专题十一—几何证明.docx

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几何证明的基本方法

几何证明的基本方法几何证明是数学中一种重要的推理方法，通过运用几何知识和定理，以及逻辑推理，来说明几何问题的正确性。

在进行几何证明时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，帮助我们更好地展示证明过程，并确保结论的准确性。

本文将介绍一些常用的几何证明的基本方法。

一、直接证明法直接证明法是最常用的几何证明方法之一。

它的基本思路是利用已知条件和几何定理，通过一系列逻辑推理，直接得出结论。

例如，现有一个三角形ABC，已知AB=AC，需要证明∠B=∠C。

我们可以通过以下步骤进行直接证明：1. 根据已知条件，得到AB=AC；2. 利用等边三角形的性质，得到∠B=∠C，并给出证明过程。

二、间接证明法间接证明法与直接证明法相反，它是通过排除一切其他可能性，间接证明出所要证明的结论。

这种方法常用于复杂且难以直接证明的几何问题。

例如，现有一个平行四边形ABCD，需要证明对角线AC与BD相等。

我们可以通过以下步骤进行间接证明：1. 假设对角线AC与BD不相等；2. 利用平行四边形的性质和已知条件，进行逻辑推理，得出AC与BD相等的结论；3. 排除了AC与BD不相等的可能性，证明结论成立。

三、反证法反证法是一种常用的几何证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。

例如，现有一个直角三角形ABC，需要证明∠B=90度。

我们可以通过以下步骤进行反证法证明：1. 假设∠B不等于90度；2. 利用直角三角形的性质，通过逻辑推理得出∠B=90度；3. 得到矛盾的结论，推翻了假设，证明∠B=90度成立。

