2012年高考数学试卷及解析山东卷(理科)
2012年山东省高考数学试题(附答案和解释)(理科Word版)
2012年山东省高考数学试题（附答案和解释）（理科Word版）2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）•P（B）。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选A。
另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是。
2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA） B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：。
答案选C。
3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数”等价于；q：“函数g(x)=(2-a) 在R 上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学山东卷(理科)
数学山东卷(理科)一、选择题1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i2．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．155．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]6．执行下面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.348．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 0129．函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图像大致为( )10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝111．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．48412．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0二、填空题13．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．15．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．三、解答题17．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域． 18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．19．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .20．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .21．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2的最小值．22．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.答案 数学山东卷(理科)一、选择题1．解析：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.故选A.答案：A2．解析：因为∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 答案：C3．解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．答案：A4．解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人． 答案：C 5．解析：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图像可知当直线经过点E (2,0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6，当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，所以z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．答案：A6．解析：当a ＝4时，第一次P ＝0＋40＝1，Q ＝3，n ＝1，第二次P ＝1＋41＝5，Q ＝7，n ＝2，第三次P ＝5＋42＝21，Q ＝15，n ＝3，此时P ≤Q 不成立，输出n ＝3.答案：B7．解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.答案：D8．解析：由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.答案：B9．解析：函数为奇函数，所以其图像关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x >0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x2x －2－x>0，排除B.答案：D10．解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D11．解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．答案：C 12．解析：不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图像上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0.答案：B 二、填空题13．解析：由|kx －4|≤2可得2≤kx ≤6，所以1≤k 2x ≤3，所以k2＝1，故k ＝2.答案：214.解析：因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝12，又因为F 点在线段B 1C上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝13×S △DED 1×h＝13×12×1＝16. 答案：1615．解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案：4916．解析：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB＝1－cos 2，所以OP ―→＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2) 三、解答题17．解：(1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]，故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．18.解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ， 又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)法一：连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB ＝1， 则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.法二：取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD ， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ， 故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB ，又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 19．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得 P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＋(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23 ＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×(1－23)×(1－23)＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＝112. P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×(1－23)＋34×(1－23)×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝(1－34)×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.20．解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ， 则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45， 故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ， 则9m ＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.21．解：(1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p4上，因为抛物线C的准线方程为y ＝－p 2，所以3p 4＝34，即p ＝1，因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0， 所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q (x 02＋14x 0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116，因此(14－x 202)2＝916，又x 0>0， 所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .(3)当x 0＝2时，由(2)得Q (528，14)， ⊙Q 的半径为r ＝(528)2＋(14)2＝368， 所以⊙Q 的方程为(x －528)2＋(y －14)2＝2732. 由⎩⎨⎧ y ＝12x 2，y ＝kx ＋14，整理得2x 2－4kx －1＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由于Δ1＝16k 2＋8>0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12， 所以|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(4k 2＋2)．由⎩⎨⎧ (x －528)2＋(y －14)2＝2732，y ＝kx ＋14， 整理得(1＋k 2)x 2－524x －116＝0. 设D ，E 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，由于Δ2＝k 24＋278>0， x 3＋x 4＝524(1＋k 2)，x 3x 4＝－116(1＋k 2). 所以|DE |2＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝258(1＋k 2)＋14. 因此|AB |2＋|DE |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)＋258(1＋k 2)＋14. 令1＋k 2＝t ，由于12≤k ≤2，则54≤t ≤5， 所以|AB |2＋|DE |2＝t (4t －2)＋258t ＋14＝4t 2－2t ＋258t ＋14， 设g (t )＝4t 2－2t ＋258t ＋14，t ∈[54，5]， 因为g ′(t )＝8t －2－258t2， 所以当t ∈[54，5]，g ′(t )≥g ′(54)＝6，即函数g (t )在t ∈[54，5]是增函数，所以当t ＝54时，g (t )取到最小值132，因此当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2取到最小值132. 22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)证明：因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(1＋e －2)． 由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)， 所以h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2， 故1－x －x ln x ≤1＋e －2. 设φ(x )＝e x －(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)． 因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2.。
山东省数学(理)-2012年高考试题解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年理数高考试题答案及解析-山东
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年6月8日全国各地高考理科数学试题及参考答案山东卷
2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项:1.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式: 锥体的体积公式:V=13Sh,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A ＋B)=P(A)＋P(B)；如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B)。
第I 卷(共60分)一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2－i)=11＋7i(i 为虚数单位),则z 为 A 3＋5i B 3－5i C －3＋5i D －3－5i 解析:i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解:设),(R b a bi a z ∈+=,则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ,解得5,3==b a ,于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3,},B={2,4} ,则(CuA)B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析:}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年山东省高考数学试卷(理科)
2012年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z 为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5.00分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}3．（5.00分）（2012•山东）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5.00分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．155．（5.00分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．6．（5.00分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n 的值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5.00分）（2012•山东）若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（）A．B．C．D．8．（5.00分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．20129．（5.00分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5.00分）（2012•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=111．（5.00分）（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．48412．（5.00分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4.00分）（2012•山东）若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=．14．（4.00分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．15．（4.00分）（2012•山东）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．16．（4.00分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（12.00分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．18．（12.00分）（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．19．（12.00分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．20．（12.00分）（2012•山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．21．（13.00分）（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py （p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．22．（13.00分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．B；9．D；10．D；11．C；12．B；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2；14．；15．；16．（2﹣sin2，1﹣cos2）；三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．；18．；19．；20．；21．；22．；。
2012年山东高考数学试题(理数)
(12)设函数 f （x）=
，g（x ）=ax2+bx
若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅
有两个不同的公共点 A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时，x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时，x1+x2<0 , y1+y2<0 D. 当 a>0 时，x1+x2>0, y1+y2>0
，则 sin θ =
7 3 4 3 （B） （C） （D） 5 5 4 4 ⎡π π ⎤
解析：由 θ ∈ ⎢ ， ⎥ 可得 2θ ∈ [ , π ] ， 2 ⎣4 2⎦
π
1 cos 2θ = − 1 − sin 2 2θ = − ， 8 sin θ = 1 − cos 2θ 3 = ，答案应选 D。 2 4
可得 − 2 ≤ kx − 4 ≤ 2 ，即 2 ≤ kx ≤ 6 ，而 1 ≤ x ≤ 3 ，所以 k = 2 .
