概率论与数理统计习题二及答案
概率论与数理统计(王明慈) 习题二
∫
1
0
1 ⎧2 x, 0 ≤ x < 1; f ( x )dx = 1, 即 ∫ 2 Axdx = 1 ⇒ A = 1. 密度函数为： f ( x ) = ⎨ 0 其他。 ⎩0,
（3） P (0.1 < X < 0.7) =
14 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的， 求 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。
⎧1 ⎪ , 0 ≤ x ≤ 5, f ( x) = ⎨ 5 乘客等候时间不超过 3 分钟等价于他到达车站的时刻在第 2 分钟 ⎪ ⎩0, 其他. 1 dx = 0.6. 5 15 某种电子元件的使用寿命 X （单位： h ）的概率密度为
之后，即所求概率为 P ( X ≥ 2) =www.= (∫
+∞
P( x ≥ 2) = 1 − P( x < 2) = 1 − P( x = 0) − P ( x = 1)
ww
R=
9.电话站为 300 个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01，求在 一小时内恰有 4 个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求 相应误差。
kh da
课 后
∫
5 2
解：设乘客到达的时刻为 X ，则 X ∼ U [0,5], 则 X 的概率密度函数为：
答 案
∫
0.1
f ( x)dx = ∫ 2 xdx =0.48.
0.1
w.
0.7
网
0.7
co m
1 1 (3) P( A3 ) = P( X 1 ≤ 150h)3 = ( )3 = . 3 27
解：当 x ≤ 0 时， F ( x ) = 当 0 < x < 2 时， F ( x ) =
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计 习题参考答案
概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
《概率论与数理统计》课后习题答案2
1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。
概率论与数理统计习题解答 (2)
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
1/ 2
P{ X < 1 / 2} = P{X > 3 / 2} =
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =1/ 4 或 P{X < 1/ 2} = F (1/ 2) = 1/ 4
0
1/ 2
3/ 2
∫
∞
f ( x)dx =
3/ 2
∫ 0dx = 0
或
P{X > 3 / 2} = 1 − P{X ≤ 3 / 2} = 1 − F (3 / 2) = 1 − 1 = 0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
求
(1)常数 A
(2)概率密度函数
(3) P{X < 1 / 2} ； P{X > 3 / 2} ；
P{0 ≤ X ≤ 2} 。
解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的
⎧0 ⎪ ∴ 1 = F（ 1 ） = lim F ( x) = lim Ax = A f ( x) = F ' ( X ) = ⎨ 2 x x⎯ ⎯→ 1 x⎯ ⎯→ 1 ⎪0 ⎩
+∞
所以一年中该地区受台风袭击次数为 3~5 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床，每台发生故障的概率为 0.08, 而 10 台机床工作独立，每台 故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而 不能及时排除的概率不大于 5%。 解：随机变量 X 示发生故障的机床的台数则 设配备 n 个维修工人 (0 ≤ n < 10) 则“有故障而不能及时排除”事件为
−1 r k −r （2） P{X = k } = Ckr − , k = r , r + 1,...... 1 p (1 − p )
《概率论与数理统计》(韩旭里 谢永钦版)习题二及答案
习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P0.1 0.3 0.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； （3）133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）+P （X =1）=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=−=−=≤≤==+<≤=<<=−−==−−=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为X 0 1 2 3 P0.008 0.096 0.384 0.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!kak λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑i故 ea λ−=（2） 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b （3,0.7）（1） ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.32076=（2） ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b （200,0.02），设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k k k N −=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==×=41e 4()0.01!kk N P X N k −∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=−=−=0.10.11e0.1e −−=−−×8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p −=−故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X −=≥==∑（2） 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y −=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X −== （2） 52(1)1(0)1e P X P X −≥=−==−11.设P {X =k }=kkkp p −−22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p −−44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===− 故得 24(1),9p −=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=−==−−=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b （2000,0.001）.