四、构造法构造法是利用几何工具，在已知条件下构造出满足某种要求的几何图形，从而推导出所要证明的结论。

例如，现有一个等边三角形ABC，需要证明三条边相等。

我们可以通过以下步骤进行构造法证明：1. 在AB、BC、CA之间分别用直尺和圆规作等边三角形ABC的三条边；2. 利用等边三角形的构造，得到三条边相等的结论。

几何定理证明范文

几何定理证明范文要证明几何定理，通常需要使用几何性质和已知条件，以及运用几何推理和数学推断等方法。

本文选取了三个较为经典的几何定理进行证明，分别是直角三角形的勾股定理、垂线定理和相交弦定理。

下面分别对这三个定理进行证明。

一、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别平方之和。

即若有一个直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB²=AC²+BC²。

证明过程如下：设直角三角形ABC，其中∠C=90°。

连接AC和BC，延长AC到点D，使得CD=BC。

由于∠C=90°，则四边形ABCD是一个矩形。

根据矩形的性质，对角线互相平分。

即AC=BD，BC=AD。

根据勾股定理的推广形式，有AC²=AB²+BC²，以及BD²=AB²+AD²。

由于AC=BD，所以AB²+BC²=AB²+AD²。

消去AB²，得BC²=AD²。

因此，直角三角形的勾股定理得证。

二、垂线定理垂线定理是指在平面上，如果一直线段垂直于另一直线段，那么这两条直线段互相垂直。

即若有一直线段AB垂直于另一直线段CD，则有∠ABC=90°。

证明过程如下：设直线段AB垂直于CD，交于点M。

连接AM和BM。

根据垂线的性质，AM和BM分别垂直于CD，即∠CAM=90°和∠CBM=90°。

根据平行线的性质，互相平行的直线切割同一条直线时，所得的对应角相等。

因此，∠CAB=∠ACM=90°，即∠ABC=90°。

这样，垂线定理得证。

三、相交弦定理相交弦定理是指在一个圆内，两条相交弦的互补弦乘积相等。

即若有一圆内的两条弦AB和CD相交于点E，则有AE×EB=CE×ED。

数学认识几何证明

数学认识几何证明几何证明是数学中的重要部分，它要求我们通过逻辑推理和严密推导来证明或解释几何定理。

在进行几何证明时，我们需要正确运用已知的几何定理、公理和性质，以及运用数学推理方法，如演绎推理和归纳推理等。

本文将介绍几何证明的基本概念和常见的证明方法，并结合实例进行说明。

一、几何证明的基本概念几何证明是指通过推理和演绎，用严格的逻辑方法陈述和证明几何命题。

在几何证明中，我们需要合理组织思路，运用相关几何性质和已知定理来推导结论，以达到严密合理的证明目的。

几何证明的基本要素包括：1.已知条件：即已知的几何信息或性质，作为推导的起点。

2.目标结论：即需要证明的几何命题或结论。

3.推导步骤：通过逻辑推理和演绎，运用已知条件和几何性质，推导出目标结论的过程。

4.证明过程：将推导步骤用文字和符号进行详细陈述，使得逻辑关系清晰、推理合理。

在进行几何证明时，我们需要注意以下几点：1.从已知条件出发，逐步推导，每一步都要经过严密的推理。

2.不要跳过关键的步骤，任何一步都不能省略。

3.使用几何术语和符号，确保表述准确清晰。

4.用图示辅助，以便更好地理解和展示证明过程。

5.对于不同的几何证明，可以选择合适的证明方法，如直接证明法、间接证明法和反证法等。

二、几何证明的常见方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，它通过从已知条件出发，一步步推导出目标结论。

这种证明方法严谨明确，逻辑性强。

在进行直接证明时，我们需要根据已知条件和几何性质，运用相关的推理方法，逐步推导出目标结论。

例如，下面是一个直接证明的例子：已知：AB ⊥ BC，∠ABC = 90°证明：AB² + BC² = AC²证明过程：1.连接AC，并延长AB到D；2.∵ AB ⊥ BC，∠ABC = 90°∴△ABC 和△ACD 相似（正弦定理）；3.设 AB = a，BC = b，AC = c；∴ AD = a + b；4.∵△ABC 和△ACD 相似∴ AB/AC = BC/AC = BC/AD = a/c = b/(a + b)；5.∴ a/c = b/(a + b)；∴ a（a + b）= bc；6.∴ a² + ab = bc；7.∴ a² + 2ab + b² = bc + 2ab + b²；∴ (a + b)² = AC²；8.∴ AB² + BC² = AC²；∴命题得证。

几何证明基本方法

几何证明基本方法几何证明是数学中的重要内容之一，通过几何证明可以验证几何关系和性质，推导出几何定理和命题。

在进行几何证明时，我们需要运用一些基本的方法和思维，下面将介绍几何证明的基本方法。

1. 相似三角形法相似三角形法是几何证明中常用的方法之一。

相似三角形的性质是指两个三角形对应角相等，对应边成比例。

通过借助相似三角形的性质，我们可以证明一些关于长度比例、角度大小和面积比例的问题。

在进行证明时，通常可以根据题目给出的条件，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质得出结论。

2. 全等三角形法全等三角形法是几何证明中另一个常用的方法。

全等三角形的性质是指两个三角形的对应边和对应角都相等。

通过构造全等三角形，我们可以证明一些关于长度、角度和面积等性质的问题。

在进行证明时，通常可以根据已知条件，找出具有相同长度和角度的三角形，然后利用全等三角形的性质得出结论。

3. 反证法反证法是几何证明中常用的思维方法之一。

通过反证法，我们假设结论不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原结论成立。

在使用反证法时，通常需要根据题目给出的条件，推导出一个假设，然后通过逻辑推理推出矛盾的结论。

这种方法常用于证明几何定理和命题的唯一性。

4. 辅助线法辅助线法是几何证明中常用的构造方法之一。

通过合理地引入一些辅助线，可以改变几何图形的形状，使得证明过程更加简化和明晰。

在使用辅助线法时，通常需要根据题目给出的条件和要证明的结论，选择适当的辅助线进行构造，然后利用辅助线和已知条件之间的关系进行证明。

5. 平移法平移法是几何证明中一种常用的等面积证明方法。

通过在平面上进行平移，可以改变几何图形的位置，但不改变其形状和面积。

在使用平移法时，通常需要根据题目给出的条件和要证明的结论，选择适当的平移方向和距离，使得几何图形移动到有利于证明的位置，然后利用平移前后图形的关系进行证明。

综上所述，几何证明的基本方法包括相似三角形法、全等三角形法、反证法、辅助线法和平移法。

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几何定理证明：几何定理的证明

几何定理证明：几何定理的证明几何定理是数学中非常重要的一部分，它们是建立和推导几何关系的基础。

在几何学中，定理的证明是确保定理的正确性和可靠性的关键步骤。

本文将介绍几何定理的证明过程，并以几个典型的几何定理为例进行详细阐述。

一、直角三角形的勾股定理证明勾股定理是几何中最经典且重要的定理之一，它声称：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

