线性代数复习题-第四章
【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。
线性代数第四章题目及答案
一、选择+填空（64课时）1. 向量(2,3,2)T β=在基1(1,1,1)T α=，2(0,1,1,)T α=，3(0,0,1)T α=下的坐标为:(2,1,-1) .2. 已知三维空间3R 的两组基为：1(1,1,0)T α=， 2(0,1,1)T α=， 3(1,0,1)T α=和1(1,0,3)T β=，2(1,1,0)T β=-，3(1,2,1)T β=，则由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵为（ 101111210-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）.3. 设312312311212,,,,R ξξξηηηηξηξξ==-和是的两组基，其中，，3123ηξξξ=--，则32132ξξξα+-=关于基321321,,,,ηηηξξξ和的坐标为⎽⎽⎽1,-2,3 和 -1,5,-3 。
4. 向量组1(1,2,2)T α=-，2(1,0,1)T α=--，3(5,3,7)T α=--单位正交化后为：（ 1/32/32/32/32/31/32/31/32/3-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭）。
5. 向量(1,2,1,1)T α=与(3,1,0,1)T β-的内积为（ 2 ）.6. 向量(1,2,2,3)α=与向量(3,1,5,1)β=的夹角为 。
7. 下列集合是向量空间的是（ CEG ）A. 2323{(1,,,,)|,,,}T n n V x x x x x x R =∈B. 123123{(,,)|321}T V x x x x x x =-+=C. 2323{(0,,,,)|,,,}T n n V x x x x x x R =∈D. 1231{(,,)|0}T V x x x x =>E. 齐次线性方程组解空间{|0}V X AX ==F. 非齐次线性方程组解空间{|}V X AX b == G . 123123{(,,)|320}T V x x x x x x =-+=8. 若向量()524α=-,,，则α= 5 ，标准化之后为 524555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,, 。
线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解 由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明 令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。
线性代数第四章习题答案
0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
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第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为
1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;
4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2
0
4
.
即线性方程组
线性代数第4章习题答案(48p)
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对 解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项 只 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同 此时系 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确 选项 成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为 成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确 也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确 但此时增广矩阵的秩未必为 故选项 也不正确 由排除法知选项(B)正确 因此应选(B). 由排除法知选项 正确, 因此应选 正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组， 为四元齐次线性方程组 ，
复习线性代数习题
第一章 行列式1、多项式1211123111211)(xxxx x f -=，求3x 的系数2、求多项式xxx x x f --=12312)(中的2x 项的系数是 3.四阶行列式ij a 的展开式中，项21133442a a a a 所带的符号是 号.4、1223545i j k a a a a a 是五阶行列式(),1,2,...,5ij a i j =中前面冠以负号的项，那么,,i j k 的值可以为（ ）。
（A ）1,4,3i j k === （B ）4,1,3i j k === （C ）3,1,4i j k === （D ）4,3,1i j k ===5.若二阶行列式11122122a a a a a =,11112121b a b b a =,则111211212221a a b a a b +=+ .6.若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则行列式123123123a a ab b bc c c =（ ）。
（A ）3 （B ）3- （C ）6 （D ）6-8、已知四阶行列式D 中第一行的元素依次为1,2,0,4，第3行的元素的余子式依次为6，x ,19,2, 则x = 。
9、设某三阶行列式第三列元素依次为1,2,3-，它们的代数余子式依次为3,2,1-，则此 行列式的值等于 。
10.若四阶行列式中，第三行元素依次为1,2,0,1-，对应的余子式依次为5,3,7,4-，则该行列式的值为 ( )（A ）3- （B ）5- （C ）15- （D ）511、设行列式132x D x-=，且111112120a A a A +=，则x = 。
)(324324324,173331323123212221131112111333231232221131211=---===aaa aa a a a a a a a D aaaa a a a a a D 、若12、计算行列式(1)224041353123251D ---=-- （2）1111121412113045-。
线性代数复习题
请各位同学首先复习《线性代数》后四章内容及书上习题，有时间再独立选作补充题，最后才参考答案。
《线性代数》期末复习补充题第四章 内积和正交矩阵1.设12(,,,)n A ααα=是一个实矩阵,证明:T A A 是对角矩阵⇔12,,,n ααα两两正交.2.A 是m n ⨯实矩阵,()m n ≥.证明TA A 是单位矩阵⇔A 的列向量组是正交单位向量组, 3.已知12,,,s ααα和12,,,t βββ是两个线性无关的n 维向量组,并且每个i α和每个j β正交.证明1212,,,,,,,s t αααβββ线性无关.4. 已知12,,,s ααα和12,,,t βββ是两个n 维实向量组,并且每个i α和每个j β正交.证明 12121212(,,,,,,,)(,,,)(,,,).s t s t r r r αααβββαααβββ=+5.A 是r n ⨯矩阵,(),r A r =实非零向量β是AX o =的解.记12,,,r ααα是A 的行向量组.证明12,,,,r αααβ线性无关.7.设A 是n 阶非零实矩阵(2n >),并且T*A A =,证明A 是正交矩阵.8.设A 是3阶正交矩阵,它的第一行第一列的元素T111,(1,0,0)a β==,则方程AX β=的解为β9.设α是n 维实列向量,证明T2E αα-是正交矩阵⇔α是单位向量或零向量.10.设123,,ααα和123,,βββ都是5维向量组,并且每个i α和每个j β都正交.证明123,,ααα和123,,βββ这两个向量组至少有一个线性相关.11.设A 是n 阶实的反对称矩阵.证明:(1)对于任何n 维实列向量α,α和A α正交; (2)()A E +和()A E -都可逆; (3)1()()A E A E --+是正交矩阵. 12.给定向量组T T T 123=(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1).ααα==-求与此向量组等价的单位正交向量组.13.设n 阶矩阵A 可逆.证明存在上三角矩阵T ,使得AT 是正交矩阵.第五章 特征向量和矩阵的对角化1.求4阶矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量. 2.设122212221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭求A 和1A E -+的特征值. 3.设T T 1212(,,,),(,,,),1n n a a a b b b n αβ==>,,αβ都不是零向量.记T .A αβ= (1)求A 的特征值; (2)证明α是A 的特征向量; (3)证明A 可对角化⇔(,)0.αβ≠4.