基本三角函数知识点总结

基本三角函数
一、重要知识点
1、已知角α为第一象限，求α/2,α/3,α/4为第几象限
2、弧度与角度的转变
特别是一弧度大约等于57度要知道，便于三角函数比较大小和判断正负，举个例子sin （cos30°）与cos （cos30°）大小
3、弧长公式以及弧长公式的公式的推导
||l R α=，扇形面积公式：211||22
S lR R α== 4、基本三角函数的定义
此章节的基础，比如能理解为什么sinX 在一二象限为正？为什么正弦和余弦平方和等于一？为什么正切余切在一三象限为正，为何正切等于正弦除余弦
重点掌握正弦、余弦和正切余切，正割余割不用掌握
5、诱导公式，奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：
这个是此章节的重点，只要理解这个定理，就不必记书上繁琐的公式
6、三角函数的两角和与差公式的推导过程，并逐渐推导二倍角公式，半角公式，万能公式，辅助角公式
四川去年高考题就是余弦两角和的公式推导
7、三角函数的定义域、值域，周期性、奇偶性、单调性、对称中心和对称轴、图像以及三角函数的变换
()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由 ？
振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：
x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕω
()a
b
Sin b a bCos aSin y =++=+=ϕϕαααtan , 22其中
补充知识点
1．常见三角不等式：（1）若(0,)2x π
∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π
∈，则1sin cos 2x x <+≤. (3) |sin ||cos |1x x +≥. 2.三角形面积定理：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如
()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5
αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
πα+的值是_____（答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223
sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：23431(1)555
y x x x =--+<<） (2)三角函数名互化如（1）求值sin50(13tan10)+ （答：1）；（2）已
知sin cos 21,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。

如（1）已知
A 、
B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则c o s ()A B +＝_____（答：22-）；(2)设AB
C ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，34sin Acos A =，则此三角形是____三角形（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：
21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

如(1)若32(,)αππ∈，化简111122222
cos α++为_____（答：sin 2α）； 4.辅助角公式中辅助角的确定：
()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，t a n x 的值是______(答：32
-)；（3）如果()()s i n 2c o s ()f x x
x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= (答：－2)；（4）求值：=︒+︒
-︒20sin 6420cos 120sin 3222________(答：32) 5.函数sin(
)y A x k ωϕ=++的图象与s i n y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数
()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位，如（1）函数2sin(2)14y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？（答：2sin(2)14y x π
=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，再向左平移8
π个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24
x y π=-的图
象，只需把函数sin 2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2π）；
（3）将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像
关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6a π
=-- ）；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 （答：[1,2)）
6.研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，
只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成s i n
y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

如（1）函数23
y sin(x )π
=-+的递减区间是______（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（2）12
34x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：336644
[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（3）设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心
x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=
成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。

其中正确结论是_______（答：②④）；
（5）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3
π，那么此函数的周期是_______（答：π）。