中考数学复习分类讨论思想

合集下载

中考数学压轴题的常见类型与解题思路

2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。

以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。

例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。

从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。

如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。

基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。

二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。

以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。

化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。

化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。

初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。

三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。

中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。

分类讨论思想在解中考数学题中的应用

这楚概念的本质，不能单单从形式上去理解，所参数取值的变化，种形式所反映出的实质在以根据参数不同的取值，准确定位概念，然后性的东西是不是发生了变化，搞清楚本质根据不同类型的概念按照各自的解题方法去后对症下药．
因为ｎ ≠Ｏ时，ａ１。０总成立，以（一）≥ 所
方程总有实数根．种思想在简化研究对象，展思维方面起着ａ取任何实数时，发分析在解本题中，如果只注重形式，刚重要作用，因此，关分类讨论的思想的数学有
“取任何实数时，程ａ。（ —３）方ｘ＋１ａ＋２一ａ１＝：０总有实数根．＝
何图形，几何图形元素确定的情形下正确在
解题
一
个几何图形是由基本元素构成的，如
证明１当ｎ）一０时，方程变为一ｚ原一１
整个问题的解决，一思想方法，这我们称之为
［１ｎ］一４（ａ１≥Ｏ一（ —３）ａ２－），
整理得 “一２＋１０（一１。Ｏａ＝，口）≥ ．
“ 分类讨论的思想 ”［分类讨论思想是解决．１
问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这
摘
要：类讨论思想是一种重要的数学思想．分在数学解题中起着特别重要的作用，文通过中考试本
题分析分类讨论思想在解题中如何应用．关键词：类讨论；分中考；题解

中考数学专题《分类讨论思想在压轴题中的应用》原卷

专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想：1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。

（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN V 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，设BMN V 面积为S ，由ON t =，BM =，可得5BN t =-，45ME BMsin t =︒==，即得()21115255()22228S BN ME t t t =⋅=-⋅=--+，由二次函数性质可得当52t =秒时，BMN V 的面积最大，求得其最大面积；（3）由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，分三种情况进行讨论求解．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3【详解】（1）将点()1,0A -，()5,0B 代入2y x bx c =-++中，得010255b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解这个方程组得45b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为245y x x =-++；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，如图：设BMN V 面积为S ，根据题意得：ON t =，BM =．()5,0B ，5BN t ∴=-，在245y x x =-++中，令0x =得5y =，()0,5C ∴，5OC OB ∴==，45OBC ∠∴=︒．45ME BMsin t ∴=︒==，()22111515255()2222228S BN ME t t t t t ∴=⋅=-⋅=-+=--+，05t << ，∴当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258；（3）存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，又()1,0A -，()0,5C ，①当PQ ，AC 是对角线，则PQ ，AC 的中点重合，21054505m n m n n +=-+⎧∴⎨-+-++=+⎩，解得0(m =与C 重合，舍去)或7m =-，()7,12Q ∴-；②当QA ，PC 为对角线，则QA ，PC 的中点重合，21050455m n m n n -=+⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得0(m =舍去)或7m =，()7,2Q ∴-；③当QC ，PA 为对角线，则QC ，PA 的中点重合，20155450m n m n n +=-⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得1m =或2m =，()1,4Q ∴或()2,3，综上所述，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【答案】(1)①2=23y x x --，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析(2)b <32-或b >133【详解】（1）①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b c c ⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴2=23y x x --②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把()3,0A ， ()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m =2或m =12或m =3，经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）（2）解：把点D （-3，0）代入直线43y x n =+，解得n =4，∴直线443y x =+，当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD =5，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <32-或b >133此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()8,4，OA OC ，分别落在x 轴和y 轴上，将OAB V 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE V ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，则图中是否存在与FBG △相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．(3)点M 在直线OD 上，N 是平面内一点，当四边形GFMN 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在ABC V 中，AB AC =，E 为边AC 上一点，D 为直线BC 上一点，连AD 、BE ，交于点F ．(1)如图1，若60BAC ∠=︒，D 点在线段BC 上，且AE CD =，过B 作BG AD ⊥，求证：12=FG BF ；(2)如图2，若BAC BFD ∠=∠，且3BF AF =，求BD BC 的值；(3)如图3，若60BAC ∠=︒．若3BD CD =，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AH ，并且使得HAC ADB ∠=∠，连接BH 交AC 于P ，直接写出AC PC= ______ ．3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =．点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿折线CA AB -以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A 时，点Q 停止1秒，然后继续运动．分别连接PQ 、BQ ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)求点A 与BC 之间的距离；(2)当3BP AQ =时，求t 的值；(3)当PQB V 为钝角三角形时，求t 的取值范围；(4)点P 关于直线AB 的对称点是点D ，连接DQ ，当线段DQ 与ABC V 的某条边平行时，直接写出t 的值．4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为()3,4，点D 从原点O 出发沿O A B →→匀速运动，到达点B 时停止，点E 从点A 出发沿A B C →→随D 运动，且始终保持CDE COA ∠=∠．设运动时间为t ．(1)当DE OB ∥时，求证：OCD BCE △≌△．(2)若点E 在BC 边上，当CDE △为等腰三角形时，求BE 的长．(3)若点D 的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形与OCD V 相似?若存在，直接写出所有符合条件的t ；若不存在，请说明理由．5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c ++＝﹣交x 轴于点A 和C （1，0），交y 轴于点B （0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线223(0)y ax ax a a =--<交x 轴于点A ，(B A 在B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)若经过点A 的直线y kx k =+交抛物线于点D ．①当0k >且1a =-时AD 交线段BC 于E ，交y 轴于点F ，求ΔΔEBD CEF S S -的最大值；②当0k <且k a =时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．7．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线26y ax x =++的图象与直线y kx b =+有唯一交点()1,4A -．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与x 轴的交点分别为点M 、N ，抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA PM +的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线y kx b =+与x 轴交于点B ，点Q 是x 轴上一动点，请你写出使QAB V 是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．8．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：12E C ∠=∠；(2)如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；(3)如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABC S S ∆∆的值．。

