经济数学基础图文 (4)

kf (x)dx k f (x)dx (k为常数 )
例5 求不定积分 (x2 cos x)d x .
解 先利用积分性质变形，再积分:
(x2
cos x) d x
x2 d x cos x d x
1 x3 3
sin x C
第4章 不定积分
有时候，我们需要对被积函数作恒等变形后，才能应用
方便大家掌握，我们把积分基本公式与导数公式进行对照，
见表4-1.
第4章 不定积分
第4章 不定积分
第4章 不定积分
表4-1所示公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要 熟记公式右边的结果，还要记清公式左边对应的形式.
例4 求不定积分∫ 5x dx.
解
由基本积分公式
ax d x 1 ax C得 ln a
第4章 不定积分
第4章 不定积分
例5 求下列不定积分:
第4章 不定积分
第4章 不定积分
第4章 不定积分
例7 解
求
1 x2
cos
1 x
d
x
.
11
11
1
x2 cos x dx cos x d( x) sin x C
例8
求x
1 dx 1 ln2 x
解
x
1
1 ln2
x
d
x
1
d ln x =arcsin(lnx)+C
∫ f(x)dx =F(x)+C 其中: “∫”称为积分号; f(x)称为被积函数; f(x)dx称为被积表达 式; x称为积分变量; 任意常数C称为积分常量.
由不定积分的定义可知，不定积分运算与导数(或微分)
(1)(∫ f(x)dx )′=f(x)或d(∫ f(x)dx )=f(x)dx (2) ∫ F′(x)dx=F(x)+C或∫ dF(x)=F(x)+C.
2
2
2
2
这时，后面的积分∫x2ex dx要比原来的积分∫xex dx更复杂、更难计
算.
第4章 不定积分
因此，应用分部积分公式求不定积分的关键在于正确地 选择u和v.
(1) 由v′易求出v (2) 右侧积分∫u′v dx要比左侧积分∫uv′dx简单易求. 例2 计算下列不定积分: (1) ∫x cosx dx； (2) ∫x2ex dx. 解 (1) 设u=x，则v=sinx
第4章 不定积分
例12 求 a2 x2 d x (a 0)
解 设x=a sint，t∈[－(π/2)，(π/2)]，则dx=a cost dt，于是
为了把变量t还原为x，根据sint=(x/a)作如图4-2所示的辅
a2 x2dx a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
第4章 不定积分
第4章 不定积分
例4 求不定积分∫cosx sinx dx.
例4说明凑微分时把积分表达式中的那一部分凑成dφ(x),其 实是灵活多变的，需要根据积分表达式具体分析，选择不同， 积分结果表达形式可能不同.凑微分法运用的难点在于把积分 表达式中的那一部分凑成dφ(x)，这需要解题经验的积累.
下面给出一些常见的凑微分形式：
(2) 因为sec2x=1+tan2x，所以
tan2 x d x (sec2 x 1)d x tan x x C
第4章 不定积分
4.2
4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法)
例1
求不定积分
1 3x
2
dx
.
解
由基本积分公式知
1 x
dx
ln
x
C
，
1 3x
2
dx
与该公式
相近但不一致，所以不能直接套用该公式(因为
第4章 不定积分
定义4.1 设函数f(x)在区间(a，b)上有定义，若存在函数 F(x)，使得对于任意的x∈(a，b)， 都有
F′(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间(a，b)上的一个原函数.
例如，因为(sinx)′=cosx，(sinx+2)′=cosx，(sinx+C)′= cosx，x∈(－∞，+∞)，所以sinx、sinx+2、sinx+C都是cos x在(－∞，+∞)内的原函数. 这说明cosx的原函数并不唯一， 且这些原函数之间只相差一个常数.