该定理的证明可以通过几何方法或代数方法来展开。

几何方法证明：以直角三角形ABC为例，其中∠B为直角。

我们可以通过画图来证明勾股定理。

1. 以BC为边，作一个正方形BCDE。

2. 连接AC和AE。

3. 证明四边形ABED是一个平方。

4. 由于正方形的性质，我们可以得出AE和BD是相等的。

5. 观察三角形ACD和三角形ABC，它们的两个角分别相等，并且一边相等，所以它们是全等三角形。

6. 根据全等三角形的性质，我们可以得出AD和AB相等。

7. AD是直角边的平方，AB是斜边的平方，因此AD的平方加上AB的平方等于斜边AC的平方，从而证明了勾股定理。

代数方法证明：我们可以使用代数方法证明勾股定理。

设直角三角形ABC中，∠B为直角，AB=a，BC=b，AC=c。

根据直角三角形的定义，我们可以得到两个关系式：a² + b² = c²（1）tan(∠B) = a/b （2）将式（2）代入式（1），得到：a² + (a/tan(∠B))² = c²经过变形和化简，我们最终可以得到：(1 + tan²(∠B))a² = c²由于tan²(∠B) + 1 = sec²(∠B)（余切定理），所以我们可以进一步化简为：sec²(∠B) a² = c²最后，我们得到了勾股定理的形式。

二、等腰三角形底角定理证明等腰三角形是指两边相等的三角形。

在等腰三角形中，底角定理成立，即等腰三角形的底角是两个顶角的一半。

(word完整版)八年级数学几何证明题技巧(含答案),推荐文档

D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。

求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。

从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。

初中数学几何证明

初中数学几何证明
证明1：三角形内角和为180度
设三角形ABC，需要证明∠A+∠B+∠C=180°。

证明：
我们可以通过以下步骤证明：
1.作射线AD，使其与边BC相交于点D。

2.作射线BE，使其与边AC相交于点E。

3.作射线CF，使其与边AB相交于点F。

4.连接线段AF、BD和CE。

根据构造可知，四边形ABCD是一个平行四边形，因此∠ADC=∠B。

同理，四边形ABCE是一个平行四边形，所以∠AEC=∠B。

根据共同顶点原理可知，∠ADC=∠AEC。

根据平行线与同位角定理，∠A+∠ADC+∠AEC=180°。

再观察三角形ABC，在三角形内部有一个三角形DEF，DEF与ABC有三个共顶点，即D、E、F。

根据共同顶点原理，可知∠ADC=∠B＋∠CDF和∠DEC=∠A＋∠ADB。

同时，根据平行线与同位角定理，可知∠B＋∠CDF＋∠A＋∠ADB=180°。

综上所述，∠A+∠B+∠C=180°。

证明2：三角形外角等于与之相对的内角之和
设三角形ABC，需要证明∠DAB=∠BCA+∠ACB。

证明：
我们可以通过以下步骤证明：
1.作射线AD，使其与边BC相交于点D。

2.连接线段BD和AC。

根据构造可知，△DAB和△DBC是共有一条边AB的两个三角形，同样的，根据作线得同位角平行线定理，我们可以得到∠DAB=∠DBC。

同理，∠ACB=∠BDC。

因此，∠DAB=∠BCA+∠ACB。

初中数学所有几何证明定理精编版

初中数学所有几何证明定理精编版一、基本概念及基本性质1.线段延长线上的点：对于给定的线段AB，延长线段AB所在的直线，记为l，则任意一点C在直线l上的位置满足AC和BC是同侧还是异侧。

