微分的几何意义
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• 绝对误差和相对误差 设某个量的精确值为 A，测量值（或近似值）为a , 则称 | A – a | 为 a 的绝对误差。而称
| Aa| 为 a 的相对误差。 |a|
实际中，精确值 A 往往无法知道，因此绝对误差和 相对误差也就无法求得，但可以确定他们的范围。 例如假设
| A a | A
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
由定义知:
dy x x x o(x)
0
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小 ;
(3) A是与x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;
dy cos x ( 3e 1 3 x )dx e 1 3 x ( sin x )dx e
1 3 x
( 3 cos x sin x )dx .
微分形式的不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x )dx;
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义1 设函数 y f ( x )在某区间内有定义 ,
x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ) 成立
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx
d (tan x ) sec 2 xdx d (cot x ) csc 2 xdx d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
(4) 当x 很小时 , y dy (线性主部 ).
定义2 如果函数 y = f (x) 在区间 I 上处处可微，则 称 f (x) 在区间 I 上可微。
函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 称为函 数的微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy A( x )x .
4 3 4 4 4 3 3 3 V r r 0 ( r0 r ) r 0 3 3 3 3
dV
r r0
2 f ' ( r0 ) r 4 r 0 r
1 V 4 5 ( ) 19.63 16
2
| V | 19.63 ( cm) 3
A
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D 的绝对误差限 D 0.05mm ，利用公式
A
dA D D D A d A dD 2 | D | D 0.05, | A || d A | D | D | D D 2 2 D A D 60.03 0.05 4.715mm2 2 2 所以 A 的相对误差限为 D D A 2 D 2 0.05 2 0.17% 2 A D 60 . 03 D 4
( 2)
1 度为 厘米，求球壳体积的近似值。 16
例1：一个外直径为 10 厘米的球，球壳厚
解：半径为 r 的球的体积为：
r0 5
4 3 V r f (r ) 3
1 r r r0 16
r
•
1 16
1 16 厘米后体积改变量 V 的绝对值，因此
球壳的体积可以看作当球半径由 5 厘米缩小
2.3.3 微分在近似计算上的应用
1. 函数的近似计算
当 x 很小, 且 f ( x0 ) 0 时,
y dy f ( x0 ) x
(1)
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x x0 x, 则
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) 2 dx 1 x
0 sin 29 例2：利用微分计算 的近似值。
解：设 设 f(x)=sinx因此，所求近似值可以看成 f (x) 在
x=290处函数值的近似值。
取
6 180 f( ) f ( ) f ' ( ) ( ) 6 180 6 6 180 1 3 0 sin 29 sin cos （ ） 0.4849 6 6 180 2 2 180
则称 A 为测量 A 的绝对误差限，简称为绝对误差。
A
|a|
叫做测量 A 的相对误差限，简称为相对误差。
一般地，设 y = f (x) , 测量 x 时的误差记为 x
x 的绝对误差限为 x 即 | x | x ,
则函数 y 的绝对误差为
| y | | f ( x x ) f ( x ) |
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
例2：考虑函数 y = x 的微分：
d y d x ( x )' x x
结论： （1）dy f ( x ) x f ( x )d x
即 d x x.
dy f ( x ). dx
(其中 A 是与 x 无关的常数 ) , 则称函数
y f ( x )在点 x0可微, 并且称 A x 为函数 y f ( x )在点 x0 相应于自变量增量x的微分,
记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x .
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
A 2 x0 x
再如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
y ( x 0 x ) x
3 3 0 2 3
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
(1)
2 0
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
2.3微分的概念
教学目标： 1、掌握微分的概念； 2、了解可导与可微的关系； 3、掌握微分的计算.
微分是在研究当 自变量有微小变 化时，对应的函 数值大约改变了 多少时而引入的 概念。
2.3.1 微分的概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
N P
o( x )
T
dy y
Q
y是曲线的纵坐标增量 ,
dy是切线纵坐标对应的 增量 .
o
y f ( x)
）
M
x
x0
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
x0 x
x
以直代曲
2.3.2 微分的运算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv
d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
例2 设 y ln( x e ), 求dy.
x2
解
例3
y
1 2 xe xe
x2
x2
,
Biblioteka Baidu
dy
1 2 xe xe
x2
x2
dx .
