中值定理构造辅助函数
中值定理构造辅助函数
微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点：1将要证的结论中的ξ换成x ；2通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；3用观察法或积分法求出原函数等式中不含导数符号,并取积分常数为零；4移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a fg b g a g ξξ-=-中令x ξ=,得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-,先变形为()()'()'()()()f b f ag x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f ag x f x C g b g a -=+-,令0C =,有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在0,1内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设 231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…取0C =,则 1()F x 在0,1上连续2()F x 在0,1内可导3(0)F =0, 120(1)0231n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=,即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在0,1内至少有实根x ξ=．2 积分法对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在1,2上连续,在1,2内可导,1(1)2f =,(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=,不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ,结论变形为'()20()f x f x x -=,积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==,即2()f x c x=,从而可设辅助函数为2()()f x F x x =,有1(1)(2)2F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈,使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒'()'()()f g f ξξξ=-,将ξ换为x ,则'()'()()f x g x f x =-,两边关于x 积分,得：'()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰,所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-exp(())K g x =-,其中exp()K C =,由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知,()exp(())f x g x 为一常数K ,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =,易验证其满足罗尔定理的条件,原题得证．3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅助函数．例5：证明拉格朗日中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--,则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+--在两个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ,使()f ξξ=．分析：由图可看出,此题的几何意义是说,连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直线,而两者的交点的横坐标ξ,恰满足()f ξξ=．进而还可由图知道,对[,]a b 上的同一自变量值x ,这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数()g x ,它满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时,()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形,使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式,另一端为b 及()f b 构成的代数式．3观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是,则把其中一个端点设为x ,相应的函数值改为()f x ．4端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,(0)a b <<,试证存在一点(,)a b ξ∈,使等式()()ln '()a f b f a f bξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-,令()()ln ln f b f a k b a-=-,则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-,令b x =,可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在,在a c b <<,试证明存在(,)a b ξ∈,使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------,于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---,上式为关于a ,b ,c 三点的轮换对称式,令b x =or ：c x =,or ：a x =,则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法又叫倒推法,就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在0,1上连续,在0,1内可导,证明在0,1内存在一点C ,使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=,即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-,因此可构造函数()x G x e =,则对()F x 与()G x 在0,1上应用柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在0,1上连续,在0,1内可导,且(0)f =0,对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-n 为自然数成立． 