2014年北京市高考数学试卷(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版
2014年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C .{}1,2 D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15开始输出结束是否【答案】C【解析】7222210=++=S .5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立.6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴220.2 1.520.2(t 3.75)0.8125p t t =-+-=--+，即当75.3=t 时，P 有最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 . 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A9 15原料B6 21则最短交货期为 工作日. 【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.15.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-== ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+= ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+= ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考真题——文科数学(北京卷)解析版 Word版含解析
课标文数【2014·北京文卷】一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0==I I B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--. 4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2.7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.()0,m A -()0,m BP【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A 9 15 原料B6 21则最短交货期为 工作日15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==L ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=L ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=L ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =．故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝ . （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， .（Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版
2014 年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题.每小题 5 分，共40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={0,1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A ⋂B =（）A. {0,1, 2, 3, 4}B. {0, 4}C.{1, 2}D.{3}【答案】C【解析】 A B ={0,1,2,4} {1,2,3}={1,2}.2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.y =e-xB.y =x3C.y = ln xD.y =x【答案】B【解析】对于选项A，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0, +∞) ；选项D，在(-∞, 0) 上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量a =(2, 4)，b =(-1,1)，则2a -b =（）B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)A. (5, 7)【答案】A【解析】2a－b= 2(2,4)-(-1,1)=(5,7).4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B. 3C. 7D.15【答案】C【解析】 S = 20 + 21 + 22 = 7 .5.设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a2 >b2 ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a ⋅b < 0时，由a >b 推不出a2 >b2 ，反之也不成立.6.已知函数 f (x )=6- logx 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是（）A. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (4, +∞)【答案】C【解析】因为f (2) = 4 -1 > 0 ，f (4) =3- 2 < 0 ，所以由根的存在性定理可知：选C.2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P ，使得∠APB = 90 ，则m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 432 + 42⎩ ⎩【答案】B【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使∠APB = 90O，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点，∴ m -1 ≤ ≤ m + 1，解之得 4 ≤ m ≤ 6.PA (- m ,0)B (m ,0)8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系 p = at 2 + bt + c （ a 、b 、 c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00 分钟D. 4.25 分钟【答案】B⎧0.7 = 9a + 3b + c ⎪⎧a = -0.2⎪【解析】由题意得 ⎨0.8 = 16a + 4b + c ，解之得 ⎨b = 1.5 ，⎪0.5 = 25a + 5b + c ⎪c = -2∴ p = -0.2t 2+ 1.5t - 2 = -0.2(t - 3.75)2+ 0.8125 ，即当t = 3.75时， P 有最大值.2 2 22+ 222 22+ ( 2)26 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.9.若(x + i )i = -1+ 2i (x ∈ R )，则 x = . 【答案】2【解析】∵ (x + i )i = -1 + xi = -1 + 2i ，∴ x = 2. 10. 设双曲线 C 的两个焦点为 (- 为.【答案】 x 2- y 2= 12, 0)， ( 2, 0)， 一个顶点式 (1, 0) ， 则 C 的方程【解析】由题意设双曲线方程 x 2- y 2 b 2 = 1，又∵1 + b 2 = ( )2 ，∴b 2 = 1即双曲线方程为x 2 - y 2 = 1. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】 2【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB ⊥ 面ABC ，PB = 2 ，AB = 2, AC = BC = ，PA = = 2 ， PC = = .21 - ⎛ 7 ⎫2 ⎝ 8 ⎭⎪ 15 ⎨ ⎩⎩12.