2 函数与方程及函数的实际应用
函数与方程的基本概念
函数与方程的基本概念函数与方程是数学中两个重要的概念，它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数与方程的基本概念，包括定义、特点以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体来说，对于集合A和B，如果存在一个映射f，它将A中的每个元素映射到B中唯一的元素上，则称f为从A到B的函数。
1.2 函数的特点函数具有以下特点：（1）每个元素都有且只有一个对应元素；（2）对于集合A中没有的元素，其在B中也没有对应元素；（3）函数的定义域和值域决定了其有效的输入和输出范围。
1.3 函数的表示方法函数可以用多种方式进行表示，包括：（1）显式定义：例如，y = 2x + 1表示了一个线性函数；（2）隐式定义：例如，x² + y² = 1表示了一个圆的方程；（3）图表表示：函数可以通过绘制图像来进行表示，直观地展示函数的性质。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是数学中表示等式的一种方式。
它由未知数、已知数、运算符和等号组成。
方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.2 方程的特点方程具有以下特点：（1）方程中包含一个或多个未知数；（2）方程中使用运算符和等号进行数学运算；（3）方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.3 方程的类型方程可以分为各种类型，如一次方程、二次方程、线性方程组等。
每种类型的方程都有其独特的解法和特点。
三、函数与方程的应用3.1 函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，一些常见的应用包括：（1）物理学中的运动学公式：例如位置函数、速度函数和加速度函数；（2）经济学中的成本函数和收益函数：用于计算成本和收益的关系；（3）生物学中的生长模型：用于描述生物体在不同条件下的生长规律。
3.2 方程的应用方程在实际问题中也有着广泛的应用，常见的应用有：（1）物理学中的力学方程：例如牛顿第二定律和万有引力定律；（2）化学中的反应方程：用于描述化学反应的物质转化过程；（3）工程学中的电路方程：用于分析电路中的电流和电压关系。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。
二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。
2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。
当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。
3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。
（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。
（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。
三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。
2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。
可以使用求根公式或配方法等方式来求解。
3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。
例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。
由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。
由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。
二次函数总结
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。
本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。
首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。
求抛物线与三角形ABC 的面积。
解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。
由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。
接下来是抛物线与最值问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。
解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。
当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。
再来一道抛物线与交点问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。
解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。
函数与方程式的关系
函数与方程式的关系一、引言函数与方程式是高中数学中的重要概念，对于学生理解它们之间的关系和应用具有重要意义。
本教案主要介绍函数与方程式的关系，并通过实际例子展示其实际应用。
通过本课的学习，学生将能够深入理解函数与方程式之间的联系，并能够应用它们进行问题的求解。
二、函数与方程式的定义及关系1. 函数的定义：函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用来描述不同变量之间的依赖关系。
2. 方程式的定义：方程式是一个等式，其中包含了一个或多个未知数。
方程式表示了一种平衡关系或者相等关系。
3. 函数与方程式的关系：函数可以通过方程式来表示。
一个方程式被称为函数的解，当且仅当它满足该函数的定义。
三、函数与方程式的实际应用1. 函数与图像：函数可以通过图像来表示，图像的每一个点都表示了一个函数的解。
通过观察函数的图像，我们可以获得更多关于函数性质的信息。
2. 函数与实际问题：函数可以用来描述实际问题中的关系。
例如，利用函数可以描述物体的运动轨迹、销售额的增长等等。
3. 方程式的应用：通过解方程式，我们可以求得函数的解，进而解决实际问题。
例如，求解一元二次方程可以确定抛物线上的点的横坐标。
四、函数与方程式的解法1. 方程式的解法：通过一系列数学变换和运算，可以解得方程式的解。
例如，对于一元一次方程式，可以通过移项等操作求解；对于一元二次方程式，可以通过配方法、求根公式等方法求解。
2. 函数的解法：函数的解是函数的自变量取某个值时，函数的值。
对于一元函数，我们可以通过代入自变量的值来求得函数的值。
五、实例展示通过一些实际问题的例子，我们来演示函数与方程式的关系和应用。
1. 例子1：某公司生产的产品每天的销售量可以用函数y = 2x + 5来表示，其中x表示天数，y表示销售量。
请问第10天的销售量是多少？解：将x = 10代入函数中，得到y = 2*10 + 5 = 25。
所以第10天的销售量为25。
小题考法专练 (二) 基本初等函数、函数与方程、函数的实际应用问题
