力学中的数学方法-张量-2
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
σ σ0 σd
0 (1 2 3 ) / 3
d(i) i 0
：由 σ产生的应变能密度可分解为： V d
V：由体积变形引起； P：体积变，形状不变； d：由形状变形引起。 D：体积不变，形状变。
塑性流动条件：
J
D 2
=
Const.
一般塑性流动条件：
f
J
D 2
,
J
Q1 QT
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向，轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
➢ 非负张量的构造：任意二阶张量T
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
哈工大弹塑性力学02_张量概念
……
12 / 48
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹塑性力学-02(张量初步)
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
连续介质力学第二章.
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (, 1, 2)
从三维退化得到
e ei j3 e 3
其中
e11 e22 0, e12 e21 1
有下列恒等式
e e
又如，方程
12
2 2
32
111
2 22
333
用指标法表示，可写成
i i i ii i ii i ii
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
1.5.1 坐标系的变换关系
ij cos(ei , e j ) ei e j
旧 新
e1
e 2 e 3
e1
11 21 31
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3 bjj b11 b22 b33
cmem c1e1 c2e2 c3e3
双重求和
33
S
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
连续介质力学中变形梯度张量客观性表述的分歧-两点张量
连续介质力学中变形梯度张量客观性表述的分歧两点张量论文导读:：客观性是连续介质力学。
因此将其称为两点张量。
并明确指出变形梯度是客观性张量。
考虑到功共轭也存在相似的问题。
论文关键词：客观性，一点张量，两点张量，变形梯度，功共轭1简介客观性是连续介质力学，特别是连续固体介质力学中重要的一个概念，它强调了本构关系与刚体转动无关。
所谓客观性，也称为标架不变性、标架无差异，是指材料的本构关系不因观察者不同而发生形式上的变化，这就要求构建本构关系的应力应变张量在时空变换时遵守一定的准则以保证本构方程的标架不变性，即要求应力应变张量具有客观性。
变形梯度是一个联系初始构型与当前构型的两点张量，在连续介质力学中具有核心地位、是定义各类应变张量的基础，同时两点张量，基于变形梯度张量也可实现各类应力张量之间的转换。
由于在构建本构关系时直接应用的是应变（应力）及与其共轭的应力（应变），必须鉴别各类应力应变量的客观性，因此现有文献与教材对各类应力应变讨论较多，且对基于一点的应力应变张量的客观性的具有统一的观点[1-4]。
但对于变形梯度等两点张量的客观性的表述存在分歧，如匡震邦[3]与Belytschko等[4]对Euler-Lagrange两点张量的客观性给出了定义，并明确指出变形梯度是客观性张量，而黄克智[2]与Bock等[5]则认为变形梯度张量不是客观张量。
这种表述上的分歧在于张量客观性的定义不同，那么到底该如何理解张量的客观性？为此本文从变形梯度张量的定义及张量分类开始，然后介绍客观性的几种定义，并基于连续介质力学中张量的逆及功共轭角度分析了几种定义的差别论文参考文献格2变形梯度张量及张量的类型这里仅以欧式空间为例，考虑变形体在固定参考构形内质点的位置向量以表示，时刻当前构形的同一物质点的位置向量以表示，则变形体的运动可通过如下映射描述[6]（1）对于同一物质点，不随时间变化，称为物质坐标或Lagrange坐标，而是同一物质点在的空间位置，称为空间坐标或者Euler坐标。
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
数学中的张量分析方法
数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。
它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。
本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。
一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。
在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。
高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。
2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。
这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。
二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。
要求参与运算的张量具有相同的维度。
2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。
数乘并不改变张量的维度。
3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。
它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。