在∆ABC 中， a = 1， b = 2 ， cos C = 1，则c =； sin A =.4【答案】2、8【解析】由余弦定理得c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 1 + 4 - 2 ⨯ 2 ⨯1⨯ 1= 2 ，即c = 2；4cos A =b 2 +c 2 - a 2 2bc = 4 + 4 - 1 = 2 ⨯ 2 ⨯ 2 7 ，∴ sin A = = . 8 8⎧ y ≤ 1 13.若 x 、 y 满足 ⎪x - y -1 ≤ 0 ，则 z = ⎪ x + y -1 ≥ 03x + y 的最小值为.【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线 z = y +3x 过可行域内 A 点时， z 有最小值，联立⎧ y = 1⎨x + y - 1 = 0 ，解之得 A (0,1)， Z min = ⨯ 0 + 1⨯1 = 1. PBC A15314.顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.【答案】42【解析 】因为第 一件进行粗 加工时， 工艺师 什么都 不能做， 所以最短 交货期为6 +15 + 21 = 42天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能 力. 15.已知{a n }是等差数列，满足 a 1 = 3， a 4 = 12 ，数列{b n }满足 b 1 = 4 ， b 4 = 20 ，且{b n - a n }是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前 n 项和.Ay = 1x - y -1 = 0x + y -1 = 0y = - 3x工序时间原料粗加工精加工原料 A 9 15 原料 B621{【解析】⑴ 设等差数列{a }的公差为 d ，由题意得 d = a 4 - a 1 = 12 - 3= 3n3 3所以 a n = a 1 + (n -1)d = 3n (n = 1，2 ， )． 设等比数列{b n - a n }的公比为 q ，由题意得·· q 3 = b 4 - a 4 = 20 -12= 8 ，解得q = 2 ．b 1 - a 1 4 - 3所以b - a = (b - a )q n -1 = 2n -1 ．nn11从而b n = 3n + 2n -1 (n = 1 ，2 ， ) ⑵ 由⑴知b n = 3n + 2 (n = 1 ，2 ， )． n -13n -11 - 2nn数列{3n }的前 n 项和为 n (n + 1)，数列 2 2 }的前 n 项和为1× 1 - 2 = 2- 1． 所以，数列{b }的前 n 项和为 3n (n + 1) + 2n - 1．n216. 函数 f (x ) = 3sin ⎛2x +π⎫的部分图象如图所示. 6 ⎪ ⎝⎭（1）写出 f (x )的最小正周期及图中 x 0 、 y 0 的值；⎡ π π⎤（2）求 f (x )在区间 ⎢⎣- 2 , - 12 ⎥⎦上的最大值和最小值.【解析】⑴f (x )的最小正周期为 πx = 7π ． 06y3 0⑵ 因为 x ∈ ⎡- π，- π ⎤ ，所以2x + π ∈ ⎡- 5π ，0⎤ ．⎣⎢ 212 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ 于是当 2x + π = 0 ，即 x = - π时， f (x )取得最大值 0；6 12 当 2x + π = - π ，即 x = - π时， f (x )取得最小值 -3．6 2 317. 如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 = AC = 2 ，BC = 1。
2014年北京高考文科数学试题含答案(Word版)(卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15 输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）学 科网满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京高考数学文科word解析版2014
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域是 且为增函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值；
（2）若过点 存在3条直线与曲线 相切，求t的取值范围；
（3）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）
参考答案北京2014文
一选择题：
1.C解析过程：根据集合的运算性质
2.B解析过程：A在义域上为减函数；；C的定义域为 ；D在定义域上先减后增
使得 ，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.
在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：分钟）
满足的函数关系 （ 、 、 是常数），
图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，
可以得到最佳加工时间为（ ）
A. 分钟B. 分钟
C. 分钟 D. 分钟
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
16.（本小题满分13分）函数 的部分图象如图所示.
（1）写出 的最小正周期及图中 、 的值；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
3.A解析过程：
4.C解析过程：第一次循环S=1，k=1；第二次循环S=3，k=2；第三次循环S=7，k=3，输出k的值，答案C
2014年高考北京卷数学(文)试题解析(精编版)(解析版)
2014年高考北京卷数学（文）卷第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.【学科网考点定位】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15【答案】C【解析】当0k =时，1S =；当1k =时，123S =+=；当2k =时，347S =+=；当3k =时， 输出7S =，故选C.【学科网考点定位学科网】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【学科网考点定位】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实 验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.【学科网考点定位】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好学科网本类题目的关键. 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0，)2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.13.若x、y满足11010yx yx y≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y=+的最小值为.【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线3z x y =+可得：当直线经过两直线1y =与10x y +-=的交点（0，1）时，z 取得最小值为1.【学科网考点定位】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最学科网值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文)含解析
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅲ）因为 ， ， ，
所以 ．
所以三棱锥 的体积
．
18.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
【答案】
【解析】由题意设双曲线方程 ，又∵ ，∴ 即双曲线方程为 .
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.
【答案】
【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 ， ， ， ， .
12.在 中， ， ， ，则 ； .
【答案】2、
【解析】由余弦定理得 ，即 ；
，∴ .
13.若 、 满足 ，则 的最小值为.