另解：由题意可知 x = 1, x = 3 是 kx − 4 = 2 的两根，则 ⎨
⎧ k−4 =2 ，解得 k = 2 . ⎩ 3k − 4 = 2
（14） 如图， 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1， E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点， 则三棱锥 D1-EDF 的 体积为____________。
11 + 7i (11 + 7i )(2 + i) 22 − 7 + (14 + 11)i = = = 3 + 5i .答案选 A。 2 −i 5 5
2012年高考数学山东省理科试题详细解答包括选择填空
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.若复数z 满足()2-=11+7z i i （i 为虚数单位），则z 为 （A ）3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i()()()()11+72+11+715+25====3+52-2-2+5i i i i z i i i i ，故选Ａ2.已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}{}=1,2,3,=2,4A B ，则()U C A B 为 （A ）{}1,2,4 (B) {}2,3,3 (C) {}0,2,4 (D) {}0,2,3,4{}(){}=0,4,=0,2,4U U C A C A B ，故选Ｃ3.设>0a 且1a ≠，则“函数 ()=x f x a 在R 上是减函数”是“函数()()3=2-g x a x 在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件()=x f x a 在R 上是减函数0<<1a ⇒1<2-<2a ⇒()()3=2-g x a x ⇒函数在R 上是增函数，而函数()()3=2-g x a x 在R 上是增函数只需<2a 即可，又>0a 且1a ≠，所以0<<21a a ≠且，故选Ａ4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 (B) 9 (C)10 (D)15抽取３２人，可将９６０人分成３２组，每组３０人，由于第一组抽取的是９号，所以第ｋ组抽取的人的号码为()=9+30-1=30-21k a k k ，令45130-217k k N ≤≤∈，解得236257,15.725.7,1625,*1510k k k k N ≤≤∴≤≤∴≤≤∈，所以共有１０人，故选Ｃ 5. 已知变量,x y 满足约束条件+222+44--1x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则目标函数=3-z x y 的取值范围是（A ）3-,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）3-,-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）[]-1,6 （D ）3-6,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦区域如所示，()()12,0,,3,0,12C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而目标函数对应直线为=3-y x z ，当直线过Ｃ时，max =6z ，当直线过点Ｄ时，3=-2min z ，故选Ａ 6.执行右面的程序框图，如果输入=4a ，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 当=0n 时，=1,=3,n=1P Q 当=1n 时，=5,=7,n=2P Q当=2n 时，=21,=15,n=3P Q ，此时>P Q ，输出=3n ，故选Ｂ7若,,sin 2=428ππθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则. sin =θ (A)35 (B) 45(C) (D) 341,,2,,cos2sin 2cos2=-4228πππθθπθθθ⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又21-cos 293sin==,,,sin =216424θππθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选D8.定义在R 上的函数()f x 满足()()+6=f x f x .当-3<-1x ≤时，()()2=-+2f x x ；当-1<3x ≤时，()=f x x .则()()()1+2++2012=f f f(A) 335 (B) 338 (C)1678 (D) 2012()()+6=f x f x ，周期为６，只需弄清楚()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f 即可，由已知()()()()()()()()()()1=1,2=2,3=-3=-1,4=-2=0,5=-1=-1,6=0=0f f f f f f f f f f ，所以６个一组得１，共３３５组，还余下两个分别等于()()1=1,2=2,f f 所以()()()1+2++2012=f f f 338，故选Ｂ 9.函数-cos 6=2-2x xxy 的图象大致为=cos6y x 为偶函数，-=2-2x x y 为奇函数，所以-cos 6=2-2x xxy 为奇函数，故可排除Ａ，又当>0x 时，-4-12-2=>02x xxx 恒成立，所以只需研究=cos6y x 的值，当0<<12x π时，=cos 6y x 的值为正，-cos 6=2-2x xxy 值也为正，故可排除Ｂ，而且已知=cos6y x 的值不可能在某一个自变量之后恒为正，故可排除Ｃ，故选Ｄ10. 已知椭圆()2222:+=1>>0x y C a b a b 双曲线22-=1x y 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22+=182x y （B ）22+=1126x y （C ）22+=1164x y （D ）22+=1205x y 双曲线22-=1x y 的渐近线的方程为=y x ±，设直线=y x 与椭圆在第一象限的交点坐标为()()000,>0x x x ，且由已知2004=16=2x x ∴，代入椭圆方程有2244+=1a b ，又=2c a ，解得 22=20,=5a b ，方程为22+=1205x y ，故选Ｄ11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中人取3张，要求3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484３种颜色为()33144=256C C ；２种颜色，有红色为121344=72C C C ，无红色为21213244=144C C C C ，所有方法数位４７２，故选Ｃ 12.设函数()()()21=,=+,,0f x g x ax bx a b R a x∈≠.若()=y f x 的图像与()=y g x 的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y 则下列判断正确的是 (A)当<0a 时，1212+<0,+>0x x y y (B) 当<0a 时，1212+>0,+<0x x y y (C) 当>0a 时，1212+<0,+<0x x y y (D) 当>0a 时，1212+>0,+>0x x y y 若()=y f x 的图像与()=y g x 的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，即方程()21=+0ax bx a x ≠有两个不同的实根，即32+-1=0ax bx x有两个不同的实根，即32+-1=0ax bx 有两个不等于0的不等实根，又0a ≠，即321+-=0b x x a a有两个不等于0的不等实根，由于是三次形式，说明必有一个二重根，不妨令1x 为二重根，所以有()()232121--=+-b x x x x x x a a ，即()()32223212112121+2+++2+=+-b x x x x x x x x x x x x a a对应系数相等得()()()1221122122+=1+2=021=-3b x x a x x x x x a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，又120,0x x ≠≠，由（2）得12=-2x x ，代入（3）得321=4a x ，而此时1221221+=-,+=2x x x y y x ，当>0a 时，2>0x 所以1212+<0,+>0x x y y 当<0a 时，2<0x 所以1212+>0,+<0x x y y ，故选B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.若不等式·-42kx ≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数=k .-42-2-4226kx kx kx ≤⇔≤≤⇔≤≤，易知0k ≠，若>0k 得，26=2x k k k≤≤∴，<0k 显然不成立，所以=2k14. 如图，正方体1111-ABCD A BC D 的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1-D EDF 的体积为 .11--111==1=326D EDF F EDD V V ⨯⨯，所以1615设>0a，若曲线y =,=0x a y 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ___________由已知33222022===33a xa a ⎰解得4=9a16.如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP的坐标为____________圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()2,1时，点P 转过的弧长为2，中心角为2弧度，如图所示，''=2,PO'F=2-2PO A π∠∴∠令(),P x y ，则=2-cos 2-=2-sin 22x π⎛⎫⎪⎝⎭， =1+sin 2-=1-cos 22y π⎛⎫⎪⎝⎭，所以OP 的坐标为()2-sin 2,1-cos2三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）已知向量()()=sin ,1,=cos ,cos 2>02A m x n x x A ⎫⎪⎭，函数()=f x m n 的最大值为6，（1）求A（2）将函数()=y f x 的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()=y g x 的图像，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. ()1=sin cos +cos 2sin 2+cos 2=sin 2+226A f x m n x x x A x A x A x π⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）函数()=f x m n的最大值为6，所以=6A（2）由已知()=6sin 4+3g x x π⎛⎫⎪⎝⎭，570,,4+,24336x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()[]-3,6g x ∈ 18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,=60,AB CD DAB ∠︒ ,FC ABCD ⊥平面 ,==AE BD CB CD CF ⊥（1）求证：BD AED ⊥平面 （2）求二面角--F BD C 的余弦值19.