证明：对任意一点C在直线l上，考虑四种情况：(1)当C在线段AB的延长线的同一侧时，即AC和BC是同侧；(2)当C在线段AB所在直线上，但不在线段的延长线上时，即AC和BC是异侧；(3)当C在线段AB的延长线上时，即AC和BC是异侧；(4)当C重合于A或B时，则AC或BC无法判断是同侧还是异侧。

2.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线将线段分成两等部分，并且与线段有着相同的长度。

证明：考虑线段AB，假设垂直平分线为l。

根据垂直平分线的定义，AL和BL均与l垂直且长度相等。

根据点到直线的距离公式，AL和BL的长度相等，即AL=BL。

3.线段平行四边形的性质：对于平行四边形ABCD，有AD∥BC，AB=CD，AD=BC。

证明：分别连接AC和BD。

根据平行四边形的定义，AD∥BC，且ABCD是一个四边形。

因此，由平行线性质可得∠ADB=∠CAB（同位角）和∠BDA=∠BCA（对应角）。

又由三角形的内角和定理可知∠CAB+∠BCA=180°。

联立这两个等式可得∠ADB+∠BDA=180°，即∠ADB和∠BDA互补。

同理，∠CAD和∠CDA也互补。

所以，平行四边形ABCD的两组对角互补，即为一个四边形。

4.同一个圆的圆心角：同一个圆上的所有圆心角均相等。

证明：考虑一个圆O，对于圆上的任意两点A和B，可以连接AO和BO。

根据圆的定义，在圆上的点均与圆心O的距离相等，即AO=BO。

因此，∆AOB是一个等腰三角形，其中∠AOB是其顶角。

根据等腰三角形的性质，∠AOB=∠ABO=∠BAO。

即圆上的所有圆心角均相等。

二、线段的等分、角平分线和垂直平分线1.线段的等分点存在性：对于给定线段AB，存在唯一的点C，使得AC=CB。

_几何证明知识整理.docx

知识整理一、知识梳理:1、有关概念：命题及逆命题___________________________________________________ 定理及逆定理_____________________________________________________ 2、重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

如图：・・・MN垂宜平分线段AB・・・PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：・.・PA=PB・•・点P在线段AB的垂直平分线上★角平分线泄理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图：/MB逆定理: 如图：VOP 平分ZAOBPD丄OA, PE±OB・•・PD=PEAAR在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

J PD=PEPD10A, PE丄OB・・・0P平分ZAOB★直角三角形的全等判定肓角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（H.L）（注意：必须先证明两个三和形都是RTZ,才能应用本判定定理；以前所学的ASA、A AS. SAS、SSS这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。

）★直角三角形的性质及判定定理1：直角三角形的两个锐角互余。

如图：VZC=90°・,.ZA+ZB=90°定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（直角、中点一想一半）如图：V ZACB=90° ,且点D是AB的屮点:.CD = -AB2推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如图：V ZC=90° , ZA二30°B ，.心和推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。