解：（Ⅰ）由题意，椭圆 的标准方程为 ．
所以 ， ，从而 ．
因此 ， ．
故椭圆 的离心率 ．
（Ⅱ）设点 ， 的坐标分别为 ， ，其中 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
又 ，所以
．
因为 ，且当 时等号成立，所以 ．
2014年北京高考word版数学文试卷
绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =（3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件（6）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞（7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京高考文科数学试卷
2014年北京高考文科数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|3．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）第4题图第8题图A．1B．3C．7D．155．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．48．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c （a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A ． 3.50分钟B ． 3.75分钟C ． 4.00分钟D ． 4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若（x+i ）i=﹣1+2i （x ∈R），则x= _________ ． 10．设双曲线C 的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C 的方程为 _________ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．12．在△ABC 中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．13．若x ，y 满足，则z=x+y 的最小值为 _________ ．14．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21则最短交货期为 _________ 个工作日． 三、解答题，共6小题，满分80分． 15．（13分）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20，且{b n ﹣a n }为等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和． 16．（13分）函数f （x ）=3sin （2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f （x ）的最小正周期及图中x 0，y 0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1 [0，2） 62 [2，4）83 [4，6）174 [6，8）225 [8，10）256 [10，12）127 [12，14） 68 [14，16） 29 [16，18） 2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3-3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）答题卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题15. （本小题满分13分）16（本小题满分13分）17（本小题满分14分）18（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）参考答案14题注：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）x （-∞，0）0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 - 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗。
2014年高考北京卷数学文试题及答案解析
2014年高考北京卷数学文试题及答案解析一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. B.3 C.7 D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2. 7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为()0,m A -()0,m BP. 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为 工作日. 15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a =．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝. （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)所以，(0)g t =当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在条直线与曲线()y f x =相切时，的取值范围是()31--， . （Ⅲ）过点()12A -， 存在条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014年高考数学真题-北京卷(文)答案
数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．3．【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由＝（2，4），＝（﹣1，1），得：2﹣＝2（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．4．【分析】算法的功能是求S＝1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S＝1+2+4＝7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．6．【分析】可得f（2）＝2＞0，f（4）＝﹣＜0，由零点的判定定理可得．x，【解答】解：∵f（x）＝﹣log2∴f（2）＝2＞0，f（4）＝﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°，可得PO＝AB＝m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝AB＝m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．8．【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t＝﹣＝3.75．故选：B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi＝﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i＝﹣1+2i，∴﹣1+xi＝﹣1+2i，由复数相等可得x＝2故答案为：2【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．10．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c＝，a＝1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c＝，a＝1，∴b＝1，∴C的方程为x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC＝，在Rt△BCD中，BD＝，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．12．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cos C的值代入求出c的值，由cos C的值求出sin C的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sin A的值．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C＝，C为三角形内角，∴sin C＝＝，∴由正弦定理＝得：sin A＝＝＝．故答案为：2；．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．13．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z ＝x +y 为，由图可知，当直线过C （0，1）时直线在y 轴上的截距最小．此时．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．【分析】先完成B 的加工，再完成A 的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B 的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A 的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42个工作日．故答案为：42．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，∴3+3d ＝12，解得d ＝3，∴a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ．设等比数列{b n ﹣a n }的公比为q ，则q 3＝＝＝8，∴q ＝2，∴b n ﹣a n ＝（b 1﹣a 1）qn ﹣1＝2n ﹣1，∴b n ＝3n +2n ﹣1（n ＝1，2，…）．（2）由（1）知b n ＝3n +2n ﹣1（n ＝1，2，…）．∵数列{a n }的前n 项和为n （n +1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×＝2n﹣1，∴数列{b n }的前n 项和为n （n +1）+2n ﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x ∈[﹣，﹣]可得2x +∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝3sin（2x +），∴f （x ）的最小正周期T ＝＝π，可知y 0为函数的最大值3，x 0＝；（Ⅱ）∵x ∈[﹣，﹣]，∴2x +∈[﹣，0]，∴当2x +＝0，即x ＝时，f （x ）取最大值0，当2x +＝，即x ＝﹣时，f （x ）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．17．