人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿

抛物线

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准方程

y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2

＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性

质

顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，p 2

F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－p 2

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

范围

x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R

开口方向

向右 向左

向上

向下

例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2

＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )

A ．217

B .17

C ．215

D .15

【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx －2，y 2

＝8x ，得k 2x 2

－4(k ＋2)x ＋4＝0.

∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2

－16k 2

>0，即k>－1. 又x 1＋x 22

＝

2k ＋2

k

2

＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．

∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22

·x 1＋x 2

2

－4x 1x 2＝542

－4

＝215.

【答案】C

练习1：已知点P 是抛物线y 2

＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.

172

B ．3

C. 5

D.92

【答案】A

练习2：F 是抛物线y 2

＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．

【答案】

52

类型二 抛物线的标准方程和几何性质

例2：已知抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )

A .4

5

B .35

C ．－35

D ．－45

【解析】由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y 2

＝4x ，y ＝2x －4得x 2

－5x ＋4＝0，

∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →

＝(3,4)·(0，－2)＝－8，

∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－4

5.故选D .

【答案】D

练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

A ．－43

B ．－1

C ．－34

D ．－12

【答案】Ｃ

练习2： 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a

＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a

＝________．

【答案】12类型三 抛物线焦点弦的性质

例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2

＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )

A .13

B .

23

C .23

D .

22

3

【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k x ＋2y 2

＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2

＝0，

∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，

|FA|＝x 1＋p

2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，

∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，

∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝22

3，选D .

【答案】D

练习1：过抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.

【解析】直线y ＝x －p 2

，故⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝x －p 2y 2＝2px ，

∴x 2

－3px ＋p

2

4

＝0，

|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2

类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：

如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2

＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．

(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON

【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①

(2)由①及y 2

＝2x ，消去y 可得 k 2x 2

－2(2k 2

＋1)x ＋4k 2

＝0.②

点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k

2

k

2＝4.

由y 2

1＝2x 1，y 2

2＝2x 2，得(y 1y 2)2

＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.

(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，