4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。
它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。
三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。
它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。
2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。
它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。
3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。
例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。
4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。
它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。
结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。
通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。
张量分析-第2讲
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
张量以及力学应用
（ 1-2.2 ）
υ = { υi} （i = 1,2,3.....n）
（ 1-1.3 ）
同理，基矢 i, j可,k分别写为 e1，或者e2，e3
ei (i = 1,2,3)
N 维空间的基矢，可写为：ei (i = 1,2,3.....n)
与 (1-1.2) 式对应的写法为
υ = υ1e1 + υ2e2 + υ3e3 + ......+ υnen
（ 1-22 ）
βij′ = ei • ej′ = ei ej′ cos θ = cos（i, j′）
（ 1-23 ）
为新坐标轴对旧坐标轴的方向余弦。
利用 β记号还可以写出新旧坐标的关系。比如矢径 ，r在新、旧坐
标系上表为 r = xi′，ei′ 左= 右x je两j 边点乘 后，得 ek′ xi′ei′ • ek′ = xi′δi′k′ = x jej • ek′ = x j β jk′
一指标的 ，a必i 定是矢量。 单纯从一个量有分量。 或ai ( ，a1 ，a2 ) 并a不3 能断定它就是矢量
矢量运算
1. 矢量的加法 矢量的加 ( 减 ) 法运算在图形
υ υ2
表示法中，可以采用三角形法或 平行四边形法
分量表示法
r1
三角形法
用指标记法 用基矢表示
υ ± w = (υx ± wx ,υy ± wy ,υz ± wz ) υ ± w = (υ1 ± w1 ,υ2 ± w2 ,υ3 ± w3 )
变换后的新坐标系为 ox1x2，x3其基矢 ( 标架 ) 为
e1′，。e2′，e3′
设一矢量 。v 用旧坐标和新坐标系表示分别为
用
ej点′ 乘（
附录I：张量概念及其基本运算
Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称 为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式 的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算 前优先求和。例：
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
《张量及应用》课件
信号处理中的张量
要点一
总结词
处理多维信号和多媒体数据
要点二
详细描述
在信号处理中，张量用于表示和处理多维信号，如音频、 图像和视频数据。通过张量分解和变换，可以实现信号的 降噪、压缩和特征提取，广泛应用于多媒体处理和通信领 域。
04
张量在数学领域的应用
微分几何中的张量
感谢观看
THANKS
张量的性质
总结词
张量具有标量、矢量和矩阵的性质
详细描述
张量具有标量、矢量和矩阵的性质。标量是只有大小没有方向的量，而矢量既有大小又有方向。矩阵 则表示二维或三维空间中各元素之间的关系。张量的性质还包括对称性、反对称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正定性等。
张量的运算
总结词
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等
详细描述
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等。点乘和叉乘是两种重要的向量运算，分别用于计算两个向量的内积 和外积。缩并运算则是将多个相同类型的张量进行组合，以形成更高阶的张量。求导运算则是用于计算张量函数 的导数，以便分析其变化规律。
03
张量在工程领域的应用
计算机图形学中的张量
总结词
实现高效渲染和逼真效果
详细描述
在计算机图形学中，张量被用于描述 三维物体的几何形状和属性，如位置 、方向和速度。通过张量运算，可以 实现高效的光线追踪和渲染算法，创 造出逼真的视觉效果。
机器学习中的张量
总结词
提高模型性能和计算效率
详细描述
机器学习中，张量被用作高维数据的数学工 具，如图像、文本和时间序列数据。通过张 量分解和优化算法，可以提取数据中的特征
自然语言处理
利用张量处理大规模文本数据，实现文本分类、情感 分析等任务。
关于张量分析的数学原理和实际应用案例
关于张量分析的数学原理和实际应用案例引言张量分析是一门重要的数学分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。
作为一种多维量、多方向、多变量的数据结构，张量在物理、力学、电磁学、地球物理学等领域的描述、建模与计算中起着不可或缺的作用。