什么是几何证明范文

什么是几何证明范文几何证明是一种通过推理和逻辑推断来证明几何问题的方法。

它是数学中一种重要的证明方法，帮助我们理解和解决与形状、大小、位置等相关的问题。

几何证明是基于几何学的基本原理和定理来构建的。

通过运用这些原理和定理，我们可以推导出其他结论，从而证明给定的几何问题。

几何证明的过程通常包括以下几个步骤：1.问题陈述和图形绘制：首先，将给定问题清晰地陈述出来，并根据问题绘制相应的几何图形。

图形的绘制有助于我们更好地理解问题，并为证明过程提供直观的参考。

2.分析和研究：对于给定的几何图形和问题，我们需要仔细分析并研究它们的特点和性质。

这包括对图形的边长、角度、对称性等进行分析。

3.使用基本原理和定理：在几何证明中，我们通常会使用一些基本原理和定理来推导出其他结论。

这些基本原理和定理是几何学的基础，如直角三角形的勾股定理、平行线的性质、相似三角形的性质等。

4.运用逻辑推理：在几何证明中，逻辑推理是非常重要的工具。

我们需要运用推理规则和逻辑法则来推导出新的命题。

这包括使用假设、反证法、推理法则等。

6.结论和反思：最后，我们需要根据证明的结果得出结论，并对整个证明过程进行反思和总结。

结论应该清晰、准确地回答了问题，且经过验证和证明，同时也要对证明过程的合理性和逻辑性进行评估。

几何证明在数学上具有重要的意义。

它不仅有助于我们加深对几何学的理解，还锻炼了我们的逻辑思维和推理能力。

通过几何证明，我们能够培养分析问题、发现问题本质的能力，并且在解决实际问题时能够应用几何学的知识和方法。

尽管几何证明在数学教育中有着重要的地位，但它的证明过程并非总是易于进行的。

有时候，几何证明可能需要耐心和坚持，并且可能会涉及一些复杂的推理和计算。

然而，通过不断练习和实践，我们可以逐渐提高我们的几何证明技巧，并更好地理解和应用几何学的知识。

总之，几何证明是一种通过推理和逻辑推断来解决几何问题的方法，可以帮助我们理解和解决与形状、大小、位置等相关的问题。

几何证明方法

几何证明方法几何证明方法是指通过几何学的基本原理和定理，以及逻辑推理的方法，来证明几何问题的正确性。

在数学研究和解决各类几何问题时，几何证明方法起到了重要的作用。

本文将介绍几个常用的几何证明方法，分别是反证法、直接证明法和数学归纳法。

1. 反证法反证法是一种常用的证明方法，它基于对否定结论的假设，通过推理到矛盾的结论来证明原结论的正确性。

在几何证明中，反证法常常用于证明两个图形不相等或者两个点之间的距离不相等等问题。

下面以证明“三角形ABC中，如果∠ABC=∠ACB，则AB=AC”为例，使用反证法进行证明。

首先，假设∠ABC=∠ACB，但是AB≠AC。

根据几何学的基本原理，我们可以得知，如果两个角相等，则两个角的对边也必须相等。

根据这一原理，如果∠ABC=∠ACB，则AB=BC。

但是，根据我们的假设，AB≠AC，与∠ABC=∠ACB相矛盾。

因此，假设不成立。

所以，可以得出结论：在三角形ABC中，如果∠ABC=∠ACB，则AB=AC。

2. 直接证明法直接证明法是指通过基本的几何原理和定理，以及推理步骤的链式关系，一步步地推导出结论的证明方法。

它是一种直观而简洁的方法，在几何证明中应用广泛。

以证明“三角形的外角等于其所对的内角之和”为例，使用直接证明法进行证明。

假设三角形ABC的内角分别为∠A、∠B和∠C。

而三角形ABC的外角分别为∠D、∠E和∠F。

根据几何学的基本原理，我们知道，任意一点的外角等于其相邻内角之和。

即∠D=∠A+∠B, ∠E=∠B+∠C, ∠F=∠A+∠C。

将上述等式相加可得：∠D+∠E+∠F=(∠A+∠B)+(∠B+∠C)+(∠A+∠C)=∠A+∠B+∠C。

再根据三角形内角和为180°的性质可知：∠A+∠B+∠C=180°。

因此，∠D+∠E+∠F=180°，即三角形的外角等于其所对的内角之和。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，常用于证明某一命题在整数集合上的通用性。

初中数学几何证明专题

初中数学几何证明专题在初中数学的学习中，几何证明无疑是一个重点和难点。

它不仅要求我们掌握扎实的基础知识，还需要具备清晰的逻辑思维和严谨的推理能力。

首先，让我们来了解一下几何证明的基本概念。

几何证明，简单来说，就是通过一系列的逻辑推理和已知条件，来证明某个几何命题的正确性。

这就像是一个解谜的过程，我们要从已知的线索出发，一步步地推导出最终的答案。

在进行几何证明时，准确地理解和运用各种定理、定义是至关重要的。

比如，三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质定理等等。

这些定理就像是我们手中的工具，只有熟练掌握并能灵活运用，才能在证明的道路上畅通无阻。

以三角形内角和定理为例，我们知道三角形的内角和为 180 度。

在证明相关问题时，如果已知三角形的两个内角的度数，那么通过用 180 度减去这两个角的度数，就能求出第三个角的度数。

再比如，勾股定理告诉我们在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

当我们遇到求直角三角形边长的问题时，就可以运用这个定理来解决。

除了定理和定义，几何证明中常见的辅助线的添加也是解题的关键之一。

辅助线就像是一把钥匙，能够帮助我们打开解题的大门。

例如，在证明等腰三角形的性质时，我们常常通过作顶角的平分线、底边上的高或中线，将等腰三角形转化为两个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质来证明。