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.20.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，3455++=84,=73a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9n n 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m项的和m S21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线()2:=2>0C x py p 的焦点，M 是抛物线Ｃ上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线Ｃ的准线的距离为34。
2012年山东高考理科数学试题、答案、详细解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)
山东卷(理科数学)1.(2012山东,理1)若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位),则z 为( ). A .3+5i B .3-5i C .-3+5i D .-3-5iA 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z (2-i )=(a +b i )(2-i )=(2a +b )+(2b -a )i ,所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩ 所以z =3+5i ,故选A .2.(2012山东,理2)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ). A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4} D .{0,2,3,4}C 易知∁U A ={0,4},所以(∁U A )∪B ={0,2,4},故选C .3.(2012山东,理3)设a >0,且a ≠1,则“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A 由函数f (x )=a x在R 上是减函数可得0<a <1,由函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数可得a <2,因为0<a <1⇒a <2,a <20<a <1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A .4.(2012山东,理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为( ). A .7 B .9 C .10 D .15C 由题意可得,抽样间隔为30,区间[451,750]恰好为10个完整的组,所以做问卷B 的有10人,故选C .5.(2012山东,理5)设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z =3x -y 的取值范围是( ).A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .3,-12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[-1,6]D .36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A 作出可行区域如图所示.目标函数z =3x -y 可变为y =3x -z ,作l 0:3x -y =0,在可行域内平移l 0,可知在A 点处z 取最小值为-32,在B 点处z 取最大值为6,故选A.6.(2012山东,理6)执行右面的程序框图,如果输入a =4,那么输出的n 的值为( ). A .2 B .3 C .4 D .5B 由程序框图知,当n =0时,P =1,Q =3;当n =1时,P =5,Q =7;当n =2时,P =21,Q =15,此时n 增加1变为3,满足P >Q ,循环结束,输出n =3,故选B .7.(2012山东,理7)若θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,sin 28则si n θ=( ). A .35B .45C 4D .34D 由θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2θ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又sin 28故cos 2θ=-18.故si n 34.8.(2012山东,理8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( ). A .335 B .338 C .1 678 D .2 012B 由f (x +6)=f (x )得f (x )的周期为6,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=335[f (1)+f (2)+…+f (6)]+f (1)+f (2),而f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,f (1)+f (2)+f (3)+…+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=338,故选B . 9.(2012山东,理9)函数y =cos622xxx --的图象大致为( ).D 令f (x )=cos622xxx --,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6)22xxx --=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭时,cos 6x >0,2x -2-x >0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.10.(2012山东,理10)已知椭圆C :22x a+22y b=1(a >b >0)2.双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ).A .28x +22y =1B .212x +26y =1C .216x +24y=1 D .220x +25y=1D 双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y =±x ,与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C 的一个交点为(2,2),所以有24a+24b=1,又因为e =c a2a 2=b 2+c 2,联立解方程组得a 2=20,b 2=5,故选D .11.(2012山东,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ). A .232 B .252 C .472 D .484C 完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C =256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C =216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C . 12.(2012山东,理12)设函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0).若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ). A .当a <0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B .当a <0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0 C .当a >0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0 D .当a >0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B 解析:由题意知函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),等价于方程1x=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)有两个不同的根x 1,x 2,即方程ax 3+bx 2-1=0有两个不同实根x 1,x 2,因而可设ax 3+bx 2-1=a (x -x 1)2(x -x 2),即ax 3+bx 2-1=a (x 3-2x 1x 2+21x x -x 2x 2+2x 1x 2x -x 221x ), ∴b =a (-2x 1-x 2),21x +2x 1x 2=0,-ax 221x =-1,x 1+2x 2=0,ax 2>0, 当a >0时,x 2>0,∴x 1+x 2=-x 2<0,x 1<0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +>0.当a <0时,x 2<0,∴x 1+x 2=-x 2>0,x 1>0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +<0.13.(2012山东,理13)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k = . 2 不等式|kx -4|≤2可化为-2≤kx -4≤2,即2≤kx ≤6,而不等式的解集为{x |1≤x ≤3},所以k =2.14.(2012山东,理14)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为 .16三棱锥D 1-EDF 的体积即为三棱锥F -DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以1E F D D V -=13×12×1=16.15.(2012山东,理15)设a >0.若曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a = .49由题意可得曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积S =0a⎰x =3202|3ax =3223a =a 2,解得a =49.16.(2012山东,理16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P 点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P 点作x 轴的垂线,垂足为A ,圆心为C ,与x 轴相切于点B ,过C 作PA 的垂线,垂足为D ,则∠PCD =2-π2,|PD |=sin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos 2,|CD |=cos π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=si n 2,所以P 点坐标为(2-si n 2,1-cos 2),即OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山东,理17)已知向量m =(sin x ,1),n =3Acos ,cos22A x x ⎛⎫ ⎪⎭(A >0),函数f (x )=m ·n 的最大值为6.(1)求A ;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.解:(1)f (x )=m ·n =3A sin x cos x +2A cos 2x=A 31sin 2cos222x x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭=A sin π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭.因为A >0,由题意知A =6. (2)由(1)f (x )=6sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y =6sin ππ2126x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=6sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y =6sin π43x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.因此g (x )=6si n π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.因为x ∈5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以4x +ππ7π,336⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[-3,6].18.(2012山东,理18)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF . (1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F -BD -C 的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,所以∠ADC =∠BCD =120°. 又CB =CD ,所以∠CDB =30°. 因此∠ADB =90°,AD ⊥BD .又AE ⊥BD ,且AE ∩AD =A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED.(2)解法一:由(1)知AD ⊥BD ,所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ,因此CA ,CB ,CF 两两垂直,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB =1,则C (0,0,0),B (0,1,0),D 1,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F (0,0,1), 因此BD=3,022⎫⎪⎪⎝⎭,BF=(0,-1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ·BD =0,m ·BF=0, 所以x, 取z =1,则m1,1).由于CF=(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量,则cos <m ,CF>=·C F |||C F |m m=5所以二面角F -BD -C5解法二:取BD 的中点G ,连接CG ,FG ,由于CB =CD ,因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG =C ,FC ,CG ⊂平面FCG , 所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F -BD -C 的平面角. 在等腰三角形BCD 中,由于∠BCD =120°,因此CG =12CB .又CB =所以GF, 故cos ∠FGC 5因此二面角F -BD -C 519.(2012山东,理19)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A ,“该射手射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ,由题意知P (B )=34,P (C )=P (D )=23,由于A =B C D +BCD +B C D , 根据事件的独立性和互斥性得 P (A )=P (B C D +BCD +B C D ) =P (B C D )+P (BCD )+P (B C D )=P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )=34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=736.(2)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5, 根据事件的独立性和互斥性得 P (X =0)=P (B C D ) =[1-P (B )][1-P (C )][1-P (D )] =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=136, P (X =1)=P (B C D )=P (B )P (C )P (D ) =34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=112,P (X =2)=P (BCD +B C D )=P (BCD )+P (B C D ) =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=19,P (X =3)=P (BC D +B C D )=P (BC D )+P (B C D ) =34×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=13,P (X =4)=P (B CD ) =314⎛⎫-⎪⎝⎭×23×23=19,P (X =5)=P (BCD )=34×23×23=13.所以EX =0×136+1×112+2×19+3×13+4×19+5×13=4112.20.(2012山东,理20)在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中落入区间(9m ,92m )内的项的个数记为b m ,求数列{b m }的前m 项和S m . 解:(1)因为{a n }是一个等差数列,所以a 3+a 4+a 5=3a 4=84,a 4=28. 设数列{a n }的公差为d , 则5d =a 9-a 4=73-28=45, 故d =9.由a 4=a 1+3d 得28=a 1+3×9,即a 1=1.所以a n =a 1+(n -1)d =1+9(n -1)=9n -8(n ∈N *). (2)对m ∈N *,若9m <a n <92m , 则9m +8<9n <92m +8. 因此9m -1+1≤n ≤92m -1. 故得b m =92m -1-9m -1.于是S m =b 1+b 2+b 3+…+b m=(9+93+…+92m -1)-(1+9+…+9m -1)=9(181)181m ⨯---1919m--=219109180m m+-⨯+.21.(2012山东,理21)在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M ,F ,O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M 直线l :y =kx +14与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,l 与圆Q 有两个不同的交点D ,E ,求当12≤k ≤2时,|AB |2+|DE |2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y =4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y =-2p ,所以34p =34,即p =1,因此抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x 0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y '0|x x ==22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'0|x x==x 0. 所以直线MQ 的方程为y -202x =x 0(x -x 0),令y =14得x Q =02x +014x ,所以Q 0011,244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又|QM |=|OQ |,故200142x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=200142x x ⎛⎫+⎪⎝⎭+116, 因此220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=916,又x 0>0,所以x 0此时M1).故存在点M1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M . (3)当x 0=,由(2)得Q 184⎫⎪⎪⎝⎭.☉Q 的半径为r8所以☉Q的方程为28x ⎛- ⎝⎭+214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2732. 