高中数学立体几何——二面角问题方法归纳
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结(最新整理)
AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
D1
A1 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
C1 B1
（2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1
D
E
A
F
C B
证（1）略 解 （ 2） 因 为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是 棱 AB 的 中 点 ,所 以 A1 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD⊥平面 PAB 后，容易发现平面 PAB⊥ 平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD
的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 P BD A 的大
2 ，则 GF
2
，
2
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 600 ∴△ ABM 是等边三角形，∴
BF 3 。在△ GAB 中， AG 6 ， AB 2 ， GAB 900 ，∴ BG 3 4 11
2
2
2
cos BFG GF 2 FB 2 BG 2
6
，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2
分析：第 1 题容易发现，可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD，使命 题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在 二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。（答
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
(完整版)找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60 :的二面角:-a的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面:-内作BE —〉，CD//EB，连结BC、AC •可以证明CD_a，则由二面角的平面角的定义，可知• ADC为二面角:-a —的平面角•以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面一：内有一条直线AC与平面-成30 ?, AC与棱BD成45:，求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过A作AF - BD ; AE -平面-■,连结FE .由三垂线定理可证BD _ EF，则/ AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2 )在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”.三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为〉- CD -:内的一点，PA—：•于A点，PB —:于B点，如果/APB二n ［试求二面角:--CD -：的平面角.图1第1页共3页图2UiJ C cPA丄an PA 丄CD分析： c n CD丄平面PAB.PB 丄B = PB 丄CD因此只要把平面PAB与平面〉、1的交线画出来即可•证明• AEB为〉-CD - 一：的平面角，.AEB =180 ：-n :（如图2）.注意：这种类型的题，如果过A作AE _ CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB _ CD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC - A1B1C1中，平面AB!与平面AG构成的二面角的平面角为830 ［平面AB i与平面BC i构成的二面角为70匚试求平面AC i与平面BG构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A i BQ i D i中，E为AA的中点，H为CC i上的点，且CH : C I H =i：2 .设正方体的棱长为a，求平面D I EH与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D i，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM //AD i与D i D相交于M点，过M点作MN —CP，与D i H相交于N点.可证平面EMN //平面ABiGD i .这样，求平面D i EH与平面ABQ i D i的二面角的平面角就转化为求平面D i EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M作MF - EN , F为垂足，连结D i F , 可证— EN .则.D i FM为本题要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体ABCD - A I B i C i D i中，M为棱AD的中点，求平面B i C i CB和平面BC i M所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BG-C的一个面B i C垂直，与另一个平面MBC i相交，过M点作MP — BC，垂足为P，过P作PN — BC，交BC i于N点，连结MN，由三垂线定理可证MN — BC i ,则• MNP为二面角M - BC i -C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平第2页共3页面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找:-a--所构成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐「二=b , =丨，过b上任何一点A作AB _ I ,垂足为B，过B作BC _ ：,垂足为C ,连结AC , 可证ACB 为:-a--的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1•三线合一例7 如图，空间四边形ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .试求A- BD - C二面角的余弦值.分析：如图1 , AB二AD , BC二CD，则△ ABD和A BDC为等腰三角形.过A作AE - BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为BD 中点，可证CE _ BD，则• AEC为二面角A- BD - C的平面角.2.全等三角形——"■ I 一 1 ■「• r in i. ■ i ■ i例8 如图，已知空间四边形ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 ,AC =6 .试求A-BD-C的余弦值.分析：过A作AE - BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件，△ AED和△ CED全等，可证CE — BD ,则•AEC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点**!、**■、匸r・rir 、•匸—r例9 如图，四棱锥A- BCED中，DB和EC与面ABC垂直，△ ABC为正三角形.（1 ）若BC = EC = BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC =EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2 ）一条交线；（3 ）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.可过A作AM // DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN _ DE 于N，过A作AF _ BC 于F .可证AN _ AM , AF _ AM , 则• NAF 为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.第3页共3页。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