1 ln2 x
例9 求 (x 1) ex22x d x
(x 1) ex22x d x 1 2
e x2 2 x
d( x2
2x)
1 2
ex2 2x
C
第4章 不定积分
4.2.2
在第一类换元积分法中，我们是通过变量代换u=φ(x)，
将形如∫f[φ(x)]φ′(x)dx的不定积分转化为形如∫f(u)du的不定积分，
根据导数公式知(x2+C)′=2x，其中C为任意常数，故 f(x)=x2+C
又因为曲线经过坐标原点，所以有f(0)=0，将其代入上式得C=0，因此 所求曲线的方程为
y=x2 此例提出一类问题：已知某一个函数f(x)，能否确定一个函数F(x)，使 得F(x)的导数等于f(x)，即F′(x)=f(x). 对于这类问题，我们引入如下概念.
例1 求不定积分∫xex dx. 解 设u=x，v′=ex，则du=dx，v=ex，由分部积分公式得
∫xex dx =xex－∫ex dx=xex－ex+C 如果设u=ex，v′=x，则du=ex dx，v=(1/2)x2
xex d x 1 x2 ex 1 x2 d ex 1 x2 ex 1 x2 ex d x
一般而言，原函数有如下性质.
第4章 不定积分
性质1 若F(x)是f(x)在区间I上的原函数，则对于任意常数C， 函数F(x)+C是f(x)的原函数.
证明 由已知得F′(x)=f(x)，则 [F(x)+C]′=F′(x)+C′=f(x)
因此F(x)+C也是f(x)的原函数. 性质2 若F(x)、G(x)为f(x)在区间I上的两个原函数，则
第4章 不定积分
3. 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数y=F(x)的图 像称为函数f(x)的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不定积分在 几何上表示由函数f(x)的一条积分曲线F(x)沿纵轴方向平移所 得的积分曲线族，在横坐标相同点处其每一条积分曲线的切 线是互相平行的，如图4-1所示，这就是不定积分的几何意义.
第4章 不定积分
图 4-1
第4章 不定积分
4.1.2
由于不定积分是导数的逆运算，因此根据基本初等函数
的导数公式，可得到相对应的积分公式.
例如: 因为x′=1，所以∫dx=x+C；因为
以
a
x
d
x
1 ln a
a
x
C(a>0，a≠1).
1 ln a
ax
，ax 所
类似地，我们可以得到其他不定积分的基本公式，为了
分转化为新变量u的积分(与基本积分公式一致的形式)，然后
用基本积分公式求解，最后进行变量回代而得到积分结果.这
个方法可以推广，一般地，我们有下述定理.
第4章 不定积分
定理4.1 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则对于x的任一可微函数 u=φ(x)，有
这种先“凑”微分，再作变量代换求不定积分的方法， 称为第一类换元积分法，也称凑微分法.
图 4-2
图 4-3
第4章 不定积分
例13 求
dx (a 0) a2 x2
.
解 令x=a tant，则dx=a sec2t dt，于
为了把sect和tant换成x的函数，作如图4-3所示的辅助三角形， 即tant=(x/a)， sect a2 x2 ,
a
其中，C=C1－lna，仍为任意常数.
d(uv)=u dv+v du
u dv=d(uv)－v du
∫u dv =uv－∫ v du 或 ∫ uv′ dx =uv－∫u′v dx 即分部积分公式.
第4章 不定积分
分部积分公式实际上是一个积分的转化关系式，如果公式左 侧的不定积分不易计算，则利用该公式将左侧较难的积分转 化为右侧较简单的积分，可起到化难为易的作用.
4.2节学习了换元积分法，大大拓展了求不定积分的范围， 但是仍然有一些简单函数的不定积分，如∫x ex dx、∫x sinx dx、 ∫ ex sinx dx、∫ lnx dx、∫ arcsinx dx等不能解决. 本节介绍不定积分的 分部积分法.
设函数u=u(x)、v=v(x)具有连续的导数，由函数乘积的微分法
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念及性质 4.2 不定积分的换元积分法 4.3 分部积分法 4.4 常微分方程初步
第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念及性质
4.1.1 1. 例1 已知某曲线经过坐标原点，且曲线上每一点处的切线斜率等于
该点横坐标的二倍，试求该曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y=f(x)，则由函数导数的几何意义有f′(x)=2x.