设 y e 1 3 x cos x , 求dy.
解 dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
(e
1 3 x
1 3 x ) 3e , (cos x ) sin x .
180 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ' ( x0 ) x 则有 x0 , x
29
0
6
由微分近似公式
2. 误差估计
• 间接测量误差
A 例：计算圆钢的截面积：
4
D 2 .其中 D 为测量直径。
D 的测量误差将导致计算 A 时出现误差，称之为 间接测量误差。
设边长由x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) .
2
(1)
( 2)
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
（2）即函数的微分 dy 与自变量的微分 d x 之商等于
该函数的导数. 导数也叫" 微商".
例3：求函数 y = x ln x 的微分.
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
QP MQ tan f ( x ) x d y y PN QN QP y dy o( x )
( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x ( t ), 则 d x ( t )d t , y f [ ( t )]
d f [ ( t )] dy dt f ( x ) ( t ) dt f ( x )dx. dt
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx 微分形式的不变性
即 dy | x x0 f ( x0 ) x .
( 2) 函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 可表为
dy f ( x ) x
例1 求函数 y x 当 x 2, x 0.02时的微分.
3
解 dy ( x 3 ) x 3 x 2 x .
两个基本问题： （1）函数可微的条件是什么？ （2）若函数可微，则定义中的 A (x) = ?
二、可微的条件
定理 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ). 说明
(1) 可导 可微, 且 A f ( x0 ),
解：
4
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D 的绝对误差限 D 0.05mm ，利用公式
4 解：设测量 D时产生的误差为 D，则面积A 的间接 测量误差为： 2 2 A ( D D ) D 4 4 dA D D D A d A dD 2 | D | D 0.05, | A || d A | D | D | D D 2 2 D A D 60.03 0.05 4.715mm2 2 2
| dy || f ( x )x | | f ( x ) | x
因此 y 的绝对误差限为 y | f ( x ) | x
而 y 的相对误差限为 y | f ( x ) | x f ( x ) | | x | y| | f ( x) | f ( x)
| Aa| 为 a 的相对误差。 |a|
实际中，精确值 A 往往无法知道，因此绝对误差和 相对误差也就无法求得，但可以确定他们的范围。 例如假设
| A a | A
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
由定义知:
dy x x x o(x)
0
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小 ;
(3) A是与x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;
dy cos x ( 3e 1 3 x )dx e 1 3 x ( sin x )dx e
1 3 x
( 3 cos x sin x )dx .
微分形式的不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x )dx;
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义1 设函数 y f ( x )在某区间内有定义 ,
x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ) 成立
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx
d (tan x ) sec 2 xdx d (cot x ) csc 2 xdx d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
(4) 当x 很小时 , y dy (线性主部 ).
定义2 如果函数 y = f (x) 在区间 I 上处处可微，则 称 f (x) 在区间 I 上可微。
函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 称为函 数的微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy A( x )x .
4 3 4 4 4 3 3 3 V r r 0 ( r0 r ) r 0 3 3 3 3
dV
r r0
2 f ' ( r0 ) r 4 r 0 r
1 V 4 5 ( ) 19.63 16
2
| V | 19.63 ( cm) 3
A
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D 的绝对误差限 D 0.05mm ，利用公式
A
dA D D D A d A dD 2 | D | D 0.05, | A || d A | D | D | D D 2 2 D A D 60.03 0.05 4.715mm2 2 2 所以 A 的相对误差限为 D D A 2 D 2 0.05 2 0.17% 2 A D 60 . 03 D 4
( 2)
1 度为 厘米，求球壳体积的近似值。 16
例1：一个外直径为 10 厘米的球，球壳厚
解：半径为 r 的球的体积为：
r0 5
4 3 V r f (r ) 3
1 r r r0 16
r
•
1 16
1 16 厘米后体积改变量 V 的绝对值，因此
球壳的体积可以看作当球半径由 5 厘米缩小
2.3.3 微分在近似计算上的应用
1. 函数的近似计算
当 x 很小, 且 f ( x0 ) 0 时,
y dy f ( x0 ) x
(1)
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x x0 x, 则
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) 2 dx 1 x
0 sin 29 例2：利用微分计算 的近似值。
解：设 设 f(x)=sinx因此，所求近似值可以看成 f (x) 在
x=290处函数值的近似值。
取
6 180 f( ) f ( ) f ' ( ) ( ) 6 180 6 6 180 1 3 0 sin 29 sin cos （ ） 0.4849 6 6 180 2 2 180
则称 A 为测量 A 的绝对误差限，简称为绝对误差。
A
|a|
叫做测量 A 的相对误差限，简称为相对误差。
一般地，设 y = f (x) , 测量 x 时的误差记为 x
x 的绝对误差限为 x 即 | x | x ,
则函数 y 的绝对误差为
| y | | f ( x x ) f ( x ) |
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
例2：考虑函数 y = x 的微分：
d y d x ( x )' x x
结论： （1）dy f ( x ) x f ( x )d x
即 d x x.