分类讨论思想

分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。

分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。

分类讨论的原则是不重复、不遗漏。

讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。

3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。

4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。

在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。

5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

分类讨论问题(含问题解析)

初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。

例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。

当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。

例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动时间为秒。

⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。

2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。

而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。

这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。

3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==．（2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=．又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<：当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。

中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件

过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB=75°－∠B=45°， sinACD AD，
AC
∴AD=AC×sin 45°，在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由

中考数学专题复习：分类讨论题

中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。

这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。

例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。

如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。

因此，顶角可能是50°或80°。

同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。

例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。

如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。

圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。

由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。

例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。

这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。

函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。

在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。

例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。

从而可以得到方程的解的取值范围。

总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。

在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。

本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。

2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】

2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12，设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时，两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h；与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】：当 m 4 时， t h，、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意；当 m 时，、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时

2025年河北省中考数学提分专项训练++专项+分类讨论思想在圆中的课件

返回
类型5 动态问题引发的分类讨论
6.[2024石家庄校级月考] 如图，已知直线l的表达式是y = 4 x − 8，并且与x轴、y轴分别交
3
于A，B两点.一个半径为3的⊙ C，圆心C从点
(0,3)开始以每秒2个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当
⊙ C与直线l相切时，⊙ C运动的时间为( A )
A.3 s或8 s
∴ 四边形QHCD是矩形.∴ HQ = CD = 12，
HQ//CD.
又∵
点O′是EF′的中点，∴
O′Q=Βιβλιοθήκη 1 2DE.∵ DE = DC − CE = 12 − 2 = 10，∴ O′Q = 5.
易知半圆O′的半径为6，
∴ MH = HQ − QO′ − O′M = 12 − 5 − 6 = 1，
返回
4.已知⊙ O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3 cm，求直线l与⊙ O的位置关系. 【解】∵⊙ O的半径= 6 = 3(cm)，且直线l上存在一点到圆心
2
O的距离为3 cm， ∴ 直线l与⊙ O至少有一个交点. 当⊙ O与直线l有且只有一个交点时，直线l与⊙ O相切；当直线l与⊙ O有两个交点时，直线l与⊙ O相交. ∴ 直线l与⊙ O的位置关系是相切或相交.
∵ ∠AOP = 45∘ ,∴ 点P的横、纵坐标相等.可设P(a, a). ∵ ∠AOB = 90∘ ,∴ AB是直径. ∴ Rt △ AOB外接圆的圆心为AB的中点. 设AB的中点为C，则C( 3, 1).
过点P作PE ⊥ OA于点E，过点C作 CF//OA，交PE于点F，连接PC. 易得∠CFP = 90∘ ,PF = a − 1， CF = a − 3，PC = 2. ∴ 在Rt △ PCF中， (a − 3)2 + (a − 1)2 = 22，解得 a1 = 3 + 1，a2 = 0（舍去）.