在实际的证明过程中，我们要遵循一定的步骤和方法。

第一步，仔细审题，明确已知条件和要证明的结论。

这就像是在出发前确定目的地和路线一样重要。

第二步，根据已知条件，结合所学的定理和定义，寻找解题的思路。

第三步，书写证明过程，要做到条理清晰，逻辑严谨，每一步都要有依据。

让我们通过一个具体的例子来感受一下几何证明的魅力。

题目：已知在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是角 BAC 的平分线，求证：BD ＝ CD。

证明：因为 AB ＝ AC，AD 是角 BAC 的平分线，所以角 BAD ＝角 CAD。

几何定理的证明

几何定理的证明几何学是数学的一个分支，研究空间中的形状、位置、大小关系以及它们的性质和变化规律。

在几何学中，定理是通过严密的逻辑推导得出的结论，用于解决各种几何问题。

在本文中，将对几何学中的一些重要定理进行证明。

一、勾股定理的证明勾股定理是初中数学中最为人所熟知的定理之一，表述如下：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

也可以表示为 a² + b² = c²，其中a、b为两直角边的长度，c为斜边的长度。

证明：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。

根据勾股定理的定义，可以得到以下等式：a² + b² = c²二、圆的面积公式的证明圆是一个非常重要的几何形状，具有许多独特的性质和定理。

其中，圆的面积公式是指圆的面积S与其半径r之间的关系，表达式为S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。

证明：要证明圆的面积公式，我们可以利用数学归纳法。

首先，我们将圆分成许多小的扇形，并将这些扇形分别展开成弧和射线，形成一个近似于矩形的形状。

然后，我们计算这个近似的矩形的面积，并将其与原来圆的面积进行比较。

通过将这个过程重复无限次，我们可以得出结论，即圆的面积公式成立。

三、正方形的对角线长度的证明正方形是一种具有特殊性质的四边形，它的四条边相等且四个角都为直角。

一个重要的定理是正方形的对角线长度相等。

证明：设正方形的边长为a，其中一条对角线为d₁，另一条对角线为d₂。

根据正方形的性质，可以得到以下等式：d₁² = a² + a² = 2a²d₂² = a² + a² = 2a²由于d₁² = d₂²，所以d₁ = d₂。

因此，正方形的对角线长度相等。

四、相似三角形的比例关系的证明在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)

因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点，
所以 EF∥BC．
又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角 P﹣BD﹣A 的大小为α，直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为β，求 cos
（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，�� = 2，
∴由余弦定理，得：
BD=
1 + 2 − 2 × 1 × 2 × ��45° =1，…（2 分）
性质定理
行，则过这条直线的任一
∵l∥α，
平面与此平面的交线与
l⊂β，α∩β
该直线平行(简记为“线面
＝b，∴l∥b
平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
判定定理
图形语言
符号语言
一个平面内的两条相交
∵a∥β，b
直线与另一个平面平行，
∥β，a∩b
则这两个平面平行(简记
＝P，a⊂α，
⊥AC，
所以 PA⊥面 ABC，
因为 BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 AB⊥BC，且 PA∩AB＝A，
所以 BC⊥面 PAB．
…．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC
平行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE∥平面 PBC．
��
理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB． …（2 分）

几何证明定理(完整版)

几何证明定理几何证明定理第一篇：高中几何证明定理高中几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。

