线性代数复习题-第四章

第四章 特征值与特征向量 复习题

一、填空题

1．向量121a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 与 101b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的内积为 ，夹角为 . 2．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =_______.

3．设A 是n 阶正交矩阵，则A =______.

4．已知1234,,,a a a a 为非零3维向量组，且123,,a a a 两两正交，则向量组1234,,,a a a a 的秩为______.

5．若3λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为 .

6．设12,αα是分别属于方阵A 的不同特征值12,λλ的特征向量，则12,αα必线性 .

7．已知2是A 的一个特征值，则_______________|6|2=-+E A A .

8．设向量(1,5,,1)T k α=-与向量(2,3,2,)T k k β=-相互正交，则k = .

9．已知3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则矩阵3B A =的特征值为_______________.

10．已知)1,0,2,1(),1,0,1,1(--=-=βα.则内积=+-),3(βαβα .

11．已知3阶方阵A 的特征值为3,2,1-,则E A A ++22

的特征值为 .

12. 设()()1,2,,4,4,,2,1--==b a βα,若α与β正交,则b a ,应满足的关系为 .

13．设A 为n 阶方阵，且O E A A =+-652，则A 的特征值只能是________________. 14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111α和⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1012α都是矩阵A 对应特征值2=λ的特征向量，且212ααβ-=，则向量=βA . 15．设n λλλ,,,21 是方阵n n ij a A ⨯=)(的n 个特征值，=+++n λλλ 21 .

二、判断题

1．矩阵111

2311122

11132A ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是正交矩阵.

2．正交阵的列向量都是单位向量，且两两正交.

3．若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2

λ是2A 的特征值. 4．设A 为正交阵，则矩阵A 的特征值λ满足等式：2

1λ=. 5．若A 是正交方阵,则1T A A -=也是正交阵，且1-=A 或1-.

6．设A ,B 都是n 阶正交方阵,则AB 也是n 阶正交方阵.

7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,21,ξξ是对应的特征向量,则21ξξ+也是A 的特征向量.

8．设A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征多项式.

9．设A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征值.

10．矩阵1849998149994479

99A ⎛⎫-

- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭是正交矩阵. 三、计算题 1．求310410482A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

的特征值、特征向量. 2．求211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

的特征值及特征向量.

3．设()()122,2,1,0,1,1T T

αα=-=-,试求数k k 12,，使βαα=+k k 1122 是与α1正交的单位向量，并求β. 4．设311353002A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

.（1）求A 的特征值与特征向量.（2）写出322B A A E =-+的所有特征值， 5．设三阶方阵 A 的特征值为101,,- , 其相应的特征向量分别为1231001,1,0111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

, 求88A .

6．已知3阶方阵A 的特征值为3,2,1-,试求E A A 23++*

.

7．求200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值和特征向量; 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135

212b a A 的一个特征向量,试求参数b a ,及特征向量ξ所对应的特征值.