河南省洛阳市第二外国语学校中考数学复习课件：第四部分专题二分类讨论思想

专题二分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考察．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面： (1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；(2) 由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；(3)由于图形的不确定性引起的讨论；(4)由于题目含有字母而引起的讨论．
分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．
方程中的分类讨论
例 1：(2011 年湖北十堰)已知关于 x 的方程 mx2－(Байду номын сангаасm－1)x ＋2m－2＝0，求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根．
证明：(1)分两种情况讨论： ①当 m＝0 时，方程为 x－2＝0，得 x＝2，方程有实数根； ②当 m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式：
图 Z2－1
(1)若∠BAC 是锐角，请探索在直线 AB 上有多少个点 D，能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?
(2)请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数？
解：(1)①如图 Z2－2(1)，若点 D 在线段 AB 上，由于∠ACB ＞∠ABC，可以作一个点 D 满足∠ACD＝∠ABC，
图 Z2－2
使得△ ACD∽△ABC. ②如图 Z2－2(2)，若点 D 在线段 AB 的延长线上，则∠ACD ＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点 D 不存在； ③如图 Z2－2(3)，若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，由于∠BAC 是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，且∠CAD＝∠ABC ＋∠ACB，所以不可能有△ ACD∽△ABC，因此，这样的点 D 不存在． (2)若∠BAC 为锐角，由(1)知，这样的点 D 有一个；若∠BAC 为直角，这样的点 D 有两个；若∠BAC 为钝角，这样的点 D 有 1 个．规律方法：等腰三角形的顶角、顶点不确定，相似三角形

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

浅谈中考数学试题中的分类讨论及解题应用

培养学生勇于猜想的能力。
二、取激励性评价，养学生创新采培
意识
逻辑思维的转化，提高创新能力。
四、自主探索能培养学生的创新意识
自主探索有利于培养学生的独立思
与基础。新课标 ” 确指出：教师应激发 “ 明 “
Ｏ箱，销售这批药品的总利（）２１苏泰州）等腰三角形药品不少于４２（００江润不低于９０元。请问购进时有哪几种０
搭配方案？一
例２（０９深圳）一元二次不等为２０解
解：１）可求得降价前甲、乙两种药（品每盒的零售价分别是１．５８元和１元。８（）设购进甲药品箱（２为非负整数）购进乙药品（０一箱，，１０）则根据题意
ｆ８×１５Ｘ１＋５ｌ％１（Ｏ）９０，％ＸＯ× １０ ≥ ００
．
．
＋３ — ）。）３＞０
由有理数的乘法法则 “ 两数相乘，同画２，中一个与ＡＣ为腰时重复，个其因而，样的三角形最多能画３。这个（）２只有５ｍ为腰时才能构成等腰三ｃ角形ＡＢ，三边长为：ｃ。Ｃ第５ｍ六、几何圆中的应用在
当Ａ为腰时，样的三角形最多能列不等式组得：Ｂ这
【Ｏ ≥４。１Ｏ０
１
… ：；
故（＋）－）ｘ３（３＞０的解集为＞３或ｘ

中考数学指导：做题需要分类讨论

中考数学指导：做题需要分类讨论分类讨论在数学题中经常出现，也是总分值率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。

所以，这种题很容易不小心丢分。

跟老师合学生们交流之后发现，就算是学习成绩很好的同学在这种题上都会多多少少的出现问题，因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。

第【二】分类讨论是要有一定原那么，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。

分类的原那么：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级有序进行。

以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。

这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。

当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。

有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30或60。

第【三】在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。

同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。

例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原那么分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。

也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。

以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。

在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原那么，不要遗漏，最后要综合。

中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析

第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。