【分析】（1）证明AB ⊥B 1BCC 1，可得平面ABE ⊥B 1BCC 1；（2）证明C 1F ∥平面ABE ，只需证明四边形FGEC 1为平行四边形，可得C 1F ∥EG ；（3）利用V E ﹣ABC ＝S △ABC •AA 1，可求三棱锥E ﹣ABC 的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∴BB 1⊥AB ，∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1，∴AB ⊥平面B 1BCC 1，∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG ，则∵F 是BC 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，∵E 是A 1C 1的中点，∴FG ∥EC 1，FG ＝EC 1，∴四边形FGEC 1为平行四边形，∴C 1F ∥EG ，∵C 1F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，∴C 1F ∥平面ABE ；（3）解：∵AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，∴AB ＝，∴V E ﹣ABC ＝S △ABC •AA 1＝×（××1）×2＝．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．18．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率＝求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高＝求a 、b 的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12＝90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为＝0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a ＝0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b ＝0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02＝7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率＝小矩形的面积＝小矩形的高×组距＝．19．【分析】（Ⅰ）椭圆C ：x 2+2y 2＝4化为标准方程为，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2+2y 2＝4化为标准方程为，∴a ＝2，b ＝，c ＝，∴椭圆C 的离心率e ＝＝；（Ⅱ）设A （t ，2），B （x 0，y 0），x 0≠0，则∵OA ⊥OB ，∴＝0，∴tx 0+2y 0＝0，∴t ＝﹣，∵，∴|AB |2＝（x 0﹣t ）2+（y 0﹣2）2＝（x 0+）2+（y 0﹣2）2＝x 02+y 02++4＝x 02+++4＝+4（0＜x 02≤4），因为≥4（0＜x 02≤4），当且仅当，即x 02＝4时等号成立，所以|AB |2≥8．∴线段AB 长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f （﹣2），f （﹣），f （），f （1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t +3＝0，设g （x ）＝4x 3﹣6x 2+t +3，则“过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切”，等价于“g （x ）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f ′（x ）＝0得，x ＝﹣或x ＝，∵f （﹣2）＝﹣10，f （﹣）＝，f （）＝﹣，f （1）＝﹣1，∴f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P （1，t ）的直线与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0），则y 0＝2﹣3x 0，且切线斜率为k ＝6﹣3，∴切线方程为y ﹣y 0＝（6﹣3）（x ﹣x 0），∴t ﹣y 0＝（6﹣3）（1﹣x 0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．16/16。
2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（（3 （))5,9 （4 （ （C （5）设a (A) (C) （6 (A)（7）()(,0B m 若圆 （ （C （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .（10）设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . （12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . （13）若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .（14）顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带（15（16）（本小题13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC⊥，12AA AC==，E、F分别为11A C、BC的中点. （Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面11B BCC；（Ⅱ）求证：1//C F平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E ABC-的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：12OB⊥，（20（1）若集合{}0,1,2,4A=，{}1,2,3B=，则A B=（）（A）{}0,1,2,3,4（B）{}0,4（C）{}1,2（D）{}3【答案】C【解析】因为}2,1{=BA ，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xy e-=（B）y x=（C）lny x=（D）y x=【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B. 【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. （3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9【答案】A【解析】因为)8,4(2=a，所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a ，故选A.（4 （ （C 【答案】当k=2（5）设a (A) 件(C) 【答案】 （6) (B)【答案】【解析】因为022)4(,014)2(<-=>-=f f ，所以由根的存在性定理可知，选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. （7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0Am -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点(0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以51=-m ，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点)5.0,5(),8.0,4(),7.0,3(都在函数c bt at p ++=2的图象上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++25167.039a a c b a 所以=p （9）若(【答案】（10则C 【答案】的焦点在的能力.（11【答案】【解析】2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222=+.【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2，815 【解析】由余弦定理得：441225cos 2222=⨯⨯-=-+=C ab b a c，故2=c ；因为87222144cos =⨯⨯-+=A ，所以815sin =A . 【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.（131y ≤⎧1=y 与+y x . （14（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =， 且{}n n b a -为等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.（15）（共13分）解：（Ⅰ） 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ， 由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，（Ⅱ）由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．（16函数（Ⅱ）求（16解：（（Ⅱ（171AA =E 、F （17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥． 所以AB ⊥平面11B BCC ． 所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．（Ⅲ（1812小时的学小时的频从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． （19）（本小题14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值. （19）（共14分）解：（22（Ⅱ即0020y +=，解得又（20（Ⅰ）求（20）（共13分）解：（Ⅰ） 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =. 因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（Ⅱ） 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.g↗当()g x 至多有2当()g x 至多有2当[)10-，，()0-∞，（Ⅲ）。
2014年高考北京卷文科数学试题及答案解析