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==×=得 25e 2(5)0.00185!P X −=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k −==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+ 321131313()()444444k −=++++i 213141451()4==−14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b （2500,0.002），则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=−≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k −=>≈−≈∑（2） P （保险公司获利不少于10000） (30000200010000)(10)P X P X =−≥=≤510e 50.986305!kk k −=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =−≥=≤55e 50.615961!kk k −=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X 的密度函数为f （x ）=A e −|x |, −∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; （3） F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞−−−∞===∫∫故 12A =. （2） 11011(01)e d (1e )22x p X x −−<<==−∫（3） 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x −∞==∫当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x −−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x−=−故 1e ,02()11e 02xx x F x x −⎧<⎪⎪=⎨⎪−≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==∫ 33128[(150)]()327p P X =>==（2） 1223124C ()339p ==（3） 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t −∞=∫100100()d ()d x f t t f t t −∞=+∫∫2100100100d 1xt t x==−∫ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧−≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a−∞====∫∫∫当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==∫故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x −∞−>==∫2~(5,e )Y b −,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y −−−−==−=≥=−==−−=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ−−⎛⎞<=<=−⎜⎟⎝⎠1(1.25)0.1056Φ=−= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2<X ≤5}，P {−4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P −−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−+=433103(410)222X P X P −−−−⎛⎞−<≤=<≤⎜⎟⎝⎠770.999622ΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<−323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ−−−−−⎛⎞⎛⎞=>+<⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+−=333(3)(1(0)0.522X P X P Φ−>=>=−=- （2） c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛−⎞−>=>⎜⎟⎝⎠1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=−+−=−=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ−−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠ 404040210.8ΦΦΦσσσ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−≥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ−⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→−=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=−⎩ （2） 2(2)(2)1eP X F λ−≤==−33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ−−>=−=−−=（3） e ,0()()0,0x x f x F x x λλ−⎧≥′==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t −∞−∞==+∫∫∫20d 2xx t t ==∫当1≤x<2时()()d xF x f t t −∞=∫1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x −∞==+=+−=+−−=−+−∫∫∫∫∫当x ≥2时()()d 1xF x f t t −∞==∫故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪−+−≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f （x ）=a e − |x |,λ>0;（2） f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）.【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞−−−∞===∫∫故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ−⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx xF x f x x x λλλ−∞−∞===∫∫当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x λ−=−故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ−⎧−>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （2） 由1221111()d d d 22b f x x bx x x x ∞−∞==+=+∫∫∫得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x −∞−∞==+∫∫∫2d 2xx x x ==∫当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x −∞−∞==++∫∫∫∫312x=− 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪−≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ−= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ−=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α−Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X −2 −1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======−+==+====−=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=（12）k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨−⎩当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()(222111()/(1)443k =++++=−=2(1)1(1)3P Y P Y =−=−==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x −∞=∫故2/2ln (),0y Y f y y −=> （2）2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2P X X ⎛=≤≤≤⎜⎝()d X f x x =故()Y XX f y f f ⎤⎛=+⎥⎜⎜⎥⎝⎦(1)/4,1y y −−=>（3） (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=−≤≤()d yX yf x x −=∫故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+−2/2,0y y −=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =−2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==∫当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=−≤/2(ln )(e )2z z P X P X −=≤−=≥/21/2ed 1e z z x −−==−∫即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0 32.设随机变量X 的密度函数为f （x ）=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+−≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x −=+∫∫222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上（1）,（2）,（3）项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论与数理统计习题2及答案
当时，F 故X 的分布函数(X)=P (XWx) =10,X < 022—,0<x<I 35 34 - A —,1 < x < 2 35x>2习题3•设在15只同类型零件中有2只为次品，在英中取3次，毎次任取1只，作不放回抽样. 以X 表示取出的次品个数，求： (1) (2) (3) X 的分布律： X 的分布函数并作图; P{X<lhP{I<X <-),P)I<%<-),P{l<x<2}・ 2 2 2 【解】 x=at2・CP(X=O) = »±・C ；5 35 心)半』C ； 35C" 1P(X=2) =卑=丄・C ：5 35故X 的分布律为(2)当 xvO 时，F (X)=P (X<x) =0当OWxvl 时, 当lWxv2时,22 F (X)=P(XWx) =P(X=O)= —3534F (X)=P (XWx) =P(X=O)+P{X=1)= —1 I 22P (X<l) = F(i) = —,2 2 353 3 34 34P (KX <-) = F(-)-F(l) = --- — = 02 2 35 353 3 12P (1<X <-) = P(X = 1) + P(1<X<-)亠2 2 3534 1 P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X =2) = 1-衣-务=0.4•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布 律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数•则X<K 1. 2, 3.p(x = 0) = (0.2)3 =0・008 p(x =1) = C ；O.8(O.2)2 = 0.096 P(X = 2) = C^(0.8)'0.2 = 0.384 p(x= 3) = (0.8)3 =0.512故X 的分布律为 XP分布函数0, 0.00&F(X ) = W ・104.0.48&P(X > 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8965. （1）设随机变量X 的分布律为P(X=.}=Z.k\尖中后0, r 2,…，人>0为常数，试确定常数G （2）设随机变虽X 的分布律为 p{X=k ）=a/N, k=l. 2,…，N,x<0 0<%<1 1<%<2 2<x<3x>3试确世常数G【解】（1）由分布律的性质知1=》P(X =k) = u》——=ad D k!{2)由分布律的性质知N N\ = ^P{X=k}=^- = aA-l £-1 N即 a =6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为“今^$投3次，求:(1)两人投中次数柑等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率•【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XF (3,) y~b(3.(1)p(x = r)= p(x=o,y=o)+p(x=ty = i)+p(x = 2,r=2)+p(X=3.y=3)=(0・4)'(0・3)' + C"0.6(0.4)-C"0.7(03)- +C；(O・6)2O・4C；(O・7)2O・3 + (O・6)3(O・7)3=0.32076⑵ p(x>y)= p(x = i,r=o)+p(x = 2,y=o)+p(x=3,r = o)+p(x = 2,y=i)+p(x=3,y = i)+p(x=xr = 2)=C；O・6(O・4)2(O・3)3 +C；(O・6)2O・4(O・3)3 +(O・6)3(O・3)3 +C；(O・6)2O・4C；O・7(O・3)2 +(O・6)3C；O・7(O・3)2 + (O・6)3C；(O・7)2O・37•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设齐飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑逍的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200八设机场需配备W条跑逍，则有P(X > TV) <0,01200为 C 爲(0.02)气0.98严"vO.Olt-N'+i利用泊松近似A = np = 200 X 0.02 = 4. » 宀4*P(X>N)= Z ——<0.01 jt-A+i k!査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.8.已知在五重伯努利试脸中成功的次数X 满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为P,则P(X=4) = Ct(-/- = —. '3 3 2439.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当人发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 所以进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率：进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. (1)设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X~6(5,) 5P(X >3) = XC ；(O ・3)Z(O ・7)I =0.16308(2)令y 表示7次独立试验中人发生的次数，则Y-b (7r)P{Y > 3) = 2^C ；(03/ (0・7)F = 0.35293X-310•某公安局在长度为f 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(坨)t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).