设A 是3阶实对称矩阵,其各行之和为3,并且T (1,2,1),--T (0,1,1)-都是AX o =的解,求.A5.设3阶矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭有一个特征向量T (1,1,1)η=-,求,a b 和η所属的特征值.6.设T T T 123(1,1,1),(1,2,4),(1,3,9)ααα===都是3阶矩阵A 的特征向量,特征值依次为1,2,3..又设T (1,1,3)β=,求n A β.7.已知3阶矩阵A 满足|||||42|0,A E A E E A +=-=-=求32|5|.A A -8.已知n 阶矩阵A 满足3A E =,证明22A A E ++可逆. 9.设A 和B 都是n 阶矩阵,并且都相似于对角矩阵.证明~A B ⇔A 和B 的特征多项式相等.10.给定n 阶矩阵11,1⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭b b b b A b b(1)求A 的特征值与特征向量;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP -是对角矩阵.11.已知111200242~020.3300A B x y -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭(1)求x 和y ;(2)求可逆矩阵U ,使得1U AU B -=.12.设3221,423A kk k -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭为何值时A 可对角化?此时求可逆矩阵P .使得1P AP -是对角矩阵.13.已知n 阶矩阵A 满足()()A aE A bE O --=,其中a b ≠,证明A 可对角化.14.设T T T 123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)ηηη==-=--都是3阶矩阵A 的特征向量，特征值依次为1，2，3，求A .15.设3阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，3，T 1(1,1,1)η=--和T 2(1,2,1)η=--分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A 。
线性代数课后习题解答第四章习题详解
第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a . 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T)4,3,2,1(=3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示. (2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立, 则m a a ,,1线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a , 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλ取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 . 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m ααα , 取m b b ,,1 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关. 证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=; 212x x k +=; 323x x k +=; 434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关. (2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.12．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解. 则021====r k k k . 所以r b b b ,,,21 线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T Ta a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------222001512015120122114323~rr r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关. 不妨设:nnn n n n nn n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T Tnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e ee 2121222211121121两边取行列式，得T n T T nn n n n nTnTTa a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121= 由 002121≠⇒≠T nT T T n T T a a a e e e 即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21 线性无关.17．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a aa εεε2121222211121121 两边取行列式，得 TnTTnn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由 0021222211121121≠⇒≠nnn n nn T n T T k k k k k k k k k a a a令 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211 . 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n T T T n T TT n T T T n T Ta a a A A a a a εεεεεε 212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由16题知n a a a ,,,21 线性无关.18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅,λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
《线性代数(经管类)》第四章考题
《线性代数（经管类）》第四章线性方程组✧考情提要✧逐题击破一、选择题1.设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为mn矩阵，且r（A）=r1，r（A，b）=r2，则下列结论中正确的是（）A.若r1=m，则Ax=0有非零解B.若r1=n，则Ax=0仅有零解C.若r2=m，则Ax=b有无穷多解D.若r2=n，则Ax=b有唯一解2.设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若1α，2α为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。
k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）A.k1α B.k2αC.12k2α+αD.12k2α-α3.设A为m×n矩阵，A的秩为r，则（）A.r=m时，Ax=0必有非零解B.r=n时，Ax=0必有非零解C.r<m时，Ax=0必有非零解D.r<n时，Ax=0必有非零解4.设A=111221223132a aa aa a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，b=123bbb⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵A的行列式A=____。
5.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为____。
6.4元齐次线性方程组2341231242030x x xx x xx x x--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的基础解析所含解向量的个数（）A.1B.2C.3D.47.设1α、2α是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ ） A.1α+2α B.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ 8.齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（ ）A.1α-2αB.1α+2αC.121α+2αD.121α+122α10.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必（ ） A.无解 B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定 12.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.413.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ） A.1212cηηη-+ B. 1212c ηηη-+C.1212c ηηη++D.1212c ηηη++二、填空题14.设3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵（A ，b ）经初级等行变换可化为（A ，b ）→1031011200(k 1)(k 2)1k -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-+-⎝⎭若该方程组无解，则数k=____。