2014年高考北京卷文科数学试题及答案解析一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. B.3 C.7 D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2. 7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为()0,m A -()0,m BP. 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为 工作日. 15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a =．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝. （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)所以，(0)g t =当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在条直线与曲线()y f x =相切时，的取值范围是()31--， . （Ⅲ）过点()12A -， 存在条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学(2014年北京市高考文科数学)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝().A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}答案：C解析：因为集合A，B中的公共元素为1，2，所以A∩B＝{1，2}，应选C．2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是().A．y＝e﹣x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B解析：A项，函数y＝e﹣x为R上的减函数;B项，函数y＝x3为R上的增函数;C项，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数;D项，函数y＝|x|在(﹣∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数.故只有B项符合题意，应选B．3.已知向量a＝(2，4)，b＝(﹣1，1)，则2a﹣b＝().A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)答案：A解析：因为2a＝(4，8)，b＝(﹣1，1)，所以2a﹣b＝(4﹣(﹣1)，8﹣1)＝(5，7).故选A．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为().A．1B．3C．7D．15答案：C解析：开始时k＝0，S＝0.第一次循环，k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝0＋1＝1，第二次循环，k＝1<3，S＝1＋21＝3，k＝1＋1＝2，第三次循环，k＝2<3，S＝3＋22＝7，k＝3.此时不满足条件k<3，输出结果S，即输出7.故选C．5.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的().A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：当a＝0，b＝﹣1时，a>b成立，但a2＝0，b2＝1，a2>b2不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件.反之，当a ＝﹣1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2>b 2成立，但a>b 不成立，所以“a>b”是“a 2>b 2”的不必要条件.综上，“a>b”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，应选D ． 6.已知函数f (x )＝6x ﹣log 2x.在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ). A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)答案：C解析：由题意知f (1)＝61﹣log 21＝6>0，f (2)＝62﹣log 22＝3﹣1＝2>0，f (4)＝64﹣log 24＝32﹣2＝﹣12<<0.故f (2)·f (4)<0.由零点存在性定理可知，包含f (x )零点的区间为(2，4).7.已知圆C ：(x ﹣3)2＋(y ﹣4)2＝1和两点A (﹣m ，0)，B (m ，0)(m>0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ). A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案：B解析：因为A (﹣m ，0)，B (m ，0)(m>0)，所以使∠APB ＝90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上，该圆的圆心为O (0，0)，半径为m.而圆C 的圆心为C (3，4)，半径为1.由题意知点P 在圆C 上，故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切， 故m ﹣1≤|CO|≤m ＋1，即m ﹣1≤5≤m ＋1，解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B ．8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ).A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案：B解析：由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，因此有{0.7＝a ×32＋b ×3＋c ，0.8＝a ×42＋b ×4＋c ，0.5＝a ×52＋b ×5＋c ，解得{a ＝﹣0.2，b ＝1.5，c ＝﹣2.故p ＝﹣0.2t 2＋1.5t ﹣2，其对称轴方程为t ＝﹣1.52×(﹣0.2)＝154＝3.75.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值.故选B ．第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若(x＋i)i＝﹣1＋2i(x∈R)，则x＝__________.答案：2解析：由已知得x i＋i2＝﹣1＋2i，即x i＝2i，解得x＝2.10.设双曲线C的两个焦点为(﹣√2，0)，(√2，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为__________.答案：x2﹣y2＝1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c＝√2，设其方程为x 2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，又由顶点为(1，0)知a＝1，所以b＝√c2﹣a2＝1.故所求双曲线的方程为x2﹣y2＝1.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________.答案：2√2解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC．故该三棱锥的最长棱为PC．在Rt△P AC中，PC＝√PA2＋AC2＝√22＋22＝2√2.12.在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝__________;sin A＝__________.答案：2√158解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2﹣2ab cos C＝12＋22﹣2×1×2×14＝4，故c＝2.所以cos A＝b 2＋c2﹣a22bc＝22＋22﹣122×2×2＝78.故sin A＝√1﹣cos2A＝√1﹣(78)2＝√158.13.若x，y满足{y≤1，x﹣y﹣1≤0，x＋y﹣1≥0，则z＝√3x＋y的最小值为__________.答案：1解析：如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝√3x ＋y 可化为y ＝﹣√3x ＋z ，作出直线l 0：y ＝﹣√3x 并平移.因为k AB ＝﹣1>﹣√3，所以当直线过点A 时，z 取得最小值. 由{x ＋y ﹣1＝0，y ＝1，解得A (0，1)，所以z 的最小值为z ＝√3×0＋1＝1.14.顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为__________个工作日. 答案：42解析：最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天;徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工;最后由工艺师完成原料A 的精加工，需15个工作日.故交货期为6＋21＋15＝42个工作日.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n ﹣a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.分析：(1)先由等差数列{a n }中的a 1，a 4求出公差d ，即可求其通项a n ，然后根据b 1，b 4的值及{b n ﹣a n }为等比数列，从而求出该数列的第1项和第4项，得出其公比，从而写出其通项公式，即可求得{b n }的通项.(2)根据{b n }的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{b n }的前n 项和. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4﹣a 13＝12﹣33＝3.所以a n ＝a 1＋(n ﹣1)d ＝3n (n ＝1，2，…). 设等比数列{b n ﹣a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4﹣a 4b 1﹣a 1＝20﹣124﹣3＝8，解得q ＝2.所以b n ﹣a n ＝(b 1﹣a 1)q n ﹣1＝2n ﹣1.从而b n ＝3n ＋2n ﹣1(n ＝1，2，…).(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n ﹣1(n ＝1，2，…). 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×1﹣2n 1﹣2＝2n ﹣1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n ﹣1.16.(本小题满分13分)函数f (x )＝3sin (2x ＋π6)的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值; (2)求f (x )在区间[﹣π2，﹣π12]上的最大值和最小值.分析：(1)首先利用公式求得f (x )＝3sin (2x ＋π6)的最小正周期，然后根据图形确定y 0，即f (x )的最大值，再根据x 0的位置即可求得其取值.(2)先根据x 的范围确定2x ＋π6的范围，进而求得f (x )的最值. 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈[﹣π2，﹣π12]， 所以2x ＋π6∈[﹣5π6，0].