(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换

第三节 三角恒等变换

考纲解读

会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.

考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.

化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲

常用三角恒等变形公式 和角公式

sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

++=

-

差角公式

sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

--=

+

倍角公式

sin 22sin cos ααα=

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

22tan tan 21tan α

αα

=-

降次（幂）公式

2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222

αα

ααααα-+===

半角公式

sin

2

2α

α==

sin 1cos tan

.21cos sin a α

αα

α-=

=+

辅助角公式

sin cos ),tan (0),b

a b ab a

αααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊

地，若sin cos a b αα+=，则tan .b

a

α=

常用的几个公式

sin cos );4π

ααα±=±

sin 2sin();3

π

ααα=±

cos 2sin();6

π

ααα±=±

题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明

(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-

(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ

αβαβ

+++=

-

解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于

12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得

2

221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-⋅+

22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ⇒--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ⇒--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+⇒+=-

证法二：利用两点间的距离公式.

如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++

3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ∆≅∆得，213.AP PP =故

22

22(1cos())(0sin())[cos()cos ][sin()sin ],αβαββαβα-++-+=--+--即

222222[1cos()]sin ()cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαββααββααβ

-+++=+-+++化简得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-

(2)sin()[()][()]22cos cos ππ

αβαβαβ+=+-=+-

cos()sin sin()22cos ππ

αβαβ=---

sin sin cos cos αβαβ=+

:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ+⇒+=+

sin(sin cos cos sin (3)tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβαβ

+++=

=+-

sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβ

αβαβ

αβαβαβαβ

+

-

tan tan :tan().1tan tan T αβ

αβαβαβ++⇒+=- 变式１ 证明：

(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=-

tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβ

αβαβ

---=

+

题型66 化简求值 思路提示

三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.

(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.