本文将介绍张量分析的数学原理以及实际应用案例，旨在帮助读者更好地了解这门学科。
第一部分数学原理1.张量的定义按照一般的定义，张量是一个可用于表示多维量和多向量之间关系的数学对象。
它可以看做是一种多维矩阵，其中每个元素都有多个指标。
与标量和向量不同，张量的指标可以有多个，我们常常用字母来表示。
2.张量的运算在张量分析中，张量的运算包括加、减、乘等。
与标量和向量不同，张量的乘法并不等同于代数乘法，而是采用了一种特殊的“卷积运算”。
例如，两个二阶张量相乘的结果是一个四阶张量。
这种方法既能描述多维多向量之间的关系，又可以实现基本的数学运算。
3.张量的变换由于张量具有多个指标，所以张量的变换涉及到各个指标的变化。
例如，一个二阶张量在坐标系变换后，其各个分量会发生相应的变化。
我们可以通过矩阵变换来描述张量的变换规律。
这一点在物理领域的应用尤其常见。
第二部分实际应用案例1. 电磁场模拟电磁场模拟是利用计算机模拟电磁场分布的方法，是工程和科学研究中的一项重要任务。
在这个过程中，张量分析被广泛应用。
例如，可以用张量表示电场强度、磁场强度等物理量，通过各种运算描述它们之间的关系。
同时，也可以用张量来描述电磁波的传播规律，实现电磁场的精确计算。
这种方法被广泛应用于电子器件设计、通讯技术等领域。
2. 生物医学图像处理生物医学图像处理是生物医学领域研究的一个重要方向，包括了图像采集、处理、分析等各个环节。
其中，张量分析被广泛应用于图像处理中。
例如，可以用张量表示医学图像中的像素强度、颜色等信息，通过各种运算分析其空间分布与统计规律，实现对生物组织的诊断、治疗等应用。
这种方法在医学影像学、神经科学等领域有着广泛的应用。
1第一章 笛卡尔张量
序言张量分析对于现在的力学专业学生以及力学相关问题的解决，是应该掌握的重要数学工具。
事实上，如果没有张量的知识，就无法学习连续介质力学基本理论和阅读相关专业的文献资料。
无庸讳言，张量概念非常抽象，相对来说比较难于学习和把握。
但是，只要克服张量学习过程中的畏难情绪，抓住张量概念的关键点，梳理张量分析的基本数学规则，结合一定的力学实例的张量描述，从而建立张量分析的概念和基本分析方法，就能够为运用张量分析解决实际问题奠定坚实基础。
张量概念最早是由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托夫(Christoffel)等人在十九世纪发展微分几何过程中引入的，是从线性空间推广到非线性空间的纯粹数学的演绎，由于自然科学发展水平的限制，这种具有根本性变革的数学工具长期被自然科学领域所忽略。
直到1915年，爱因斯坦获得格罗斯曼的协助，借助张量分析这一数学工具创立了伟大的广义相对论，才凸显了张量分析在描述具有协变性质物理规律的关键作用。
这个事实再次有力地向我们传达了数学和自然科学之间彼此的依存关系，即数学的规则被赋予了自然规律的意义后才成为有生命力的学问，而借助数学工具建立起的自然规律才能呈现自然科学的奥秘。
此后，张量分析迅速渗透到理论物理、现代微分几何、连续介质力学等学科领域中。
就力学专业的学生而言，学习和掌握张量分析，可以更加深刻地领会连续介质力学的概念和一般力学规律，充分锻炼我们的理性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力和水平。
用代数方法和解析方法描述空间问题时，必须引进坐标系或建立坐标基矢量。
坐标系的引入为建立各种物理或几何规律带来了可能和极大的方便，同时也往往使问题复杂化。
可以设想，客观规律应该独立于坐标系，但客观规律的表达形式却严重依赖于所用的具体坐标系，使得客观规律本身的内在性质与建立在坐标系上的数学表达形式完全融为一体。
这样，一方面可能会因其数学的形式外壳而不易揭示问题的内在本质，另一方面，甚至对很多客观规律根本无法进行数学表述。
《流体力学》课件 第二次课 应力张量、应变率张量
1
1 2
2 x3
3 x3
3 x2
1
2 1
2
3 2
1 2
3
2
1 2
1
1
2 1
2
2 1
3
1. 变形速度张量对角线分量的物理意义
r1 xi，r2 yj ，r3 zk
（1）（2）（3）
d r V r V
dt
（1）（4）（, 2）（5）（, 3）（6）
d dt d dt
pnn pnn
pnz pzz pnz pnn
pnn pxx p yy pzz p
解：
n
i
3
j
k
1
i
3
j
k
1 1，3，1
1 32 1 11
11
0 1 2
pn n P
1 11
1，3，11
2
2 0
0 1
1 5，7，3
11
pnn
pn
n
n
P n
1 5，7，31，3，1T
2.2 速度分解定理
2.2.1 流体微团内流体质点速度之间的关系
i
i
0i
i
x j
x j
i x j
1 2
i x j
j xi
1 i 2 x j
j xi
aij
sij
AS
i
i
x j
x j
aijx j
sijx j
式中： aij
1 2
i x j
j xi
— 旋转率张量；sij
x、y、z的应变率
z
d dt
z
w z
z 2
偏应变张量第二不变量
偏应变张量第二不变量偏应变张量第二不变量是研究物体变形特性时非常常用的一个概念。
它包含了许多领域的知识，如弹性力学、热力学等。
在本文中，我们将分步骤阐述偏应变张量第二不变量的含义和应用。
第一步：偏应变张量的概念偏应变张量是描述物体在局部变形下的应变情况的一种数学工具。
它是一种二阶张量，可以表示为：εij = (1/2)(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi)其中，vi和vj表示物体在i、j方向上的位移，xi和xj分别表示坐标系中的i、j方向。
由于i和j可以取1、2、3三个值，所以偏应变张量有九个分量，在表示时通常使用矩阵的形式。
第二步：偏应变张量第二不变量的定义偏应变张量的第二不变量是指偏应变张量的平方和与一半平方的差，即：I2 = (1/2)(εijεij - εiiεjj)这个式子看上去比较复杂，但是它实际上是一个十分重要的量。
它可以用来描述物体的变形状态，具体的含义将在下一步阐述。
第三步：偏应变张量第二不变量的应用在弹性力学中，偏应变张量第二不变量被广泛用于描述材料的刚度和弹性特性。