分析：欲证其成立,只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠,故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=,于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-n 为自然数．例11：设函数()f x 在区间0,+∞上可导,且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在0,+∞内至少有1n -个不同零点．其中,a 为任意实数证明：欲证()'()af x f x +在0,+∞内至少有1n -个不同零点,只需证方程()'()af x f x +=0在0,+∞内至少有1n -个不同实根．因为,[0,+)x ∈∞,ax e 0≠,故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．引入辅助函数()()ax F x e f x =,易验证()F x 在区间12,x x ,23,x x ,…,1,n n x x -上满足罗尔定理的条件,所以,分别在这1n -个区间上应用罗尔定理,得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…,其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…以上说明方程'()0F x =在12,x x 23,x x …1,n n x x -⊂0,+∞内至少有1n -个不同实根,从而证明了方程()'()af x f x +=0在0,+∞内至少有1n -个不同实根．6 待定系数法在用待定系数法时,一般选取所证等式中含ξ的部分为M ,再将等式中一个端点的值b 换成变量x ,使其成为函数关系,等式两端做差构造辅助函数()x ϕ,这样首先可以保证()b ϕ=0,而由等式关系()a ϕ=0自然满足,从而保证()x ϕ满足罗尔定理条件,再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数,试证存在(,)a b ξ∈,使()'()ln ()()()f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-,令()()ln ()()f x x M x a f a ϕ=--容易验证()x ϕ在[,]a b 上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,存在(,)a b ξ∈使'()0ϕξ=,解得'()()f M f ξξ=,故()'()ln ()()()f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-． 证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-,设22()()()f b f a M b a -=-,令22()()()()x f x f a M x a ϕ=---,则()x ϕ满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,存在一点(,)a b ξ∈,使'()0ϕξ=,即'()2f M ξξ=,若ξ=0,则'()0f ξ=,结论成立；若0ξ≠,则'()2f M ξξ=,从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<,则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ϕ=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈,使'()0ϕξ=,即110x x e e M ξ-+=,从而11x M e x e ξ=-,这样并不能证明原结论,遇到这种情况,说明所作的辅助函数不合适,则需要将所证明的等式变形,重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--,设2121x x e e x x -=2111()M x x -,令11()x x e e x x x ϕ=-111()M x x --,则()x ϕ满足罗尔定理条件,用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈,使'()0ϕξ=,即2210e e M ξξξξξ-+=,于是(1)M e ξξ=-,故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--． 总之,证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察,适当变换待证式子；二是要认真分析,巧妙构造辅助函数．抓住这两点,即可顺利完成证明．。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
导，以ｏ）：以１）：ｏ，ｌ卸畔：１．求证：（１）存 例６设，（戈）在［０，１］上连续，在（０，１）内可 一（茗一告）２
在叩∈（专，１）使八叩）＝１７；（２）对任意实数Ａ，存
在拿∈（０，叩），使厂（ｅ）一Ａ［八乎）一手］＝１．
３８
成都纺织高等专科学校学报
２００７年４月
分析：（１）ｆＨ连续函数的零点定理，证明起来
比较直观．（２）目的是要证（厂（∈）一拿）７一Ａ（ｆ（车） 一车）＝０．由构造函数的待定因子法，令：
Ｆ（戈）＝Ｐ（石）（．厂（石）一菇），得：
∥（石）＝Ｐ’（ｚ）（厂（戈）一ｚ）＋尸（戈）（厂（戈）一戈）７
＝ｋ（（八戈）一菇）７一Ａ（／．（石）一戈））
分析：将结论中的车换成菇后，可得厂（戈）∥ （石）一ｇ（菇）厂（菇）＝Ｏ，对等式左端求积分可得一 簇函数Ｇ（戈），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝』
嗽菇）矿（菇）一ｇ（茗）厂（戈）］ｄｘ＝厂（菇）９７（舅）一ｇ
（ｘ）ｆ（名），可得ｒ（ｘ）＝火ｘ）９７（戈）一ｇ（ｘ）厂（菇）． 证明令Ｆ（茹）＝“石）９７（并）一ｇ（茗）／（菇），
（名）戈一赢～＝Ｏ，对等式左端，，求积分可得一簇函 数Ｇ（石），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝『［厂
（茗）戈一志一嘉彤髫）戈一忐一１］ｄ菇＝厂（茹）戈一去’，可
得Ｆ（石）＝．厂（茹）茹一赢～．
证明令Ｆ（ｘ）＝八ｘ）ｘ一赢～， 则Ｆ（石）在［口，６］上连续，在（口，ｂ）内可导，且：
Ｆ（口）＝Ｆ（ｂ）＝０． 由罗尔定理知，存在ｅ∈（口，ｂ），使得ｒ（拿）＝０， 另一方面：
构造辅助函数Ｆ（戈）：△型来试一试．
证明令Ｆ（茁）：丛型．
罗尔定理构造辅助函数微分方程法