于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝﹣π12时，f (x )取得最大值0;当2x ＋π6＝﹣π2，即x ＝﹣π3时，f (x )取得最小值﹣3.17.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点. (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证：C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E ﹣ABC 的体积.分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论.(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论.(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果.(1)证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ．所以BB 1⊥AB ．又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG.因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE.(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝√AC 2﹣BC 2＝√3.所以三棱锥E ﹣ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×√3×1×2＝√33.18.(本小题满分13分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整(1)12小时的概率; (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)分析：(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数，然后代入频率公式求值.(2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率，然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a ，b 的值.(3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置.解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1﹣10100＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. 19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值. 分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求其离心率e.(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后用相应坐标表示出|AB|2，代入坐标之间的关系，根据代数式的结构特征求其最值. 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2.因此a ＝2，c ＝√2. 故椭圆C 的离心率e ＝ca ＝√22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝﹣2y0x 0.又x 02＋2y 02＝4，所以|AB|2＝(x 0﹣t )2＋(y 0﹣2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0﹣2)2＝x 02＋y 02＋4y 02x 02＋4＝x 02＋4﹣x 022＋2(4﹣x 02)x 02＋4＝x 022＋8x 02＋4(0<x 02≤4).因为x 022＋8x 02≥4(0<x 02≤4)，且当x 02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.20.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2x 3﹣3x. (1)求f (x )在区间[﹣2，1]上的最大值;(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围;(3)问过点A (﹣1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切?(只需写出结论)分析：(1)先求函数f (x )的导函数f'(x )，然后求出f'(x )＝0的解，进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小，即可求得最大值.(2)设出切点坐标(x 0，y 0)，利用导数的几何意义表示出切线方程，由切点在曲线上及切线过点P 将切线方程化为关于x 0的三次方程，从而将已知转化为方程有三个解，构造相应函数，转化为函数图象与x 轴有三个交点，利用导数研究单调性和极值，利用极值和0的大小关系构造不等关系，从而求得t 的取值范围.(3)根据(2)中的结论，比较纵坐标与t 的大小，即可写出相应的结论. 解：(1)由f (x )＝2x 3﹣3x 得f'(x )＝6x 2﹣3，令f'(x )＝0，得x ＝﹣√22或x ＝√22. 因为f (﹣2)＝﹣10，f (﹣√22)＝√2，f (√22)＝﹣√2，f (1)＝﹣1， 所以f (x )在区间[﹣2，1]上的最大值为f (﹣√22)＝√2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 03﹣3x 0，且切线斜率为k ＝6x 02﹣3，所以切线方程为y ﹣y 0＝(6x 02﹣3)(x ﹣x 0)，因此t ﹣y 0＝(6x 02﹣3)(1﹣x 0).整理得4x 03﹣6x 02＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3﹣6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g'(x )＝12x 2﹣12x ＝12x (x ﹣1). g (x )与g'(x )的情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值.当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤﹣3时，此时g (x )在区间(﹣∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥﹣1时，此时g (x )在区间(﹣∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (0)>0，且g (1)<0，即﹣3<t<﹣1时，因为g (﹣1)＝t ﹣7<0，g (2)＝t ＋11>0，所以g (x )分别在区间[﹣1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点.由于g (x )在区间(﹣∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(﹣∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(﹣3，﹣1). (3)过点A (﹣1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切; 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切; 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切.。
2014年北京市高考数学试卷(文科)教师版
2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．3C．7D．15【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a ＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=2．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2故答案为：210．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD 的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为1．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为42个工作日．【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣317．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E=S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．﹣ABC【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．∴V E﹣ABC18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=频数样本容量求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=频率组距求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷带解析)试题
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（北京卷）数学试题1、【题文】若集合A=，B=，则（）A．B．C．D．2、【题文】下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A．B．C．D．3、【题文】已知向量，，则（）A．B．C．D．4、【题文】执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．5、【题文】设、是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、【题文】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．7、【题文】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．8、【题文】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟9、【题文】若，则 .10、【题文】设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .11、【题文】在中，，，，则； .12、【题文】若、满足，则的最小值为 .13、【题文】顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：原料原料则最短交货期为工作日.14、【题文】已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.15、【题文】函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.16、【题文】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.17、【题文】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）18、【题文】已知椭圆C：.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.19、【题文】已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）。