<1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率..3【解】(1) P(X=0) = e"^5(2) P(X >1) = 1-P(X =0) = l-e"^11•设 P{X=k}=C*/(l-p)--\ 后012P{y=m}=CS"(l - 〃)m=0,1,23/4分别为随机变Sx, y 的概率分布，如果已知P{xMi}=#,试求p{Y^i},54【解】因为P(X>l) = j,故P(X<1) = £.P(X<1) = P(X=O) = (1 — “)2(1-卩)冷,P （r> I ） = l-P （r = 0） = 1-（1-/?/= — «.0.802478112•某教科书岀版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有 5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则XF （2000,・利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2p(x= 5” ^^ = 0.00185!3 I13•进行某种试验，成功的概率为一,失败的概率为丄•以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X =12…人…P(X = 2) + P(X=4)+…+ P(X=2幻 + … =1.2+(1/2+...+(丄严4 4 4 4 4 43 4 1 =—• =— 4-（$5414. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为，毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险 公司领取2000元赔偿金•求： （1） 保险公司亏本的概率；（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b （25g,则所求概率为故得从而P(2000X >30000) = P(X>15) = \-P(X < 14)由于I)很大，p很小• A=np=5.故用泊松近似，有M e时P(X > 15)^1-工^^总0・000069*•<)k!(2) P(保险公司获利不少于10000)=P(3OOOO-2OOOX > 10000) = P(X < 10)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000-2000X > 20000) = P(X <5)5 ■呻迄一“.6窗即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为/(x)=^e ni, 8*+8. 求：(1〉人值：(2) P{O<X<1}; (3)F(x)・【解】(1)由/(x)d.r = 1得=J = 2J0 Ae"*d.v = 2A/?(0 < X < 1)=丄[「dx =丄(1 一 e")2" 2当 x<0 时，F(x) = J — e*dv = — e"2 2当心0时，F(x) = J ■^e~'^Av = J ¥&+[£「血十产F(x) =17•在区间[0, o]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在[0, g] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X-U[0.o],密度函数为八1 2P(X>3) = J^-dv = -故所求概率为厂C 净出；(討=等19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布£(-).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P{g?l}・ 【解】依题意知X~E(-) •即英密度函数为^5-e 蔦 X > 0 0,x<0该顾客未等到服务而离开的概率为1 2P(X>10) = p-e"'dLv = e-'y~b(5・r),即其分布律为f(x) = 一，0<x<« a0, 其他故当xvO 时F (X)=0当 0 WxWo 时 F(x)=『f(t}dt = J ； yaM =J^idZ = - 当 x>a 时，F (X)=1 即分布函数0,x<0F(x)=Q<x<a x>a18•设随机变量X 在［2, 值大于3的概率. 【解】XP ⑵5),即5］上服从均匀分布•现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测2<%<5/W = b'0, 其他P （y = £） = C （mi-r ）Lk =0,12345P （r> I ） = l-P （y = 0） = l-（l-e--/=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从W （40, 102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从W （50, 4?）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些 （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】（1）若走第一条路，X-N （40. 102）,则若泄:第二条路，X-N （50, 42）,则p(X<60) = Px-40 60-40----- < ------- 10 10= 0(2) = 0.97727P(X<60) = P(X-5Q 60-50、---------- <I 4= 0(2.5) = 0.9938 卄故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 X"/（40, 102〉，贝I]P{X < 45) = pf X二° <45 j = 0(0.5) = 0.6915若 X~N (50, 42〉，则p(X <45) = P(X-5Q 45-501---------- <I 4= 0(-1.25)= 1-0(1.25) = 0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3, 22),CD 求 P{2<X<5}» P{ 4<X<10}> P{|X| >2}, P{X>3}; (2)确总 c 使 P{X>c}=P{X^c}.【解】（1）P （2<X<5） = P=0(1) — 0 —一 =0 ⑴-1 + 0 -I 2丿 (2 = 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328 12P(-4<X <10) = P(-4-3X-3 10-3、 -------- < ----------- < -----------I 2 22 J2 12丿=0.9996P(l Xl>2) = P(X>2) + P(X <-2)P(X>3) = P(^^^>—) = 1-0(0) = 0.52 2⑵C=322•由某机器生产的螺栓长度（cm ） X-N C ）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品 的概率•=1-0(2) + 0(-2) = 2[1- 0(2)] =0.045623•—工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160, 02）,若要求P{120VXW200} 允许。
概率论与数理统计 习题二