构造辅助函数时(这种情况适用于所有一阶齐次微分方程的情况→即f(x)与f~(x)只差一阶导时)，先把方程写成一阶齐次微分方程的形式:f~(∮)+g(∮)f(∮)=0，再把∮改成x，最后两端同乘e~(∫g(x)dx)，即可得到辅助函数。
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间 [a,b] 上连续。
（2）在开区间 (a,b) 内可导。
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
证明：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理是微积分中重要的定理之一，它是用来描述凸函数的性质的。
在构造辅助函数时，我们可以使用中值定理来简化问题或某些证明。
具体方法如下：
1. 构造辅助函数：根据问题的特点，构造一个合适的辅助函数。
辅助函数的选择要根据具体问题来决定，可以是原函数的导数，原函数的积分等。
2. 应用中值定理：利用构造的辅助函数应用中值定理来得到有关函数的性质。
中值定理通常有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
具体选择哪个中值定理要根据辅助函数的性质和问题的要求来决定。
3. 利用中值定理的结论解决问题：根据中值定理的结论，进一步推导出问题的解决方法或者证明某些性质。
需要注意的是，构造辅助函数和应用中值定理需要根据具体的问题进行判断和分析。
不同的问题可能需要不同的辅助函数和中值定理形式来求解或证明。
因此，在使用中值定理构造辅助函数的时候，需要根据问题的特点灵活运用。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
拉格朗日中值定理证明导数
拉格朗日中值定理证明导数1. 引言拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，用于研究函数在某区间上的平均变化率与其导数之间的关系。
本文将详细介绍拉格朗日中值定理的推导过程，并证明了导数存在的条件。
2. 拉格朗日中值定理的表述首先，我们来看一下拉格朗日中值定理的表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
那么存在ξ∈(a,b)，使得：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a其中，ξ为(a,b)内的某个数。
从定理的表述中，我们可以看出拉格朗日中值定理是关于函数导数和函数值之间的关系的定理。
3. 证明过程为了证明拉格朗日中值定理，我们将分步进行证明。
步骤 1：构造辅助函数首先，我们构造辅助函数：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)辅助函数F(x)与原函数f(x)的作用是相辅相成的。
步骤 2：使用罗尔定理由于辅助函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，我们可以应用罗尔定理来证明存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。
根据罗尔定理，F(x)在闭区间[a,b]上可导，且F(a)=F(b)，则存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。
步骤 3：推导辅助函数的导数根据辅助函数F(x)的定义：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)对其求导，得到：F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a步骤 4：辅助函数的导数为零根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们得到：F′(ξ)=0代入辅助函数的导数表达式，得到：f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0经过整理，可以得到：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a这就是拉格朗日中值定理的结论。
4. 导数存在的条件根据拉格朗日中值定理的证明过程，我们可以得出导数存在的条件：•函数f(x)在闭区间[a,b]上连续•函数f(x)在开区间(a,b)上可导只有满足这两个条件，才能使用拉格朗日中值定理求得导数的值。
关于复变函数的微分中值定理及其证明
关于复变函数的微分中值定理及其证明一、引言复变函数微分中值定理是复变函数理论中的重要定理之一。
它是由微积分中的实数函数中值定理推广而来的，是研究复变函数性质的基础。
本文将详细探讨复变函数的微分中值定理及其证明过程。
二、复变函数的微分中值定理复变函数的微分中值定理是指：设f(z)在区域D上解析，z1和z2是D中的任意两点，若存在一条连接z1和z2的曲线C，且C上的每一点都在D内，则存在一点ζ在C上，使得[f(z_2)-f(z_1)=(z_2-z_1)f’().]其中，f′(ζ)是f(z)在点ζ处的导数。
三、证明过程为了证明复变函数的微分中值定理，我们将分为以下几步进行证明。
1. 构造辅助函数设ℎ(t)=f(z2)−f(z1)−(z2−z1)f(t)，其中t为参数。
令g(t)=|ℎ(t)|2，我们将证明g(t)在区间[0,1]上的最大值和最小值都达到于某一点ζ。
2. 计算辅助函数的导数根据复变函数的导数定义，我们有[g’(t)=2{h^(t)h’(t)}.]其中，ℎ∗(t)表示复共轭。
将ℎ(t)的表达式代入，得到[g’(t)=2{[f(z_2)-f(z_1)-(z_2-z_1)f(t)]^[f’(t)(z_2-z_1)-f(z_2)+f(z_1)]}.]3. 利用导数的性质由于f(z)在区域D上解析，根据柯西-黎曼方程的性质可知，f′(t)(z2−z1)−f(z2)+f(z1)=0。
根据导数的性质，g′(t)=0意味着g(t)在其定义域上取得极值。
4. 确定辅助函数的极值点根据步骤3的结果，我们知道g(t)在[0,1]上的极值点对应于ℎ(t)为常数的点。
令ℎ(t)=C，其中C为常数。
解方程可以得到t=ζ。
这表明最大值和最小值都取自于某一点ζ。
5. 求解极值点通过解方程ℎ(t)=C，我们可以求解出ζ的值。
代入ℎ(t)的表达式并整理可以得到[f’()=(f(z_2)-f(z_1))/(z_2-z_1).]由此，我们证明了复变函数的微分中值定理。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。
因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。
为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。