立体几何二面角解题技巧
立体几何二面角解题技巧
1. 嘿，你知道吗，找二面角的关键之一就是找到垂直啊！就像在迷雾中找到那盏明灯！比如说在一个三棱锥里，一条棱垂直于一个面，那这可就是找到二面角的重要线索啦，可不能错过呀！
2. 哇，观察图形多重要啊！就好比侦探找线索一样。
看到那些边啊角啊，要仔细研究。
像有两个平面相交，在交线上找特殊点，这就是解题的突破口呀，你能忽视吗？
3. 嘿，不要小瞧辅助线的威力呀！它简直就是我们的秘密武器。
比如在一个复杂的图形里，画上那么一条精准的辅助线，二面角不就清晰可见了，这得多厉害呀！
4. 哇塞，定义可不能忘啊！那可是基础呀。
想想看，根据二面角的定义去寻找，有时候答案就呼之欲出了。
就像要去一个地方，知道了路线图，还怕找不到吗？
5. 嘿呀，利用三角函数也是很妙的一招呢！把边和角的关系用三角函数表示出来，就像给二面角穿上了合适的衣服。
比如知道两边和夹角，不就能算出二面角的大小了，多神奇呀！
6. 哎呀，从特殊情况入手也不错哟！有时候先想想特殊的图形或者条件，就像找到了开门的钥匙。
比如正方体里的二面角，那不是很容易找到规律嘛，你还不赶紧试试？
7. 嘿，空间想象力可要好好锻炼呀！把图形在脑子里转起来，就像放电影一样。
当你能清晰地“看”到二面角的时候，解题还会难吗？
8. 哇，多种方法结合起来更是厉害啦！就如同各路英雄一起作战。
观察图形、画辅助线、利用定义等等，一起上，二面角肯定乖乖就范呀！
我的观点就是，只要掌握这些解题技巧，立体几何二面角就不再让人头疼，而是变得有趣又好解决啦！。
几何法求二面角的四种方法
几何法求二面角的四种方法嘿，咱今儿个就来唠唠几何法求二面角的那四种方法！这可是数学里挺重要的一块儿呢！第一种，咱可以通过找垂线来搞定。
就好比你要去一个地方，得先找到条直直的路一样。
在二面角的图形里，努力找找看有没有能和两个面都垂直的线，要是找到了，那可就像找到了宝贝！这条垂线和两个面的交点，还有其他一些关键的点，连起来，就能大概知道二面角的样子啦。
第二种呢，是找垂面。
这就好像给二面角盖了个小房子，这个垂面和那两个面的交线，就是二面角的边呀！通过研究这个垂面和其他线的关系，不就能慢慢把二面角给揪出来了嘛。
再来说说第三种，定义法。
这就像是按照规矩办事儿，根据二面角的定义，直接去量量角的大小。
虽然可能有点麻烦，但有时候还真挺管用呢！就像有些事情，虽然简单直接，但效果可不差呀。
最后一种，投影法。
哇，这个可有意思了！就好像是把一个东西的影子投到另一个地方，通过研究这个影子，就能知道原来那个东西的一些情况。
在二面角里，找到一个面在另一个面上的投影，然后通过一些计算，就能求出二面角啦。
你想想看，数学的世界多奇妙呀！这四种方法就像是四把钥匙，能打开求二面角这个大门。
每把钥匙都有它独特的用处，咱得根据不同的题目情况，选对钥匙去开锁呀！比如说，遇到一个特别复杂的图形，可能就得先从找垂线入手，一点点理清楚；要是图形比较有规律，那定义法说不定就能快速解决问题呢。
这就跟咱生活中做事一样，得灵活应变，不能死板对吧？而且啊，学会了这四种方法，那在解几何题的时候，可就有底气多啦！就像战士有了厉害的武器，还怕打不赢仗吗？哎呀，这几何法求二面角，真的是很有意思呢，只要咱用心去学，肯定能掌握得牢牢的！总之，这四种方法都很重要，都得好好琢磨琢磨。
咱可不能小瞧它们，要把它们变成咱解题的好帮手！加油吧，朋友们，让我们在几何的海洋里畅游，把二面角这些难题都轻松拿下！。
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
五种方法求二面角及练习题
五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --2.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60，M 在侧棱SC 的中点（1）求二面角S AM B --的余弦值。
AB CD A 1D 1 C 1 B 1二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
1. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 111111图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
EABCFE 1 A 1B 1C 1D 1 DACBB 1C 1AL2： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.角的平面角（锐角）.ABCEDPA 1D 1 B 1C 1 E DBCA图5分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，. 四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
求解二面角问题的基本方法
求解二面角问题的基本方法二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。
求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类。
一、 直接法角平面角的方法主要有：①利用定义即在二面角α-l-β的棱l 上任取一点，然后在两个半平面内分别作棱的垂线a,b 两条垂线a,b 所成的角即为二面角的平面角。
例1、 在三棱锥P-ABC 中，∠ APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
分析：所求二面角与底面ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。
略解：在二面角的棱PB 上任取一点Q ，在半平面PBA 和半平面PBC 上作QM ⊥PB ，QN ⊥PB ，则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。
设PM=a,则在Rt ∆PQM 和Rt ∆PQN 中可求得QM=QN=23a ；又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=31，即二面角的余弦值为31。
②利用三垂线定理。
即从半平面α内的任一点A 出发向另一个半平面β引一条直线AH ，过H 作棱l 的垂线HG ，垂足为G ，连AG ，则由三垂线定理可证l ⊥AG,故∠AGH 就是二面角α-l-β的平面角。
三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。
例2、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=900，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。
分析：易知，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。
略解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1，（AN 即为我们要找的垂线）在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角。
立体几何二面角专题方法总结(定义法、向量法、三垂线法、补棱法)
3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条 斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
如图 1，在二面角 —l 一 中，过平面 内一点 A 作 AO⊥平面 ，垂足为 O，过点 O 作 OB⊥l 于 B(过 A 点作 AB⊥于 B)，连结 AB(或 OB)，由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥ l(或 OB⊥l)，则∠ABO 为二面角 —l— 的平面角．
4 . 三垂线法三部曲（两垂一连） （ 1 ）作面的垂线（任一个半平面的垂线） （ 2 ）作棱的垂线
（ 3 ）连线 例 1 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面 ABC 的射影恰为 AC 的中点 M，又知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°． (1)求证：BC⊥平面 AA1CC1； (2)求二面角 B 一 AA1—C 的正切值．
3
五、 射影法
若多边形面积为 S, 它在一个平面上的射影的面积为 S0, 则多边形所在平面与这个平面所 成的二面角 θ, 满足 S0=Scosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于 解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.