线性代数复习题带参考答案(四)
线性代数试题集与答案解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
第1题A. A的主子式全大于零B. A没有负的特征值C. 负惯性指数为零D. 正惯性指数为n【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题A. 1B. 12C. -24D. 24【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第5题A. k≠-1B. k≠3C. k≠-1且k≠3D. k≠-1或k≠3【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第6题实对称矩阵A正定的充分必要条件为（）A. |A|＞0B. A的所有顺序主子式非负C. A的正惯性指数为nD. A的负惯性指数为0【正确答案】 C第7题A. 0或1B. 1或2C. 0或2D. 2【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题初等矩阵（）A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式值为1C. 相乘仍是初等阵D. 相加仍是初等阵【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题【正确答案】 C第10题【正确答案】 C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
第1题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第2题题中空白处答案应为：___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第3题题中空白处答案应为：___【正确答案】 -5【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第4题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第5题题中空白处答案应为：___【正确答案】 a＞1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第6题图中空白处应填的答案为：________【正确答案】k≠-2且k≠1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第7题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第8题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第9题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第10题 ___【正确答案】三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第2题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第4题【正确答案】提示：k=5.【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第5题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第6题【正确答案】【你的答案】四、证明题（本题6分） 第1题【正确答案】【你的答案】一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x = ． ６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT，()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设D n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是[ ].(A ) D n 中有两行元素对应成比例； (B ) D n 中各行元素之和为零；(C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ ]. (A) α必可由β，γ，σ 线性表示；(B) β必可由α，γ，σ 线性表示； (C) σ必可由β，γ，α 线性表示； (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－； (D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ].(A)α1，α2，α3 - α1； (B)α1，α1+α2，α1+α3； (C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0，则A 的秩Ｒ(A ) =[ ]. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是 [ ].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求112233100110011011b b b D b b b --=----的值.２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若P =(α1,α2,α3), Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．五、（本题满分8分）设二次曲面方程122=++byz xz axy （0>a ）经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．卷参考答案一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 2 .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t -3 . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 m +1 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型 f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ． ６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；T 1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是[ D ].(A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) n D 中各行元素之和为零；(C)n D 中有一行元素全为零；(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ C ].(A) α必可由β，γ，σ 线性表示. (B) β必可由α，γ，σ 线性表示.(C) σ必可由β，γ，α 线性表示. (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ B ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D) 100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．（A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵43⨯A 有一个3阶子式不为0，则[ C ].（A ）Ｒ(A )=1； （B ） Ｒ(A )=2； （C ） Ｒ(A )=3；（D ） Ｒ(A )=4 ． ６．实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011b b b D b b b --=----的值 解：111222233333100100100010010010 1.01100100101101101b b b b b b D b b b b b b ====------２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,αα， 12332ααα-=，1242ααα-=.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．