dy f ( x ). dx
(其中 A 是与 x 无关的常数 ) , 则称函数
y f ( x )在点 x0可微, 并且称 A x 为函数 y f ( x )在点 x0 相应于自变量增量x的微分,
记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x .
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
A 2 x0 x
再如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
y ( x 0 x ) x
3 3 0 2 3
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
(1)
2 0
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
2.3微分的概念
教学目标： 1、掌握微分的概念； 2、了解可导与可微的关系； 3、掌握微分的计算.
微分是在研究当 自变量有微小变 化时，对应的函 数值大约改变了 多少时而引入的 概念。
2.3.1 微分的概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
N P
o( x )
T
dy y
Q
y是曲线的纵坐标增量 ,
dy是切线纵坐标对应的 增量 .
o
y f ( x)
）
M
x
x0
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
x0 x
x
以直代曲
2.3.2 微分的运算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv
d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
例2 设 y ln( x e ), 求dy.
x2
解
例3
y
1 2 xe xe
x2
x2
,
Biblioteka Baidu
dy
1 2 xe xe
x2
x2
dx .
设 y e 1 3 x cos x , 求dy.
解 dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
(e
1 3 x
1 3 x ) 3e , (cos x ) sin x .
180 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ' ( x0 ) x 则有 x0 , x
29
0
6
由微分近似公式
2. 误差估计
• 间接测量误差
A 例：计算圆钢的截面积：
4
D 2 .其中 D 为测量直径。
D 的测量误差将导致计算 A 时出现误差，称之为 间接测量误差。
设边长由x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) .
2
(1)
( 2)
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
（2）即函数的微分 dy 与自变量的微分 d x 之商等于
该函数的导数. 导数也叫" 微商".
例3：求函数 y = x ln x 的微分.
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
QP MQ tan f ( x ) x d y y PN QN QP y dy o( x )
( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x ( t ), 则 d x ( t )d t , y f [ ( t )]
d f [ ( t )] dy dt f ( x ) ( t ) dt f ( x )dx. dt
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx 微分形式的不变性
即 dy | x x0 f ( x0 ) x .
( 2) 函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 可表为
dy f ( x ) x
例1 求函数 y x 当 x 2, x 0.02时的微分.
3
解 dy ( x 3 ) x 3 x 2 x .
两个基本问题： （1）函数可微的条件是什么？ （2）若函数可微，则定义中的 A (x) = ?
二、可微的条件
定理 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ). 说明
(1) 可导 可微, 且 A f ( x0 ),
解：
4
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D 的绝对误差限 D 0.05mm ，利用公式
4 解：设测量 D时产生的误差为 D，则面积A 的间接 测量误差为： 2 2 A ( D D ) D 4 4 dA D D D A d A dD 2 | D | D 0.05, | A || d A | D | D | D D 2 2 D A D 60.03 0.05 4.715mm2 2 2
| dy || f ( x )x | | f ( x ) | x
因此 y 的绝对误差限为 y | f ( x ) | x
而 y 的相对误差限为 y | f ( x ) | x f ( x ) | | x | y| | f ( x) | f ( x)