指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法

注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>.

一、知识要点：

1、指数方程的解法：

（1）同底去底法：()()()()f x g x a

a f x g x =⇔=； （2）化成对数式：log ()()()log a

b f x f x a a

b a a f x b =⇔=⇔=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =⇔=⇔=.

2、对数方程的解法：

（1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =⇔=；

（2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =⇔=⇔=；

（3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a

a f x a =⇔=⇔=.

3、指数不等式的解法：

（1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x <⇔<；

01a <<时，()()()()f x g x a a f x g x <⇔>；

（2）化成对数式：

1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b <⇔<⇔<；

01a <<时，log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b <⇔<⇔>；

（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b <⇔<⇔<.

4、对数不等式的解法：

（1）同底去底法：

1a >时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x <⇔<<；

01a <<时，log ()log ()()()0a a f x g x f x g x <⇔>>；

（2）化成指数式：

1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a <⇔<⇔<<；

01a <<时，log ()log ()log ()0b b a a a f x b f x a f x a <⇔<⇔>>.

二、巩固提高：

1、解下列方程或不等式：

（1）139

x = （2）38x = （3）139x <

（4）1()83x

≤

（5）3log 2x = （6）31log 2x =

（7）3log (1)2x -<

（8）12log (21)2x -≥

2、解下列方程或不等式：

（1）012242=--+x x

（2） x x x 4269⋅=+

（3）()13lg lg =++x x

（4）)1(332)21(22---

（5）)102(log )43(log 31231+>--x x x ； （6）293183

1>⋅+-+x x

（7）222

2232≤+-x x （8）34324x x +->

（9）39log (1)log (5)x x -=+； （10）224(01)x

x x a a a a -+>>≠且

3、填空题：

（1）不等式16)21(1281≤

a a -<<则的取值范围是 . （3）已知log 7log 70m n <<，则,,0,1m n 之间的大小关系是 .

（4）函数()log ()x a f x a a =-的定义域是 .

（5

）函数()f x =的定义域是 . （6）若3log (lg )1x =，则x = .

（7

）若log (32x +=-，则x = .

（8）已知20.5log (0)()log ()(0)x

x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()()f x f x >-，则x 的取值范围是 .

（9）已知3()|log |f x x =，当02a <<时，有()(2)f a f >，则a 的取值范围是 .

（10）已知函数3log (0)

()3(0)

x x x f x x >⎧=⎨≥⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是 . （11）关于x 的不等式()2lg lg 20x x -->的解集是 ；

（12）关于x 的不等式2log (24)2x -<的解集是 ；

（13）设0a >且1a ≠，若2log 2log a a <，则a 的取值范围是 .

（14）对于22322)2

1(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围 . （15）不等式0log 2<-x x a 在1

(0,)2

x ∈内恒成立,则x 的取值范围是 . 4、已知R 为全集，}125|

{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ，求R C A B .

5、已知关于x 的方程0492122=+---x x a a 有一根是2．

（1）求实数a 的值； （2）若10<

的解集．