小题考法专练 （二） 基本初等函数、函数与方程、函数的实际应用问题一、小题提速练1．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (x )的零点所在的区间为(1,2)．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，e x ，x ≥1，则f (－2)＋f (ln 6)＝( )A ．3 B.6 C ．9D.12解析：选C 由题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，e x ，x ≥1，则f (－2)＋f (ln 6)＝1＋log 2[2－(－2)]＋e ln 6＝1＋2＋6＝9. 3．若a ，b ，c 满足2a ＝3，b ＝log 25,3c ＝2，则( ) A ．c <a <b B.b <c <a C ．a <b <cD.c <b <a解析：选A ∵2a ＝3,21<3<22，∴1<a <2. ∵b ＝log 25>log 24，∴b >2. ∵3c ＝2,30<2<31，∴0<c <1， ∴c <a <b ，故选A.4．(多选)若10a ＝4,10b ＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B.b －a ＝1 C ．ab >8lg 22D.b －a >lg 6 解析：选ACD 由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，∴a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∴b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254，∵lg 10＝1>lg 254>lg 6，∴b －a >lg 6，∴ab ＝4lg 2lg 5>4lg 2lg 4＝8lg 22，故正确的有A 、C 、D.5．(2020·枣庄二模)已知a >b >0，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a b ＝( )A. 2B.2 C ．2 2D.4解析：选B ∵log a b ＋log b a ＝52，∴log a b ＋1log a b ＝52，解得log a b ＝2或log a b ＝12.若log a b＝2，则b ＝a 2，代入a b ＝b a 得aa 2＝(a 2)a ＝a 2a ，a 2＝2a ，又a >0，∴a ＝2，则b ＝22＝4，不合题意；若log a b ＝12，则b ＝a 12，即a ＝b 2，代入a b ＝b a 得(b 2)b ＝b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，又b >0，∴b ＝2，则a ＝b 2＝4.综上，a ＝4，b ＝2，∴ab ＝2.故选B.6．(2020·临沂一模)已知函数f (x )＝12x 2－2x ＋1，x ∈[1,4]，当x ＝a 时，f (x )取得最大值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的大致图象为( )解析：选C f (x )＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，故a ＝4，b ＝1，g (x )＝a |x ＋b |＝4|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1，x ≥－1，4－x －1，x <－1，对比图象知C 满足条件．故选C.7．已知函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3) B.(1,2) C ．(0,3)D.(0,2)解析：选C 由题意知，显然函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)内连续且递增，因为f (x )的一个零点在区间(1,2)内，所以f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，解得0<a <3，故选C.8．(2020·济南期末)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B.12 C ．1D.2解析：选C ∵f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，∴f (－x )＝lg((－x )2＋1－x )＋12，∴f (x )＋f (－x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12＋lg(x 2＋1－x )＋12＝lg(x 2＋1＋x )(x 2＋1－x )＋1＝lg [](x 2＋1)2－x 2＋1＝lg 1＋1＝0＋1＝1，∴f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝f (ln 5)＋f (－ln 5)＝1.故选C. 9．(2020·文登模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x <0，log 2(x ＋1)，x ≥0，若|f (x )|≥2ax ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.[－1,0] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，0 解析：选D 作出函数图象如图．结合图象可得， 要使|f (x )|≥2ax 恒成立， 当x ＞0时，必有a ≤0；当x ≤0时，只需x 2－x ≥2ax ，即x －1≤2a 恒成立，所以a ≥－12.综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤－12，0，故选D. 10．(多选)已知x ，y 均大于0，e x ＋x ＝e y ＋2y ，则下列结论正确的是( ) A ．log 3x <log 3y B.x －23<y －23C ．sin x >sin yD.11＋x 2<11＋y 2解析：选BD 因为x ，y 均大于0，所以e x ＋x ＝e y ＋2y ＝e y ＋y ＋y >e y ＋y .易知函数m ＝e n ＋n 在(0，＋∞)上单调递增，故x >y .根据对数函数的性质得log 3x >log 3y ，选项A 错误．因为x >y >0，函数m ＝n －23在(0，＋∞)上单调递减，所以x 23－<y 23－，选项B 正确．函数m ＝sin n 在(0，＋∞)上的单调性不确定，因此sin x >sin y 不一定成立，选项C 错误．因为x >y >0，所以x 2>y 2，所以11＋x 2<11＋y 2，选项D 正确．11．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，f (x －2)，x ≥0，则f (log 23)＝________.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，f (x －2)，x ≥0，log 23>0，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 234，又log 234<log 21＝0，所以f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 234＝2log 234＝34. 答案：3413.已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b＝2，则n ＝______.解析：a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示．由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.答案：－114．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T (单位：年)的衰变规律满足N ＝N 0·25730T－(N 0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到______年之间．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)解析：∵N ＝N 0·25730T－，∴当T ＝5 730时，N ＝N 0·2－1＝12N 0，∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的12.