有一个名为胡克定律的公式：σij = Cijklεkl它描述了弹性体的应力和应变之间的关系，其中Cijkl是弹性常数。
如果弹性体是各向同性的（即在各个方向上的性质都相同），我们可以将Cijkl简化为Cijkl。
这时，偏应变张量第二不变量可以表示为：I2 = Cijklεijεkl这个式子的右侧是一个数值，我们可以用它来描述材料的厚度和刚度，以确定材料的弹性特性。
在热力学中，偏应变张量第二不变量被用来描述物体的热膨胀特性。
当物体受到温度变化时，它的体积和形状都会发生变化，这时我们可以通过偏应变张量的第二不变量来描述物体的膨胀程度。
总结偏应变张量第二不变量是一个重要的物理量，它可以用来描述物体的变形状态、弹性特性和热膨胀特性。
本文中，我们从定义、公式推导、应用等方面对偏应变张量第二不变量进行了阐述。
希望读者能够通过本文的介绍，更好地理解这个概念并应用到实际问题中。
力学中的数学方法-张量-2
力学中的数学方法-张量-22. Kroneckerδ符号一、Kronecker 符号定义为：⎧1, i =j δi j =⎧⎧0, i ≠jδi j 可确其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，定一单位矩阵：⎧δ11δ12δ13⎧⎧100⎧⎧⎧⎧δ⎧δδ=010212223⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧δδδ0013233⎧⎧⎧⎧31二、δij 的性质三、例题例题1：若e 1, e 2, e 3是相互垂直的单位矢量，则e i ⋅e j =δi je i ⋅e i =e 1⋅e 1+e 2⋅e 2+e 3⋅e 3=3δi i =δ11+δ22+δ33=3e i ⋅e i =δi i注意：δi j 与δii 不同是一个数值，即δi i δi jδi i =3的作用：1）换指标；2）选择求和。
A i →A kδk i A i =δA k =A k思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示例题3：T k j →T i jδi k T k j =δT i j =T i j特别地，δi k δk j =δi j , δi k δk j δj m =δi m四、δij符号的应用3. 置换符号(PermutatisnSymbol)e 123=e 231=e 312=1e 321=e 213=e 132=−1e 111=e 121=e 232= =031e i j k⎧1, ⎧=⎧−1, ⎧0, ⎧i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13e i j k =e j k i =e k i j =−e j i k =−e i k j =−e k j i二、e i j k 符号的应用1）.三阶行列式2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘若e 1, e 2, e 3是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量ei ×e j =? e k =e i jk e k3）例题：证明a ×b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3 = ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧数乘加法点积缩并叉积⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧点叉积张量积转置求逆对称与反对称161. 张量的记法绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法：矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎧T11 T12 T13 ⎧ ⎧ ⎧ T = ⎧T21 T22 T23 ⎧ ⎧ ⎧T31 T32 T33 ⎧ ⎧172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎧ i jkl ⎧ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎧ ⎧例：由第一节应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. Kronecker 符号一、Kronecker 符号定义为：⎩⎨⎧≠==ji ,0j i ,1j i δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001333231232221131211δδδδδδδδδ其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：j i δδij δ 的性质二、若ji j i δ=⋅e e 321,,e e e 是相互垂直的单位矢量，则3332211i i =⋅+⋅+⋅=⋅e e e e e e e e 3332211i i =++=δδδδii i i δ=⋅e e 例题1：三、例题注意：3i i =δi i δ是一个数值，即例题2：ki A A →kk k k i i k A A A ==δδ思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示i j ii δδ与不同ji δ的作用：1）换指标；2）选择求和。
