通信网理论基础答案

通信网理论基础

第二章习题

求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。 解：

M/M/m （n ）的概率分布为：

假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。 其中，P j {w>x}的概率为：

可得：

特别的，新到顾客需等待的概率为：

求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。 解：

)

()

1()(S B s s s G λλρ+--=

其中 sb st e dt e b t s B -∞

-=-=⎰0

)()

(δ

从而 sb

e s s s G -+--=

λλρ)

1()( 又 ∑∞

==0

)

(i i

i s g s G

求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：

100

,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλt

t e e t f

解：M/B/1 B/M/1 B/B/1

设到达的概率密度函数为t t e e t f 2121)1()(λλλααλ---+=

设离去的概率密度函数为t t e e t f 4343)1()(λλλααλ---+=

假设423

121

λλλλααα====

()[]

[]2

1222

2122212221212121'

021210

2121212142221214

22

212221

2211

22112211

)1(2)2()1())1(()()()())(()()

()()(lim

)

)(()()()

)(()()()

)()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλλ

λλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=-+-+=

+-=

-=+++=

Φ=

=Φ=---=

Φ+++=

Φ++---=++----+-+=

-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--+-++=

==++→-+t 其中

t

t

s S w s t s s k s S s k s w t

s s k s s s t s s s s s t s s 取

s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A s

s s B s A s w w s 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a ，服务时间为b ，均为恒定值，且a>b ，

求：稳定状态时系统的队列长度为k 的概率p k ，顾客到达时队列的长度为k 的概率v k ，顾客离去时队列的长度d k ，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a ≤b 的情况。 解： 由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b 后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b 后，下一个顾客到达。

此时有：

顾客不等待时

0=w

G/G/1上界公式

)

1(20

)

()()

()()

1(22

22

222=∴=-+≤∴==∴-=-=-+≤

w t w b t t p a p t w t t t r ρσσσσδτδτρσσττΘ

当a

b

a ab

-时间后，系统队列长度增长1。 求M/E 2

/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，μτ

τμτ22)2()(-=e b

解：

设相邻呼叫到达间隔为t ，如果服务时间t >τ

，将造成呼损，t ≤τ时无呼损。

在优先级别队列中，A 队为优先级，不拒绝，B 队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A 队无人时才能被服务，求各状态概率，A 队的平均等待时间和B 队的拒绝概率。 解：

说明：

0状态代表系统中无顾客状态；

i ，j 状态代表系统中正在服务且A 队中有i 个顾客，B 队列中有j 个顾客排队的状态。

状态转移图如右，A 队到达率为1λ，B 队到达率为2λ，服务率μ，系统稳定时，应有

111<=μλρ

可得到特征方程如下:

由于4是差分方程，不妨设其通解为：i

i x p p 000= 代入有： 由于5是非齐次差分方程：

0)1(0,21,111,11,1=+++--+i i i i p p p p p ρρ 其特征根为：1ρ=a

假设其通解为：i

i

i Bx A p 011,+=ρ代入前式得：

解之，得：i

i i x p A p p B 0

0011,00-=-=ρΘ

代入3式得：

()110020111p p p +=+ρρ 即：

由正则条件：

排队系统中有三个队列,其到达率分别为

c b a λλλ,,公用同一出线路，其中a 类最优先，即线路有

空闲就发送；b 类次之，即a 无排队时可以发送，c 类最低，即a ，b 类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为n a ＝2，n b =1，n c ＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算

c b a λλλ==时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。

解：

r ，s ，k 分别表示a ，b ，c 三队中等待的呼叫数，状态以（r ，s ，k ）表示。 稳态方程：

归一条件1,,0=+∑k j i p p 若 c b a λλλ== 令μλρa

=

C 类呼损为：Λ

=-=01p p c

B 类呼损为：210110010p p p p B ++=

A 类呼损为：

200210p p p A +=

有一个三端网络，端点为321,,v v v ，边为),(211

v v e 及),(322v v e ，v1到v3的业务由

v2转接，设所有的端之间的业务到达率为λ，线路的服务率为?的?????问题，当采用即时拒绝的方式时，求：

1) 各个端的业务呼损。 2) 网络的总通过量。 3) 线路的利用率。