2014年高考(北京卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2014北京，文1)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝()．A．{0,1,2,3,4} B．{0,4}C．{1,2} D．{3}答案：C解析：因为集合A，B中的公共元素为1,2，所以A∩B＝{1,2}，应选C.2．(2014北京，文2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()．A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B解析：A项，函数y＝e－x为R上的减函数；B项，函数y＝x3为R上的增函数；C项，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数；D项，函数y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B项符合题意，应选B.3．(2014北京，文3)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()．A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9)答案：A解析：因为2a＝(4,8)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5,7)．故选A.4．(2014北京，文4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A．1 B．3 C．7 D．15答案：C解析：开始时k＝0，S＝0.第一次循环，k＝0＜3，S＝0＋20＝1，k＝0＋1＝1，第二次循环，k＝1＜3，S＝1＋21＝3，k＝1＋1＝2，第三次循环，k＝2＜3，S＝3＋22＝7，k＝3.此时不满足条件k＜3，输出结果S，即输出7.故选C.5．(2014北京，文5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.6．(2014北京，文6)已知函数()26log f x x x=-在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 答案：C解析：由题意知f (1)＝61－log 21＝6＞0，f (2)＝62－log 22＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝12-＜0.故f (2)·f (4)＜0.由零点存在性定理可知，包含f (x )零点的区间为(2,4)． 7．(2014北京，文7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )．A ．7B ．6C ．5D ．4 答案：B解析：因为A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)，所以使∠APB ＝90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上，该圆的圆心为O (0,0)，半径为m .而圆C 的圆心为C (3,4)，半径为1.由题意知点P 在圆C 上，故两圆有公共点． 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切， 故m －1≤|CO |≤m ＋1，即m －1≤5≤m ＋1，解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.8．(2014北京，文8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )．A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案：B解析：由题中图象可知点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)在函数图象上，因此有2220.7330.8440.555a b c a b c a b c ⎧⨯⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩，，，解得0.2,1.5,2.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，其对称轴方程为 1.5153.752(0.2)4t -===⨯-.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值．故选B.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2014北京，文9)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝__________. 答案：2解析：由已知得x i ＋i 2＝－1＋2i ，即x i ＝2i ，解得x ＝2.10．(2014北京，文10)设双曲线C的两个焦点为(，，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为__________．答案：x 2－y 2＝1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c =设其方程为22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)，又由顶点为(1,0)知a ＝1，所以1b ==. 故所求双曲线的方程为x 2－y 2＝1.11．(2014北京，文11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．答案：解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC .在Rt △P AC中，PC ===12．(2014北京，文12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，1cos 4C =，则c ＝__________；sin A ＝__________.答案：2解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2. 所以2222222217cos 22228b c a A bc +-+-===⨯⨯.故sin A ===.13．(2014北京，文13)若x ，y 满足1,10,10,y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则z y =+的最小值为__________．答案：1解析：如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z y =+可化为y z =+，作出直线l 0：y =并平移．因为1AB k =>－A 时，z 取得最小值．由10,1,x y y +-=⎧⎨=⎩解得A (0,1)，所以z的最小值为011z +=.14．(2014北京，文14)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为__________个工作日． 答案：42解析：最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工；最后由工艺师完成原料A 的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分)(2014北京，文15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．分析：(1)先由等差数列{a n }中的a 1，a 4求出公差d ，即可求其通项a n ，然后根据b 1，b 4的值及{b n －a n }为等比数列，从而求出该数列的第1项和第4项，得出其公比，从而写出其通项公式，即可求得{b n }的通项．(2)根据{b n }的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为3(1)2n n +，数列{2n －1}的前n 项和为1212112n n -⨯=--. 所以，数列{b n }的前n 项和为3(1)212nn n -++.16．(本小题满分13分)(2014北京，文16)函数()π3sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 分析：(1)首先利用公式求得()π3sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的最小正周期，然后根据图形确定y 0，即f (x )的最大值，再根据x 0的位置即可求得其取值．(2)先根据x 的范围确定π26x +的范围，进而求得f (x )的最值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.07π6x =，y 0＝3. (2)因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，f (x )取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，f (x )取得最小值－3.17．(本小题满分14分)(2014北京，文17)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论．(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF 綉EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论．(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果．(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB =所以三棱锥E －ABC 的体积1111123323ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=. 18．(本小题满分13分)(2014北京，文18)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)分析：(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数，然后代入频率公式求值． (2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率，然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a ，b 的值． (3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距. 