例 1 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD, 若 AB=PA, 则平
→→
→
b=
a b
．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．
→
→
| a ||b|
例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三 角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余 弦值．
解二面角问题三种方法
CA D AA 1B DCC 1B 1解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，找出二面角B－AC－B1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD将其折成才600的二面角，则A、C之间的距离为。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4，过BC的一个平面与AA1交于D，若AD=3，求二面角D―BC―A的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。
高中数学立体几何——二面角求法
高中数学立体几何——二面角求法
二面角是指两个平面之间的角度，通常用于描述两个多面体表面相接的角度。
二面角的求法有以下几种常见的方法：
1.面对面法：首先确定两个相邻平面的法向量，然后计算它们之间的夹角，即为二面角。
2.边对边法：首先找到两个相邻平面的公共边，然后计算这条边分别在两个平面上的投影长度，最后使用向量夹角的方法求得二面角。
3.用平行面的夹角计算二面角：如果两个面是平行的，则二面角为零。
需要注意的是，在具体的问题中，可能还会有其他方法来计算二面角，具体的求解方法要根据具体的情况和已知条件来选择合适的计算方式。
高中立体几何中二面角经典求法
高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。
（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
(二)1 23 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。
例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。
∵PA ⊥α, а⊂α ∴PA ⊥а同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA ⊂平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB.∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。
例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DEC 1D 1与面CDE 所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE=53、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
立体几何中二面角8个常用求法
⽴体⼏何中⼆⾯⾓8个常⽤求法
⼆⾯⾓定义的回顾：
⼆⾯⾓的通常求法
1、由定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
2、利⽤三垂线定理（逆定理）作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
3、作⼆⾯⾓棱的垂⾯，则垂⾯与⼆⾯⾓两个⾯的交线所成的⾓就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。
4、空间坐标法求⼆⾯⾓的⼤⼩
5、平移或延长（展）线（⾯）法
6、射影公式S射影=S斜⾯cosθ
7、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
⼀、利⽤定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓，并设法求出其⼤⼩。
⼆、三垂线定理（逆定理）法
由⼆⾯⾓的⼀个⾯上的斜线（或它的射影）与⼆⾯⾓的棱垂直，推得它位于⼆⾯⾓的另⼀的⾯上的射影（或斜线）也与⼆⾯⾓的棱垂直，从⽽确定⼆⾯⾓的平⾯⾓。
四、找（作）公垂⾯法
由⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义可知两个⾯的公垂⾯与棱垂直，因此公垂⾯与两个⾯的交线所成的⾓，就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。
五、平移或延长（展）线（⾯）法
将图形中有关线段或平⾯进⾏平移或延长（展），以其得到⼆⾯⾓的两个平⾯的交线。
图⼆：
六、射影公式
由公式S射影=S斜⾯cosθ，作出⼆⾯⾓的平⾯⾓直接求出。
运⽤这⼀⽅法的关键是从图中找出斜⾯多边形和它在有关平⾯上的射影，⽽且它们的⾯积容易求得。
图⼆：
七、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
图⼆：
图三：
⼋、空间向量求解⼆⾯⾓
求解⼆⾯⾓⼤⼩的⽅法很多，诸如定义法、三垂线法、垂⾯法、射影法、向量法等若⼲种。
⽽这些⽅法中最简单易学的就是向量法。
图⼆：
图四：
图五：
图六：
图七：
图⼋：
图九：
图⼗：。
二面角题型归纳及解题方法
αβa O A B 二面角题型归纳及解题方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B -PC -A 的大小。
高中数学二面角
高中数学二面角
一、高中数学二面角的概念及性质
二面角是指空间中一个平面围绕一个直线旋转而成的两个平面所形成的角。
它包括平面角和空间角两种类型。
平面角是指两个平面之间的角度，而空间角是指两个平面所夹的角度。
二面角具有以下性质：
1.平面角与空间角的关系：平面角等于空间角的一半。
2.互补性质：二面角的两个平面角互为补角。
3.邻补性质：二面角的两个平面角互为邻补角。
二、高中数学二面角的求解方法
1.利用向量法求解二面角：通过求解两个平面的法向量，计算它们之间的夹角，从而得到二面角的度数。
2.利用坐标法求解二面角：根据空间直角坐标系中点的坐标，计算二面角的余弦值、正弦值和切线值，进而求得二面角的度数。
3.利用三角函数求解二面角：根据三角函数的定义，通过已知角度和边长关系求解二面角。
三、高中数学二面角在实际问题中的应用
1.几何问题：求解三角形、四边形等几何图形的二面角，分析图形的性质。
2.物理问题：在力学、光学等物理学科中，利用二面角研究力的分解、光的折射等问题。
3.工程问题：在建筑、机械等工程领域，利用二面角分析构件的稳定性、
确定最佳角度等。
四、总结与建议
高中数学二面角是空间几何中的重要内容，掌握二面角的求解方法和实际应用对于学生解决实际问题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际操作相结合，加强空间想象能力的培养，提高解题能力。
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
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（I）证明：M在侧棱 的中点（II）求二面角 的大小。