(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续， 而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在， 且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（， 所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='， 故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ， 故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ， 所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导， 所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=， 由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=， 由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂， 使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 证毕.。
如何构造辅助函数——浅谈中值定理及相关命题的证明
Ｊ ｎ．（ ２ ｕ ２Ｉ Ｏ
如 何 构 造 辅 助 函 数
浅谈 中值 定 理 及 相 关命 题 的证 明
丁 仰 彰
（ 州职业技 术学院基 础科学部 ， 江苏 泰 泰 州 ２５ ０ ） ２ ３０
摘 要 ： 明微分 中值 定理 及 相 关命 题 时 ， 何 构 造 辅 助 函数 ， 文作 了一 些探 讨 ， 出 了构 造 辅 证 如 本 提 助 函数 的 一般 思路 ， 对现 有教 材 中的方 法提 出了不 同意 见 。 关键 词 ： 助 函数 ； 辅 中值 定理 ； 关命 题 相
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第 ２卷第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
泰 州 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｚ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＴ ｉ ｕ Ｐ ｌ ｔｃ ｎ ｃ ｌ ｓ ｔｔ ｈ Ｉ ｉ
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作 者 简 介 ： 仰 彰 ， １４ 一 ）男 ， 苏 泰 州 人 ， 师 丁 （９９ ， 江 讲
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微分中值定理的证明
微分中值定理的证明假设函数f(x)在闭区间[a,b]上满足连续性和可导性。
根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在[a,b]上可得到最大值和最小值。
首先，我们观察在闭区间[a,b]上函数f(x)的最大值和最小值。
根据最大值和最小值的定义，存在两个点x1和x2，其中a≤x1≤b，a≤x2≤b，并且满足f(x1)≥f(x)≥f(x2)，对于任何x∈[a,b]。
接下来，我们按照下面的步骤来证明微分中值定理：步骤1：构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
这个辅助函数的目的是将原函数f(x)通过线性函数的方式转换到一个更便于证明的形式上。
根据辅助函数的构造，显然g(a)=0，g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)。
步骤2：证明辅助函数g(x)在闭区间[a,b]上可导。
首先，根据f(x)的可导性可知f(x)在闭区间[a,b]上连续，因此辅助函数g(x)也在该区间上连续。
其次，对于该辅助函数g(x)，我们可以计算它在闭区间[a,b]内的导数g'(x)。
根据导函数的定义以及线性函数导数的性质，我们有：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)。
由于f(x)在闭区间[a,b]上可导，所以g'(x)在闭区间[a,b]上也可导。
步骤3：证明辅助函数g(x)在闭区间[a,b]的特定点c处的导数值等于0。
根据罗尔定理，若函数g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且g(a)=g(b)，则存在点c位于(a,b)内，使得g'(c)=0。
由于g(a)=g(b)=0，所以根据罗尔定理，我们可以得到存在特定点c 位于(a,b)内，使得g'(c)=0，即f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0。
整理上面的等式，我们可以得到f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
构造辅助函数在Lagrange和Cauchy中值定理中的应用
国内许多教材和文献给出了微分中值定理的许
多证 明方法 ， 其 价值 不 言 而喻 。Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ定理 是 最基 本 的定 理 ， 笔者 从该 基本 定 理 出发 ， 利 用 构造 辅助 函数
ｌ ｉ ｍ
州
＋
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州
一
巩
法给出 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理 和 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ中值定理一种
Байду номын сангаас应用 ：
例 １已知 函数 ）在 ［ ０ ， 口 ］ 上 连续 ， 在 （ ０ ， ａ ）
Ｇ （ ６ ）一Ｃ （ ａ ）＝ ６ ）一 ６一 ｆ （ ａ ）＋
内可 导 ， 且 口 ）＝０． 证 明在 （ ０， 口 ）内存 在一 点 ，
二 ２ 口
６ ）一 。 ）一 （ ６一位 ） ：０。
６ ）一 口 ） ＝厂（ ） （ ６一口 ）成立 。 分析 ： 将结 论 变形 为厂（ ）一 ＝ｏ，
如果 函数 ）满 足 （ １ ） 在 闭区间 ［ 口 ， ｂ ］上 连 续； （ ２ ） 在 开 区间 （ 口 ， ６ ）内 可导 ； （ ３ ） 在 区间 端 点 处
的函数值相等 ， 即 ａ ）＝ ｂ ）， 那 么在 （ ａ ， ６ ）内至 少有一点 （ ａ＜ ＜ｂ ）， 使得厂（ ）＝０ ． 证 明： 由于 ） 在闭区间 ［ 口 ， ｂ ］ 上连续 ， 根据
证 明： 构造辅 助 函数
ｃ （ ）＝ ）一 鱼
，
’
・
显然 Ｇ （ ） 在闭 区间 ［ ａ ， ｂ ］ 上连续 ， 在开 区间
（ 口 ， ６ ）内可导 ， 且
Ｇ （ 口 ）＝ 口 ）一 口， ｃ （ ６ ）＝ ６ ）一