习题二1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}，求X的分布．解概率空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}点数和等于2 （1，1），点数和等于3 （1，2），（2，1），点数和等于4 （1，3），（2，2），（3，1）点数和等于5 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）点数和等于6 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）点数和等于7 （1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（6，1），（5，2）点数和等于8 （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）点数和等于9 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）点数和等于10 （4，6），（5，5），（6，4）点数和等于11 （5，6），（6，5）点数和等于12 （6，6）}答案是：2．设一个盒子中装有5个球，标号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用X表示取出的球的最大号码数，求随机变量X的分布律．解X的可能取值为3，4，5．从5个球中任取3个的取法有3510C=种．则事件{X=3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，3）”，1 {3}10P X==．事件{X=4}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）”，3{4}10P X==．事件{X=5}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）”，63{5}105P X===．故X的分布律为3．已知离散型随机变量X的可能取值为-2，0，21a，32a，54a，7 8a ，试求概率{||2|0}P X X≤≥．解41{}iiP X x ==∑=1a +32a+54a+78a3718a==解得 837a =故的分布律为{||2|0}P X X ≤≥{||2,0}{0}P X X P X ≤≥=≥=2229=4．设某电子产品正品率为0.75，次品率为0.25．现对该批电子产品进行测试，以随机变量X表示首次测得正品，，求随机变量X 的分布律． 提示，参考例2．6．答1{}0.750.25k P X k -==⨯，k =1，2，…5. 设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中有放回的取10次，每次任取一件．求：（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少有2件次品的概率． 解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的，每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验．（1）设所取的19件产品中所含有的次品数为X ，则~(10,0.05)X B ，其概率分布为1010{}(0.05)(0.95)kk k P X k C -==⨯，k =1，2， (10)（2）所求的概率为2210210{2}(0.05)(0.95)0.0746P X C -==⨯≈（3）所求的概率为 {2}1{2}P X P X ≥=-<001011910101(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)0.0861C C =-⨯-⨯≈6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数． 解 X 的可能取值为3，2，1．232323253545136(3)/,(2)/,(1)/,101010P X C C P X C C P X C C =========从而X 的分布函数为0,1,6,12,10()9,23,101, 3.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩7．设离散型随机变量X 的分布函数为0,10.4,11()0.8,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩试求：（1）X 的概率分布；（2）{2|1}P X X <≠．解的可能取值为-1，1，3．{2,1}{2|1}{1}P X X P X X P X <≠-<≠-=≠-{1}0.42{1}{3}0.40.23P X P X P X =====+++求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即1(5)(2)(2),2P Y P X P X ===-+==3(2)(1)(1),10P Y P X P X ===-+==1(1)(0)5P Y P X ====⋅所以应配制几台秤？解 设X i ＝{第i 个售货员使用秤}，则X i ～B (1，0.25)．令41i i S X ==∑，于是S ～B (4，0.25)．考虑到P (S ≤2)＝1－P (S ＞2)＝1－P (S ＝3)－P (S ＝4)33441(0.25)(0.75)(0.25)C =--＝1－0.0469－0.0039≈0.95故该商店通常情况下应配制2台秤． 10.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，求(X ，Y )的联合分布 解 由于6个点取得的概率相同，均为1，而6个1的和为1，因此其余概率为0．11试求：（1)13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤． 解：（1)13{,04}22P X Y <<<<{1,1}{1,2}{1,3}P X Y P X Y P X Y ===+==+==110044=++= （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==1150016416=+++= 12．设二维随机向量(X求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解 (1)由公式()(1,2,3),i i ijjp p X x p i ⋅====∑()(1,2),j j ijip pY y p j ⋅====∑(2)计算下面各条件概率：1121112111(,)(,)0.1530.303(|),(|),()0.8016()0.808p x y p x y p x y p x y p y p y ======31311(,)0.357(|)()0.8016p x y p x y p y ===⋅因此，X 关于Y(3)同样方法求出13.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1)111,6824=-= 考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，11124{}46P X x ===⋅所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为14.求二维随机向量的函数Z 的分布：（1）=+;(2)=．合并Z 值相同的概率可得 （1）Z =X +Y 的概率分布为101~111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，01~1122Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而且{0}1P XY ==．（1）求X 和Y 的联合分布；（2）问X 与Y 是否相互独立？为什么？ 解 （1）由{0}1P XY ==，即{00}1P X Y ===或，所以{11}{1,1}0P X Y P X Y =-=====，因此X 与Y 的联合分布和边缘分布有如下形式根据联合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出，于是，得到（2）因1{1,0}4P X Y=-==，而111{1}{0}424P X P Y=-==⨯≠所以X与Y不独立．。