练习1（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD， ,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E—AF—C的余弦值.
二、三垂线法
（答案： ，且 ）
总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。
1.、AB=AD=a ， ,过B作BH⊥PC于H，连结DH
DH⊥PC故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角因PB= a,BC=a,PC= a, PB·BC=S△PBC= PC·BH
例3在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
四、射影面积法（ ）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小，其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
在Rt△OPF中, , ,所以二面角B-FC -C的余弦值为 .
练习2（2008天津）分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 的大小为 ）
又 ， ．又 ，即 ，且 ， 平面 ．取 中点 ．连结 ． ， ． 是 在平面 内的射影， ．
∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，于是可求得： ， ， 则 ，
,
设二面角 的大小为 ，则
∴二面角 的大小为
练习4：分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为cosθ= ）.
例4：（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD
(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD 平面CDE；
求二面角A-CD-E的余弦值。
练习5、（湖北）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 .
五、向量法
例4：（2009天津卷理）现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点 为坐标原点。设 依题意得
（I） 所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
（II）证明： ，
（III）
又由题设，平面 的一个法向量为
练习5、（2008湖北）分析：由已知条件可知：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1⊥平面ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。
练习4：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.
五、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
(1)证明：直线EE //平面FCC ；(2)求二面角B-FC -C的余弦值。
练习2（天津）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形．
已知 ．
（Ⅰ）证明 平面 ；（Ⅱ）求异面直线 与 所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
4解（面积法）如图 ,同时，BC⊥平面BPA于B，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则cosθ= θ=45°
则BH= =DH又BD= ,在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD＝ ,又0＜∠BHD＜π则∠BHD= ，二面角B-PC-D的大小是 。
2解：（三垂线法）如图PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°= ,在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH= ，则∠PHA=arctan2.
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（1）求证：AC1⊥BC；
（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。
四、射影面积法（ ）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小。
例4．（北京理）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.
由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：
二面角大小的求法答案
定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2．(山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。
3． 补棱法
例3（2008湖南）分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。
（Ⅰ）证略解:（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
∵ ， ∴△ 是等边三角形，∴ ,
在△ 中， ， ， ，∴
,∴二面角 的大小为
练习1（2008山东）分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为 ）
例3（湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。
3解（垂面法）如图PA⊥平面BD BD⊥AC BD⊥BC 过BD作平面BDH⊥PC于H PC⊥DH、BH ∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB= a,BC=a,PC= a, PB·BC=S△PBC= PC·BH, 则BH= =DH，又BD= 在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝ 又0＜∠BHD＜π 则∠BHD= ，二面角B-PC-D的大小是 。
例4在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
五、补棱法:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.
二面角大小的求法的归类分析
一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
例1在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC—-D的大小。
例1（2009全国卷Ⅰ理）证（I）略解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 交 于点 ，则点 为AM的中点，过F点在平面ASM内作 ，GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵ 为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则 即为所求二面角..∵ ，则 ，又∵ ，∴ ,