解：由于Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 100100110110,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 于是Q T AQ =TT 100100110100110110010110001001001001⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ P A P P AP 110100100210010010110110.001000001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 是n 阶实对称矩阵,则22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (k 个-2)，故E A 3+3n k-=． 5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 解： 由|A -λE |=0，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A 相似于对角矩阵，R （A -6E ）=1，即42021084~00000000a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 显然，当a =0时，R （A-6E ）=1，A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．解：（1）因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故()()R R ≠A b A ，无解． （2）2)(=A R ，3=n ，故通解21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR ．五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122=++byz xz axy ）0>a 经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .解：设0120210a ab b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a ．当1λ=时，111111111~000111000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E ，t )0,1,1(1=ξ，T )2,1,1(2-=ξ 当2λ=-时，1012~011000⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E T 3(1,1,1).=-ξ故正交阵0=⎢⎢⎣Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．证 ：依题意得Aα=λα， A T β=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αT A T =λαT ，在上式的两边右乘β得，αT A T β =λαT β，即μαT β=λαT β，亦即（μ-λ）αT β=0，由于λ≠μ，所以αT β=0，故α与β正交．线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A T表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA =（ ）A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T=-A ，B T=B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T=A +B B ．（AB ）T=-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数第四章 综合练习及参考答案
第四章 综合练习及参考答案1. n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ B ）. (根据性质可得)A. 若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +为Ax b =的解；B . 若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解； C . 若0Ax =有非零解，则Ax b =只有零解；D . 若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.2. 设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，则以下结论中正确的是( D ) .A. 若0AX =只有零解，则AX b =有惟一解；(()R A n = 不能推出(,)()R A b R A =，所以AX b =可能无解)B. 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解； (AX b =有可能无解)C. 若AX b =有无穷多解，则0AX =只有零解；((,)()R A b R A n =<→0AX =有非零解)D. 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.3．m ×n 型齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ A ）．A ．A 的列向量线性无关B ．A 的行向量线性无关C ．A 的列向量线性相关D ．A 的行向量线性相关解：Ax=0只有零解⇔()R A n =⇔ A 的列向量线性无关.4．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中哪个也是方程组b Ax =的解（ A ）．A ．312+2ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 5. 设(1,3,2),(1,2,0)T T 是3阶非齐次线性方程组Ax b =的解，()2R A =，则A x b =的通解是 （ C ）.A . (1,3,2)(1,2,0)T T k +，k 为任意常数;B . (0,1,2)(1,2,0)T T k + ，k 为任意常数;C . (1,2,0)(0,1,2)T T k +，k 为任意常数;D . (1,2,0)(1,3,2)T T k +，k 为任意常数.6．若齐次线性线性方程组m n A X b ⨯=只有唯一解，则A 的秩为____n______. 解：m n A X b ⨯=只有唯一解，则()m n R A ⨯=未知数的个数=n.7．已知矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，伴随矩阵*0A ≠，且*0A x =有非零解，则____-4_____. 解：*0A x =有非零解，则*()3R A <或*0A =，即32*110A A AA A A -====，所以0A =. 2222222022(2)(4)022222a a A a a a a a a a a ==--=-+=⇒=(舍去，因为此时*0A =) 或4a =-.8. 设线性方程组12342341234022321x x x x x x x a x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩， 则a 取何值时: 1）该方程组无解？ 2）该方程组有无穷多解，并用基础解系表示其所有解. 解：对增广矩阵作初等行变换得313111101111011110012201220122321110122100001r r A b (,)αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）1α≠时，()23(,)R A R A b =≠=，所以方程组无解；（2）1α=时，()2(,)R A R A b ==，所以方程组有无穷多解，且12111101011101221012210000000000r r A b (,)----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即同解方程组为 1342341221x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩ （34,x x 为自由未知量）， 令340x x ==，则得方程组的一个特解为 (1,1,0,0)T η=-，分别令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得导出方程组的一个基础解系为： 1(1,2,1,0)T ξ=-，2(1,2,0,1)T ξ=-，于是，原方程组的通解为：121234111221100010x x k k R x x (,).-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
线性代数练习4
T
S ABC
x1 1 x2 2 x3
y1 1 y2 1 . y3 1
证明：因为 AB x2 x1 , y 2 y1 ,0
AC x3 x1 , y3 y1 ,0，从而
x x1 AB AC 0,0 2 x3 x1
y 2 y1 y3 y1
y 5 x 1, 点，直线 y 2 x 3 .
