例谈数学概念教学

例谈数学概念教学

摘要：数学概念教学是数学教学的关键和基础。根据新课程理念，结合教学实例，从注重概念的引入方法、形成过程、巩固练习、实际应用方面谈数学概念教学。

关键词：概念的引入；概念的形成；概念的巩固；概念的运用

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的

思维形式。数学概念是数学知识的基础，是数学教材结构的最基本的元素，是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。由于数学概念比较抽象，初中学生受年龄、生活经验和智力发展水平等方面的限制，要掌握教材中的所有概念是不容易的。

一、注重概念的引入方法

在实际教学中，概念引入方法的选择要根据概念本身的特点和初中生的认知规律，降低概念教学的难度。

对相似三角形的判定这一概念的教学，可以从学生已有的数学知识出发，类比三角形全等的判定，突出概念产生的必然性，提高学生参与探索的主动性。教学时，先让学生回顾相似三角形的概念，以及相似三角形与全等三角形的内在联系：全等三角形是相似比为1的相似三角形。再让学生回顾判定三角形全等的条件：边角边、角边角、角角边、边边边。而用相似三角形的概念来判定两个三角形相似时，必须具备对应角相等、对应边成比例六个条件，相当的繁琐，此时提出与判定两个三角形全等的条件类比，使学生感悟到，

判定两个三角形相似也可以适当减少条件，提高了学生探索两个三角形相似条件的主动性。学生对探索两个三角形相似的条件已经跃跃欲试了，很顺利地进入到下一阶段的探索活动。

二、注重概念的形成过程

概念教学要改变传统教学中结论及结论的运用的简单教学方法，注意概念的形成过程，让学生体验概念的形成过程，即概念在什么条件下蕴藏着，在什么背景下初露端倪，如何引导学生通过观察、猜想、探索并概括出概念，发展合情推理和有条理的表达能力。教学中可让学生类比全等三角形的判定，在对应角、对应边相等六个条件中，适当减少条件，可以用边角边、角边角、角角边、边边边来判定两个三角形全等。学生根据相似三角形的概念中对应角、对应边成比例的六个条件，对应地猜想出判定两个三角形相似的条件：两边对应成比例，并且夹角相等；两个角对应相等；三边对应成比例。三个猜想的得出也为下两节的教学做好了铺垫，此时和学生明确本节课主要验证两个角对应相等的两个三角形相似。组织学生讨论验证猜想成立的方法，可先让学生画三角形，

使三角形的两个角的度数分别是60°、70°（度数可让学生来确定），将画好的三角形剪下来展示，观察它们的形状，学生会发现形状相同。在初步感知的基础上，让学生求出第三个角的度数，再量出三角形三边的长度，将学生量出的数据输入excel表格，算成对应边的比值，学生通过观察几组对应边比值的关系后会发现：对应边的比值基本相等。再由特殊到一般，用几何画板同时改变两个

三角形的角的度数（但两个角仍然对应相等），发现对应边仍然成比例。这样使学生感悟到：只要满足两个角对应相等的条件，两个三角形就相似。

通过猜想、操作、观察、探索并概括出概念的过程，学生很自然地从用相似三角形的概念来判定三角形相似过渡到相似三角形的判定①的学习上了，同时也为后面学习相似三角形的判定做好了铺垫工作。

三、注重概念的巩固练习

概念的形成是由个别到一般的过程，而概念的巩固练习则是由一般到个别的过程，它是学生掌握概念的两个阶段。首先，练习的目的要明确，使每项练习都突出重点，做到有的放矢，使练习真正有助于学生理解新学概念，有利于发展学生的思维。其次，练习的层次要清楚，鉴于初中生的年龄特点，认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高的过程，因此练习时要按照由浅入深、由易到难的原则，逐步加深练习的难度。

1.基本练习，在刚学完新课之后的单项的、带有模仿性的练习，可以帮助学生巩固知识，形成正确的认知结构。如教学中，对于巩固相似三角形的判定的基本练习安排了例1、辨一辨、填一填，让学生明确根据相似三角形的判定，要使两个三角形相似，只要在两个三角形中有两个角对应相等。同时“辨一辨”想让学生感受到两个三角形相似和它们的位置无关，但要根据对应关系将对应顶点写在对应的位置上，其中公共角、对顶角、直角三角形中的直角都是

相等且对应的。“填一填”中，三角形的个数和相似三角形的对数都增加了，要让学生同时关注“哪两个三角形”“哪两个角对应相等”这两个问题。

例：如图1，已知∠a=50°，∠b=∠b′=60°，∠c′=70°，△abc与△a′b′c′相似吗？为什么？

辩一辩：下列各组图形中的两个三角形相似吗？

填一填：如图3，be、cd相交于点o，cb、ed的延长线相交于点a，∠c=∠e，

则△_____∽△_____，△_____∽△_____。

2.发展练习，在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的练习，它可以帮助学生形成熟练的技能技巧。

教学中安排了“试一试”，3个小题紧紧抓住了用两个角对应相等，来判定这两个三角形相似，关键是等量代换思想的运用，用外角知识根据∠bdf+∠b=∠dfe+∠efc和∠b=∠dfe，可得∠bdf=∠efc。3个小题又分别从特殊到一般的以矩形、等边三角形、等腰三角形为背景，（1）（2）小题结合了翻折的全等变换，（3）小题通过加问：将三角板绕点f旋转，其他条件不变，结论成立吗？将三角板的顶点f在边bc上移动，其他条件不变，结论成立吗？渗透了旋转、平移运动变化的思想。让学生能在一定的背景下来判定两个三角形相似，帮助学生形成熟练的技能技巧。

附：试一试。（1）如图4，在矩形abce中，以de为对称轴折叠，使顶点a恰好落在bc边上的点f处，则△bfd和△cef相似吗？为

什么？（2）如图5，将（1）中的矩形abce换成等边三角形△abc，其他条件不变，则结论还成立吗？为什么？（3）如图6，△abc中，∠b=∠c=α，将一块三角板的顶点f落在bc边上，另两边和边ab、ac边交于点d、e，∠dfe=α.△bfd和△cef相似吗？为什么？

3.综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题的灵活性，培养学生的数学思维能力，实现由技能到能力的转化。

前面的练习都是根据图形和条件，找出并判定两个三角形相似。本题提升到要根据条件画出符合条件的三角形，并根据相似三角形的性质解决问题。同时本题涉及了分类讨论的思想，即过点c作oa 的垂线交x轴于点d。本题还和平面直角坐标系结合，求d点坐标，就是求线段od的长度。

四、注重概念的实际应用

通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性，同时也有利于培养学生的实践能力。

教学中安排“算一算”，让学生感受到在实际生活中，一些问题可以通过转化，构造相似三角形，用相似三角形的判定和性质来解决，让学生感受到数学就在身边，加深了对相似三角形判定的认识和提高了技能。

附：算一算.为测量池塘两端a、b的距离，小明设计了如下方案：先过b点作ab的垂线bf，再在bf上取c、d两点使bc=2cd，接着