例2 求不定积分 (ax b)10 d x (a≠0) .
解
第4章 不定积分
例3
求不定积分
2x
x2 5 dx
.
解 因为d(x2+5)=2x dx
凑微分法熟练后，可以省略换元和回代过程，直接写出积 分结果.如例3的解题过程可以简化写成
2x x2
5
dx
1 x2
5
d(x2
5)
=ln(x2+5)+C
积分性质和积分公式求不定积分.
例6
求不定积分
xe x x3 3
x dx
.
解 先化简被积函数，再积分:
x ex x3 3 d x
x
e
x
x2
3 x
d
x
e
x
d
x
x
2
d
x
3
1 x
d
x
ex x3 3ln x C 3
第4章 不定积分
例7 求下列不定积分:
(1)
1
x2 x2
d
x
；
G(x)=F(x)+C. 证明 因为F′(x)=f(x)，G′(x)=f(x)，所以 [F(x)－G(x)]′=F′(x)－G′(x)=0
根据微分中值定理推论，可得 G(x)－F(x)=C
故
G(x)=F(x)+C
第4章 不定积分
2. 定义4.2 若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则称f(x) 的全体原函数F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分，记为
然后计算. 有时候我们会遇到相反的情形，需要通过变量代
换x=ψ(t)，将形如∫f(x)dx的不定积分转化为形如∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt的
不定积分后再进行计算.
例10
求不定积分
1
1
dx x
.
解 这个不定积分的主要困难是分式中出现根式，凑微分
法难于求出积分结果，可以考虑先把根式消去，再积分.
令x=t2(t≥0)，则dx=2t dt
第4章 不定积分
例14
求
t
0
,
π 2
.
解 令x=a sect，则t∈[0，(π/2)]，dx=a sect tant dt，于是
根据sect=(x/a)作如图4-4所示的辅助三角形，于是有 sect x ，将其代入上式， 得
a
第4章 不定积分
图 4-4
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4.3 分 部 积 分
第4章 不定积分
将 t x 代入上式，回到原积分变量，则有
1
d
x x
2
x 2 ln(
x 1) C
定理4.2 设x=ψ(t)单调可导，如果f[ψ(t)]ψ′(t)有原函数F(t)，
则
其中t=ψ－1(x)是x=ψ(t)的反函数.这种求不定积分的方法称为第
二类换元积分法.
例11
求
xdx x 1
解 令 x 1 t ，t≥0，即x=t2+1，则dx=2t dt， 于是
5x d x 5x C
ln 5
第4章 不定积分
4.1.3 根据不定积分的定义和求导法则，可以得到下列性质. 性质1 函数代数和的不定积分等于各自不定积分的代数
和，即
( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
性质2 被积函数中的常量因子可以提到不定积分符号的 前面，即
第4章 不定积分
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例2 求不定积分∫ [dx/(1+x2)].
解
因为
arctan
x
1 1 x2
，所以arctanx是1/(1+x2)的一个
原函数，故
1 1 x2
d
x
arctan
x
C
例3 求不定积分∫ x3 dx.
解 因为[(1/4)x4]′=x3，所以(1/4)x4是x3的一个原函数，故
x3 d x 1 x4 C 4
(2)
x2
1 (1
x2
)
d
x
.
解 先将被积函数拆分变形，再求积分.
第4章 不定积分
例8
(1)
cos2
xdx 2
(2) tan2 x d x .
解 (1) 因为cos2 x 1 cos x ，所以 22
cos2
x 2
d
x
1 2
(1
cos
x)
d
x
1 2
(
d
x
cos
x
d
x)
1 (x sin x) C 2
ln
3x 2
C
3 3x 2
1 3x 2
).
考虑把所求积分转化成上述公式的形式. 因为
d(3x+2)=3dx，所以有
第4章 不定积分
验证结果，因为13
ln
3x
2
C
1 3x
2
，所以(1/3)ln|3x+2|+C
是1/(3x+2)的原函数.故该题的计算结果是正确的.
例1的解法特点是通过引入一个新变量u，先将原不定积