由题意可知25730T－>37，两边同时取以2为底的对数得：log 225730T－>log 237，∴－T 5 730>lg 37lg 2＝lg 3－lg 7lg 2≈－1.2，∴T <6 876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．答案：12 6 876二、小题拔高练15．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B.4 C ．5D.6解析：选C 由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1,2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )．由图可知，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．故选C. 16．已知函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|，设a ＝f (log 30.2)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >c B.b >a >c C ．c >a >bD.c >b >a解析：选C 法一：f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1x 2＋1＋x ＝|ln(x 2＋1＋x )|＝f (－x )，所以函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|是偶函数．当x >0时，f (x )＝ln(x 2＋1＋x )，此时函数f (x )单调递增．a ＝f (log 30.2)＝f (log 35)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)，因为31.1>3>log 35>1>3－0.2>0，所以c >a >b ，故选C.法二：令g (x )＝ln(x 2＋1－x )，则g (－x )＋g (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln 1＝0，所以g (x )为奇函数，y ＝f (x )＝|g (x )|为偶函数．当x >0时，函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝ln(x 2＋1＋x )单调递增，又f (0)＝ln 1＝0，所以函数f (x )的大致图象如图所示．－2<log 30.2＝log 315＝－log 35<－1,0<3－0.2<1，－31.1<－3，结合图象可知f (－31.1)>f (log 30.2)>f (3－0.2)，即c >a >b ，故选C.17．(多选)若实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．x ＝y B.1<x <y C ．0<x <y <1D.y <x <0解析：选ACD 由题意，实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，可化为4x ＋5x ＝5y ＋4y ，设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，由初等函数的性质，可得f (x )，g (x )都是单调递增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示．根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9.当x ＝y 时，f (x )＝g (y )，所以5x －4y ＝5y －4x 成立，所以A 正确；当1<x <y 时，f (x )<g (y )，所以B 不正确；当0<x <y <1时，f (x )＝g (y )可能成立，所以C 正确；当y <x <0时，此时f (x )≤g (x )，所以f (x )＝g (y )可能成立，所以D 正确．故选A 、C 、D.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2ax ＋8，x ≤1，2x －a ln x ，x >1，若函数f (x )有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(7，＋∞) B.(－4，＋∞) C ．[8，＋∞)D.[9，＋∞)解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，x ≤1，2x ，x >1，易知函数f (x )无零点，舍去．当a <0，且x ≤1时，f (x )＝ax 2－2ax ＋8的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1，且f (1)＝a －2a ＋8＝－a ＋8>0，所以当a <0，且x ≤1时，函数f (x )只有一个零点；当a <0，且x >1时，f (x )＝2x －a ln x ，f ′(x )＝2－a x ＝2x －ax >0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，f (x )>2，所以当a <0，且x >1时，函数f (x )无零点．故当a <0时，函数f (x )只有一个零点，与题意不符，舍去．当a >0，且x ≤1时，f (x )＝ax 2－2ax ＋8的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，且f (0)＝8>0，所以函数f (x )在(－∞，1]上最多有一个零点；当a >0，且x >1时，f (x )＝2x －a ln x ，f ′(x )＝2x －a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2，若0<a2≤1，则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，若a2>1，则f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a －a ln a2，此时函数f (x )最多有两个零点．若使得函数f (x )有三个零点，则⎩⎨⎧－a ＋8≤0，a －a ln a2<0，a2>1，解得a ≥8.19．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f (b )－f (a )b －a 的大小评价在[a ，b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________．解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t 1时刻高于乙企业，而在t 2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t 2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力明显低于[t 1，t 2]时的，故④错误．答案：①②③三、大题融会练20．已知函数f (x )＝e x －cos x .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，＋∞上仅有2个零点． 解：(1)f ′(x )＝e x ＋sin x ，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝x －0，即y ＝x . (2)证明：令g (x )＝f ′(x )＝e x ＋sin x ， 则g ′(x )＝e x ＋cos x ， 当－π2<x <π2时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增． 