由21,21,4y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x 2-4kx -1=0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由于Δ1=16k 2+8>0,x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-12,所以|AB |2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2).由22127,84321,4x y y kx ⎧⎛⎛⎫⎪-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩整理得(1+k 2)x 24-116=0.设D ,E 两点的坐标分别为(4). 由于Δ2=24k+278>0,x 3+x 44(1)k +x 3x 4=-2116(1)k +,所以|DE |2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2-4x 3x 4]=2258(1)k ++14.因此|AB |2+|DE |2=(1+k 2)(4k 2+2)+2258(1)k ++14.令1+k 2=t ,由于12≤k ≤2,则54≤t ≤5.所以|AB |2+|DE |2=t (4t -2)+258t+14=4t 2-2t +258t+14,设g (t )=4t 2-2t +258t+14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为g '(t )=8t -2-2258t,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,g '(t )≥g '54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g (t )在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数,所以当t =54时g (t )取到最小值132,因此当k =12时,|AB |2+|DE |2取到最小值132.22.(2012山东,理22)已知函数f (x )=ln exx k +(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=(x 2+x )f '(x ),其中f '(x )为f (x )的导函数,证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2. (1)解:由f (x )=ln exx k +,得f '(x )=1ln ex kx x xx --,x ∈(0,+∞),由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f '(1)=0,因此k =1.(2)解:由(1)得f '(x )=1exx (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞),令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f '(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为g (x )=(x 2+x )f '(x ),所以g (x )=1exx +(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2等价于1-x -x ln x <e 1xx +(1+e -2).由(2)h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),所以h '(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -2),x ∈(0,+∞),因此当x ∈(0,e -2)时,h '(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(e -2,+∞)时,h '(x )<0,h (x )单调递减. 所以h (x )的最大值为h (e -2)=1+e -2, 故1-x -x ln x ≤1+e -2. 设φ(x )=e x -(x +1). 因为φ'(x )=e x -1=e x -e 0,所以x ∈(0,+∞)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增, φ(x )>φ(0)=0,故x ∈(0,+∞)时,φ(x )=e x -(x +1)>0,即e 1xx +>1.所以1-x -x ln x ≤1+e -2<e 1xx +(1+e -2).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2.。
2012年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i --2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为 （ ）A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}3. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 15 5. 已知变量x ，y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A. 3[,6]2- B. 3[,1]2-- C. [1,6]-D. 3[6,]2-6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若ππ[,]42θ∈，sin 2θ=sin θ= （ ）A.35B. 45C.D.348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x --≤＜时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤＜时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（ ）A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012 9. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）ABD10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （ ）A. 22182x y +=B. 221126x y +=C. 221164x y +=D.221205x y += 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）A. 232B. 252C. 472D. 48412. 设函数1()f x x=，2()(,,0)g x ax bx a b a =+∈≠R ，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是（ ）A. 当0a <时，120x x +<，120y y +>B. 当0a <时，120x x +>，120y y +<C. 当0a >时，120x x +<，120yy +<D. 当0a >时，120x x +>，120y y +>姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共39页）数学试卷 第5页（共39页）数学试卷 第6页（共39页）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =_________.14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为_________.15. 设0a >.若曲线y 与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a =_________.16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)x =m，cos ,cos2)(0)3Ax x A =>n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5π[0,]24上的值域.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值.19.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .20.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M，直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当122k ≤≤时，22|AB||DE|+的最小值.22.（本小题满分13分） 已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.{0,2,4}A B=A B．又可知，0,a>并不单调递减，故而“函数3 / 13【解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，5 / 1312412C 264=数学试卷 第16页（共39页）不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，(2OP=-∠=PCD2, OP=-，即(27 / 133cos==m n A的图像向左平移60，CBCD CB DAB-∠3CDcos(180=60，3BD==，故AD AE A3BD=，建立如图所示的空间直角坐标系，数学试卷第22页（共39页）9 / 13，向量(0,0,1)n =为平面设向量(,,m x y=0,0m BD m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 1，则x =，则(3,1m =为平面BDF 的一个法向量．1,5m n m n m n〈〉===，而二面角F BD C --的余弦值为5（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，确定法向量(0,0,1)n =和(3,1m =12311127C 4343336⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 121113111121.(1),(2)C ,433643124339P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22123121121321C (4),(5),4333439433P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0 1 234数学试卷 第28页（共39页）210919m +=，可求公差11 / 1322818k k -=+数学试卷第34页（共39页）13 / 13。
山东省2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学真题