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律. 解X0 1P1-p p2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为c c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =.所求概率为P {X <1| X≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P .3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=kk n knC p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故213q p =-=. 从而{P Y≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解 由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 X 的分布律是X3 4 5 P 110 31035 习题2-3X -1 01P0.15 0.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},P {-2≤X <1}.解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1;(4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩(2){11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---= 3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.习题2-41. 选择题(1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数.(A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C)22()2,0,()20,0.≥x x f x x μσπσ--=<⎧⎪⎨⎪⎩ (D)e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩本题应选(D).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1<μ2. (D) μ1 >μ2.答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u . (C) 1-2u α.(D)α-1u .答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解X 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k kP k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是34d 0.5ax x =⎰, 因此42a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 由()()F x f x '=得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝ 2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}. 解{P X≤12201112d 2240}x x x ===⎰; 1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰.6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得1222011201111d ()d []122x x A x x x Ax x A =+-=+-=-⎰⎰, 于是 2A =； (2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得（过程简略）220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=.8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解 若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{22}P X =--<<21d 5x =-215=-10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--, 于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-52. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解 若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,2μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z =2(5)16,4x x π---∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为X-1137P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X-5 -1 1 2 3P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3＋X 23 4 12 52P 0.05 0.57 0.13 0.254. 已知随机变量X 的概率密度为()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 )(y F Y={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x--∞⎰. 于是可得Y 的概率密度为121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解 因为对于0<y <4,(){Y F y P Y=≤2}{y P X =≤}{y P y =-X y ()()XX F y F y =--.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y f y ()22X X f y f y yy=-0 4.4y y=<< 即 ()04,40,.其它f y y y=<<⎩。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
1 ,2 x 6, f ( x) 4 ， 0, 其他．
记 A { X 3} ，则
P ( A) P ( X 3)
6
3
3 设 Y 为对 X 进行三次独立观测事件 { X 3} 出现的次数，则 Y ～ B (3, ) ， 4
1 3 dx ， 4 4
6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为 p ， 0 p 1 ，以 X 表示直至两 个面都出现时的试验次数，求 X 的分布律． 解： X 所有可能的取值为 2，3，…， 设 A { k 次试验中出现 k 1 次正面，1 次反面}，
B { k 次试验中出现 k 1 次反面，1 次正面}，
3．设离散型随机变量 X 的分布律为
X P 1 0 .2 1 0 .5 2 0 .3
1
1 求：(1) X 的分布函数；(2) P ( X ) ；(3) P (1 X 3) ． 2
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题二的答案.解析
P( X 18)
C 0.8 0.2 C 0.8 0.2 C 0.8
18 20 18 2 19 20 19 20 20
20
0.206
2.13设X服从泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),求P(X=2), 解 设X～P(λ)
x 0
0.8 lim 0.5e x 0.3
x 0
(2) P{ X 0} lim F ( x ) lim 0.5e 0.5
x
x 0
x 0
0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x1
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (3) P{0 X 1.5} F (1.5) F (0) 0.2
(4) P{ X 3} 1 P{ X 3} 1 F (3) 0
2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数
解
1 0 F1 ( x) 1
°
2 对x1 x2 , 都有F1 ( x1 ) F1 ( x2 )
°
00 3 F1 () lim F1 ( x ) xlim
° x
F1 () lim F1 ( x ) lim 1 1
x x
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
2
°
2 1 f1 ( x )dx 2 sin xdx cos x 0
f1 ( x)是概率密度函数
2.19 指出下列函数是否是概率密度函数?
