正交矩阵的一些有用性质及应用
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nn
，A A ， 若存在正交矩阵 Q R
T
nn
， 使得 B Q AQ ， 则有 B
T
F
AF
证明：因为 A 为 n 阶实对称矩阵，所以 A 有 n 个实特征值，设其特征值为 1 , 2 , , n ， 则 A
2 F 2 aij tr ( AT A) tr ( A2 ) i 1 j 1 n n
正交矩阵的一些有用性质及应用
定义：设 P R
nn
，且 PP I （ I 为 n 阶单位矩阵） ，则称 P 为正交矩阵
T n
设正交矩阵 P [ P （ Pi R ， i 1,2, , n ） 1, P 2 , , P n ]， 则有 Pi Pj
T
1，i j ， i, j 1,2, , n 0，i j
因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可正交对角化，即存在正交矩阵 P R
nn
， P P ，使得
T
1
P T AP diag (1 , 2 , , n ) ，所以 A PP T ， A2 P2 P T
设 P [P 1, P 2 , , P n ] ，则
T P 1 T n 2 2 2 P 2 A2 P2 P T [ P i2 Pi Pi T 1, P 2 , , P n ]diag (1 , 2 , , n ) i 1 T Pn
由此得 tr ( P 1P 1 ) p11 p21 pn1 1 ，而 tr ( P 1 P 1) 1
T 2 2 2 T
这也验证了关于矩阵秩的一条重要性质： 设矩阵 A R
mn
， BR
nm
，则 tr ( AB ) tr ( BA)
证明此处省略，可以用矩阵乘法的定义证明 下面用正交矩阵及秩的相关性质证明一条定理 定理： 设 A R
T
设P 1 [ p11 , p21 , , pn1 ] ，则有
p11 p T 21 p 2 p 2 p 2 1 P P [ p , p , , p ] 1 1 11 21 n1 11 21 n1 pn1
2 p11 , p11 p21 , , p11 pn1 p11 p 2 p 21 p11 , p21 , , p21 pn1 21 T P [ p , p , , pn1 ] 1P 1 11 21 2 p p p , p p , , p n 1 n1 n1 11 n1 21
tr ( A2 ) i2tr ( Pi Pi T ) ，而 tr ( Pi Pi T ) tr ( Pi T Pi ) 1
i 1
n
故 tr ( A )
2
i2 ，所以 B 也有类似结果，而 B 与 A 特征值相同，故得结论
，A A ， 若存在正交矩阵 Q R
T
nn
， 使得 B Q AQ ， 则有 B
T
F
AF
证明：因为 A 为 n 阶实对称矩阵，所以 A 有 n 个实特征值，设其特征值为 1 , 2 , , n ， 则 A
2 F 2 aij tr ( AT A) tr ( A2 ) i 1 j 1 n n
正交矩阵的一些有用性质及应用
定义：设 P R
nn
，且 PP I （ I 为 n 阶单位矩阵） ，则称 P 为正交矩阵
T n
设正交矩阵 P [ P （ Pi R ， i 1,2, , n ） 1, P 2 , , P n ]， 则有 Pi Pj
T
1，i j ， i, j 1,2, , n 0，i j
因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可正交对角化，即存在正交矩阵 P R
nn
， P P ，使得
T
1
P T AP diag (1 , 2 , , n ) ，所以 A PP T ， A2 P2 P T
设 P [P 1, P 2 , , P n ] ，则
T P 1 T n 2 2 2 P 2 A2 P2 P T [ P i2 Pi Pi T 1, P 2 , , P n ]diag (1 , 2 , , n ) i 1 T Pn
由此得 tr ( P 1P 1 ) p11 p21 pn1 1 ，而 tr ( P 1 P 1) 1
T 2 2 2 T
这也验证了关于矩阵秩的一条重要性质： 设矩阵 A R
mn
， BR
nm
，则 tr ( AB ) tr ( BA)
证明此处省略，可以用矩阵乘法的定义证明 下面用正交矩阵及秩的相关性质证明一条定理 定理： 设 A R
T
设P 1 [ p11 , p21 , , pn1 ] ，则有
p11 p T 21 p 2 p 2 p 2 1 P P [ p , p , , p ] 1 1 11 21 n1 11 21 n1 pn1
2 p11 , p11 p21 , , p11 pn1 p11 p 2 p 21 p11 , p21 , , p21 pn1 21 T P [ p , p , , pn1 ] 1P 1 11 21 2 p p p , p p , , p n 1 n1 n1 11 n1 21
tr ( A2 ) i2tr ( Pi Pi T ) ，而 tr ( Pi Pi T ) tr ( Pi T Pi ) 1
i 1
n
故 tr ( A )
2
i2 ，所以 B 也有类似结果，而 B 与 A 特征值相同，故得结论