例题3：ji j k T T →特别地，j i j k k i δδδ=mi m j j k k i ,δδδδ=ji j i i i j k k i T T T ==δδ四、符号的应用ijδ3. 置换符号(Permutatisn Symbol)1312231123===e e e 1132213321−===e e e 0232121111==== e e e 13⎪⎩⎪⎨⎧−=,0,1,1kj i e i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13易知：ij k j k i k i j j i k i k j k j i e e e e e e −=−=−===二、k j i e 符号的应用1）.三阶行列式321,,e e e 若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量k ?e 2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘3）i jk ke =e i j ×=ee例题： 证明a × b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3= ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、 常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算 数乘 加法 点积 缩并 叉积 点叉积 张量积 转置 求逆 对称与反对称161. 张量的记法 绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法： 矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ T = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⎢ ⎣T31 T32 T33 ⎥ ⎦172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎪ i jkl ⎨ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎪ ⎩例：由第一节 应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。
183. 数乘α 设T为一个张量（如二阶张量）， 为一标量，它们的乘积记为T = αT则 T 仍为张量。
19以二阶张量为例 根据张量的坐标变换特征，有α′ = αTi′j′ = α i′iα j′jTi jTi′j′ = α ′α i′iα j′jTi j = α i′iα j′j α Ti j = α i′iα j′j Ti j可见， T 为二阶张量。
204. 加法设T 、S 均为两个同阶张量（如二阶张量），将它们的和用下式表示：ji j i j i )(e e S T S T +=+若a 为一矢量，则aS a T a S T ⋅±⋅=⋅±)(T 、S 和的分量为：ijij ij )(S T ±=±S T 其矩阵形式为：][][][S T S T ±=±5. 点积1）矢量a、b的点积：ii j i j i j i j i j j i i )()()(b a b a b a b a ==⋅=⋅=⋅δe e e e b a 换指标2）张量T, S （设为二阶）的点积：)()(n m n m j i j i e e e e S T S T ⋅=⋅ni m j n m j i n m j i n m j i )(e e e e e e δS T S T =⋅=ni n m m i e e S T =一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，即ji j q pq n m m i e e V U S R V U S R ⋅=⋅⋅⋅⋅3）双重点积（前后）：若A 为二阶张量，B 为三阶张量，则i j i j kmn k m n :():()A B =A B e e e e e 结果为一阶张量。
i j kmn i k j m n ()()A B =⋅⋅e e e e e i j kmn ik jm n ij ijn n A B A B δδ==e e4）双重点积（内外）：若A 为二阶张量，B 为三阶张量，则i j i j kmn k m n ()()A B ⋅⋅=⋅⋅A B e e e e e 结果为一阶张量。
商法则：若一个量与任意一个量的点乘积为张量，则该量必为张量。
i j kmn im jk n ij jim nA B A B δδ==e e i j kmn i m j k n ()()A B =⋅⋅e e e e e6. 叉积1)两个矢量a ，b 的叉积：kj i k j i j i j i j j i i )()(e e e e e b a b a e b a b a =×=×=×kk j i j i e e e e =×2)两个任意张量的叉积：B A ,ts r j i rst j i t s r rst j i j i )()()(e e e e e e e e e e B A ×=×=×B A B A ts k i kst i t s k i k r j rst j i e e e e e e e e C e B A ==kr j rst j i kst i e B A C =7. 张量积(并乘)设分别为m 和n 阶张量，它们的并积为，则B A ,C )...)(...(n m 1m n m 1m m 1m 1i i i i i i i i ++++==e e e e B A C B A nm 1n m 1i i i i ...++=e e C nm 1m m 1n m 1i i i i i i +++= B A C 可见，其结果张量是m+n 阶的。
C注意:有时候会把点乘写成ABB A =•这时并乘要加并乘符号BA ⊗=⊗=B AC nm 1n m 1i i i i ...++⊗e e C n m 1i i ...+⊗e e 称为基张量8. 缩并如对积张量中任意两个基矢量进行点乘,便可得到比原来低二阶的张量，称为张量的缩并。
（匡震邦书）盖秉政书例题9. 转置j i ji Tj i ij T A A e e e e A ==)(10. 求逆j i ij A e e A 11−−=9. 对称与反对称A) 对称张量若张量满足如下的关系式：这样的张量称为二阶对称张量。
B）反对称张量jiij A A =jiij A A −=若张量满足以下关系式：则称为二阶反对称张量。