概率论与数理统计第二章习题与答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计习题二答案
概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
习题是学习这门学科的重要方式之一，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将针对概率论与数理统计习题二给出详细的答案解析。
1. 设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.4。
求P(A并B)和P(A或B)。
解析：由于事件A和事件B是相互独立的，所以P(A并B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
而P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A并B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58。
2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求恰好有3个次品的概率。
解析：设事件A为恰好有3个次品，事件B为抽取的5个产品中有3个次品。
根据二项分布的概率公式，P(B) = C(5, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081。
因此，恰好有3个次品的概率为0.0081。
3. 一批产品的质量服从正态分布，已知平均值为μ，标准差为σ。
从中随机抽取一个样本，样本容量为n。
求样本均值的期望值和方差。
解析：样本均值的期望值为总体均值μ，样本均值的方差为总体方差除以样本容量n。
因此，样本均值的期望值为μ，方差为σ^2/n。
4. 设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X, Y) = 5，方差分别为Var(X) = 9，Var(Y) = 16。
求随机变量Z = 2X + 3Y的方差。
解析：根据随机变量的性质，Var(Z) = Var(2X + 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y) +12Cov(X, Y) = 4 * 9 + 9 * 16 + 12 * 5 = 36 + 144 + 60 = 240。
5. 设X服从参数为λ的指数分布，即X ~ Exp(λ)。
概率论与数理统计 第二章 习题2
1 y
,1
y
e
0,0 y 1或y
e
（2）当 y 0 时， fY ( y) 0
当 y 0 时 ，FY (y) P{Y y} P{2ln X y} P{X ey/2} 1 P{X e y / 2} 1 F X (e y / 2 )
fY
(
y)
f
X
(ey / 2
)(1/
2e y
36
2 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在 任一时刻每个设备被使用的概率为，问在同一 时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有1个设备被是使用的概率是多少？
解：以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则
2 fK (x)dx
1
fK (x)dx
5 1dx 25
1 0dx 3
5
6 设随机变量 X 在 （0，1）服从均匀分布.（1）求 Y e X 的概率密度;(2)求 Y 2ln X 的概率密度。
解：X 的概率密度为
1,0 x 1 f (x) 0,其它
分别记 X ,Y 的分布函数为 FX (x), FY ( y).
y)2
2
arcsin
y.
所以当 0 y 1
时，fY
( y)
d dy
FY
( y)
2 1 y2
因此，所求的概率为
fY ( y)
2 ,0 y 1, 1 y2
0, 其它
8 一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从参数 为 160, ( 0) 的正态分布。若要 P{120 X 200} 0.80
4x2 4Kx K 2 0 有实根的概率.
概率论及数理统计习题及答案第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
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PY 1 PY 0 PY 1 5 2 0 e
1 e
0
2 5
1 4e 2 1 e 2
5 2 2 1 e 1 e
4
4
12. 设随机变量 X 服从 N (0,1) ， 借助于标准正态分布的分布函数表计算： （1） P( X 2.2) ; （2） P( X 1.76) ;（3） P( X 0.78) ;（4） P( X 1.55) ;（5） P( X 2.5) 。 解：查正态分布表可得 （1） P X 2.2 2.2 0.9861；
59 4 （3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为 0； 6 6
p
i 1
5
i
20 1。 25
2. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中随机地取 3 个，以 X 表示取 出的 3 个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。 解：依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 X 3 表示随机取出的 3 个球的最大号 码为 3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 P X i 1,2, 表示第 i 次抽到的产品为正品，依题意， A1 , , An , 相互 独立，且 P Ai
10 , i 1,2, 而 13
P X k P A1 Ak 1 Ak P A1 P Ak 1
即 X 服从参数 p
所求 X 的分布律为 X 概率
1
2
3
4
10 33 72 6 13 169 2197 2197 4. 设随机变量 X ~ B(6, p) ， 已知 P( X 1) P( X 5) ， 求 p 与 P( X 2) 的值。
2
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X （单位： min） 是一随机变量， 它服从
1 5
x 1 5 e , x 0, 的指数分布，其密度函数为 f ( x) 5 某顾客在窗口等待服务，若超过 10 min，他 0 , 其它.