2
2、 将 xOz 坐标面上的抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程. 解：抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面方程为：
2
( y 2 z 2 ) 5x
3、 将 xOy 坐标面上的双曲线 4 x 9 y 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求生成的两个旋
6 求下列直线的方程： (1) 经过 A( 1，0，-1)，B( 1，1，3)两点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 过点 A( 1，-1，2)与直线
x y 2z 1 0 平行. x 2 y 3z 2 0
解： （1）方向向量为 AB 0,1,4 所以直线的方程为
x 1 y z 1 0 1 4
4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的： （1） x
2
y2 z2 1； 4 4
5,1,0 ,
也即点 M0( 4，-3，1)在平面 x+2y -z-3=0 上的投影点.
习题 4—5
1、 指出下列方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中各表示什么图形： （1） x y 2 y 0 ；圆，圆柱面
2 2
（2） x 2 y ；抛物线，抛物柱面
2
（3） 4 x 2 y 1；直线，平面 （4）
线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置：A?3,4,0?; B?0,4,3? ；C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解：A (3，4，0) 在xoy面上B（0，4，3）点在yoz 面上C（3，0，0）在x轴上D（0，－1，0）在y轴上4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB ＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．解：.prjuu)4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a??2,?1,1? ；（2）b??4,?2,2? ；（3）c??6,?3,3? ；（4）d2,1,?1? ．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22(1)122cos??22 ??a36cos??126cos a6a6（2）b=(4,-2,2) b?42(2)2 cos2226b3cos??26?2?b666cos b0,, b6b6b366（3）c=(6,-3,3) c?b2(4)3 cos222363cos??336cos??233626 62（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos??263cos??16d6cosd0??{?,,?66d366与前三向量单位同的d??{?6,,?。
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充 1：当 A 列 秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩 乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列 秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行 秩（或 B 可逆 ），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列 秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用 明 次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此 矩 AB 和 B 的列向量 有相同的 性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确 同解 .同理当 B 行 秩（或B 可逆） ， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元 性方程 有解, 且其系数矩 的秩r, 当 ______, 方程 有唯一解;当 ______ , 方程 有无 多解 .解：假 方程A m × n x = b, 矩 的秩 r ( A) r .当 r n , 方程 有惟一解 ; 当 r n , 方程 有无 多解 .4. 在 次 性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基 解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程 只有零解。
线性代数第四章线性方程组练题
线性代数第四章线性方程组训练题一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）A ．α1+α2B ．α1–α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，–1，3）T ，且系数矩阵A的秩R(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,–1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,–1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,–1)TD ．(1,0,2)T +k (2,–1,5)T3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ）A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C C C ．)()(212121121ββαββ-+++C C D ．)()(212121121ββαββ+++-C C 4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ， 1η+3η=（1，–2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,–2,1)TB ．(1,–2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,–2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T 5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α–2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α–2α是Ax=b 的解 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设m ×n 矩阵A 的秩为n –1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）A ．k ξ1，k ∈RB ．k ξ2，k ∈RC ．k ξ1+ξ2，k ∈RD ．k (ξ1–ξ2),k ∈R 8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）= r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解 9..设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002*********M M M ，则该方程组的通解为_________.12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.13.设A 为33⨯矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩R(A )= ___________.14.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2–4α1）=_________.16.设A 是m ×n 实矩阵，若R （A T A ）=5，则R （A ）=_________.17.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.三、计算题18．设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++=++12342243214321431x x x x a x x x x x x x问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.19．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解. 20.求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325432154321的通解.四、证明题21．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关.22．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.。
线性代数习题答案4
a2 + b2 3 (a2 + b2 3)(a2 − b2 3) a22 − 3b22
a22 − 3b22
3,
a1 ± a2 , b1
± b2;
a1a2
+ 3b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 a22
− 3b1b2 − 3b22
,
(a2b1 − a1b2 a22 − 3b22
)
都是有理数,故 K2 是数域.