微分中值定理的总结及体会
, ，
由于 三点共线,故
，
即
再考察函数 ，其在 上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点 ，使 .
2.（2007）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在 ，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ，则问题转化为证明 ,只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点 ，使得 ，则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可.
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ，证明：存在
使 .
证明:设 ， ，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即 ，
设 ，由拉格郞日中值定理可得，至少存在 ，使得
，即 ，
从而 ，即 .
,
又 ，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因 ，即 ,又 在闭区间 上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此 在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由 在 上连续,在 内二阶可导,知 在 上连续,在 可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设 在 上连续，
由洛尔定理知,存在 使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设 在 内可导，且 ，证明：在 内方程 有根。
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
1.微分中值定理介绍：
微分中值定理（Differential Mean Value Theorem）是求取极限内函数导数的一种数学定理。
它是物理学和工程学中常用的，用于推导和求解常微分方程的一种有用工具。
它描述的是随着函数值的变化，函数的导数值也可以发生改变，但在某一点上，函数的导数必定是一个确定的、固定的、线性变化的值。
2.辅助函数的构造方法：
（1）首先，我们要找到一个可以表达某一函数的函数的导数的函数，这个函数就是我们要构建的辅助函数，它可以帮助我们求取微分中值定理中函数的导数。
（2）然后，应用微分中值定理求取函数的导数，需要在该函数的极限点处计算微分，而极限点则是指函数的两侧，其函数值接近零的一对点。
（3）接下来，根据辅助函数的性质，在每个极限点处，构造出一个可以将函数的值表达出来的函数，并让它与辅助函数极限点处作差，计算出该函数的绝对值。
（4）最后，比较绝对值大小，将小于或等于微分中值定理规定的阈值的绝对值画出来，即可求得函数对应的导数值。
柯西中值定理辅助函数
柯西中值定理辅助函数
柯西中值定理辅助函数是一种数学工具，主要用于证明某个函数的连续性。
它结合了柯西中值定理以及泰勒展开式，使得证明连续性的过程变的更加简单、快捷。
柯西中值定理辅助函数的步骤如下：
1. 首先将待证函数定义在区间[a,b]上，其中a<b。
2. 将函数f(x)在[a,b]上分段展开成多项式，令P(x)表示其中一段的多项式表达式；
3. 设c是a和b之间的某个数，使得a< c < b；
4. 将P(x)在区间[a,b]内替换为P(c)，并根据柯西中值定理知道，P(x)在[a,b]内的最大值和最小值分别为
P(c)±K|f(x)|，其中K是常数；
5. 由此可得，当|f(x)|≤P(c)/K时，P(x)在[a,b]内就会保持连续性；
6. 最后，如果能够证明|f(x)|≤P(c)/K，则证明
f(x)在[a,b]上是连续函数。
中值定理的证明中如何构造辅助函数
中值定理的证明中如何构造辅助函数中值定理是微积分中的一种重要定理，用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
证明中值定理需要引入辅助函数，我们可以通过构造辅助函数来进行证明。
下面我们详细介绍如何构造辅助函数并利用其来证明中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
首先，我们需要构造一个辅助函数g(x)来辅助证明。
设辅助函数为：g(x)=f(x)-k(x-a)其中k为待定常数，a为[a,b]中的其中一固定点。
我们现在要证明：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且f'(x)连续，则存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
证明过程如下：1.首先，我们求辅助函数g(x)在(a,b)上的导数：g'(x)=f'(x)-k2.根据题目条件，f(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导，则f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在(a,b)上连续。
3.由于f'(x)在(a,b)上连续，所以根据介值定理，对于任意两个值A和B，且A<B，则存在一点c∈(A,B)，使得f'(c)=(f(B)-f(A))/(B-A)。
4.我们希望g'(c)=f'(c)-k=0。
为了满足这个条件，我们可以令k=f'(c)，则g'(c)=0。
5.因此，我们需要找到一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=k。
根据介值定理，存在点c∈(a,b)，使得f'(c)=k=f'(c)。
即存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
6.由于g'(c)=0，根据微积分基本定理，g(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导。
7.根据拉格朗日中值定理，g(a)-g(b)=g'(c)(a-b)。
中值定理命题证明中的辅助函数构造
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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得 的界面，界面上 部可以按照班 级、教师和教室 选择的控件，下 部是具体数据信 息浏览效果．
３ 结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性， 结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便 捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
