扭转习题课工程力学重点整理与考试题型

扭 转

1. 一直径为1D 的实心轴，另一径为d , 外径为D , 外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比

21A A 有四种答案： (A) 2

1α-； (B)

3

24)1(α-； (C) 32

42)]1)(1[(αα--； (D)

2

3

241)1(α

α--。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立

3. 一外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则圆周处的切应力有四种答案：

(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案： (A) r GI T γp =，ϕr l =； (B) )(p GI l T γ=，r l γϕ=； (C) r GI T γp =，r l γϕ=； (D) γr GI T p =，l r γϕ=。

5. 建立圆轴的扭转切应力公式p I T ρτρ=时，“平面假设”起到的作用有下列四种答案：

(A) “平面假设”给出了横截面上力与应力的关系A T A d τρ⎰=； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化；

(D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。

6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。 (A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。

7. 图示圆轴AB ，两端固定，在横截面C 处受外力偶矩e M 作用，若已知圆轴直径d ，材料的切变模量G ，截面C 的扭转角ϕ及长度a b 2=，则所加的外力偶矩

e M ，有四种答案：

(A) a G d 128π34ϕ； (B) a G d 64π34ϕ；

(C) a G d 32π34

ϕ； (D) a

G d 16π34ϕ。

8. 一直径为1D 的实心轴，另一径为2d ，外径为2D ，外径之比为8.022=D d 的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比=12W W 。

9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.47

9. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4 10. 横截面翘曲

11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加

载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 R R

s ≤≤-=ρτρ

τρ0 )341(

截面扭矩 ⎰⎰=⋅-

==R

s A

s d R

dA T 0

0π2)341(ρρτρ

ρρτ证毕。

12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 作用，其材料的切应力和切应变关系可用m C /1γτ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：

m

m m

d m M /)13(/1

e )2

(13m π2++=

ρτρ 证：几何方面 x

d d ϕρ

γρ= 物理方面 m

m x

C C /1/1)d d (ϕρ

γτρ== 静力方面 ρρϕ

ρρτρρd π2)

d d (d /12

/0

/1e ⋅⋅=

⋅⋅==⎰

⎰m

d m A

x

C A T M

⎰+=2

/0

/12/1d )d d (π2 d m m

x

C ρρϕ

m

m d x C m m m )13()2()d d (π2/)13(/1+=+ϕ m m m

d Cm m M x /)13(

e /1)

2

(π2)13()d d (

+⋅⋅+=ϕ 所以 m

m m

d m M /)13(/1

e )2

(13m π2++=ρτρ 证毕。

13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为δ

τ2

0π2R T

=

（0R 为圆管的平均半径，δ为壁厚），试证明，当δ100≥R 时，该公式的最大误差不超过4.53%。

证：薄壁理论 δ

τ2

0π2R T

=

精确扭转理论 ])2

()2][()2()2[(2π)

2

(202020200max δδδδδ

τ--+-+++=

R R R R R T

)

4(π)

21(22

2

2

00

R R R T δδδ

+

+

=

误差 0

2

02

max

max max 24411R R δδττ

τττε+

+

-

=-=-= 当δ100≥R 时， %53.45

141001

41=++

-

≤ε 证毕。 14. 在相同的强度条件下，用外径之比5.0=D d 的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？

解：设空心轴外直径分别为22,D d ，实心轴直径为1d

)1(16

π16

π43

23

1α-=

D T d T ⇒

02.111

3412=-=α

d D 节省材料 %7.21)

1(12

1

22

2121=--=-d D A A A α 15. 一端固定的圆轴受集度为m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许用应力][τ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式)(x d 。 解：取自由端为x 轴原点,x 轴沿轴线方向,则

扭矩方程 mx x T =)( 最大切应力 ][)(16

π)

()(3p max ττ===

x d mx

x W x T