而g ⎝⎛⎭⎫－π2＝e 2－π－1<0，g ⎝⎛⎭⎫π2＝e 2π＋1>0，由零点存在性定理知g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上有唯一零点， ∴f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上有唯一零点． 又f ′⎝⎛⎭⎫－π2<0，f ′(0)＝1>0， ∴f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增且有唯一零点α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，α时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时，f ′(x )>0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，α上单调递减，在⎝⎛⎭⎫α，π2上单调递增， 又f (0)＝0，∴f (α)<0，结合f ⎝⎛⎭⎫－π2＝e 2－π>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝e 2π>0， 由零点存在性定理知f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，α上有一个零点，在⎝⎛⎭⎫α，π2上有一个零点0. 当x ≥π2时，e x >1，cos x ≤1，e x －cos x >0，f (x )>0，此时f (x )无零点．综上，f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，＋∞上仅有2个零点．。
2014高考数学(苏教理)专题常考问题2函数与方程及函数的应用
常考问题2 函数与方程及函数的应用[真题感悟]1．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为________．解析 由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 22．(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案 －103．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立． 答案 [－2,0]4．(2013·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a ，b (0＜b ＜a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是________． 解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为 r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2 存在最小值时，必有2(a ＋b )9＜b2，解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒ab ＞1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，54 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.热点一 函数与方程问题【例1】 (2013·苏锡常镇调研)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，且m >0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是()2，＋∞. 答案 (2，＋∞)[规律方法] 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．【训练1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)热点二 函数的实际应用问题【例2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大． (注：年利润＝年销售收入一年总成本) 解 (1)当0＜x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x ＞10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ，∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0＜x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x ＞10.(2)①当0＜x ≤10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.当x ∈(0,9)时，W ′＞0； 当x ∈(9,10]时，W ′＜0， ∴当x ＝9时， W 取得最大值，即W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W 取得最大值38. 综合①②知：当x ＝9时， W 取得最大值38.6， 故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大． [规律方法] (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【训练2】 (2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解 (1)令y ＝0，得 kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.备课札记：。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)
![初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5a424396f5335a8103d22058.png)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。
其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。
下面我们具体讨论几个常见的实际问题。
1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。
我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。
如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。
1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。
假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。
我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。
1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。
假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。
通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。
二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。
下面我们将讨论几个例子。
2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。
假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。