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T , 2(x1 + y1) + 3(x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) = 0 ⇒ x + y ∈W4 , kx = (kx1, kx2 , kx3)T , 2(kx1) + 3(kx2 ) − (kx3) = 0 ⇒ kx ∈W4 故W4 对 R3 中的加法与数乘运算封闭, 它是 R3 的子空间. (5) W5 = {x ∈ R3 | 2x1 + 3x2 − x3 = 1}; 【解】W5 不是 R3 的子空间. 显然W5 中不含有零向量, 故W5 不是 R3 的子空间. (6) W6 = {x ∈ R3 | x1 − x22 = 0}.
=
a1a2 a22
+ b1b2 + b22
+
(a2b1 a22
− a1b2 ) + b22
i,
a1
± a2 , b1
± b2;
a1a2
− b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 + b1b2 a22 + b22
线性代数第四章_线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 消元法 第二节 线性方程组解的讨论一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a ≠3且a ≠-1 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = -1 (-2不行吗？) 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x2131122()21111211114211200110211110002012100121212001100.00000202000r r r r r rc c x c x x y y c y c z w z z w w w --+--------==+==-=--=∴==--===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎧⎪⎛⎫⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎪⎩⎩为常数 即或2．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方0 程组无解。
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第四章 特征值与特征向量 复习题
一、填空题
1．向量121a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 与 101b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的内积为 ，夹角为 . 2．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =_______.
3．设A 是n 阶正交矩阵，则A =______.
4．已知1234,,,a a a a 为非零3维向量组，且123,,a a a 两两正交，则向量组1234,,,a a a a 的秩为______.
5．若3λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为 .
6．设12,αα是分别属于方阵A 的不同特征值12,λλ的特征向量，则12,αα必线性 .
7．已知2是A 的一个特征值，则_______________|6|2=-+E A A .
8．设向量(1,5,,1)T k α=-与向量(2,3,2,)T k k β=-相互正交，则k = .
9．已知3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则矩阵3B A =的特征值为_______________.
10．已知)1,0,2,1(),1,0,1,1(--=-=βα.则内积=+-),3(βαβα .
11．已知3阶方阵A 的特征值为3,2,1-,则E A A ++22
的特征值为 .
12. 设()()1,2,,4,4,,2,1--==b a βα,若α与β正交,则b a ,应满足的关系为 .
13．设A 为n 阶方阵，且O E A A =+-652，则A 的特征值只能是________________. 14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111α和⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1012α都是矩阵A 对应特征值2=λ的特征向量，且212ααβ-=，则向量=βA . 15．设n λλλ,,,21 是方阵n n ij a A ⨯=)(的n 个特征值，=+++n λλλ 21 .
二、判断题
1．矩阵111
2311122
11132A ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是正交矩阵.
2．正交阵的列向量都是单位向量，且两两正交.
3．若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2
λ是2A 的特征值. 4．设A 为正交阵，则矩阵A 的特征值λ满足等式：2
1λ=. 5．若A 是正交方阵,则1T A A -=也是正交阵，且1-=A 或1-.
6．设A ,B 都是n 阶正交方阵,则AB 也是n 阶正交方阵.
7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,21,ξξ是对应的特征向量,则21ξξ+也是A 的特征向量.
8．设A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征多项式.
9．设A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征值.
10．矩阵1849998149994479
99A ⎛⎫-
- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭是正交矩阵. 三、计算题 1．求310410482A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
的特征值、特征向量. 2．求211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
的特征值及特征向量.
3．设()()122,2,1,0,1,1T T
αα=-=-,试求数k k 12,，使βαα=+k k 1122 是与α1正交的单位向量，并求β. 4．设311353002A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
.（1）求A 的特征值与特征向量.（2）写出322B A A E =-+的所有特征值， 5．设三阶方阵 A 的特征值为101,,- , 其相应的特征向量分别为1231001,1,0111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 求88A .
6．已知3阶方阵A 的特征值为3,2,1-,试求E A A 23++*
.
7．求200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值和特征向量; 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135
212b a A 的一个特征向量,试求参数b a ,及特征向量ξ所对应的特征值.。