就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2） 设某顾客一个月要去银行五次， 求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率。
（2）分布函数 F x P X x f x dx
x
0dx
=
x
x0
x
0dx 0 2 xdx 0dx 0 2 xdx 1 0dx
3
0 1 x
0
0 x 1 x 1
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
x
c
e
x2 2 c dx
0 e
x2 2c d
x2 e 2c 2c
x2
1，
0
因此 f x 满足密度函数的二个条件，由此可得 f x 为某个随机变量的密度函数。
4
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
2 x, 0 x A, 7. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) 试求： （1） 常数 A （ ; 2） P(0 X 0.5) 。 0, 其他,
解： （1） f x 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为 f x 0 ；其二为
A f x dx 1 ，因此有 0 2 xdx 1 ，解得 A 1 ，其中 A 1 舍去，即取 A 1 。
，由于 n 较大， p 较小，因此也可以近似地认为 X 服从 分布，即 X ~ B1000,0.0001
np 1000 0.0001 0.1 的泊松分布，即 X ~ P0.1 ，所求概率为
P X 2 1 P X 0 P X 1 0.10 0.1 0.11 0.1 1 e e 。 0! 1! 1 0.904837 0.090484 0.004679
X 的分布律为 X 概率
3
1 10
1
4
3 10
5
6 10
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
X 的分布函数为
0
F x
x3 3 x 4
4 x5
1 10 4 10
x5 3. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时， 所面 对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次 数 X 的分布律： （1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中； （3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中。
1 1 ；事件 X 4表示随机取 5 10 3
出的 3 个球的最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任选，此时
3 4 1 1 2 2 3 6 P X 4 ；同理可得 P X 5 。 10 10 5 5 3 3
f x F x ，因此
f x
xe x , 0,
x0 其他
所求概率 P X 1 F 1 1 1 1e 1 1 2e 1 ；
P X 2 1 P X 2 1 F 2 1 1 1 2e 2 3e 2 。
X 的分布律为 X 概率
1
2
3
5 143
4
1 286
10 5 13 26 （3）X 可能取到的值为 1，2，3，4，
10 3 11 33 , P X 2 , 13 13 13 169 。 3 2 12 72 3 2 1 6 P X 3 , P X 4 13 13 13 2197 13 13 13 2197 P X 1
, x 0, 0 10. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) 求 X 的密度函数，并计算 x 1 (1 x)e , x 0,
P( X 1) 和 P( X 2) 。
解 ： 由 分 布 函 数 F x 与 密 度 函 数 f x 的 关 系 ， 可 得 在 f x 的 一 切 连 续 点 处 有
n 1 4 k k 0
k!
e 4 0.99 ，则 P X n
4 k 4 e 0.99 ， k 0 k!
n
查泊松分布表可求得 n 9 。 6. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.000 1.在某 天该段时间内有 1 000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率。 解：设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从 n 1000, p 0.0001的二项
1 5 的指数分布，且顾客等待时间超过 10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
解： （1）设随机变量 X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意 X 服从
P X 10 10
1 5 e dx e 2 ； 5
x
（2）设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 Y 服从 n 5, p e 2 的二项 分布，所求概率为
5
1 ； 2
6
6 1 1 此时， P X 2 2 2 2
2
6 2
65 1 15 。 2! 2 64
5. 某商店出售某种物品， 根据以往的经验， 每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布， 问在月初进货时，要进多少才能以 99％的概率充分满足顾客的需要？ 解：设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足 P X n 1 0.99, P X n 0.99, 即 P X n 1
（3） pi
i 1 (i 1, 2,3, 4,5) 。 25
解：要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 p i 是否满足下列二 个条件：其一条件为 pi 0, i 1,2,，其二条件为
p
i
i
1。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律； （2）中的数列不是随机变量 的分布律，因为 p3
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
概率论与数理统计 B 习题二答案 A
1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由。 （1） pi
i (i 0,1, 2,3, 4,5) ； 15
(5 i 2 ) （2） pi (i 0,1, 2,3) ； 6
6 k 6 k 解：由于 X ~ B6, p ，因此 P X 6 k p 1 p , k 0,1, ,6 。
由此可算得 P X 1 6 p1 p , P X 5 6 p 5 1 p ,
5
即 6 p1 p 6 p 5 1 p , 解得 p
x0
x0 x0 x0
=
1 x e 2 1 1 e x 2
2
x x e 2c , x 0, 9. 证明：函数 f ( x) c （ c 为正的常数）可作为一个密度函数。 0, x 0,
证明： 由于 f x 0 ， 且 f x dx
x x Ae dx 1 ， 由 于 e 为 偶 函 数 ， 所 以