2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题引言二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是实际问题中常常遇到的数学模型。
二次函数的图像呈现出一种开口向上或者开口向下的曲线形状，能够很好地描述实际问题中的曲线关系。
本文将深入探讨二次函数及其在实际问题中的应用。
二次函数的定义与性质二次函数的定义：设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），其中a、b、c是常数，a称为二次函数的二次系数。
二次函数的图像当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数的顶点二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)。
二次函数的对称轴二次函数的对称轴方程为x = h（即x = -b/(2a)）。
二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二次函数在实际问题中的应用自由落体运动自由落体运动是一个常见的物理现象，也可以用二次函数来进行模拟和描述。
假设一个物体从高处自由落下，忽略空气阻力，它的下落距离与时间的关系可以用二次函数来表示。
抛物线轨迹抛物线轨迹是指一个物体在一个力的作用下进行受控抛射运动时所遵循的路径。
如投射运动中的抛体、水流喷泉等都可以用二次函数进行建模和描述。
开口向上的池塘有一片长方形的池塘，周围修建了一圈围墙。
围墙的材料价格是每米10元。
假设池塘的长为x米，宽为y米。
已知池塘的面积为100平方米。
要使得围墙的总价值最小，需要求解池塘的长和宽。
能量与时间的关系生活中很多实际问题涉及到能量的转化和传递，而能量与时间的关系常常可以用二次函数进行建模。
例如，弹簧振子的机械能与振动时间的关系、充电电池的电量衰减与使用时间的关系等等。
结论二次函数作为一种重要的数学模型，在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的定义与性质的学习，我们可以更好地理解和解决实际问题，同时也提高了我们的数学建模能力。
通过本文对二次函数与实际问题的探讨，我们更深入地认识了二次函数的应用价值和意义。
二次函数的图象与方程
交点性质：当a>0时，一个交点在原点，另一个在x轴正半轴；当a<0时， 一个交点在原点，另一个在x轴负半轴
单击此处添加标题
交点坐标：当a>0时，交点坐标为(0,0)和(√(-b/a),0)；当a<0时，交点坐 标为(0,0)和(-√(-b/a),0)
单击此处添加标题
交点与方程的关系：二次函数与x轴的交点即为方程的根
二次函数与三角 形、四边形等几 何知识的关系： 通过二次函数的 图象，可以研究 三角形、四边形 等几何图形的性
质和特点。
THANK YOU
汇报人：XX
二次方程的解法
二次方程的解的概念
二次方程的标准 形式：ax^2 + bx + c = 0
判别式：Δ = b^2 - 4ac
根的性质：当Δ > 0时，方程有 两个不相等的实 根；当Δ = 0时， 方程有两个相等 的实根；当Δ < 0时，方程无实 根。
解的公式：当Δ ≥ 0时，解为x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
二次函数的表达式
二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为常数 且a≠0
a的符号决定了抛物 线的开口方向，当 a>0时，抛物线开 口向上；当a<0时， 抛物线开口向下
b和c决定了抛物线 的位置，b和c的值 越大，抛物线越偏离 y轴和x轴
二次函数的顶点坐标 为(-b/2a, cb^2/4a)
二次函数的图象与方程
汇报人：XX
单击输入目录标题 二次函数的基本概念 二次函数的图象 二次方程的解法 二次函数的实际应用 二次函数与其他数学知识的联系
添加章节标题
二次函数的基本概念
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
二次函数与一元二次方程的关系以及实际应用
【知识清单】1、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系,,a b c 决定开口方向0,0,a a >⎧⎨<⎩开口向上;开口向下. ,,a b c 与b 决定对称轴位置,,a b a b ⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c 决定抛物线与y 轴交点的位置0,0,0,c c c >⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y 轴的正半轴上;交点在原点;交点在y 轴的负半轴上. 式子c b a ++的正负就是当x=1时，对应的函数值y=c b a ++的正负。
2、二次函数与一元二次方程的联系（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，就是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点的个数可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx ck ++=的两个实数根.（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭（非重点）3、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.【巩固练习】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图26-2所示，则下列结论中正确的判断是（ ）①0a < ② 0b > ③0c < ④240b ac -> A ．①②③④ B ．④ C ．④②③ D ．①④2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图26-3所示,下列结论中: ①0abc > ② 2b a =③0a b c ++< ④0a b c -+> 正确的是【典型例题】【例1】 小明、小亮、小梅、小丽四人共同探究代数式245x x -+的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小丽负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A.小明认为只有当2x =时，245x x -+的值为1. B.小亮认为找不到实数x ，使245x x -+的值为0.C.小梅发现245x x -+的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D.小丽发现当x 取大于2的实数时，245x x -+的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值.【例2】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0， 那么下列结论中正确的是（ ） A .1m -的函数值小于0 B .1m -的函数值大于0C .1m -的函数值等于0D .1m -的函数值与0的大小关系不确定【例3】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值围. 【例4】图26-4，图中抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据图象判断下列方程根的情况。
二次函数与一元二次方程及解决实际问题(解析版)