以 k 16,17,..., 25 共 10 个数，即应该有 10 人做试卷 B. 方法二， （整除法）由题意可知，系统抽样中每一组的样本数为 做问卷 A 的人编号在区间 [1, 450] 内，而 15 组，每组抽取一个，共抽取 15 人. 而编号在区间 [1, 750] 内的人需要做 A 卷或 B 卷，而 的人应分为 25 组，每组抽取一个，共抽取 25 人. 所以作 B 问卷的人有 25 15 10 人. 5.答案：A 如图画出不等式组所表示的平面区域，
1 ， g ( x ) ax 2 bx ，若 y f ( x ) 的图象与 y g ( x ) 的图象有且仅有 x
）
两个不同的公共点 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，则下列判断正确的是（ A. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 B. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 C. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 D. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 第Ⅱ卷（共 90 分）
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分，考试 时间 120 分钟。 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）若复数 z 满足 z (2 i ) 11 7i （ i 为虚数单位） ，则 z 为（ A． 3 5i B. 3 5i C. 3 5i D. 3 5i ） ）
1 x 3 时， f ( x) x .则 f (1) f (2) f (3) ... f (2012) （
2012年理数高考试题答案及解析-山东
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年山东高考数学理科试卷 (带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足z(2i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 ( )A.3+5iB.35iC.3+5iD.35i【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出含复数z的一个等式，化简求复数z.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】.答案选A.另解：设，则,根据复数相等可知，解得，于是.2.已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则为 ( )A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算.【考查方式】给出三个集合，考查它们之间补集与并集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由题意可知，,故而选择答案C.3．设a＞0 ，a≠1 ，则“函数f(x)= a x在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2a)在R上是增函数”的 ( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题，判断它们之间的关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由题意可知，在R上单调递减，故而所以故在R上单调递增，（步骤1）反之，由于在R上单调递增，可知，（步骤2）当时，，函数并不单调递减，故而“函数f(x)= a3在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2a) 在R上是增函数”的充分不必要条件，答案选A.（步骤3）4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 ( )A． B.9 C.10 D.15【测量目标】系统抽样.【考查方式】构造数学模型，利用系统抽样解决问题.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，（步骤1）第k组的号码为451，令451，而，解得，（步骤2）则满足的整数k有10个，故答案应选C.（步骤3）5.设变量x，y满足约束条件则目标函数的取值范围是（）A． B. C. D.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出二元不等式组，画出可行域求目标函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，第5题图（步骤1）而目标函数可以看做，截距最小时值最大，当截距最大时值最小，根据条件，故当目目标函数过时，取到的最大，，（步骤2）由，当目标函数经过时，取到最小值，，故而答案为A.（步骤3）6．执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）第6题图A.2 B.3 C.4 D.5【测量目标】循环型程序框图.【考查方式】给出程序框图的输入值，求输出值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】；（步骤1）；（步骤2）.（步骤3）答案应选B.7.若，，则sin= ( )A.B.C.D.【测量目标】二倍角.【考查方式】给出一个角的取值范围及其二倍正弦值，求此角在范围内的正弦值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由可得，，，答案应选D.另解：由及可得，（步骤1）而当时，结合选项即可得.答案应选D.（步骤2）8．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当3x＜1时，f（x）=，当1x＜3时，f（x）=x.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= ( )A.335B.338C.1678D.2012【测量目标】函数的周期性.【考查方式】给出分段函数周期性及其解析式，求此函数一系列函数值的和.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据条件可知函数是周期为6的周期函数，由因为当3x＜1时，f（x）=，当1x＜3时，f（x）=x可知，，（步骤1）故而，故而f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（步骤2）故选B.9.函数的图象大致为 ( )A B C D【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】给出三角函数解析式判断其图象.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】函数，为奇函数，（步骤1）当，且时；当，且时；（步骤2）当，，；当，，.答案应选D.（步骤3）10.已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( )A. B. C. D.【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆的离心率及与已知抛物线形成的位置关系，求椭圆方程.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】双曲线x²y²＝1的渐近线方程为，（步骤1）代入可得，则，（步骤2）又由可得，则，于是.椭圆方程为，答案应选D.（步骤3）11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( )A.232B.252C.472D.484【测量目标】排列组合.【考查方式】给出数学模型利用排列组合判断取法的种数.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由题意可知，抽取的三张卡可以分为两类，一类为不含红色的卡，一类是含一张红色的卡片，（步骤1）第一类的抽取法的种数为,第二类抽取法的种数为,故而总的种数为（步骤2）12.设函数（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 ( )A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0D.当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出含参量的两个函数解析式，讨论参量的不同取值，通过两图象的交点判断交点坐标的关系.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】令，则，（步骤1）设，令，则，（步骤2）要使y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，（步骤3）当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B.（步骤4）另解：令可得.（步骤 1）设（步骤2）不妨设，结合图形可知，当时如右图，第12题图此时，即此时，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B.（步骤3）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．若不等式的解集为，则实数k=__________.【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】通过含参量的绝对值不等式的解集判断未知参量的值.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】，(步骤1)根据解集为，故而，这是故而得（步骤2）另解：由题意可知是的两根，则解得.14．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为____________.第14题图【测量目标】立体几何空间几何体的体积.【考查方式】给出正方体的棱长，求正方体内几何体的体积.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由题意可知，15．设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______.【测量目标】微积分的应用.【考查方式】给出曲线与直线函数解析式，求图象所围成的面积.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】.16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________.第16题图【测量目标】弧度制.【考查方式】通过三角函数与向量知识，求平面点坐标的变化.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了弧度，此时点的坐标为另解1：根据题意可知滚动自圆心为（2,1）时的圆的参数方程为且，（步骤1）则点P的坐标为，即.