证明 在区间（口，ｃ）内存在一点ｆ，使
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微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a fg b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f ag x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f ag x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续2）()F x 在（0，1）内可导3）(0)F =0， 120(1)0231n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f =，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==，即2()f x c x=，从而可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f x g x f x =-，两边关于x 积分，得：'()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰，所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-exp(())K g x =-，其中exp()K C =，由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知，()exp(())f x g x 为一常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．例5：证明拉格朗日中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--，则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+--在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ，使()f ξξ=．分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直线，而两者的交点的横坐标ξ，恰满足()f ξξ=．进而还可由图知道，对[,]a b 上的同一自变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数()g x ，它满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代数式． 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为x ，相应的函数值改为()f x ．4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在一点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()a f b f a f bξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()ln ln f b f a k b a-=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-． 分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-（n 为自然数）成立． 分析：欲证其成立，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为自然数）．例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内至少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内至少有1n -个不同零点，只需证方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．引入辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应用罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…以上说明方程'()0F x =在[12,x x ][23,x x ]…[1,n n x x -]⊂[0，+∞]内至少有1n -个不同实根，从而证明了方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中一个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ϕ，这样首先可以保证()b ϕ=0，而由等式关系()a ϕ=0自然满足，从而保证()x ϕ满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使()'()ln ()()()f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()f x x M x a f a ϕ=--容易验证()x ϕ在[,]a b 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0ϕξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln()()()f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-．证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ϕ=---，则()x ϕ满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，则'()0f ξ=，结论成立；若0ξ≠，则'()2f M ξξ=，从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--． 分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ϕ=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即110x x e e M ξ-+=，从而11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11()x x e e x x x ϕ=-111()M x x --，则()x ϕ满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即2210e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．。