人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿

抛物线__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性质顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R开口方向向右 向左向上向下例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )A ．217B .17C ．215D .15【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，即k>－1. 又x 1＋x 22＝2k ＋2k2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝542－4＝215.【答案】C练习1：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92【答案】A练习2：F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【答案】52类型二 抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A .45B .35C ．－35D ．－45【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.故选D .【答案】D练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12【答案】Ｃ练习2： 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________．【答案】12类型三 抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )A .13B .23C .23D .223【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA|＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝223，选D .【答案】D练习1：过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【解析】直线y ＝x －p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px ，∴x 2－3px ＋p24＝0，|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON. 【答案】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.练习１ 设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）Ａ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，【答案】Ｄ练习2：抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．【答案】201. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．2212128x y -= Ｂ．2212821x y -= Ｃ．22134x y -= Ｄ．22143x y -= 【答案】Ｄ2. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.3. 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43【答案】D4. 抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_________ 【答案】ｐ＝２ 5. 曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y ＝－5x ＋36.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，设y 2＝2px(p>0)，∵p 2＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)． 当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ， 设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)， FA →＝(m －1,2m)，FB →＝(m －1，－2m)， ∴FA →·FB →＝m 2－6m ＋1<0， ∴3－22<m<3＋2 2.当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －m∴ky 2－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2m>0恒成立， y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4m ，又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋8m ，∵FA →·FB →＝(y 214－1)·(y 224－1)＋y 1y 2＝y 1y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12＝m 2－6m ＋1－4k2<0，即：4k 2>m 2－6m ＋1对∀k ≠0恒成立，又4k 2>0，∴m 2－6m ＋1<0恒成立， ∴3－22<m<3＋22，综上，m 的取值范围是：3－22<m<3＋2 2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 【答案】D2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1C.12D.14【答案】A3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x2【答案】D4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4【答案】B5．已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4 B.92C ．5D.112【答案】B6. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3C.52D ．2【答案】B7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94【答案】D能力提升（2）8．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________． 【答案】29．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．【答案】x-y-1=010．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．【答案】011. 如图1­4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图1­4【答案】12.已知动点P(x ，y)(y ≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．【答案】(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．∵焦点到准线的距离p＝2，∴曲线C方程是x2＝4y.(2)∵圆M∴其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴线段EG的长度是4.。