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（本小题满分12分）已知向量m=（sin x，1），函数的最大值为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象.求g（x）在上的值域.【测量目标】向量的坐标运算，函数的图象及变换.【考查方式】给出两向量，通过它们的乘积运算得三角函数关系式，讨论图象及值域.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ），则;（步骤1）（Ⅱ）函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.（步骤2）当时，.故函数g（x）在上的值域为.（步骤3）另解：由可得，（步骤1）令，则，（步骤2）而，则，于是，故，即函数g（x）在上的值域为.（步骤3）18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.第18题图（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值.【测量目标】立体几何线面垂直及二面角.【考查方式】给出几何体中线线、线面关系，求证线面垂直及二面角的余弦值.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，CB=CD,由余弦定理可知,即,（步骤1）在中，∠DAB=，，则为直角三角形，且.（步骤2）又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED；（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,（步骤4）建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.（步骤5）设向量为平面的法向量，则即（步骤6）取，则，则为平面的一个法向量.（步骤7），而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角FBDC的余弦值为.（步骤8）第18题图19．（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.【测量目标】简单的随机抽样，用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出数学模型，运用随机变量、分布列和数学期望求解事件概率及数学期望.【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）；（步骤1）（Ⅱ）（步骤2）X012345P20.（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为，求数列{b m}的前m项和S m.【测量目标】等差数列的通项及数列的前n项和.【考查方式】给出等差数列几项的和及某一项的值，求等差数列的通项，并求新定义的数列的前n项和.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，=73可得（步骤1）而a9=73，则，于是即.（步骤2）（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，即，（步骤3）而，由题意可知，（步骤4）于是，即.（步骤5）21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当时，的最小值.【测量目标】抛物线的简单几何性质，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】给出含未知参量的抛物线方程及点线之间的位置关系，求抛物线方程，并探索点的存在问题和线段最短问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，（步骤1）设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.（步骤2）（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而，，（步骤3），，（步骤4）由可得，，则，即，解得，点M的坐标为.（步骤5）（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，.（步骤6）由可得，（步骤7）设，（步骤8）圆，，（步骤9）于是，令，（步骤10）设，，当时，，即当时.故当时，.（步骤11）22.(本小题满分13分)已知函数f(x) =（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g(x)=(x2+x),其中为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，.【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参量的函数解析式及函数图象上某点的切线，通过导数的应用求未知参量及函数单调区间.【难易程度】较难【试题解析】由f(x) = 可得，而，即，解得；（步骤1）（Ⅱ），令可得，当时，；当时，.于是在区间内为增函数；在内为减函数.（步骤2）（Ⅲ），（步骤3）当时，.当时，要证.只需证，然后构造函数即可证明.（步骤4）。
2012年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•山东）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．解答：解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意求出A的补集，然后求出（∁U A）∪B．解答：解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁U A={0，4}，（∁U A）∪B={0，2，4}．故选C．点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力．3．（5分）（2012•山东）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．4．（5分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．5．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义6．（5分）（2012•山东）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：通过循环求出P，Q的值，当P＞Q时结束循环，输出结果即可．解答：解：第1次判断后循环，P=1，Q=3，n=1，第2次判断循环，P=5，Q=7，n=2，第3次判断循环，P=21，Q=15，n=3，第3次判断，不满足题意，退出循环，输出n=3．故选B．点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框与循环后，各个变量的数值的求法，考查计算能力．7．（5分）（2012•山东）若，，则sinθ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．解答：解：因为，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故选D．点评：本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，注意角的范围，考查计算能力．8．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012考点：函数的周期性；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．解答：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．9．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．10．（5分）（2012•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1D．+=1考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1．利用，即可求得椭圆方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选D．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．11．（5分）（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．484考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．（5分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．解答：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0故选B．点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）（2012•山东）若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=2．考点：绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：|kx﹣4|≤2⇔（kx﹣4）2≤4，由题意可知1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的两根，有韦达定理即可求得k的值．解答：解：∵|kx﹣4|≤2，∴（kx﹣4）2≤4，即k2x2﹣8kx+12≤0，∵不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，∴1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的两根，∴1+3=，∴k=2．故答案为2．点评：本题考查绝对值不等式，将|kx﹣4|≤2转化为（kx﹣4）2≤4是关键，考查等价转化的思想与利用韦达定理解决问题的能力，属于基础题．，14．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D1﹣EDF=V F﹣D1ED后体积易求．解答：解：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：点评：本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．15．（4分）（2012•山东）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．解答：解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．