第5天二次函数与一元二次方程及解决实际问题【知识回顾】1．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c ＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．2．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；1（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．△描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．△函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．4．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23一．选择题（共10小题）1．（2019·北京市十一学校月考）已知二次函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根分别是（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,2x x ==C ．121,0x x ==D ．121,3x x ==【答案】B【解析】方法一：△二次函数23y x x m =-+图象与x 轴的一个交点为(1,0)，△013m =-+，解得2m =．△一元二次方程为2320x x -+=，即(1)(2)0x x --=，解得121,2x x ==．故选B ．方法二：△二次函数图象与x 轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的实数根， △二次函数图象的对称轴是直线32x =，△二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(2,0)，4 △关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根分别是121,2x x ==．故选B ．2．（2019·广东郁南月考）已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+m （k≠0）的图象交于点A （﹣2，4），B （8，2），如图所示，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2B ．x ＞8C ．﹣2＜x ＜8D ．x ＜﹣2或x ＞8【答案】D【解析】 △A （﹣2，4），B （8，2），△能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞8．故答案选D ．3．（2020·天津南开期末）抛物线y ＝x 2﹣5x +6与x 轴的交点情况是（ ）A ．有两个交点B ．只有一个交点C ．没有交点D ．无法判断【答案】A【解析】△y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），△当y＝0时，x＝2或x＝3，即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，故选A．4．（2020·浙江杭州一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程23=0 2ax bx c+++的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【答案】D【解析】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移32个单位得到232y ax bx c'+++＝，5而y′顶点的纵坐标为﹣2+32＝﹣12，故23 2y ax bx c'+++＝与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，故23=0 2ax bx c+++有两个同号不相等的实数根，故选：D．5．（2020·安徽瑶海·合肥38中月考）由下表可知方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【答案】C【解析】由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2＋bx＋c＝0的一个根．△ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．故选：C．67 6．（2020·福建厦门一中月考）二次函数y ＝x 2+mx ﹣n 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣n ＝0在﹣1＜x ＜6的范围内有实数解，则n 的取值范围是（ ） A ．﹣4≤n ＜5B ．n ≥﹣4C ．﹣4≤n ＜12D ．5＜n ＜12 【答案】C【解析】解：△抛物线的对称轴x ＝-2m ＝2， △m ＝-4，则方程x 2+mx -n ＝0，即x 2-4x -n ＝0的解相当于y ＝x 2-4x 与直线y ＝n 的交点的横坐标， △方程x 2+mx -n ＝0在-1＜x ＜6的范围内有实数解，△当x ＝-1时，y ＝1+4＝5，当x ＝6时，y ＝36-24＝12，又△y ＝x 2-4x ＝（x -2）2-4，△在-1＜x ＜6的范围，-4≤y ＜12，△n 的取值范围是-4≤n ＜12，故选：C ．7．（2020·安徽合肥三模）若无论x 取何值，代数式()()13x m x m +--的值恒为非负数，则m 的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．1【答案】B【解析】解：（x＋1−3m）（x−m）＝x2＋（1−4m）x＋3m2−m，△无论x取何值，代数式（x＋1−3m）（x−m）的值恒为非负数，△△＝（1−4m）2−4（3m2−m）＝（1−2m）2≤0，又△（1−2m）2≥0，△1−2m＝0，△m＝12．故选：B．8．（2020·山东岱岳二模）将抛物线y＝﹣13x2﹣13x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（）A．2，73B．2C．73D．0【答案】A89【解析】将抛物线y ＝﹣13x 2﹣13x +2（x ≤0）沿y 轴对折，得到抛物线为y ＝﹣13x 2+13x +2（x ＞0）， 由抛物线y ＝﹣13x 2﹣13x +2（x ≤0）可知抛物线与y 轴的交点为（0，2）， 把点（0，2）代入y ＝x +b 求得b ＝2， 由﹣13x 2+13x +2＝x +b 整理得x 2+2x +3b ﹣6＝0， 当△＝4﹣4（3b ﹣6）＝0，即b ＝73时，直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点， 由图象可知若直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值是2和73， 故选：A ．9．（2020·全国）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：△小球在空中经过的路程是40m ；△小球抛出3秒后，速度越来越快；△小球抛出3秒时速度为0；△小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )10A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△ 【答案】D【解析】△由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故△错误； △小球抛出3秒后，速度越来越快；故△正确；△小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故△正确； △设函数解析式为：()2340h a t =-+，把()0,0O 代入得()200340a =-+，解得409a =-，△函数解析式为()2403409h t =--+，把30h =代入解析式得，()240303409t =--+，解得： 4.5t =或 1.5t =，△小球的高度30h m =时， 1.5t s =或4.5s ，故△错误； 故选D ．10．（2020·全国）如图，两条抛物线y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()A．