扭转习题课工程力学重点整理与考试题型

扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一径为d , 外径为D , 外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-； (C) 3242)]1)(1[(αα--； (D)23241)1(αα--。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。

扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案： (A) r GI T γp =，ϕr l =； (B) )(p GI l T γ=，r l γϕ=； (C) r GI T γp =，r l γϕ=； (D) γr GI T p =，l r γϕ=。

5. 建立圆轴的扭转切应力公式p I T ρτρ=时，“平面假设”起到的作用有下列四种答案：(A) “平面假设”给出了横截面上力与应力的关系A T A d τρ⎰=； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化；(D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。

6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。

(A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。

7. 图示圆轴AB ，两端固定，在横截面C 处受外力偶矩e M 作用，若已知圆轴直径d ，材料的切变模量G ，截面C 的扭转角ϕ及长度a b 2=，则所加的外力偶矩e M ，有四种答案：(A) a G d 128π34ϕ； (B) a G d 64π34ϕ；(C) a G d 32π34ϕ； (D) aG d 16π34ϕ。

8. 一直径为1D 的实心轴，另一径为2d ，外径为2D ，外径之比为8.022=D d 的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比=12W W 。

9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。

对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341(截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。

12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 作用，其材料的切应力和切应变关系可用m C /1γτ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：mm md m M /)13(/1e )2(13m π2++=ρτρ 证：几何方面 xd d ϕργρ= 物理方面 mm xC C /1/1)d d (ϕργτρ== 静力方面 ρρϕρρτρρd π2)d d (d /12/0/1e ⋅⋅=⋅⋅==⎰⎰md m AxC A T M⎰+=2/0/12/1d )d d (π2 d m mxC ρρϕmm d x C m m m )13()2()d d (π2/)13(/1+=+ϕ m m md Cm m M x /)13(e /1)2(π2)13()d d (+⋅⋅+=ϕ 所以 mm md m M /)13(/1e )2(13m π2++=ρτρ 证毕。

13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为δτ20π2R T=（0R 为圆管的平均半径，δ为壁厚），试证明，当δ100≥R 时，该公式的最大误差不超过4.53%。

证：薄壁理论 δτ20π2R T=精确扭转理论 ])2()2][()2()2[(2π)2(202020200max δδδδδτ--+-+++=R R R R R T)4(π)21(222200R R R T δδδ++=误差 0202maxmax max 24411R R δδτττττε++-=-=-= 当δ100≥R 时， %53.4514100141=++-≤ε 证毕。

14. 在相同的强度条件下，用外径之比5.0=D d 的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？解：设空心轴外直径分别为22,D d ，实心轴直径为1d)1(16π16π43231α-=D T d T ⇒02.1113412=-=αd D 节省材料 %7.21)1(121222121=--=-d D A A A α 15. 一端固定的圆轴受集度为m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许用应力][τ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式)(x d 。

解：取自由端为x 轴原点,x 轴沿轴线方向,则扭矩方程 mx x T =)( 最大切应力 ][)(16π)()(3p max ττ===x d mxx W x T轴径 3][π16)(τmxx d = 16. 两段同样直径的实心钢轴，由法兰盘通过六只螺栓连接。

传递功率kW 80=P ，转速m in r 240=n 。

轴的许用切应力为MPa 80][1=τ， 螺栓的许用切应力为MPa 55][2=τ。

试 (1) 校核轴的强度； (2) 设计螺栓直径。

解：(1)外力偶矩m N 183 35499e ⋅==nPM ][MPa 7516π3emax ττ<==d M 安全 （2）N 894 518.0318333e S =⨯==D M F ][4π22Sττ≤=d F⇒ mm 7.11][π42S=≥τF d 17. 图示锥形圆轴，承受外力偶e M 作用，材料的切变模量为G 。

试求两端面间的相对扭转角ϕ。

解： )(2)(x lab a x d -+=⎰⋅=lx x d G M 0 4ed )(32πϕ3322e 0 4e π3)(2d )(1πG2b Ga a ab b l M x x l a b a M l++=-+=⎰18. 一半径为R 的实心圆轴，扭转时处于弹塑性状态。

