求二面角的平面角
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正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ， 的棱长为1， 例2.正方体 正方体 － P是AD的中点 求二面角 －BD1－P的大小 的中点,求二面角 的大小. 是 的中点 求二面角A－ 的大小
C1 D1 E C D P F A1 B1
B A
高考题)⊿ 例3、(高考题 ⊿ABC中，AB⊥BC， 、 高考题 中 ⊥ ， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分 ， 平面 ， 垂直平分SC， 垂直平分 ＝ａ，SB＝ 又SA＝AB＝ａ， ＝BC, ＝ ＝ａ， 平面BDE, （1）求证：SC ⊥平面 ）求证： 的大小? （2）求二面角 －BD－C的大小 ）求二面角E－ － 的大小
复习： 复习：
二面角的平面角ห้องสมุดไป่ตู้
以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二面角的求法 二面角的求法
(1)定义法 (1)定义法——直接在二面角的棱上取一 直接在二面角的棱上取一 定义法 特殊点） 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角. 垂线，得到平面角.
作业： 作业：
1.四棱锥 四棱锥P-ABCD的底面 四棱锥 的底面 是边长为4的正方形 的正方形， 是边长为 的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6， ⊥ ， ， M,N是PB,AB的中点，求 是 的中点， 的中点 二面角M－ － 的平 二面角 －DN－C的平 D 面角的正切值？
2.如图，在平面角为60 的二面 角α -l-β内有一点P，过P作PC ⊥ α 于点C，PD ⊥ β 于点D，且PC=1， PD=2，求（1）CD的长； （2）P到棱l的距离为多少？
(2)三垂线法 (2)三垂线法——利用三垂线定理或 三垂线法 利用三垂线定理或 逆定理作出平面角， 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小. 形求角的大小.
(3)垂面法 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 垂面法 通过做二面角的棱的垂 两条交线所成的角即为平面角. 面，两条交线所成的角即为平面角.
0
P
M C B N
A
α
P
β
C
D
l
求二面角的平面角
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角 的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平 面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力． 二、教学重点、难点 教学重点、 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出 二面角的平面角来解题．
4)射影面积法 射影面积法——若多边形的面积是 ，它在 若多边形的面积是S， (4)射影面积法 若多边形的面积是 一个平面上的射影图形面积是S’ 则二面角θ 一个平面上的射影图形面积是 ’，则二面角θ 的大小为COSθ ＝ S’÷ S 的大小为 ’
A
B
E
O
D
C
3
年江西卷） 例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥 －BCD中， （ 年江西卷 如图，在三棱锥A－ 中 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 是全等的直角三角形， 是公 侧面 、 是全等的直角三角形 共的斜边， 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 ＝ ＝ ＝ ， 侧面是正三角形，求二面角B－ － 的大小 的大小. 侧面是正三角形，求二面角 －AC－D的大小 A
S E A D C B
解：（ ）因为SB＝BC，E为SC的中点， 1 所以BE ⊥ SC，又DE ⊥ SC 因此SC ⊥ 平面BDE （2）由SC ⊥ 平面BDE，得BD ⊥ SC 又由SA ⊥ 平面ABC，得BD ⊥ SA 则BD ⊥ 平面SAC 因此∠CDE为二面角E－BD－C的平面角 由AB ⊥ BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a SA a 3 在Rt∆SAC中，tan∠SCA= = = AC 3a 3 则∠SCA=300，则∠CDE=900－∠SCA＝600
A D C B S E
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 正方体 － 求二面角D 的大小？ 求二面角 1—AC—D的大小？ 的大小
D1 A1 B1 C1
答案：arctan 2
C
D A
O
B
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 二面角是立体几何的重点、热点、 求二面角的大小方法多， 点 ， 求二面角的大小方法多 ， 技巧性 但一般先想定义法，再想三垂线法， 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系． 要抓住题目中的垂直关系． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 实施解题过程仍要注意“ 三环节，计算一般是放在三角形中， 三环节，计算一般是放在三角形中，因 化归”思想很重要. 此，“化归”思想很重要
N
B
M
D C
解：作BM ⊥ AC于M，作MN ⊥ AC交AD于N， 则∠BMN就是二面角B − AC − D的平面角 由AB = AC = BC = 2, M是AC的中点，且MN//CD 6 1 1 1 3 得BM = , MN = CD = , BN = AD = . 2 2 2 2 2 由余弦定理得 BM + MN − BN 6 cos ∠BMN = = , 2 BM ⋅ MN 3 6 则∠BMN = arccos . 3
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ， 的棱长为1， 例2.正方体 正方体 － P是AD的中点 求二面角 －BD1－P的大小 的中点,求二面角 的大小. 是 的中点 求二面角A－ 的大小
C1 D1 E C D P F A1 B1
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高考题)⊿ 例3、(高考题 ⊿ABC中，AB⊥BC， 、 高考题 中 ⊥ ， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分 ， 平面 ， 垂直平分SC， 垂直平分 ＝ａ，SB＝ 又SA＝AB＝ａ， ＝BC, ＝ ＝ａ， 平面BDE, （1）求证：SC ⊥平面 ）求证： 的大小? （2）求二面角 －BD－C的大小 ）求二面角E－ － 的大小
复习： 复习：
二面角的平面角ห้องสมุดไป่ตู้
以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
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二面角的求法 二面角的求法
(1)定义法 (1)定义法——直接在二面角的棱上取一 直接在二面角的棱上取一 定义法 特殊点） 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角. 垂线，得到平面角.