想要变-态的这里多的是--欧拉定理欧拉线欧拉公式九点圆定理葛尔刚点费马定理)海伦-公式共角比例定理张角定理帕斯卡定理曼海姆定理卡诺定理芬斯勒-哈德维格不等式外森匹克不等式琴生不等式塞瓦定理梅涅劳斯定理斯坦纳定理托勒密定理分角线定理斯特瓦尔特定理切点弦定理西姆松定理。

第二篇：几何证明定理几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!!31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边的平方，即a+b=47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系a+b=，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。

2015年高考数学专题十一：几何证明选讲

2015年高考数学专题十一：几何证明选讲（教师版含14年高考题）一、考纲要求(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形摄影定理。

⑵会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定地理及性质定理。

⑶会证明并应用相交弦定理,圆内接四边形的性质定理与判定定理,切割线定理。

⑷了解平行投影的含义，通过援助与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

(5)了解下面定理。

定理：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相较于O，其夹角为α，l’围绕l旋转得到以O为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β=0)，则：①β>α，平面π与圆锥的交线为圆锥，②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线③β<α平面π与圆锥的交线为双曲线。

(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如下面所示，这两个球位于圆锥内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F,E)正面上述定理①的情形：当时α>β时，平面π与圆锥的相交线为椭圆。

(图中上,下两球与圆锥切面相切的切点分别为B和C，线段BC与平面π相交于A)(7)会证明以下结果：①在(6)中，一个丹迪林球与圆锥的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π’.②如果平面π与平面π’的交线为m ，在(5)①中椭圆上任取一点A ，该丹迪林球与平面π的切点为F ，则点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比是小于1的常熟e(称点F 为这个椭圆的焦点直线m 为椭圆的准线，常数e 为离心率)。

(8)了解定理(5)③中的证明，了解当β无线接近α时，平面π的极限结果。

二、高考试题感悟1、15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________．图1-115．32、21．[2014·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲]如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .图1-7证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ，所以∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D .3、22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲图1-6如图1-6，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.因为AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB ＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．所以ED为直径．又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.4、22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲如图1-5，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1-522．证明：(1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.5、22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1-5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图1-5(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．6、15．[2014·陕西卷]B.(几何证明选做题)如图1-3所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．图1-315．37、7．[2014·天津卷] 如图1-1所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．D。

数学几何证明

数学几何证明在数学中，几何证明是一种通过使用推理和证据来验证几何命题的方法。

基于几何的性质和定理，通过逻辑推理和推导，我们可以得出结论，并证明其正确性。

本文将以数学几何证明为主题，介绍几个常见的几何证明方法和技巧。

1. 证明方法一：直接证明直接证明是最常用的证明方法之一，在几何证明中也是如此。

该方法通过运用已知事实和性质，以及基本几何定理来推导和证明所要证明的命题。

下面是一个直接证明的例子：【例子】证明三角形的内角和为180度。

解：已知三角形的一条内角为α，另一条内角为β，第三条内角为γ。

根据几何定理可知，直线上的两个对立角之和为180度。

由此可推导出：α + β = 180度α + γ = 180度将两个等式相加，得到：(α + β) + (α + γ) = 180度 + 180度2α + β + γ = 360度由于β + γ = 180度（同理可证），所以可得：2α + 180度 = 360度2α = 180度α = 90度同理可证，β和γ的度数也分别为90度。

因此，三角形的内角和为180度。

2. 证明方法二：间接证明间接证明是通过采用反证法来证明所要证明的命题。

假设所要证明的命题不成立，然后推出矛盾的结论，由此证明所要证明的命题是正确的。

以下是一个间接证明的例子：【例子】证明等腰三角形的底角相等。

解：假设存在一个等腰三角形，其底角不相等。

设底角A、B的度数分别为x和y（x≠y）。

根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，也就是说x=y。

这与假设的底角不相等相矛盾。

因此，等腰三角形的底角是相等的。

3. 证明方法三：数学归纳法数学归纳法是一种常用于证明命题在整数集上成立的方法。

在几何证明中，我们可以利用数学归纳法证明一些具有递推关系的几何命题。

以下是一个使用数学归纳法的例子：【例子】证明正 n 边形的内角和为 (n-2) * 180 度。

解：对于 n = 3 的情况，三角形的内角和为 (3-2) * 180 = 180 度，符合题意。