8B．6C．10D．4【答案】A【解析】如图，过，y2＝－12x2－1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线与y1＝－12x2＋1围成的阴影，同过点（0，-3）作平行于x轴的直线与y2＝－12x2－1围成的图形形状相同，故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为4×2=8．故选A二．填空题（共5小题）11．（2019·北京市十一学校月考）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是_____．11【答案】﹣3≤x≤0．【解析】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0．故答案为：﹣3≤x≤012．（2020·北京市昌平区第四中学期中）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．【答案】x<−1或x>5.【解析】抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，1213所以不等式−x 2+bx +c <0的解集为x <−1或x >5.故答案为x <−1或x >5.13．（2020·四川南充月考）已知抛物线21y ax x =--与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，如果ABC ∆为直角三角形，则a =________. 【答案】34【解析】出这两个距离，列方程求解，检验得出答案．【详解】解：△抛物线y=ax 2-x -1与x 轴交于A ，B 两点，△b 2-4ac ＞0，即1+4a ＞0，也就是14a >- △抛物线y=ax 2-x -1与x轴交点的横坐标为x =414a y a --=， △AB 的距离为|x 1-x 2|= ，顶点C 到x 轴距离CD 为414a a --， △当△ABC 为直角三角形，根据对称性可知它是一个等腰直角三角形，此时AB=2CD ，4124a a--=⨯14两边平方得：224144a a --⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：16a 2-8a -3=0 解得：1231,44a a ==- △14a >- △34a = 14．（2020·湖北武汉月考）二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：△ab ＞0；△a+b ﹣1＝0；△a ＞1；△关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．【答案】△△△【解析】解：△由二次函数的图象开口向上可得a ＞0，对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，△ab ＜0，故△错误；△由图象可知抛物线与x 轴的交点为（1，0），与y 轴的交点为（0，﹣1），△c＝﹣1，△a+b﹣1＝0，故△正确；△△a+b﹣1＝0，△a﹣1＝﹣b，△b＜0，△a﹣1＞0，△a＞1，故△正确；△△抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），△抛物线为y＝ax2+bx﹣1，△抛物线与x轴的交点为（1，0），△ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣1a，故△正确；故答案为△△△．15．（2020·全国）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.【答案】-41516【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，解得：x =±17所以水面宽度增加到4.故答案是：4.三．解析题（共5小题）16．（2020·福建省连江第三中学月考）已知抛物线y ＝x 2－2x －8与x 轴的两个交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （－2，0），B （4，0），C （0，－8）；（2）S △ABC =24【解析】(1)在y ＝x 2－2x －8，令0x =，可得8y =-，即C 点坐标为(0,8)C -令0y =，得2280x x =－－ 解得122,4x x =-=△A 在B 的左侧△(2,0),(4,0)A B -（2）△(2,0),(4,0),(0,8)A B C --△6,8AB OC ==18S △ABC =12AB OC ⋅=1682⨯⨯=24 17．（2020·福建省连江第三中学月考）已知抛物线y ＝－x 2＋4x －3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．【答案】（1）（2，1），直线x=2；（2）2【解析】解：（1）△y=-x 2+4x -3=-（x 2-4x+4）+1=-（x -2）2+1，△抛物线的顶点坐标为（2，1）、对称轴为直线x=2；（2）令y=0得-x 2+4x -3=0，解得：x=1或x=3，则抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），△线段AB 的长为2．18．（2020·全国）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,0)-，与y 轴交于点C ，点(2,3)D --在抛物线上．19（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q ，使ABQ △的面积为6，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）3）点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1--【解析】解：（1）△抛物线2y x bx c =++经过点(3,0),(2,3)A D ---，△930,423,b c b c -+=⎧⎨-+=-⎩解得2,3,b c =⎧⎨=-⎩△抛物线的解析式为223y x x =+-．（2）由（1）得抛物线223y x x =+-的对称轴为直线1,(0,3)x C =--．△(2,3)D --，△C ，D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，可知，当点P 为直线AC与20对称轴的交点时，PA PD +取得最小值，△最小值为AC ==（3）设点()2,23Q m m m +-， 令2230y x x =+-=，得3x =-或1，△点B 的坐标为(1,0)， △4AB =．△6QAB S =， △2142362m m ⨯⨯+-=， △2260m m +-=或220m m +=，解得：1m =-+1--或0或2-，△点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1--．19．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．21【答案】（1）见解析；（2）2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x ，见解析． 【解析】解：（1）证明：△矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，△ME ＝BE ，AM ＝GH ．△四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，△AM ＝2ME ，△AE ＝3BE ；（2）△篱笆总长为100m ，△2AB +GH +3BC ＝100， 即1231002AB AB BC ++=， △6405AB BC =-设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，22 则266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭， △6405AB BC =-， △402035EB x =-＞， 解得1003x ＜， △2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x ． 