作业： 作业：
1.四棱锥 四棱锥P-ABCD的底面 四棱锥 的底面 是边长为4的正方形 的正方形， 是边长为 的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6， ⊥ ， ， M,N是PB,AB的中点，求 是 的中点， 的中点 二面角M－ － 的平 二面角 －DN－C的平 D 面角的正切值？
2.如图，在平面角为60 的二面 角α -l-β内有一点P，过P作PC ⊥ α 于点C，PD ⊥ β 于点D，且PC=1， PD=2，求（1）CD的长； （2）P到棱l的距离为多少？
(2)三垂线法 (2)三垂线法——利用三垂线定理或 三垂线法 利用三垂线定理或 逆定理作出平面角， 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小. 形求角的大小.
(3)垂面法 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 垂面法 通过做二面角的棱的垂 两条交线所成的角即为平面角. 面，两条交线所成的角即为平面角.
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求二面角的平面角
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角 的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平 面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力． 二、教学重点、难点 教学重点、 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出 二面角的平面角来解题．
4)射影面积法 射影面积法——若多边形的面积是 ，它在 若多边形的面积是S， (4)射影面积法 若多边形的面积是 一个平面上的射影图形面积是S’ 则二面角θ 一个平面上的射影图形面积是 ’，则二面角θ 的大小为COSθ ＝ S’÷ S 的大小为 ’
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年江西卷） 例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥 －BCD中， （ 年江西卷 如图，在三棱锥A－ 中 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 是全等的直角三角形， 是公 侧面 、 是全等的直角三角形 共的斜边， 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 ＝ ＝ ＝ ， 侧面是正三角形，求二面角B－ － 的大小 的大小. 侧面是正三角形，求二面角 －AC－D的大小 A
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解：（ ）因为SB＝BC，E为SC的中点， 1 所以BE ⊥ SC，又DE ⊥ SC 因此SC ⊥ 平面BDE （2）由SC ⊥ 平面BDE，得BD ⊥ SC 又由SA ⊥ 平面ABC，得BD ⊥ SA 则BD ⊥ 平面SAC 因此∠CDE为二面角E－BD－C的平面角 由AB ⊥ BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a SA a 3 在Rt∆SAC中，tan∠SCA= = = AC 3a 3 则∠SCA=300，则∠CDE=900－∠SCA＝600
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在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 正方体 － 求二面角D 的大小？ 求二面角 1—AC—D的大小？ 的大小
D1 A1 B1 C1
答案：arctan 2
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小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 二面角是立体几何的重点、热点、 求二面角的大小方法多， 点 ， 求二面角的大小方法多 ， 技巧性 但一般先想定义法，再想三垂线法， 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系． 要抓住题目中的垂直关系． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 实施解题过程仍要注意“ 三环节，计算一般是放在三角形中， 三环节，计算一般是放在三角形中，因 化归”思想很重要. 此，“化归”思想很重要
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解：作BM ⊥ AC于M，作MN ⊥ AC交AD于N， 则∠BMN就是二面角B − AC − D的平面角 由AB = AC = BC = 2, M是AC的中点，且MN//CD 6 1 1 1 3 得BM = , MN = CD = , BN = AD = . 2 2 2 2 2 由余弦定理得 BM + MN − BN 6 cos ∠BMN = = , 2 BM ⋅ MN 3 6 则∠BMN = arccos . 3