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．19．(本小题满分14分)(2014北京，文19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求其离心率e .(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后用相应坐标表示出|AB |2，代入坐标之间的关系，根据代数式的结构特征求其最值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22=142x y +. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c =故椭圆C的离心率c e a ==. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ⋅=，即tx 0＋2y 0＝0，解得02y t x =-. 又220024x y +=， 所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2 ＝2200002()(2)y x y x ++- ＝222000244y x y x +++ ＝2220002042(4)42x x x x --+++＝22002084(04)2x x x ++<≤．因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB长度的最小值为20．(本小题满分13分)(2014北京，文20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)分析：(1)先求函数f (x )的导函数f ′(x )，然后求出f ′(x )＝0的解，进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小，即可求得最大值．(2)设出切点坐标(x 0，y 0)，利用导数的几何意义表示出切线方程，由切点在曲线上及切线过点P 将切线方程化为关于x 0的三次方程，从而将已知转化为方程有三个解，构造相应函数，转化为函数图象与x 轴有三个交点，利用导数研究单调性和极值，利用极值和0的大小关系构造不等关系，从而求得t 的取值范围．(3)根据(2)中的结论，比较纵坐标与t 的大小，即可写出相应的结论． 解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3，令f ′(x )＝0，得x =或x =. 因为f (－2)＝－10，(2f -=，(2f =f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为(f =.(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--， 因此2000(63)(1)t y x x -=--． 整理得32004630x x t -++=，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)． g当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0， 所以g (x )分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1,2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2,10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。
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C．{1，2}
D．{3}
【分析】直接利用交集的运算得答案．
【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
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食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 （t 单位：分钟）满足函数关系 p＝at2+bt+c （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以 得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50 分钟
B．3.75 分钟
C．4.00 分钟
D．4.25 分钟
制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如
下：
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工序 时间 原料
粗加工
精加工
原料 A
9
15
原料 B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足 a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，
2．（5 分）（2014•北京）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ）
A．y＝e﹣x
B．y＝x
C．y＝lnx
D．y＝|x|
3．（5 分）（2014•北京）已知向量 ＝（2，4）， ＝（﹣1，1），则 2 ﹣ ＝（ ）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
4．（5 分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
19．（14 分）（2014•北京）已知椭圆 C：x2+2y2＝4． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值．
20．（13 分）（2014•北京）已知函数 f（x）＝2x3﹣3x． （Ⅰ）求 f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y＝f（x）相切，求 t 的取值范围； （Ⅲ）问过点 A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线 y＝f（x） 相切？（只需写出结论）
18．（13 分）（2014•北京）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单 位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
排号
分组
频数Leabharlann 1[0，2）6
2
[2，4）
8
3
[4，6）
17
4
[6，8）
22
5
[8，10）
25
6
[10，12）
12
7
[12，14）
6
8
[14，16）
17．（14 分）（2014•北京）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F 分别为 A1C1、BC 的中点． （1）求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； （2）求证：C1F∥平面 ABE； （3）求三棱锥 E﹣ABC 的体积．
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2014 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项
1．（5 分）（2014•北京）若集合 A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}
C．{1，2}
D．{3}
b4＝20，且{bn﹣an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前 n 项和．
16．（13 分）（2014•北京）函数 f（x）＝3sin（2x+ ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出 f（x）的最小正周期及图中 x0，y0 的值； （Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣ ，﹣ ]上的最大值和最小值．
2
9
[16，18）
2
合计
100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的 a，b 的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学
生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
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A．1
B．3
C．7
D．15
5．（5 分）（2014•北京）设 a，b 是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）（2014•北京）已知函数 f（x）＝ ﹣log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区
间是（ ）
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2014 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项
1．（5 分）（2014•北京）若集合 A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．（5 分）（2014•北京）若（x+i）i＝﹣1+2i（x∈R），则 x＝
．
10．（5 分）（2014•北京）设双曲线 C 的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（1，
0），则 C 的方程为
．
11．（5 分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，4）
D．（4，+∞）
7．（5 分）（2014•北京）已知圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1 和两点 A（﹣m，0），B（m，0）
（m＞0），若圆 C 上存在点 P，使得∠APB＝90°，则 m 的最大值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
8．（5 分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可
．
12．（5 分）（2014•北京）在△ABC 中，a＝1，b＝2，cosC＝ ，则 c＝
；sinA＝
．
13．（5 分）（2014•北京）若 x，y 满足
，则 z＝ x+y 的最小值为
．
14．（5 分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺
师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成