试证明此轴弹性部分的核心半径0r 为 330)π/(64s T R r τ-= 式中T 为整个截面上的扭矩，)(γτf =可按理想弹塑性情况下的γτ-图计算。

证： 30S 3S 2S 0 2S 0π61π32d π2d π2)(00r R r T R r r ττρρτρρτρ-=⋅+⋅=⎰⎰于是得 3S30π64τTR r -=19. 已知图示空心圆截面杆，材料的应力－应变图及截面尺寸如图示，设2/1/21=r r 。

试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个截面屈服时的极限扭矩之比。

解：屈服扭矩： 2S41422PS S 2)(πr r r r I T ττ-==极限扭矩：)(π32d π2d 3132S 2S s P 21r r A T r r A-===⎰⎰τρρτρτ 244.1SP=T T20. 已知直径mm 30=D 的一根实心钢轴扭转后在部保持一个mm 10=d 的弹性核，如图示。

若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图），MPa 160=S τ。

试求当卸除扭矩后，残余应力是多少？并绘出应力分布图。

解：确定初加之扭矩值：mm N 10112d π216π42 2s s 3P e ⋅⨯=⋅+=+=⎰Dd d T T T ρρρττ残余应力： 弹性卸荷 MPa 26.21116/π3max ==D Tτmm 15=ρ处，MPa 51160211)(51=-=残τ mm 5=ρ处，MPa 3.70155211=⨯=τMPa 7.893.70160)(5=-=残τ21. 已知直径mm 30=D 的一根实心钢轴扭转后在部保持一个mm 01=d 的弹性核，如图示。

若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示）， GPa 80=G ，扭转屈服应力MPa 160=S τ，试求当卸除扭矩后，单位杆长的残余扭转角为多少？解：弹性部分单位长度的扭转角rad/m 4.0pee ==GI T θ 弹性卸载单位长度扭转角rad/m 176.0e =θ 残余单位长度扭转角m /)( 12.8rad/m 0.224rad/m 176.0rad/m 4.0 ==-=残θ22. 直径mm 25=d 的钢圆杆受轴向拉力kN 60作用时，在标距m 2.0的长度伸长了mm 113.0，受扭转力偶矩m kN 15.0⋅作用时，相距m 2.0两截面的相对扭转角为 55.0，求钢材的弹性模量E 、切变模量G 和泊松比ν。

解：41065.5-⨯=∆=llε, MPa 2.122N ==A F σ则GPa 216/==εσEMPa 89.48p ==W T τ, rad 106180π2/4-⨯=⨯=ϕγl d 解得 GPa 5.81=G 又 )1(2ν+=EG ，得32.0=ν23. 设圆轴横截面上的扭矩为T ，试求4/1截面上扭转剪应力的合力大小，方向及作用点。

解：1 剪力大小和方向θρρd d d =A ， A F d d S τ=⎰⎰⎰-===2π0 2 0 s π34d d sin sin d dTF F dAS z θρθρτθ 同理：dTF π34Sy =dTF F F y z π3`242S 2S S =+= 方向与 45=θ矢径垂直。

2 合力作用点 4S TF C =⋅ρ⇒ 32π23d C =ρ 24. 已知如图（a ）所示半径为R 的受扭圆杆，截取一长度为a 之隔离体，据横截面上切应力分布规律和切应力互等定理，可得隔离体各截面上的切应力分布如图（b ）所示。

试证(1) 纵截面ABCD 上切应力所构成的合力偶矩之大小为R Ta π3/4； (2) 图（b ）的隔离体满足∑=0z M 这一平衡条件证：(1) RTaRa R T R a R M π3432π2345.0)(2max =⨯=⨯⨯⨯⋅=τ(2) 在半圆横截面上取面积微元r r A d d d θ=，其上之力沿垂直和平行于z 方向的分量为θτsin d d ⋅=A F ，θτcos d d ⋅=A V 每一侧半圆截面上d F 的合力 RTr r R Tr F R π34d d sin π2 0 π0 4==⎰⎰θθ 两侧截面上的力F 组成的力偶矩为Fa ，于是∑=⋅-=-=0π34π34a RTR Ta Fa M M z25. 半径为R 的圆截面承受扭矩T ，导出处于2/R 与4/3R 之间的区域所受扭矩的表达式，用R 和m ax τ表示结果。