因式分解

x4-11x²y²+y²
x3+3x²-4
x4-12x+323
变式四：已知 6x²+7xy−3y²−8x+10y+c 是两个关于 x,y 的一次多项式的乘积，而 c 为常数，则 c=
变式五：已知 a、b、c、d 为非负整数，且 ac+bd+ad+bc=1997，求 a+b+c+d 的值是多少？
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中国最负责的教育品牌 变式六：k 为何值时，多项式 x²-2xy+ky²+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积?
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特殊的公式法：二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)， 1）十字相乘法 例一：分解因式 2x²-7xy-22y²-5x+35y-3
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变式一：分解因式： (1)x²-3xy-10y²+x+9y-2；
(2)x²-y²+5x+3y+4；
(3)xy+y²+x-y-2；
作业： (xy−1)²＋(x＋y−2)(x＋y−2xy) (x²＋3x＋2)(4x²＋8x＋3)−90 已知三角形三边 a、b、c 满足等式 a3 b3 c3 3abc证明这个三角形是等边三角形
已知 x+y=3,x²+y²-xy=4 那么 x4 y4 x3y xy 3 的值是多少？
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6x4 7x3 - 36x2 - 7x 6 x²y-y²z+z²x-x²z+y²x+z²y-2xyz x4 - 4x3 - 3x2 14x - 8
授课日期及时段 2016.04.09.13:00-15:00
教学内容
上节回顾： 直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，CH/BH=CQ/MQ=2，过点 C 作 CH⊥AB，
垂足为 H．点 P 为线段 AD 上一动点，直线 PM∥AB，交 BC、CH 于点 M、Q．以 PM 为斜边向右作等 腰 Rt△PMN，直线 MN 交直线 AB 于点 E，直线 PN 交直线 AB 于点 F．设 PD 的长为 x，EF 的长为 y．
（3）a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
（5）x²+（p+q)x+pq=（x+p)（x+q)
不常用公式：（6）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
（7）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
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解。Baidu Nhomakorabea
例一：分解因式：x3-9x+8
解法 1 将常数项 8 拆成-1+9．
解法 2 将一次项-9x 拆成-x-8x．
原式=x3-9x-1+9
原式=x3-x-8x+8
=(x3-1)-9x+9
=(x3-x)+(-8x+8)
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)
（2）(x²+4x+8)²+3x(x²+4x+8)+2x²
6x4+7x3-36x²-7x+6
说明：用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新 元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式。
变式二：分解因式：(x²+xy+y²)-4xy(x²+y²)
=(x-1)(x2+x-8)
解法 3 将三次项 x3 拆成 9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x²+x-8)
解法 4 添加两项-x²+x² 原式=x3-9x+8 =x3-x²+x²-9x+8 =x²(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x²+x-8)
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私塾国际学府学科教师辅导教案
学员编号：ssxc00191 学员姓名：杨欣悦
年 级：八年级 辅导科目：数 学
授课主题
因式分解
教学目的
1.掌握因式分解的解题方法 2.灵活运用解题方法解决因式分解问题
教学重点
遇到因式分解问题能够具体分析、展开思路
组长审核：
课 时 数：3 学科教师：俎露
(4)6x²-7xy-3y²-xz+7yz-2z²
2）待定系数法 例一：分解因式：（1）x²+3xy+2y²+4x+5y+3
（2）x4-2x²-27x²-44x+7
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变式：分解因式（1)2x²+3xy-9y²+14x-3y+20；
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（2)x4+5x3+15x-9
2.拆项、添项法：通过拆分或者添加因式发现规律，再通过公式法或者提取公因式进行因式分
说明：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一 定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法 中技巧性最强的一种。
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变式一： 分解因式 (1) x9 + x6 + x3 -3；
中国最负责的教育品牌 (2)(m²-1)(n²-1)+4mn；
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
(x+3)(x²-1)(x+5)-20
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变式三：（2x²-3x+1）-22x²+33x-1
4x²-4xy-3y²-4x+10y-3
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(2x²-3x+1)2-22x²+33x-1；
x4+7x3+14x²+7x+1；
(x+y)3+2xy(1-x-y)-1
(3)(x+1)4+(x²-1)²+(x-1)4；
(4)a4b-ab4+a²+b²+1
3.换元法：换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字
母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。
例一： 分解因式：
（1）(x²+x+1)(x²+x+2)-12
(x²+3x+2)(4x²+8x+3)-90
（x4 4y4 1 ）（x4 3y2 1 ）10x2
2x²+7xy+3y²-5x-2
x3+9x²+26x+24
变式二：(x+50)(x+6)(x+10)(x+12)-3x²
(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x²
(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
a3(b - c) b3(c - a) c3(a - b)
注意：运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰
当地选择公式．
例一：分解因式： (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4
(2)x3-8y3-z3-6xyz
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab
(4)a7-a5b2+a2b5-b7
例二：分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1
（8）an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；
（9）an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；
（1）an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中 n 为奇数。
⑴求 PM 的长(用 x 表示)； ⑵求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围(图 13 为备用图)； ⑶当点 E 在线段 AH 上时，求 x 的取值范围(图 14 为备用图)．
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因式分解常用方法：
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1.公式法：
常用公式： （1）a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
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多项式因式分解的一般步骤：
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①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
变式一：因式分解 （x2 y2 z2）2 4x2y2