专题十一—几何证明.docx

辅导讲义

基础概念回顾(

一)

全等三角形的判定定理：

“SAS"： ________________________________________________________

“ASA"：________________________________________________________

“AAS"：________________________________________________________

“SSS"：________________________________________________________

“HL"：_______________________________________________________

通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素

1.(2015・常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120°,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三角形.

(1)求证：AE=AF；

(2)求ZEAF的度数.

技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立

2.（2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC, AD±BC,垂足是D, AE 平分ZBAD,交BC 于点E.在AABC 外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC.

（1）求证：BE=CF；

（2）在AB±.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.

求证：①ME丄BC；②DE=DN.

3.（2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90°, ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF.

（1）如图1,若点H是AC的屮点，AC=2>/E，求AB, BD的长；

（2）如图1,求证：HF=EF；

（3）如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由.

对全等判定的进一步探究

4 （南京2015）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AASJ “SSST和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在厶ABC和厶DEF中，AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,然后，对ZB 进行分类，可分为“ZB是直角、钝角、锐角"三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当ZB是直角时，AABC^ADEF.

（1 ）如图①，在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE=90°,根据▲,可以知道RtAABC^RtADEF.

第二种情况：当ZB是钝角时，AABC^ADEF・

（2）如图②，在△ ABC 和Z\DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE 都是钝角，求证：△ ABC竺△ DEF. 第三种情况：当ZB是锐角时，AABC和ADEF不一定全等.

（3）在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE都是锐角，请你用尺规在图③屮作出ADEF,使△。已尸和厶ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹）

（4）ZB还要满足什么条件，就可以使厶ABC^ADEF?请直接写出结论：在厶ABC和ADEF中，

AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE 都是锐角，若▲,则厶ABC^ ADEF.

基础概念回顾（二）：

线段垂直平分线到线段的两端_____________ 到线段两端 ________________ 的点在垂直平分线上角的平分线上的点到

相等，到____________ 相等的点在角平分线上

等腰三角形三线合_：____________________________________________________________

5.(2013年山东淄博4分)如图，AABC的周长为26,点D, E都在边BC ±, ZABC的平分线垂直于AE,垂足为

Q, ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BO10,则PQ的长为【】

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A- ? C. 3 D. 4

技巧：注意角分线和等腰三角形的联系，可以通过角分线上的点到两边距离相等构造等腰，一般的还可以构造全等三角形6.(2011秋•武夷山市期末)在图1中，已知ZMAN=120。，AC平分ZMAN・ZABC=ZADC=90%

(1)求证：△ABC^A ADC；

(2)求证：AD+AB=AC；

(3)把题中的条件"ZABC=ZADC=90。"改为ZABC+ZADC=180°,且DC=BC,如图2,其他条件不变,则(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

7.(2014年山东淄博9分)如图，四边形ABCD中，AC1BD交BD于点E,点F, M分别是AB, BC的中点，BN 平分ZABE 交AM 于点N, AB=AC=BD.连接MF, NF.

(1)判断ABN/IN的形状，并证明你的结论；

(2)判断△“尸“与厶BDC之间的关系，并说明理由.

技巧：通过角平分线的性质构造全等关系

8.（2006・北京）如图①，0P是ZAOB的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形.请

你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在厶ABC屮，ZACB是直角，ZB=60°, AD、CE分另是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FDZ间的数量关系；

（2）如图③，在AABC中，如果ZACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

技巧：平行线间的角平分线构造等腰三角形，常用套路如上面的例2 （2014年重庆）

9.（2013・南通）如图，在0ABCD中，AB=6cm, AD=9cm, ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,

BG1AE,垂足为G, BG=4迈cm,则EF+CF的长为__________________ cm.