20．（2020·云南一模）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市.已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为非负整数)，每个月的销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？【答案】（1）y=80x+1800x 4,≤<（0且x 为整数）；（2）每件商品的售价为33元时，商品的利润最大为1950元；（3）售价为32元时，利润为1920元.每件商品的利润率是60%.23【解析】（1）2y=3020+x)(180-10x)=-10x =80x+18000x 4,x -≤<（（且为整数）；（2）()2y 1041960x =--+，100-<，当x 4<时y 随x 的增大而增大，由0x 4≤<， 且x 为整数可得当x 3=时，y =1950最大答：每件商品的售价为33元时，商品的利润最大为1950元； （3）2192010x 80x 1800=-++，2x 8x 120-+=,即()2(6=0x x ）-- 解得x 2=或x 6=，0x 4≤<,x 2∴=,()322020100%60%-÷⨯=∴售价为32元时，利润为1920元.每件商品的利润率是60%.。
二次函数的应用与解析方法总结
二次函数的应用与解析方法总结二次函数是数学中常见的一种函数类型，其方程的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将对二次函数的应用以及解析方法进行总结，力求给读者带来清晰而有力的理解。
一、二次函数的应用二次函数在实际中有着广泛的应用，下面将从几个常见的应用领域进行介绍。
1. 物体运动的轨迹当物体在匀加速的情况下运动时，其运动轨迹可以用二次函数来表示。
例如，一个水平抛体的运动轨迹满足二次函数的形式。
通过分析二次函数的参数，我们可以获得物体的运动方程、最高点、最远点等重要信息。
2. 抛物线的建模在物理学、经济学等领域，经常需要对抛物线进行建模。
二次函数正好可以描述抛物线的形状，在分析与解决问题时起到重要作用。
例如，利用二次函数可以进行岩石抛射的模拟、抛物线路径的优化等。
3. 金融领域在金融领域，二次函数可以用来建模一些与利率、价格等相关的问题。
例如，通过利用二次函数可以计算债券的价格、利润最大化的产销决策等金融问题。
4. 工程建模在工程领域，二次函数被广泛应用于建筑、桥梁、道路等项目的设计与规划中。
例如，通过对桥梁的曲线进行建模，可以确定合适的桥高、长度等参数。
二、二次函数的解析方法解析二次函数是指求解二次方程的根的过程，下面将介绍几种常见的解析方法。
1. 因式分解法对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以将其因式分解得到(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式，那么方程的解就可以直接由此得到。
2. 完全平方式当二次方程的判别式D = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实根。
可以通过使用求根公式x = (-b ± √D) / 2a来求解。
3. 配方法对于一些特殊的二次方程，可以通过配方法化简为平方差的形式，从而方便求解。
一般而言，如果方程的b项较大，可以通过配方法将其化为完全平方式进行处理。
4. 公式转换法当遇到二次方程的系数a或b很难处理时，可以通过一些公式的转化来简化求解的过程。
二次函数与指数函数的关系与应用解析
二次函数与指数函数的关系与应用解析二次函数与指数函数是高中数学中重要的数学概念，二者之间存在着密切的关系与应用。
本文将深入探讨二次函数与指数函数的关系以及它们在数学及实际问题中的应用解析。
一、二次函数与指数函数的关系二次函数是指函数的表达式中含有二次方项的函数。
通常以y = ax²+ bx + c的形式表示，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而指数函数是以a的x次方形式表达的函数，常见的指数函数为y = aˣ，其中a为大于0且不等于1的实数。
二次函数与指数函数之间的关系可以通过对二次函数进行平方完成。
具体而言，将二次函数f(x) = ax² + bx + c两边同乘f(x)得到[f(x)]² = (ax²+ bx + c)·f(x)，进一步化简得到[f(x)]² = a·x²·f(x) + b·x·f(x) + c·f(x)。
这样，我们可以得到一个新的函数g(x) = f(x)²，该函数满足g(x) =a·x²·g(x) + b·x·g(x) + c·g(x)。
可以看出，g(x)也是一个二次函数。
通过上述推导，我们可以发现二次函数与指数函数之间存在着一种平方关系，即通过对二次函数平方可以得到一个新的函数，而这个新函数是一个二次函数。
二、二次函数与指数函数在数学中的应用解析1. 方程求解：二次方程是一个二次函数与0的等式，可以通过解根公式或配方法来求解。
而指数方程也是一个指数函数与0的等式，可以采用对数法、换底公式等方法来解决。
通过研究和比较二次函数与指数函数的性质，我们可以更灵活地选择合适的方法来求解不同类型的方程。
2. 函数图像的分析：通过绘制二次函数和指数函数的图像，我们可以直观地观察函数的特点。
二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，对称轴为直线x = -b/2a，可以通过判别式b²-4ac的正负来判断抛物线的开口向上还是向下。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．函数f (x )＝－1x
＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )． A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 2．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，
则下一步可断定该根所在的区间为( )．
A ．(1.4,2)
B ．(1.1,4)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 3．设函数f (x )＝13
x －ln x ，则函数f (x )( )． A ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x
的零点个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件 6．已知0＜a ＜1，函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________．
7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．
8．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.
9．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
10．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；
(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .
11．设函数f (x )＝x 3－92
x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；
(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．。