高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案

zx1 2 yyx
xy
yx
y2 z2x2 y (2) y xx x(2x2 y)2x
1
(3)
z1
2
y yx 2x y2x
1 z zxy
xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y
(4)
z u
yzxy 1 xz u
xy lnx z yz 1 yz u
2 2 3 ***** x y zrrrrrr
三全微分及其应用
1．求函数z
xy
当x 2,y 1, x 0.01, y 0.03时的全增量和全微分
x2 y2
解z
(2 0.01) (1 0.03)2 1
0.0282 2222
(2 0.01) (1 0.03)2 1
zy(y2 x2) 2 x(x y2)2dz
zx(y2 x2)
2
y(x y2)2
2
2
z z(y x) x y 2(x y y x)22 x y(x y)
1
0.0278 36
dz
x 2y 1 x 0.01 y 0.03
2.求下列函数的全微分
（1）u xyyzzx（2）z arcsin
x
y
22
（3）z exysin(x y)（4）u xy 3xz
（2）讨论函数f(x,y)在（0，0）是否连续解: (1)由偏导数的定义
f(0 x,0) f(0,0)( x)2
fx(0,0) lim lim 0
x 0 x 0 x x
0 ( y)2
f(0,0 y) f(0,0)02 ( y)4
fy(0,0) lim lim 0
y 0 y 0 y y
xy2ky4k
lim (2)因为lim2,其极限值随k的不同而不同,所以极限2y 0x y4y 0k2y4 y4k 12
x 2yx 2kx1 2k
lim
(x,y) (0,0)x yx 0x kx1 ky kx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim (2)当(x,y)沿y kx趋于(0,0)时, lim 2(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 k2x41 k2
2
y kx
2
x) (y 1，1）处的偏导数f x解
: f
y
(1,1)
(1,1)
f(x,1) x f(1,y)
y
x
x 1 (ecos
***** (y 1) ( y 1
y1 y
(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)
x
exsin
x)
x 1
e
y 1
4
xy2
3．设函数f(x,y) x2 y4
0
（1）试计算fx(0,0)，fy(0,0)
fx y2 2zx
fxx 2zfxz 2x
2fxz
fy 2xy z2 fyz 2z fz 2yz x2 (1, 0,2)fy2z
(0 ,1,f0z)zx0
(
fzz 2y fzzx 0 fxx(0,0, 1)
2 3 x 2 3
6．设xy 3xz，求，2，，3，
xy x x y z x y x
3
3
22
u1
（3）
x2 y2x2 y***-*****
（4）由不等式0 4而( )lim(2 2) 0 *****x x y2xy2yx2yxy
x2 y2
0由加逼准则有lim4
x x y4y
4．证明下列极限不存在
x 2yx2y
（1）lim（2）lim
(x,y) (0,0)x y(x,y) (0,0)x4 y2
证明: (1)当(x,y)沿y kx(k 1)趋于(0,0)时,
解: 3x2y3 6xz2
xy 2u1 9x2y2 2
x yy
2u
6xy3 6z22 x 3u
6y3 x
3
3 u
0
x y z
2r 2r 2r2
7
．验证：r 2 2 2
x y zr
r
证明
: x
2r22y2 z2
23 xr 2rx2 z2
由对称性有:
y2r3 2rx2 y2
z2r3
2r 2r 2ry2 z2x2 z2x2 y22(x2 y2 z2)2r22
高等数学作业题集
一多元函数的基本概念
1．求下列定义域并画出草图：
x2 y21
（1
）z x y)（2）z arcsin arccos2
2
4x y
（3
）z ln(y x)
(4) u
22
解: (1) {(x,y)x 0,y x}; (2){(x,y) x y 4};
***-*****
(3) {(x,y)y x,x 0,x y 1} (4){(x,y,z)x y z,x y z 1}
xy lnx yz lny z
ux 2y21x 2y2
ysin xycos (5) xzzz
ux 2y2x 2y2 ux 2y242x 2y2
xycos xsin xycos
zz2z yzzz
(6) fx (x at) (x at)2
．求函数f(x,y) exycos(
ft a[ (x at) (x at)]
y22xyuuv
,y解：令x y u, v，由此得：x
x1 v1 v
2．已知f(x y,) x y，求f(x,y)
u2uv2u2(1 v)x2(1 y)
) ()故代入得：f(u,v) (即：f(x,y) 1 v1 v1 v1 y
3．求下列各极限（1）
1 xy（2
）lim
(x,y) (0,1)x2 y2(x,y) (0,0)lim
x ky
(x,y) (0,0)
limf(x,y)不存在,从而函数f(x,y)在（0，0）处不连续.
z 4
．曲线(1,1处的切线与y轴正向的夹角是多少？
x 1
解:设所求的角为,由偏导数的几何意义知
:
tan
z y
，所以.
65．设f(x,y,z) xy2 yz解:
2
zx
2
，求fxx(0,0,1)，fxz(1,0,2)，fyz(0, 1,0)，fzzx(2,0,1)
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
二偏导数
1．求下列函数的偏导数
yx2 y2
)（3）z exysin(x y)（1）z（2）z ln(x 2xxy
x 2y2
（4）x（5）u xysin
z
yz
(6)f(x,t)解: (1) z
x at
x at
(u)du为连续函数
z1y 2 xyx
x2 y2sin(xy)（3）lim（4）lim4
x x y4(x,y) (2,0)yy
解：（1）
wk.baidu.com1 xy1
1；
(x,y) (0,1)x2 y21lim
（2
）
11
lim
(x,y) (0,0)(x,y) 42 2lim
sin(xy)sin(xy)sin(xy)
lim x lim limx 2
(x,y) (2,0)(x,y) (2,0)xy 0x 2yxyxylim