座反力和内力，需同时 考虑静力平衡条件和位移协调条件。
二、力法的基本原理
一般来说悬臂式最简单，其次是简支式，三铰式与 组合式都较复杂。
在解除约束处的多余约束力通常是成对出现的广义 力。对于支座约束，如采用“切断”的做法解除约束， 约束力也是成对出现的，当支座无移动时，为了简化， 常不画出作用于基础上的那个多余约束力。
X1
X1
二、力法的典型方程
• 用力法解一般超静定结构的关键在于根据位移条 件建立力法的典型方程，从而求解多余约束力。
FP1 和 FP2 共同作用下的基本系必须保持同样的位移条件，
即B点沿X1方向上的位移 1 、沿X2方向上的位移 2和X3方 向上的角位移 3都应该等于零，即:
1 0,2 0,3 0
每一方向上的位移，都是 X1, X 2, X 3 和外荷载 FP1 和 FP2 共 同作用下产生的。令
解除约束的常用做法：
（1）撤去一个链杆支座或切断一根链杆，相当于解 除一个约束；
（2）撤去一个固定支座或切断一根受弯杆，相当 于解除三个约束；
（3）撤去一个固定铰支座或切断一个单铰，相当于 解除二个约束；
（4）将固定支座改成固定铰支座或将受弯杆切断后 插入一铰，相当于解除一个约束。
注意事项:
iP 自由项。 系数和自由项求得后，即可解算典型方程以求得
各多余约束力。然后再按照分析静定结构的方法利用 叠加原理求出原结构的内力。例如弯矩为：
M M1X1 M2X2 M3X3 M P
更一般地，对于 n 次超静定结构来说，共有n 个
多余约束力，而每个多余约束力对应着一个已知的位移 条件，故可按 n 个位移条件建立 n 个方程。当已知多
1P , 2P , 3P 分别表示当外荷载F（P1 F和P2 ）单独作
用时，基本系上B点沿X1, X 2, X3 方向上的位移；
根据叠加原理，位移条件可写成：
212111
12 22
13 23

1P 2P
11X1 12 X 2 13 X3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X3 2P 0
共同作用的基本系是一样的。因此，求原超静定结构中D点的竖向的位
移，就等于求在
X1

3 80
FPl,X 2

17 40
FP
和
FP
共同作用下的基本系中D
点的竖向位移。而对基本系来说，可将 X1,X 2 与 FP 一同视为作用在
基本系上的外力。因此，要求基本系中D的竖向位移，只需在基本系
中，在D处施加一竖向单位虚力,并作出M k 图，而基本系在这三个外力 作用下的 M P图即为原超静定结构的弯矩图。
★ 以多余约束力作为基本未知量， 以解除多余约束后剩下的静定结构作为基本系， 根据解除约束处的位移条件建立力法的典型方程， 求出多余约束力，然后利用叠加原理计算内力，并 作内力图。
★ 力法是计算超静定结构的基本方法之一，可用来 分析各种类型的超静定结构。
§5.3 力法的基本未知量、基 本系和典型方程


17 40
FP
3 80 FPl
1 1l 3
11l 3
Dy

EI1
(
6

2

80
FPl
l)

EI1
( 3
2

40
FPl
l)

1 EI2
1 ( 3

l 2

3 40
FPl

l )
2

1 EI2
(
1 6

l 217 80FPll )2
31FPl3 () 3840EI1
11,21,31 分别表示 X1 1 单独作用时，基本系上B点沿 X1, X 2 , X3 方向上的位移；
12 ,
X1,
22 ,
X2, X
32 3
分别表示 X 2 1 单独作用时，基本系上B点沿 方向上的位移；
13,23,33 分别表示 X 3 1 单独作用时，基本系上B点沿 X1, X 2 , X 3 方向上的位移；
有不同的取值。因而，B点会发生大小和方向都各不相同
的位移。
而在原结构中，B点的竖向位移恒为零。因此，只有
当X1的数值恰与原结构右侧链杆支座上实际发生的支座反 力相等时，才能保证基本系在原有荷载和多余约束力X1的 作用下，B点的竖向位移是恒为零的。
q
q
A
BA
B
l
原结构
基本系 X1
—— 确定多余约束力X1的位移条件：基本系在原有
余约束力作用处的位移为零时，则力法典型方程为：
1 11X1 12 X 2 1n X n 1P 0 2 21X1 22 X 2 2n X n 2P 0

n n1X1 n2 X 2 nn X n nP 0
1、对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多 余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余 约束的总个数应相同。
2.去掉多余约束后的体系必须是几何不变的。因此, 某些必要约束是不能去掉的。
此链杆不能去掉
可变体系
此链杆不能去掉
瞬变体系
§5.2 力法的基本原理
一、力法的基本思路
超静定结构具有多余约束，若将多余约束去 掉，就变成静定结构。
• 位移条件：超静定结构在解除多余约束后，要保 证基本系在原有荷载和多余约束力共同作用下的内 力、位移与原超静定结构一致，就必须使得解除多 余约束处的位移与原结构中相应的位移相等。
图(a)所示刚架为三次超静定结构。
在原结构中，由于B端为固定端，无水平线位移、竖向线位 移和角位移。因此在三个多余约束力X1、X2、X3和外荷载
—— 基本系与原结构所满足的平衡方程完全相同，作用
在基本系上的原有荷载q是已知的，而多余约束力X1是未 知的，因此，如果能用某种方法求出多余约束力X1，那么 就可以将原超静定结构的计算问题转化到静定的基本系上
进行求解。
q
q
A l
原结构
BA
B
基本系
X1
—— 单从平衡条件考虑， X1可取任意值，都可以维持基 本系的平衡。但这时结构中相应的反力、内力和位移就会
满足平衡条件还不够，因为力法计算是在超静定结 构解除多余约束后得到的静定结构基本系上进行的，在 解除约束处还存在是否满足原有的位移条件的问题，因 而还必须进行位移条件的校核。
2. 位移条件校核
例如，欲求原超静定结构中，CB梁中点的竖向位移。原超静定结
3
17
构的内力与位移与受X1 80 FPl,X2 40 FP 的多余约束力和外荷载FP
力法求解超静定结构的一般步骤
（1）确定超静定次数，解除多余约束，选择基本系； （2）根据位移条件建立力法典型方程：基本系在原有 荷载和多余约束力的共同作用下，解除多余约束处的位 移应与原结构中相应的位移相等。 （3）在基本系上作单位内力图及荷载内力图，按位移 公式计算系数和自由项； （4）求解典型方程，得多余约束力； （5）根据叠加原理计算内力，作内力图，并校核（包 括平衡条件校核和位移条件校核。