点评：本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用；坐标系和参数方程．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（12分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．考点：三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=•==A（）=Asin（2x+）．因为A＞0，由题意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．因为x∈[0，]，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．18．（12分）（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．解答：（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF==CG，故cos∠FGC=，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法﹣向量法与几何法，本题是高中数学的典型题，也是高考中的热点题型，尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题，学习时要好好把握向量法的解题规律．19．（12分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P （）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B D）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2012•山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由已知及等差数列的性质可求a4，由可求公差d，进而可求a1，进而可求通项（II）由可得9m+8＜9n＜92m+8，从而可得，由等比数列的求和公式可求解答：解：（I）∵数列{a n}是等差数列∴a3+a4+a5=3a4=84，∴a4=28设等差数列的公差为d∵a9=73∴==9由a4=a1+3d可得28=a1+27∴a1=1∴a n=a1+（n﹣1）d=1+9（n﹣1）=9n﹣8（II）若则9m+8＜9n＜92m+8因此9m﹣1+≤n≤92m﹣1+故得∴S m=b1+b2+…+b m=（9+93+95+…+92m﹣1）﹣（1+9+…+9m﹣1）==点评：本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用．21．（13分）（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）通过F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．（Ⅲ）当x0=时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，因为抛物线C的标准方程为y=﹣，所以，即p=1，因此抛物线C的方程x2=2y．（Ⅱ）假设存在点M（x0，），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为y′==x0．令y=得，，所以Q（），又|QM|=|OQ|，故，因此．又x0＞0．所以x0=，此时M（）．故存在点M（），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．（Ⅲ）当x0=时，由（Ⅱ）的Q（），⊙Q的半径为：r==．所以⊙Q的方程为．由，整理得2x2﹣4kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=﹣，所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．由，整理得（1+k2）x2﹣，设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），由于△=＞0，x3+x4=，x3x4=．所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2﹣4x3x4]=，因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+，令1+k2=t，由于△=16k2+8＞0⇒，≤k≤2，∴t≥则，所以|AB|2+|DE|2=t（4t﹣2）+=4t2﹣2t+，设g（t）=4t2﹣2t+，t，因为g′（t）=8t﹣2﹣，所以当t，g′（t）≥g′（）=6，即函数g（t）在t是增函数，所以当t=时，g（t）取最小值，因此当k=时，|AB|2+|DE|2的最小值为．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，又e x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），∴g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2⇔1﹣x﹣xlnx＜（1+e﹣2），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），∴m′（x）=e x﹣1=e x﹣e0，∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，∴m（x）＞m（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，即＞1，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数x 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 2. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 3. 设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,...,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）155. 已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- 6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 9. 函数cos622x xxy -=-的图像大致为10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A ）232 (B) 252 (C) 472 (D) 484 12. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A.当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.15. 设0a >.若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17（本小题满分12分）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2Am x n x x A ==> ，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.18（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，60,DAB FC ∠=⊥平面,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值. 19（本小题满分12分）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 20（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .21（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M ，直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22AB DE +的最小值.22(本小题满分13分) 已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.试卷解析【试卷总评】本试题在承袭了山东自行命题风格的同时，积极进行创新与突破，呈现出诸多亮点。
试卷全面考查了基本知识与方法，注重对数学能力及数学素养的考查。
并进一步对分值结构进行调整，淡化压轴题的概念，后面几道题难度较大，都有一定的思维量，梯度设置科学合理，体现了高考的选拔作用第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数x 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --2. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,43. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.【答案】：A【解析】：若函数()xf x a =在R 上是减函数，则01,a <<这样函数()()32g x a x =-在R4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,...,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）155. 已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）20129. 函数cos622x xxy -=-的图像大致为10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y +=10.【答案】： D11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （A ）232 (B) 252 (C) 472 (D) 48412. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A.当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.15. 设0a >.若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______.15.【答案】：49【解析】：依据条件可得2a =⎰，即32223a x a =，所以4.9a =【考点定位】本题通过定积分运算与面积形成关于a 的方程，从而确定a 值.题目条件设置简单，但对被积函数要准确把握.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。